必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示学案及答案

这是一份必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示学案及答案，共16页。学案主要包含了例1-1，变式1-1，例1-2，变式1-2，例1-3，变式1-3，例2-1，变式2-1等内容，欢迎下载使用。
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
则a·b＝x1x2＋y1y2.
(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝eq \r(x2＋y2).
若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
(2)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
(3)cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)) \r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))).
【例1-1】已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于( )
A.10 B.－10 C.3 D.－3
【变式1-1】(1)向量，则（ ）
A．1B．C．D．6
(2)已知向量，则向量在上的投影为（ ）
A．3B．C．D．
【例1-2】已知平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，求a－2b及其模的大小.
【变式1-2】已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5eq \r(2)，则|b|等于( )
A.eq \r(5) B.eq \r(10) C.5 D.25
【例1-3】已知|a|＝1，b＝(0,2)，且a·b＝1，则向量a与b夹角的大小为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,2)
【变式1-3】已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1).若向量a＋b与a垂直，则m＝________.
【例2-1】若点M是所在平面内的一点，且满足，则与的面积比为（ ）.
A．B．C．D．
（2）已知为正三角形内一点，且满足，若的面积与的面积之比为3，则（ ）
A．B．C．D．
【变式2-1】已知为内一点，且有，则和的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】内有一点，满足，则与的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
【例3-1】已知向量，，若//，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-1】在平面直角坐标系xOy中，已知向量，，，，若，则的值（ ）
A．4B．3C．D．0
【例3-2】已知向量，，.
（1）若，求的值；
（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值.
【变式3-2】向量，且，则的值为（ ）
A．1B．2C．D．3
【变式3-3】已知是锐角，，，且，则为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．30°或60°
课后练习题
1.已知向量，，则（ ）
A．15B．16C．17D．18
2.若则（ ）
A．-5B．5C．-6D．6
3.已知向量，，则向量在向量方向上的投影为（ ）
A．1B．C．D．-1
4．已知向量，，.若与垂直，则向量与的夹角的余弦值是______.
5．已知向量，与向量
（1）当为何值时，；
（2）当为何值时，求向量与向量的夹角；
（3）求的最小值以及取得最小值时向量的坐标．
6.如图，在中，已知，，，D为线段BC中点，E为线段AD中点.
（1）求的值；
（2）求，夹角的余弦值.
7.已知向量,若,则( )
A．1B．C．D．
8.已知向量，，将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到的图象关于原点对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6.3 平面向量的基本定理及坐标表示
【知识一】平面向量数量积的坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
则a·b＝x1x2＋y1y2.
(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝eq \r(x2＋y2).
若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
(2)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
(3)cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)) \r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))).
【例1-1】已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于( )
A.10 B.－10 C.3 D.－3
【答案】B
【解析】a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1,2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10.
【变式1-1】(1)向量，则（ ）
A．1B．C．D．6
【答案】D
【解析】因为所以故选：D
(2)已知向量，则向量在上的投影为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】A
【解析】因为向量，
所以向量在上的投影为故选：A
【例1-2】已知平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，求a－2b及其模的大小.
【解析】∵a＝(3,5)，b＝(－2,1)，
∴a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)，
∴|a－2b|＝eq \r(72＋32)＝eq \r(58).
【变式1-2】已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5eq \r(2)，则|b|等于( )
A.eq \r(5) B.eq \r(10) C.5 D.25
【答案】
C
【解析】∵a＝(2,1)，∴a2＝5，
又|a＋b|＝5eq \r(2)，∴(a＋b)2＝50，
即a2＋2a·b＋b2＝50，
∴5＋2×10＋b2＝50，∴b2＝25，∴|b|＝5.
【例1-3】已知|a|＝1，b＝(0,2)，且a·b＝1，则向量a与b夹角的大小为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,2)
【答案】C
【解析】因为|a|＝1，b＝(0,2)，且a·b＝1，
设a与b的夹角为θ，
则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(1,1×\r(0＋22))＝eq \f(1,2).
又因为θ∈[0，π]，则θ＝eq \f(π,3).
所以向量a与b夹角的大小为eq \f(π,3).
【变式1-3】已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1).若向量a＋b与a垂直，则m＝________.
【答案】 7
【解析】 ∵a＝(－1,2)，b＝(m,1)，
∴a＋b＝(－1＋m,2＋1)＝(m－1,3).
又a＋b与a垂直，∴(a＋b)·a＝0，
即(m－1)×(－1)＋3×2＝0，
解得m＝7.
【例2-1】若点M是所在平面内的一点，且满足，则与的面积比为（ ）.
A．B．C．D．
（2）已知为正三角形内一点，且满足，若的面积与的面积之比为3，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】（1）C（2）A
【解析】（1）如图，由5=+3得
2=2+3-3，即2(-)=3(-)，即2=3，故=，故△ABM与△ABC同底且高的比为3∶5，故S△ABM∶S△ABC=3∶5.所以选C.
（2）分别取、的中点、，连接、，如图，
所以是的中位线，
因为，所以，
所以，所以、、三点共线，
所以，
所以即，所以即.故选：A.
【变式2-1】已知为内一点，且有，则和的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设是的中点，则，
又因为，所以,，，
所以故选：
【变式2-2】内有一点，满足，则与的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意，在内有一点，满足，
由奔驰定理可得，所以，故选A．
【例3-1】已知向量，，若//，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为//，故可得，故可得，
又.故选：
【变式3-1】在平面直角坐标系xOy中，已知向量，，，，若，则的值（ ）
A．4B．3C．D．0
【答案】C
【解析】在平面直角坐标系中，向量，，，，
因为，可得，即，所以.故选：C．
【例3-2】已知向量，，.
（1）若，求的值；
（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值.
【答案】（1）；（2）时，取到最大值2，时，取到最小值.
【解析】（1）因为，所以，于是，
又，所以；
（2）.
因为，所以，从而
于是，当，即时，取到最大值2；
当，即时，取到最小值.
【变式3-2】向量，且，则的值为（ ）
A．1B．2C．D．3
【答案】A
【解析】由题意可得 ，即 ．
∴，故选A．
【变式3-3】已知是锐角，，，且，则为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．30°或60°
【答案】B
【解析】∵，，且，
∴，求得，，由是锐角，所以.故选：B.
课后练习题
1.已知向量，，则（ ）
A．15B．16C．17D．18
【答案】C
【解析】因为向量，，所以，故选：C
2.若则（ ）
A．-5B．5C．-6D．6
【答案】A
【解析】因为，所以.故选：A.
3.已知向量，，则向量在向量方向上的投影为（ ）
A．1B．C．D．-1
【答案】B
【解析】由题意，，，可得，则，
所以，，
所以向量在向量方向上的投影为.故选：B.
4．已知向量，，.若与垂直，则向量与的夹角的余弦值是______.
【答案】
【解析】由已知，，
∵与垂直，∴，∴，
∴以．故答案为：．
5．已知向量，与向量
（1）当为何值时，；
（2）当为何值时，求向量与向量的夹角；
（3）求的最小值以及取得最小值时向量的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）最小值3，．
【解析】（1），，所以时，；
（2）由题意，，所以；
（3）由已知，
所以，所以时，取得最小值3，此时．
6.如图，在中，已知，，，D为线段BC中点，E为线段AD中点.
（1）求的值；
（2）求，夹角的余弦值.
【答案】（1）6；（2）.
【解析】（1）依题意可知为直角三角形，，如图建立坐标系：
则，，，
因为D为BC的中点，故，
∴，，
∴.
（2）由E为线段AD中点可知，
∴，，
∴
.
7.已知向量,若,则( )
A．1B．C．D．
【答案】A
【解析】由，得，整理得，
所以，故选：A.
8.已知向量，，将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到的图象关于原点对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，
将函数的图象向左平移个单位，得到，
该函数的图象关于原点对称，该函数是奇函数，
，，，，又，.故选：D.