数学七年级上册1.2.1 有理数优秀同步训练题

专题1.2  有理数-重难点题型

【人教版】

【知识点1  有理数的概念】

正整数、零和负整数统称整数；正分数和负分数统称分数；整数和分数统称有理数．

【题型1  有理数概念的辨析】

【例1】（2020秋•长乐区校级月考）下列说法错误的是（　　）

A．有理数是指整数、分数、正有理数、零、负有理数这五类数 

B．一个有理数不是整数就是分数 

C．0既不是正数，也不是负数 

D．负整数、负分数统称为负有理数

【分析】利用有理数的分类判断即可．

【解答】解：A、有理数包括整数和分数，可以分为正有理数、零、负有理数，故本选项符合题意；

B、有理数分为整数和分数，正确，故本选项不符合题意；

C、0既不是正数，也不是负数，正确，故本选项不符合题意；

D、负整数、负分数统称为负有理数，正确，故本选项不符合题意．

故选：A．

【点评】此题主要考查了有理数的定义及分类，解题时熟练掌握有理数的定义及不同的分类标准即可解决问题．

【变式1-1】（2020秋•襄汾县期中）下列说法中正确的个数有（　　）

①﹣4.2是负分数；②3.7不是整数；③非负有理数不包括零；④正有理数、负有理数统称为有理数；⑤0是最小的有理数

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】结合有理数的分类分析即可．

【解答】解：①﹣4.2是负分数是正确的；

②3.7不是整数是正确的；

③非负有理数包括零，原来的说法错误；

④正有理数、0、负有理数统称为有理数，原来的说法错误；

⑤没有最小的有理数，原来的说法错误．

故说法中正确的个数有2个．

故选：B．

【点评】本题考查了有理数，涉及的知识点：非负有理数包括正有理数和0；整数包括正整数、负整数和0；没有最小的有理数．此题是基础知识题，需要熟练掌握．

【变式1-2】（2020秋•天津期末）下列说法正确的有（　　）

①正有理数是正整数和正分数的统称；②整数是正整数和负整数的统称；③有理数是正整数、负整数、正分数、负分数的统称；④0是偶数，但不是自然数；⑤偶数包括正偶数、负偶数和零．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】按照有理数的分类对各项进行逐一分析即可．

【解答】解：①正有理数是正整数和正分数的统称是正确的；

②整数是正整数、0和负整数的统称，原来的说法是错误的；

③有理数是正整数、0、负整数、正分数、负分数的统称，原来的说法是错误的；

④0是偶数，也是自然数，原来的说法是错误的；

⑤偶数包括正偶数、负偶数和零是正确的．

故说法正确的有2个．

故选：B．

【点评】考查了有理数，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．

【变式1-3】（2020秋•东至县期末）下列说法中：

①0是最小的整数；

②有理数不是正数就是负数；

③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；

④非负数就是正数；

⑤不仅是有理数，而且是分数；

⑥是无限不循环小数，所以不是有理数；

⑦无限小数不都是有理数；

⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．

其中错误的说法的个数为（　　）

A．7个 B．6个 C．5个 D．4个

【分析】有理数的分类：有理数，依此即可作出判断．

【解答】解：①没有最小的整数，故错误；

②有理数包括正数、0和负数，故错误；

③正整数、负整数、0、正分数、负分数统称为有理数，故错误；

④非负数就是正数和0，故错误；

⑤是无理数，故错误；

⑥是无限循环小数，所以是有理数，故错误；

⑦无限小数不都是有理数是正确的；

⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数是正确的．

故其中错误的说法的个数为6个．

故选：B．

【点评】本题考查了有理数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点是解题的关键．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．

【知识点2  有理数的分类】

①按整数和分数的关系分类；②按正有理数、零和负有理数的关系分类．

【题型2  有理数的分类】

【例2】（2020秋•郫都区校级月考）把下列各数的序号填到相应的括号中：

①﹣0.；②3.1415；③﹣10；④0.28；⑤；⑥18；⑦0；⑧﹣2.3；⑨．

（1）整数集合：{　③⑥⑦⑨　…}；

（2）负数集合：{　①③⑤⑧　…}；

（3）非正数集合：{　①③⑤⑦⑧　…}；

（4）分数集合：{　①②④⑤⑧　…}；

（5）非负整数集合：{　⑥⑦⑨　…}．

【分析】根据正数、负数、整数及分数的定义，结合所给数据进行解答即可．

【解答】解：（1）整数集合：{﹣10；18；0，}；

（2）负数集合：{﹣0.；﹣10；；﹣2.3…}；

（3）非正数集合：{﹣0.；﹣10；；0；﹣2.3…}；

（4）分数集合：{﹣0.；3.1415；0.28；；﹣2.3…}；

（5）非负整数集合：{18；0，}．

故答案为：（1）③⑥⑦⑨；

（2）①③⑤⑧；

（3）①③⑤⑦⑧；

（4）①②④⑤⑧；

（5）⑥⑦⑨．

【点评】本题考查了有理数的知识，关键是掌握正数、负数、整数及分数的定义，属于基础题，比较简单．

【变式2-1】（2020秋•合川区月考）将下列各数填在相应的集合内．

5，，﹣3，，0，2010，﹣35，6.2，﹣1．

正数集合{　5，，2010，6.2　…}；

负数集合{　﹣3，，﹣35，﹣1　…}；

自然数集合{　5，0，2010　…}；

整数集合{　5，﹣3，0，2010，﹣35，﹣1　…}；

分数集合{　，，6.2　…}；

负分数集合{　　…}；

非负数集合{　5，，0，2010，6.2　…}；

非正整数集合{　﹣3，0，﹣35，﹣1　…}；

【分析】根据正数、负数、自然数、整数、分数、负分数、非负数、非正整数的定义进行判断即可．

【解答】解：正数集合{5，，2010，6.2…}；

负数集合{﹣3，，﹣35，﹣1…}；

自然数集合{5，0，2010…}；

整数集合{5，﹣3，0，2010，﹣35，﹣1…}；

分数集合{，，6.2…}；

负分数集合{}；

非负数集合{5，，0，2010，6.2…}；

非正整数集合{﹣3，0，﹣35，﹣1…}．

故答案为：5，，2010，6.2；﹣3，，﹣35，﹣1；5，0，2010；5，﹣3，0，2010，﹣35，﹣1；，，6.2；；5，，0，2010，6.2；﹣3，0，﹣35，﹣1．

【点评】本题主要考查了有理数的分类，解题时注意：整数和分数统称为有理数；整数包括正整数、0、负整数；分数包括正分数、负分数．

【变式2-2】（2020秋•官渡区校级月考）将有理数﹣1，0，20，﹣1.25，1，﹣12，5分类．

【分析】按照有理数的分类解答即可．

【解答】解：如图所示：

【点评】本题考查了有理数，熟记正数、负数、整数、分数的定义是解答本题的关键．

【变式2-3】（2020秋•袁州区校级期中）把下列各数分类，并填在表示相应集合的大括号内：

﹣11，，﹣9，0，+12，﹣6.4，﹣π，﹣4%．

（1）整数集合：{　﹣11，﹣9，0，+12　…}；

（2）分数集合：{　，﹣6.4，﹣4%　…}；

（3）非负整数集合：{　0，+12　…}；

（4）负有理数集合：{　﹣11，，﹣9，﹣6.4，﹣4%　…}．

【分析】根据有理数的分类解答即可．

【解答】解：（1）整数集合：{﹣11，﹣9，0，+12…}；

（2）分数集合：{，﹣6.4，﹣4%…}；

（3）非负整数集合：{0，+12…}；

（4）负有理数集合：{﹣11，，﹣9，﹣6.4，﹣4%…}．

故答案为：（1）﹣11，﹣9，0，+12；

（2），﹣6.4，﹣4%；

（3）0，+12；

（4）﹣11，，﹣9，﹣6.4，﹣4%．

【点评】本题考查有理数的分类，记住有理数的两种分类方法是解决问题的关键．

【知识点3  分数化成有限小数】

首先把每个分数化成最简分数，如果分母中除了2与5以外，不含有其它的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2与5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数.

【题型3  分数化成有限小数】

【例3】（2020秋•浦东新区期末）在下列分数中，不能化成有限小数的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】首先把每个分数化成最简分数，如果分母中除了2与5以外，不含有其它的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2与5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数，据此解答即可．

【解答】解：A、的分母中只含有质因数2，所以能化成有限小数，故本选项不合题意；

B、，分母中只含有质因数2，所以能化成有限小数，故本选项不合题意；

C、的分母中含有质因数3和2，所以不能化成有限小数，故本选项符合题意；

D、的分母中只含有质因数5，所以能化成有限小数，故本选项不合题意．

故选：C．

【点评】此题主要考查了有理数，小数与分数的互化，解答此题的关键是熟练掌握小数与分数的互化．

【变式3-1】（2020秋•上海期末）在分数，，，，中，可化为有限小数的有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【分析】首先，要看分数是否是最简分数，不是的，先把分数化成最简分数，再根据一个最简分数，如果分母中除了2与5以外，不再含有其它的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2与5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数．据此逐项分析后再选择．

【解答】解：的分母中只含有质因数2，能化成有限小数，

的分母中只含有质因数2，能化成有限小数，

的分母中含有质因数3，不能化成有限小数，

的分母中只含有质因数2，能化成有限小数，

的分母中只含有质因数2与5，能化成有限小数．

故选：C．

【点评】此题主要考查有理数中什么样的分数可以化成有限小数，根据一个最简分数，如果分母中除了2与5以外，不再含有其它的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2与5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数．

【变式3-2】（2020秋•松江区期中）分数，，，中，能化成有限小数的有几个？（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

【分析】先把分数化成最简分数，再根据一个最简分数，如果分母中除了2与5以外，不再含有其它的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2与5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数．

【解答】解：是最简分数，分母中只含有质因数2，能化成有限小数；

是最简分数，分母中含有质因数17，不能化成有限小数；

是最简分数，分母中含有质因数3，不能化成有限小数；

是最简分数，分母中含有质因数19，不能化成有限小数；

所以能化成有限小数的有1个．

故选：B．

【点评】本题考查了有理数，分数可以化成有限小数：必须是最简分数，分母中只含有质因数2或5．

【变式3-3】（2020秋•杨浦区校级期中）下列分数、、、、、、中，能化成有限小数的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】先把分数化成最简分数，再根据一个最简分数，如果分母中除了2与5以外，不再含有其它的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2与5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数；据此逐项分析后选择．

【解答】解：，是最简分数，分母中含有质因数3，不能化成有限小数；

是最简分数，分母中含有质因数3，不能化成有限小数；

是最简分数，分母中只含有质因数2和5，能化成有限小数；

，是最简分数，分母中只含有质因数2，能化成有限小数；

，是最简分数，分母中只含有质因数5，能化成有限小数；

，是最简分数，分母中只含有质因数5，能化成有限小数；

，是最简分数，分母中含有质因数11，不能化成有限小数．

所以能化成有限小数的有4个．

故选：D．

【点评】本题考查了有理数，分数可以化成有限小数：必须是最简分数，分母中只含有质因数2或5．

【题型4  有理数中的新定义集合】

【例4】（2020秋•硚口区期中）把几个不同的数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2}；{1，4，7}；…我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素．规定：当整数x是集合的一个元素时，100﹣x也必是这个集合的元素，这样的集合又称为黄金集合，例如{﹣1，101}就是一个黄金集合．若一个黄金集合所有元素之和为整数m，且1180＜m＜1260，则该黄金集的元素的个数是（　　）

A．23 B．24 C．24或25 D．26

【分析】由黄金集合的定义，可知一个整数是x，则必有另一个整数是100﹣x，则这两个整数的和为x+100﹣x＝100，只需判断1180＜m＜1260内100的个数即可求解．

【解答】解：在黄金集合中一个整数是x，则必有另一个整数是100﹣x，

∴两个整数的和为x+100﹣x＝100，

由题意可知，1180＜m＜1260时，

100×12＝1200，100×13＝1300，1250+50=1250＜1260，且100﹣50＝50，

∴这个黄金集合的个数是24或25个；

故选C．

【点评】本题考查有理数，新定义；理解题意，通过两个对应元素和的特点，结合m的取值范围，进而确定元素个数是解题关键．

【变式4-1】（2020秋•滨江区期末）把几个数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2}，{1，4，7，…}，…，我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素，如果一个所有元素均为有理数的集合满足：当有理数x是集合的一个元素时，2018﹣x也必是这个集合的元素，这样的集合我们又称为对称集合，例如{2，2016}就是一个对称集合，若一个对称集合所有元素之和为整数M，且23117＜M＜23897，则该集合总共的元素个数是（　　）

A．22 B．23 C．24 D．25

【分析】根据题意可知对称集合都是成对出现的，并且这对对应元素的和为2018，然后通过估算即可解答本题．

【解答】解：∵在对称集合中，如果一个元素为a，则另一个元素为2018﹣a，

∴对称集合中的每一对对应元素的和为：a+2018﹣a＝2018，2018×11＝22198，2018×11.5＝23207，2018×12＝24216，

又∵一个对称集合所有元素之和为整数M，且23117＜M＜23897，

∴该集合总共的元素个数是11.5×2＝23．

故选：B．

【点评】本题考查有理数、是探究性问题，关键是明确什么是对称集合，集合中的各个数都是元素，明确对称集合中的元素个数，在此还要应用到估算的知识．

【变式4-2】（2020秋•江阴市期中）把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：{1，2，﹣3}，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：当有理数a是集合的元素时，有理数﹣a+10也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为和谐的集合．例如集合{10，0}就是一个和谐集合．

（1）请你判断集合{1，2}，{﹣2，1，5，9，12}是不是和谐集合？

（2）请你再写出两个和谐的集合（至少有一个集合含有三个元素）．

（3）写出所有和谐的集合中，元素个数最少的集合．

【分析】（1）根据和谐集合的定义，只要判断两数相加是否等于10即可．

（2）根据和谐集合的定义，即可写出两个和谐的集合（至少有一个集合含有三个元素）．

（3）根据和谐集合的定义，确定元素个数最少的集合．

【解答】解：（1）若a＝1，则﹣a+10＝9不在集合{1，2}内，∴{1，2}不是和谐集合．

∵-2+12＝10，1+9＝10，5+5＝10，∴{﹣2，1，5，9，12}是和谐集合．

（2）根据和谐集合的定义可知a+10﹣a＝10，只要集合中两个数之和为10即可，∵1+9＝2+8＝3+7＝4+6，

∴{2，5，8}和{1，9，2，8，3，7}是和谐集合．

（3）∵5+5＝10，

∴要使素个数最少，则集合{5}，满足条件．

【点评】本题主要考查新定义，利用和谐集合的定义，只要确定集合元素之和等于10即可．

【变式4-3】（2020秋•山西月考改编）阅读下面文字，根据所给信息解答下面问题：把几个数用大括号括起来，中间用逗号隔开，如：{3，4}，{﹣3，6，8，18}，其中大括号内的数称其为集合的元素，如果一个集合满足：只要其中有一个元素a，使得a+12也是这个集合的元素，这样的集合就称为对偶集合．

例如：{13，1}，因为1+12＝13，13恰好是这个集合的元素，所以{13，1}是对偶集合，例如：{12，3，0}，因为12+0＝12，12恰好是这个集合的元素，所以{12，3，0}是对偶集合．在对偶集合中，若所有元素的和为0，则称这个集合为完美对偶集合，例如：{﹣2，0，2}，因为﹣2+2＝0，0恰好是这个集合的元素，所以{﹣2，0，2}是对偶集合，又因为﹣2+0+2＝0，所以这个集合是完美对偶集合．

（1）集合{﹣4，8}　  　（填“是”或“不是”）对偶集合．

（2）集合是否是完美对偶集合？请说明理由.

【分析】（1）依据一个集合满足：如果一个集合满足：只要其中有一个元素a，使得a+2也是这个集合的元素，这样的集合就称为对偶集合，即可得到结论；

（2）根据在对偶集合中，若所有元素的和为0，则称这个集合为完美对偶集合，即可得到结论；

【解答】解：（1）因为﹣4+12＝8，

所以集合{﹣4，8}是对偶集合，

故答案为：是；

（2）不是；

理由如下：

因为，

所以是对偶集合，

又因为，

所以不是完美对偶集合；

【点评】本题主要考查了有理数，解决问题的关键是依据条件集合的定义进行计算．