高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.3 平面向量基本定理及坐标表示导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.3 平面向量基本定理及坐标表示导学案，共18页。学案主要包含了例4-1，变式4-1，例4-2，变式4-2，例4-3，变式4-3，例4-4，变式4-4等内容，欢迎下载使用。

1.两向量的夹角与垂直：（1）夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示).
当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向.
（2）垂直：如果a与b的夹角是eq \f(π,2)，则称a与b垂直，记作a⊥b.
2.向量数量积的定义：非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cs θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cs θ，规定：零向量与任一向量的数量积等于0.
3.投影向量：在平面内任取一点O，作eq \(OM,\s\up6(→))＝a，eq \(ON,\s\up6(→))＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则eq \(OM1,\s\up6(→))就是向量a在向量b上的投影向量.
设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则eq \(OM1,\s\up6(→))与e，a，θ之间的关系为eq \(OM1,\s\up6(→))＝|a|cs θ e.
4.数量积的性质：设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则
(1)a·e＝e·a＝|a|·cs θ.
(2)a⊥b⇔a·b＝0.
(3)当a∥b时，a·b＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|a||b|，a与b同向，,－|a||b|，a与b反向.))
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a).
(4)|a·b|≤|a||b|.
5数量积的运算律：
1.a·b＝b·a(交换律). 2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律). 3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
【例4-1】（1）已知，，与的夹角为60°，则________.
（2）已知是边长为6的正三角形，求=____________
（3）边长为2的菱形中，，、分别为，的中点，则
【变式4-1】已知|a|＝4，|b|＝7，且向量a与b的夹角为120°，求(2a＋3b)·(3a－2b).
【例4-2】（1）已知平面向量，满足，且，则向量与向量的夹角余弦值为（ ）
A．1B．-1C．D．-
（2）若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为( )
A．B．C．D．
【变式4-2】已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，求a与b的夹角.
【例4-3】（1）已知向量，，且与的夹角为，则在方向上的投影为（ ）
A．B．C．D．
（2）已知，为单位向量，，则在上的投影为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-3】已知向量的夹角为，且，则向量在向量方向上的投影为（ ）．
A．1B．2C．3D．4
【例4-4】已知，，且向量与的夹角为，则（ ）
A．B．3C．D．
【变式4-4】已知，，则的最大值等于
课后练习
1．已知等边的边长为2，若，，则等于（ ）
A．B．C．2D．
2．在中，为线段的中点，，，则（ ）
A．B．C．3D．4
3．已知平面向，满足，且，与夹角余弦值的最小值等于_________.
4．已知向量满足.
（1）求在上的投影；
（2）求与-2夹角的余弦值.
5.已知，，，则向量在向量方向的投影（ ）
A．1B．C．3D．
6．在△ABC中，0，点P为BC的中点，且||＝||，则向量在向量上的投影为（ ）
A．B．-C．﹣D．
7．已知为单位向量，且满足，与的夹角为，则实数_______________.
8．已知向量，满足，在上的投影（正射影的数量）为-2，则的最小值为
9．设非零向量与的夹角是，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
10．已知平面向量、满足，则的最大值为________．
6.2.2 平面向量的数量积
【知识一】向量的数量积
1.两向量的夹角与垂直：（1）夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示).
当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向.
（2）垂直：如果a与b的夹角是eq \f(π,2)，则称a与b垂直，记作a⊥b.
2.向量数量积的定义：非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cs θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cs θ，规定：零向量与任一向量的数量积等于0.
3.投影向量：在平面内任取一点O，作eq \(OM,\s\up6(→))＝a，eq \(ON,\s\up6(→))＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则eq \(OM1,\s\up6(→))就是向量a在向量b上的投影向量.
设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则eq \(OM1,\s\up6(→))与e，a，θ之间的关系为eq \(OM1,\s\up6(→))＝|a|cs θ e.
4.数量积的性质：设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则
(1)a·e＝e·a＝|a|·cs θ.
(2)a⊥b⇔a·b＝0.
(3)当a∥b时，a·b＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|a||b|，a与b同向，,－|a||b|，a与b反向.))
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a).
(4)|a·b|≤|a||b|.
5数量积的运算律：
1.a·b＝b·a(交换律). 2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律). 3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
【例4-1】（1）已知，，与的夹角为60°，则________.
（2）已知是边长为6的正三角形，求=____________
（3）边长为2的菱形中，，、分别为，的中点，则
【答案】（1）10（2）（3）
【解析】（1）.故答案为：10.
（2）
如图是边长为的正三角形，所以，，
所以，故答案为：
（3）由题意画出示意图，如图，
则
.
【变式4-1】已知|a|＝4，|b|＝7，且向量a与b的夹角为120°，求(2a＋3b)·(3a－2b).
【答案】(2a＋3b)·(3a－2b)＝6a2－4a·b＋9b·a－6b2
＝6|a|2＋5a·b－6|b|2
＝6×42＋5×4×7·cs 120°－6×72
＝－268.
【例4-2】（1）已知平面向量，满足，且，则向量与向量的夹角余弦值为（ ）
A．1B．-1C．D．-
（2）若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为( )
A．B．C．D．
【答案】（1）C（2）D
【解析】（1）平面向量，满足，且，
，解得.故选：C
（2）∵非零向量，满足，
∴平方得，即 ，
则，由，
平方得得，即则，
则向量与的夹角的余弦值 ， ，
故选D.
【变式4-2】已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，求a与b的夹角.
【解析】∵(a＋2b)·(a－b)＝|a|2－2|b|2＋a·b＝－2.
|a|＝|b|＝2，∴a·b＝2，
设a与b的夹角为θ，∴cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(1,2)，
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝eq \f(π,3).
【例4-3】（1）已知向量，，且与的夹角为，则在方向上的投影为（ ）
A．B．C．D．
（2）已知，为单位向量，，则在上的投影为（ ）
A．B．C．D．
【答案】（1）B（2）C
【解析】（1）因为向量，，且与的夹角为所以，
故选：B
（2）因为，为单位向量，所以，
又，所以
所以，即，
所以，则，，
所以在上的投影为.故选：C.
【变式4-3】已知向量的夹角为，且，则向量在向量方向上的投影为（ ）．
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】由题意，，
所以向量在向量方向上的投影为.故选：A.
【例4-4】已知，，且向量与的夹角为，则（ ）
A．B．3C．D．
【答案】A
【解析】因为，，与的夹角为，
所以，则.故选：A.
【变式4-4】已知，，则的最大值等于
【答案】
【解析】因为，，所以，
当且仅当，即时取等号，
课后练习
1．已知等边的边长为2，若，，则等于（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【解析】等边△ABC的边长为2，，，
∴，，
∴，
，．故选：D．
2．在中，为线段的中点，，，则（ ）
A．B．C．3D．4
【答案】B
【解析】在中，为线段的中点
，可得，,
.故选：B.
3．已知平面向，满足，且，与夹角余弦值的最小值等于_________.
【答案】
【解析】平面向,满足,则
因为
展开化简可得,
因为,代入化简可得
设与的夹角为
则由上式可得
而
代入上式化简可得
令,设与的夹角为,则由平面向量数量积定义可得
,而
所以
由余弦函数的值域可得,即
将不等式化简可得,解不等式可得
综上可得,即
而由平面向量数量积的运算可知,设与夹角为,
则
当分母越大时,的值越小;当的值越小时,分母的值越大
所以当时, 的值最小
代入可得
所以与夹角余弦值的最小值等于
故答案为:
4．已知向量满足.
（1）求在上的投影；
（2）求与夹角的余弦值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）
，设和的夹角为，
在上的投影为：；
（2）设与夹角为，
.
5.已知，，，则向量在向量方向的投影（ ）
A．1B．C．3D．
【答案】A
【解析】由题意，向量，，，
可得，解得，
所以向量在向量方向的投影.故选：A.
6．在△ABC中，0，点P为BC的中点，且||＝||，则向量在向量上的投影为（ ）
A．B．-C．﹣D．
【答案】D
【解析】根据题意，，又点为中点，故可得，
如下所示：
故三角形为等边三角形，故可得，
不妨设，故可得，
则向量在向量上的投影为.
故选：.
7．已知为单位向量，且满足，与的夹角为，则实数_______________.
【答案】或
【解析】由，可得，则.
由为单位向量，得，则，即，
解得或.
8．已知向量，满足，在上的投影（正射影的数量）为-2，则的最小值为
【答案】8
【解析】因为在上的投影（正射影的数量）为，
所以，
即，而，
所以，
因为
所以，即，故选D.
9．设非零向量与的夹角是，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【解析】对于，和的关系，根据平行四边形法则，如图

，，,
，，
，，
，
，
，
，
化简得
当且仅当时，的最小值为.
故选：B.
10．已知平面向量、满足，则的最大值为________．
【答案】
【解析】，则，
设与的夹角为，则，，
，，可得，
，则，
所以，，
，则，所以，当时，取最大值.
故答案为：.