沪教版 (五四制)八年级上册19．8 直角三角形的性质教学设计

含30°角的直角三角形的性质

【教学目标】

1.知识与技能：

使学生理解含30°角的直角三角形的性质。

2. 过程与方法：

（1）通过探究含30°角的直角三角形的性质，使学生进一步认识到数学来源于生活实践。

（2）体验用操作、归纳得出数学结论的过程。

 （3）会用这一性质解决相关数学问题。

 3.情感、态度与价值观：

 （1）通过拼等边三角形这一探究活动，培养学生的合作交流、乐于探究、大胆猜想等良好品质。

 （2）使学生经历观察、探究、归纳、推理和证明的全过程，培养学生科学、严谨、求真的学习态度。

 【教学重点：】

 理解含30°角的直角三角形的性质及应用。

 【教学难点：】

 含30°角的直角三角形性质的探究。

 【教学过程】

 活动一：旧知准备

 问题：

 已知△ABC，∠A=60°，（          ）。请你在括号内补充一个条件，使△ABC能成为等边三角形。

 学生活动：

 学生补充条件并说明。

 教师活动：

 教师找学生补充条件，根据学生的叙述板书。

 设计意图：

此题的设计意图是通过问题形式回顾旧知，促使学生经常温故知新，同时为新课应用判定做铺垫。传统的回顾旧知，一般是直接找学生背诵等边三角形的判定，容易产生误导：学习就是背诵定理、性质。最终会造成学生会背性质、定理，却不能应用解决实际问题。著名数学家哈墨斯曾经说过：“问题是数学的心脏！”这里通过一个半开放性的问题，可以使不同的学生想到不同的条件，如：∠B=60°（或∠C=60°）、AB=BC、AC=BC、AB=BC=AC等多种答案，对等边三角形的判定有一个深入的理解，而非机械记忆定理、性质所能解决的。同时不同层次的学生也会在不同层面上体验到成功。充分培养学生的创新精神和发散思维，使学生遇到问题学会思考，避免对性质、定理的学习停留在简单的对字面意思的理解上，有效克服学生的简单机械记忆。

 活动二：探究直角三角形的性质

 １.拼一拼：

 你能用两个含有30°角的三角板摆放在一起构成一个等边三角形吗？你能借助这个图形，找到30°角所对的直角边与斜边之间的数量关系吗？组内交流自己的想法。（如图1）

图（1）

学生活动：

 学生两人一组拼并观察图形，分析数量关系，发现∠BAD＝60°, 而∠B＝∠D＝60°，所以△ABD是等边三角形，所以AB=BD＝2BC，进而得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

 教师活动：

 教师巡视观察、倾听各组学生是否发现并理解直角三角形的性质，根据情况进行点拨、引导。

 设计意图：

 通过让学生动手拼等边三角形这一活动，培养学生动手实践探究的意识，同时使这一抽象的性质直观化，符合学生的认知特点，更易于学生理解接受。学生发现这一性质后会非常兴奋，会急于展示自己，通过组内交流为他们提供展示的舞台，让他们尽情享受成功的体验和快乐，进而激发学生的学习兴趣、探求欲望，也充分利用了“优秀学生”这一资源，充分发挥兵教兵的作用，落实学生的主体地位，使不同学生得到不同程度的发展。下一环节证明性质要作辅助线，这是本节中的一个难点，常规方式是教师直接给出辅助线，这样不利于学生自主独立思考。通过这种直观的方式，使学生充分认识到等边三角形是轴对称图形，使学生在证明性质时会想到在一个三角形的基础上再做一个三角形进行证明，从而为作辅助线做了铺垫，分解了教学难点。

 2.说一说：

 你能利用数学语言说一说你的发现吗？

   　　　　　　　　　　　　　　 图（2）

学生活动：

 学生根据图形指出，在Rt△ABC中，因为∠A=30°，所以∠A所对的直角边等于斜边AB的一半。

 教师活动：

 教师根据学生叙述进行板书，根据学生叙述情况进行追问、强调。发挥教师的主导作用。

 设计意图：本环节设计一方面是让学生利用数学语言来说明该性质，培养学生的符号感；另一方面让学生通过图形来深入理解所发现的规律，而不是停留在字面意义上，从而达到理解记忆，使学生见其形，知其意，人教社数学室李海东研究员曾说“‘理解数学’是教好数学的前提”，我们可以说“‘理解数学’是学好数学的前提”。第三方面， 发展学生的逻辑推理能力。

 3.证一证：

 师生活动：

 教师通过追问“这条性质一定是真命题吗？你能验证吗？”引发学生思考，根据图形，自主尝试证明这条性质的正确性。教师巡视指导，观察学生的证明方法，根据学生是否有不同证明方法找学生展示讲解，师生质疑。

 设计意图：

 通过教师的追问激起学生的验证欲望，使学生经历“操作、观察、猜想、验证”的数学活动，教给学生学习数学、探究数学的方法，使学生知道怎样学习数学，学会学习。通过展示质疑，使学生深入理解性质，为书写证明过程做出示范，发展学生推理证明能力。

 活动三：变式练习 深化性质

 1.已知如图（3），在Rt△ABC中，因为∠A=30°，则下列结论正确的为：　　　　

A、    B、    C、

  　　     图（3）    　　　　　　   图（4）

 2.已知如图（4），△ABC，∠C=90°，∠A=30°，DE⊥AC于点E，FG⊥AB于点G，请你根据直角三角形的性质写出不同线段间的数量关系。

 学生活动：

 学生独立自主完成练习，小组展示，师生质疑矫正。

 教师活动：

教师重点关注学生能否找准30°角所对的直角边，能否根据性质写出线段间的关系。

 设计意图：

 通过这一环节的设计，发展学生的识图能力，能在复杂的图形去伪存真，抓住本质，真正理解性质、掌握性质、直至能够应用性质。到这里，大部分学生即使不能准确叙述性质，但也都能应用了，从而解决了教学难点。

 活动四、应用提高、拓展创新

 1.如图（5）是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4 m，∠A=30°，立柱BC、DE需要多长？

图（5）　　　　　　　图（6）

2.已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°．求证：BD=AB．

 师生活动：

  学生根据所学知识自行探索，教师引导学生在探索的过程中发现解决问题的关键：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半．

〔解答〕略．

 设计意图：

目的在于想让学生抽象出隐含在实际问题中的数学问题，体现具体——抽象——具体的过程，感受“数学来源于实践，而又反过来服务于实践”，提高学生学习数学的兴趣，培养学生的创新意识和解决问题的能力。

 活动五、归纳小结、布置作业

 小结：

 本节课你学到了什么？你认为最重要的是什么？

 作业：

 必做题：

1.已知：如图，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高．

2.如图，已知△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=20cm，求BC长。

选做题：

已知：如图，在Rt△ABC中，因为∠A=30°，点D是斜边AB上的中点，连接CD，你能证明BC等于AB的一半吗？说明你的理由。

　　　　　　　　　　　　　　　　图（4）

设计意图：

 让学生参与小结，培养他们对所学知识的回顾思考习惯，通过小结也强调了本节课的重点，巩固所学知识。

 通过必做题巩固本节知识。通过选做题让有能力的学生尝试用多种方法证明直角三角形性质，发展学生的发散思维、求异思维，鼓励学生寻找解决问题的不同方法。

板书设计：

 13.3第3课时  直角三角形的性质

30°角所对的直角边等于斜边一半。