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2021全国中考数学真题分类汇编--圆 与圆有关的计算
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这是一份2021全国中考数学真题分类汇编--圆 与圆有关的计算，共64页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021全国中考真题分类汇编（圆）
----与圆有关的计算
一、选择题
1. （2021•山西）如图，正六边形 ABCDEF 的边长为 2，以 A 为圆心，AC 的长
为半径画弧，得，连接 AC、AE，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. p B. p C. D.
2. （2021•河北省）如图，等腰△AOB中，顶角∠AOB＝40°，用尺规按①到④的步骤操作：
①以O为圆心，OA为半径画圆；
②在⊙O上任取一点P（不与点A，B重合），连接AP；
③作AB的垂直平分线与⊙O交于M，N；
④作AP的垂直平分线与⊙O交于E，F．
结论Ⅰ：顺次连接M，E，N，F四点必能得到矩形；
结论Ⅱ：⊙O上只有唯一的点P，使得S扇形FOM＝S扇形AOB．
对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对
3. （2021•四川省成都市）如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4π B．6π C．8π D．12π
4．（2021•湖北省荆州市）如图，在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2，以B为圆心、BC长为半径画，点P为菱形内一点，连接PA，PB，PC．当△BPC为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．2π D．
5.（2021•四川省广元市）如图，在边长为2的正方形中，是以为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. 1 D.
6.（2021•四川省广元市）如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥．那么这个圆锥的底面圆的半径是（ ）
A. B. C. D. 1
7. （2021•浙江省衢州卷） 已知扇形的半径为6，圆心角为．则它的面积是（ ）
A. B. C. D.
8. （2021•遂宁市） 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，若⊙O的半径为，∠CDF=15°， 则阴影部分的面积为（ ）
A. B.
C. D.
9. (2021•四川省自贡市)如图，直线与坐标轴交于A、B两点，点P是线段AB上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线于点Q，绕点O顺时针旋转45°，边PQ扫过区域（阴影部份）面积的最大值是（ ）
A. B. C. D.
10. （2021•青海省）如图，一根5m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动）那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（ ）
A．πm2 B．πm2 C．πm2 D．πm2
11. （2021•浙江省湖州市）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，点P是AD边上的一个动点，连结BP，点C关于直线BP的对称点为C1，当点P运动时，点C1也随之运动．若点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域的面积是（ ）
A． B． C． D．
12. （2021•湖南省张家界市）如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，设正方形的面积为，黑色部分面积为，则：的比值为（ ）
13. （2021•云南省）如图，等边△ABC的三个顶点都在⊙O上，AD是⊙O的直径．若0A＝3，则劣弧BD的长是（ ）
A． B．π C． D．2π
14. （2021•广西贺州市）如图，在边长为2的等边中，是边上的中点，以点为圆心，为半径作圆与，分别交于，两点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
15. （2021•湖北省江汉油田）用半径为，圆心角为的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为（ ）
A. B. C. D.
16. （2021•呼和浩特市）如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边形的外接圆直径d，根据我国魏晋时期数学家刘的“割圆术”思想，如果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计的值，下面d及的值都正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
17. (2021•内蒙古包头市)如图，在中，，，，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点C，以点B为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B.
C. D.
二．填空题
1. ．（2021•湖南省衡阳市）底面半径为3，母线长为4的圆锥的侧面积为 ．（结果保留π）
2. （2021•怀化市）如图，在⊙O中，OA＝3，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留π）
3. （2021•宿迁市）已知圆锥的底面圆半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为120°，则它的侧面展开图面积为_____________．
4. （2021•山东省聊城市）用一块弧长16πcm的扇形铁片，做一个高为6cm的圆锥形工件侧面（接缝忽略不计），那么这个扇形铁片的面积为_______cm2
5. （2021•山东省泰安市）若△ABC为直角三角形，AC＝BC＝4，以BC为直径画半圆如图所示，则阴影部分的面积为 ．
6. （2021•湖北省宜昌市）“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以边长为2厘米的等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”，该“莱洛三角形”的面积为 平方厘米．（圆周率用π表示）
7. （2021•广东省）如题图，等腰直角三角形中，，．分别以点B、点C为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交、、于点D、E、F，则图中阴影部分的面积为_________．
8. （2021•湖北省恩施州）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，问圆形木材的直径是多少？（1尺＝10寸）
答：圆材直径 寸．
9. （2021•浙江省宁波市） 抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，分别与相切于点C，D，延长交于点P．若，的半径为，则图中的长为________．（结果保留）
10. （2021•浙江省台州）如图，将线段AB绕点A顺时针旋转30°，得到线段AC．若AB＝12，则点B经过的路径长度为_____．（结果保留π）
11. 2021•浙江省温州市）若扇形的圆心角为30°，半径为17，则扇形的弧长为 ．
12. （2021•湖北省荆门市）如图，正方形ABCD的边长为2，分别以B，C为圆心，以正方形的边长为半径的圆相交于点P，那么图中阴影部分的面积为 ．
13. （2021•江苏省盐城市）设圆锥的底面半径为2，母线长为3，该圆锥的侧面积为 ．
14. （2021•重庆市A）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点A，C为圆心，AO长为半径画弧，分别交AB，CD于点E，F．若BD＝4，∠CAB＝36°，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留π）．
15. （2021•重庆市B）如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝12，BD＝16，分别以点A，B，C，D为圆心，AB的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
16.（2021•湖北省十堰市）如图，在边长为4的正方形中，以为直径的半圆交对角线于点E，以C为圆心、长为半径画弧交于点F，则图中阴影部分的面积是_________．
17. （2021•湖南省永州市）某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为60π，底面半径为6的圆锥模型（如图所示），则此圆锥的母线长为 ．
18.（2021•黑龙江省大庆市）一个圆柱形橡皮泥，底面积是12cm2．高是5cm．如果这个橡皮泥的一半，把它捏成高为5cm的圆锥，则这个圆锥的底面积是 cm2；
19.（2021•黑龙江省大庆市） 如图，作⊙O的任意一条直经FC，分别以F、C为圆心，以FO的长为半径作弧，与⊙O相交于点E、A和D、B，顺次连接AB、BC、CD、DE、EF、FA，得到六边形ABCDEF，则⊙O的面积与阴影区域的面积的比值为 ；
20. （2021•吉林省长春市）如图是圆弧形状的铁轨示意图，半径OA的长度为200米，圆心角，则这段铁轨的长度 米，（铁轨的宽度忽略不计，结果保留π）
21. （2021•绥化市）一条弧所对的圆心角为135°弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为__________cm．
22. （2021•江苏省无锡市）用半径为50，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ．
23. （2021•山东省济宁市）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，点O为BC的中点，以O为圆心，以OB为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是 ．
24.（2021•呼和浩特市）已知圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为__________．（用含π的代数式表示），圆心角为__________度．
25. （2021•齐齐哈尔市）一个圆锥的底面圆半径为6cm，圆锥侧面展开图扇形的圆心角为240°，则圆锥的母线长为_____cm．
26. （2021•内蒙古通辽市）如图，AB是⊙O的弦，AB＝2，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝60°，若点M，N分别是AB，BC的中点，则图中阴影部分面积的最大值是 ．
27. （2021•黑龙江省龙东地区）若一个圆锥的底面半径为1cm，它的侧面展开图的圆心角为，则这个圆锥的母线长为____ cm．
28. （2021•绥化市）边长为的正六边形，它的外接圆与内切圆半径的比值是_______．
三、解答题
1. （2021•湖北省黄冈市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC分别相切于点E，F，BO平分∠ABC
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BE＝AC＝3，⊙O的半径是1，求图中阴影部分的面积．
2. （2021•湖南省邵阳市）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1：2．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC．将扇形AEF围成圆锥时，AE，AF恰好重合．
（1）求这种加工材料的顶角∠BAC的大小．
（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留π）
3. （2021•江西省）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，点C作CE⊥AB于点E，连接AC．
（1）求证：∠CAD＝∠ECB；
（2）若CE是⊙O的切线，∠CAD＝30°，连接OC，如图2．
①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；
②当AB＝2时，求AD，AC与围成阴影部分的面积．
4. （2021•湖北省随州市）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷．
（1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为_____，其内切圆的半径长为______；
（2）①如图1，是边长为的正内任意一点，点为的中心，设点到各边距离分别为，，，连接，，，由等面积法，易知，可得_____；（结果用含的式子表示）
②如图2，是边长为的正五边形内任意一点，设点到五边形各边距离分别为，，，，，参照①的探索过程，试用含的式子表示的值．（参考数据：，）
（3）①如图3，已知的半径为2，点为外一点，，切于点，弦，连接，则图中阴影部分的面积为______；（结果保留）
②如图4，现有六边形花坛，由于修路等原因需将花坛进行改造．若要将花坛形状改造成五边形，其中点在的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点的位置，并说明理由．
5. （2021•襄阳市） 如图，直线经过上的点，直线与交于点和点，与交于点，与交于点，，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分面积．
6. （2021•贵州省贵阳市）如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，点E是的中点，过点E作AB的垂线，交AB于点M，交⊙O于点N，分别连接EB，CN．
（1）EM与BE的数量关系是 BE＝EM ；
（2）求证：＝；
（3）若AM＝，MB＝1，求阴影部分图形的面积．
7. （2021•湖北省黄石市）如图，、是的切线，、是切点，是的直径，连接，交于点，交于点．
（1）求证：；
（2）若恰好是的中点，且四边形的面积是，求阴影部分的面积；
（3）若，且，求切线的长．
8. （2021•四川省达州市）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点（C不与点A，B重合），BC，过点C作CD⊥AB，点D落在点E处得△ACE，AE交⊙O于点F．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝15°，OA＝2，求阴影部分面积．
9. （2021•湖南省张家界市）如图，在中，=90°，=30°，以点为圆心，为半径的圆交的延长线于点，过点作的平行线，交⊙于点，连接.
（1）求证：为⊙的切线；
（2）若=2，求弧的长.
10. （2021•江苏省扬州）如图，四边形中，，，，连接，以点B为圆心，长为半径作，交于点E．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
11. （2021•河北省）如图，⊙O的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为An（n为1～12的整数），过点A7作⊙O的切线交A1A11延长线于点P．
（1）通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长；
（2）连接A7A11，则A7A11和PA1有什么特殊位置关系？请简要说明理由；
（3）求切线长PA7的值．
答案
一、选择题
1. （2021•山西）如图，正六边形 ABCDEF 的边长为 2，以 A 为圆心，AC 的长
为半径画弧，得，连接 AC、AE，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. p B. p C. D.
解：过B点作AC垂线，垂直为G，
根据正六边形性质可知，，
∴，
∴S扇形=，
故选：A．
2. （2021•河北省）如图，等腰△AOB中，顶角∠AOB＝40°，用尺规按①到④的步骤操作：
①以O为圆心，OA为半径画圆；
②在⊙O上任取一点P（不与点A，B重合），连接AP；
③作AB的垂直平分线与⊙O交于M，N；
④作AP的垂直平分线与⊙O交于E，F．
结论Ⅰ：顺次连接M，E，N，F四点必能得到矩形；
结论Ⅱ：⊙O上只有唯一的点P，使得S扇形FOM＝S扇形AOB．
对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对
【分析】如图，连接EM，EN，MF．NF．根据矩形的判定证明四边形MENF是矩形，再说明∠MOF≠∠AOB，可知（Ⅱ）错误．
【解答】解：如图，连接EM，EN，MF．NF．
∵OM＝ON，OE＝OF，
∴四边形MENF是平行四边形，
∵EF＝MN，
∴四边形MENF是矩形，故（Ⅰ）正确，
观察图象可知∠MOF≠∠AOB，
∴S扇形FOM≠S扇形AOB，故（Ⅱ）错误，
故选：D．
3. （2021•四川省成都市）如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4π B．6π C．8π D．12π
【分析】首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：∵正六边形的外角和为360°，
∴每一个外角的度数为360°÷6＝60°，
∴正六边形的每个内角为180°﹣60°＝120°，
∵正六边形的边长为6，
∴S阴影＝＝12π，
故选：D
4．（2021•湖北省荆州市）如图，在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2，以B为圆心、BC长为半径画，点P为菱形内一点，连接PA，PB，PC．当△BPC为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．2π D．
【分析】连接AC，延长AP，交BC于E，根据菱形的性质得出△ABC是等边三角形，进而通过三角形全等证得AE⊥BC，从而求得AE、PE，利用S阴影＝S扇形ABC﹣S△PAB﹣S△PBC即可求得．
【解答】解：连接AC，延长AP，交BC于E，
在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2，
∴∠ABC＝∠D＝60°，AB＝BC＝2，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，
在△APB和△APC中，
，
∴△APB≌△APC（SSS），
∴∠PAB＝∠PAC，
∴AE⊥BC，BE＝CE＝1，
∵△BPC为等腰直角三角形，
∴PE＝BC＝1，
在Rt△ABE中，AE＝AB＝，
∴AP＝﹣1，
∴S阴影＝S扇形ABC﹣S△PAB﹣S△PBC＝﹣（﹣1）×1﹣＝π﹣，
故选：A．
5.（2021•四川省广元市）如图，在边长为2的正方形中，是以为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】D
【解析】
【分析】取BC的中点O，设AE与⊙O的相切的切点为F，连接OF、OE、OA，由题意可得OB=OC=OA=1，∠OFA=∠OFE=90°，由切线长定理可得AB=AF=2，CE=CF，然后根据割补法进行求解阴影部分的面积即可．
【详解】解：取BC的中点O，设AE与⊙O的相切的切点为F，连接OF、OE、OA，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，且边长为2，
∴BC=AB=2，∠ABC=∠BCD=90°，
∵是以为直径的半圆的切线，
∴OB=OC=OF=1，∠OFA=∠OFE=90°，
∴AB=AF=2，CE=CF，
∵OA=OA，
∴Rt△ABO≌Rt△AFO（HL），
同理可证△OCE≌△OFE，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
6.（2021•四川省广元市）如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥．那么这个圆锥的底面圆的半径是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】先计算的长度，然后围成的圆锥底面周长等同于的长度，根据公式计算即可．
【详解】解：如下图：
连接BC，AO，
∵，
∴BC是直径，且BC=2，
又∵，
∴，
又∵， ，
∴ ，
∴的长度为：，
∴围成的底面圆周长为，
设圆锥的底面圆的半径为，
则：，
∴．
故选：
7. （2021•浙江省衢州卷） 已知扇形的半径为6，圆心角为．则它的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
8. （2021•遂宁市） 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，若⊙O的半径为，∠CDF=15°， 则阴影部分的面积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接AD，连接OE，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，根据等腰三角形的性质得到∠BAC=2∠DAC=2×15°=30°，求得∠AOE=120°，过O作OH⊥AE于H，解直角三角形得到OH=2，AH=6，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：连接AD，连接OE，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵DF⊥AC，
∴∠DFC=∠DFA=90°，
∴∠DAC=∠CDF=15°，
∵AB=AC，D是BC中点，
∴∠BAC=2∠DAC=2×15°=30°，
∵OA=OE，
∴∠AOE=120°，
过O作OH⊥AE于H，
∵AO=4，
∴OH=AO=2，
∴AH=OH=6，
∴AE=2AH=12，
∴S阴影=S扇形AOE-S△AOE=
．
故选：A．
9. (2021•四川省自贡市)如图，直线与坐标轴交于A、B两点，点P是线段AB上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线于点Q，绕点O顺时针旋转45°，边PQ扫过区域（阴影部份）面积的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意得，设P(a，2-2a)，则Q(a，3-a)，利用扇形面积公式得到，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：如图，
根据旋转的性质，，
∴，
则
，
∵点P在直线上，点Q在直线上，且PQ∥轴，
设P(a，2-2a)，则Q(a，3-a)，
∴OP2=，
OQ2=，
，
设，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴的最大值为．
故选：A．
10. （2021•青海省）如图，一根5m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动）那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（ ）
A．πm2 B．πm2 C．πm2 D．πm2
【分析】小羊的最大活动区域是一个半径为5、圆心角为90°和一个半径为1、圆心角为60°的小扇形的面积和．所以根据扇形的面积公式即可求得小羊的最大活动范围．
【解答】解：大扇形的圆心角是90度，半径是5，
所以面积＝＝π（m2）；
小扇形的圆心角是180°﹣120°＝60°，半径是1m，
则面积＝＝（m2），
则小羊A在草地上的最大活动区域面积＝π+＝π（m2）．
故选：B．
11. （2021•浙江省湖州市）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，点P是AD边上的一个动点，连结BP，点C关于直线BP的对称点为C1，当点P运动时，点C1也随之运动．若点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域的面积是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，C1运动的路径是以B为圆心，为半径，圆心角为120°的弧上运动，故线段CC1扫过的区域是一个圆心角为120°的扇形＋一个以为边长的等边三角形，故S＝，故选B．
12. （2021•湖南省张家界市）如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，设正方形的面积为，黑色部分面积为，则：的比值为（A ）
13. （2021•云南省）如图，等边△ABC的三个顶点都在⊙O上，AD是⊙O的直径．若0A＝3，则劣弧BD的长是（ ）B
A． B．π C． D．2π
14. （2021•广西贺州市）如图，在边长为2的等边中，是边上的中点，以点为圆心，为半径作圆与，分别交于，两点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由等边中，是边上的中点，可知扇形的半径为等边三角形的高，利用扇形面积公式即可求解．
【详解】是等边三角形，是边上的中点
，
扇形
故选C．
15. （2021•湖北省江汉油田）用半径为，圆心角为的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面是一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面周长即可得．
【详解】解：设这个圆锥底面半径为，
由题意得：，
解得，
即这个圆锥底面半径为，
故选：B．
16. （2021•呼和浩特市）如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边形的外接圆直径d，根据我国魏晋时期数学家刘的“割圆术”思想，如果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计的值，下面d及的值都正确的是C
A．， B．，
C．， D．，
17. (2021•内蒙古包头市)如图，在中，，，，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点C，以点B为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
二．填空题
1. ．（2021•湖南省衡阳市）底面半径为3，母线长为4的圆锥的侧面积为 12π ．（结果保留π）
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×3×4÷2＝12π．
故答案为：12π．
2. （2021•怀化市）如图，在⊙O中，OA＝3，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积是 π﹣ ．（结果保留π）
【分析】由∠C＝45°根据圆周角定理得出∠AOB＝90°，根据S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB可得出结论．
【解答】解：∵∠C＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB
＝
＝π﹣．
故答案为：π﹣．
3. （2021•宿迁市）已知圆锥的底面圆半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为120°，则它的侧面展开图面积为_____________．
【答案】48π
【解析】
【分析】首先根据底面圆的半径求得扇形的弧长，然后根据弧长公式求得扇形的半径，然后利用公式求得面积即可．
【详解】解：∵底面圆的半径为4，
∴底面周长为8π，
∴侧面展开扇形的弧长为8π，
设扇形的半径为r，
∵圆锥的侧面展开图的圆心角是120°，
∴＝8π，
解得：r＝12，
∴侧面积为π×4×12＝48π，
故答案为：48π．
4. （2021•山东省聊城市）用一块弧长16πcm的扇形铁片，做一个高为6cm的圆锥形工件侧面（接缝忽略不计），那么这个扇形铁片的面积为_______cm2
【答案】
【解析】
【分析】先求出圆锥的底面半径，再利用勾股定理求出圆锥的母线长，最后利用扇形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵弧长16πcm的扇形铁片，
∴做一个高为6cm的圆锥的底面周长为16πcm，
∴圆锥的底面半径为：16π÷2π=8cm，
∴圆锥的母线长为：，
∴扇形铁片的面积=cm2，
故答案是：．
5. （2021•山东省泰安市）若△ABC为直角三角形，AC＝BC＝4，以BC为直径画半圆如图所示，则阴影部分的面积为 4 ．
【分析】连接CD．构建直径所对的圆周角∠BDC＝90°，然后利用等腰直角△ABC的性质：斜边上的中线是斜边的一半、中线与垂线重合，求得CD＝BD＝AD，从而求得弦BD与CD所对的弓形的面积相等，所以图中阴影部分的面积＝直角三角形ABC的面积﹣直角三角形BCD的面积．
【解答】解：连接CD．
∵BC是直径，
∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB；
又∵△ABC为等腰直角三角形，
∴CD是斜边AB的垂直平分线，
∴CD＝BD＝AD,
∴＝,
∴S弓形BD＝S弓形CD，
∴S阴影＝SRt△ABC﹣SRt△BCD；
∵△ABC为等腰直角三角形，CD是斜边AB的垂直平分线，
∴SRt△ABC＝2SRt△BCD；
又SRt△ABC＝×4×4＝8，
∴S阴影＝4；
故答案为：4．
6. ．（2021•湖北省宜昌市）“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以边长为2厘米的等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”，该“莱洛三角形”的面积为 （2π﹣2） 平方厘米．（圆周率用π表示）
【分析】图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积等于三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．
【解答】解：过A作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC＝BC＝2厘米，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD＝1厘米，AD＝BD＝厘米，
∴△ABC的面积为BC•AD＝（厘米2），
S扇形BAC＝＝π（厘米2），
∴莱洛三角形的面积S＝3×π﹣2×＝（2π﹣2）厘米2，
故答案为：（2π﹣2）．
7. （2021•广东省）如题图，等腰直角三角形中，，．分别以点B、点C为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交、、于点D、E、F，则图中阴影部分的面积为_________．
【答案】
【解析】，考查阴影面积的求法（主要还是用整体减去局部）
8. （2021•湖北省恩施州）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，问圆形木材的直径是多少？（1尺＝10寸）
答：圆材直径 26 寸．
【分析】过圆心O作OC⊥AB于点C，延长OC交圆于点D，则CD＝1寸，AC＝BC＝AB，连接OA，设圆的半径为x，利用勾股定理在Rt△OAC中，列出方程，解方程可得半径，进而直径可求．
【解答】解：过圆心O作OC⊥AB于点C，延长OC交圆于点D，连接OA，如图：
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC＝AB，．
则CD＝1寸，AC＝BC＝AB＝5寸．
设圆的半径为x寸，则OC＝（x﹣1）寸．
在Rt△OAC中，由勾股定理得：
52+（x﹣1）2＝x2，
解得：x＝13．
∴圆材直径为2×13＝26（寸）．
故答案为：26．
9. （2021•浙江省宁波市） 抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，分别与相切于点C，D，延长交于点P．若，的半径为，则图中的长为________．（结果保留）
【答案】
【解析】
【分析】连接OC、OD，利用切线的性质得到，根据四边形的内角和求得，再利用弧长公式求得答案．
【详解】连接OC、OD，
∵分别与相切于点C，D，
∴，
∵，，
∴，
∴的长=（cm），
故答案为：．
．
10. （2021•浙江省台州）如图，将线段AB绕点A顺时针旋转30°，得到线段AC．若AB＝12，则点B经过的路径长度为_____．（结果保留π）
【答案】
【解析】
【分析】直接利用弧长公式即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
11. 2021•浙江省温州市）若扇形的圆心角为30°，半径为17，则扇形的弧长为 π ．
【分析】根据弧长公式代入即可．
【解答】解：根据弧长公式可得：
l＝＝＝π．
故答案为：π．
12. （2021•湖北省荆门市）如图，正方形ABCD的边长为2，分别以B，C为圆心，以正方形的边长为半径的圆相交于点P，那么图中阴影部分的面积为 2﹣ ．
【分析】连接PB、PC，作PF⊥BC于F，根据等边三角形的性质得到∠PBC＝60°，解直角三角形求出BF、PF，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：连接PB、PC，作PF⊥BC于F，
∵PB＝PC＝BC，
∴△PBC为等边三角形，
∴∠PBC＝60°，∠PBA＝30°，
∴BF＝PB•cos60°＝PB＝1，PF＝PB•sin60°＝，
则图中阴影部分的面积＝[扇形ABP的面积﹣（扇形BPC的面积﹣△BPC的面积）]×2
＝[﹣（﹣×2×）]×2＝2﹣，
故答案为：2﹣．
13. （2021•江苏省盐城市）设圆锥的底面半径为2，母线长为3，该圆锥的侧面积为 6π ．
【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
【解答】解：该圆锥的侧面积＝×2π×2×3＝6π．
故答案为6π．
14. （2021•重庆市A）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点A，C为圆心，AO长为半径画弧，分别交AB，CD于点E，F．若BD＝4，∠CAB＝36°，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留π）．
【答案】
【解析】
【分析】利用矩形的性质求得OA=OC=OB=OD=2，再利用扇形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且BD=4，
∴AC=BD＝4，OA=OC=OB=OD=2，
∴，
故答案为：．
15. （2021•重庆市B）如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝12，BD＝16，分别以点A，B，C，D为圆心，AB的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为 96﹣100π ．（结果保留π）
【分析】先求出菱形面积，再计算四个扇形的面积即可求解．
【解答】解：在菱形ABCD中，有：AC＝12，BD＝16．
∴．
∵∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠DAB＝360°．
∴四个扇形的面积，是一个以AB的长为半径的圆．
∴图中阴影部分的面积＝×12×16﹣π×102＝96﹣100π．
故答案为：96﹣100π．
16.（2021•湖北省十堰市）如图，在边长为4的正方形中，以为直径的半圆交对角线于点E，以C为圆心、长为半径画弧交于点F，则图中阴影部分的面积是_________．
【答案】3-6
【解析】
【分析】连接BE，可得是等腰直角三角形，弓形BE的面积=，再根据阴影部分的面积=弓形BE的面积+扇形CBF的面积-的面积，即可求解．
【详解】连接BE，
∵在正方形中，以为直径的半圆交对角线于点E，
∴∠AEB=90°，即：AC⊥BE，
∵∠CAB=45°，
∴是等腰直角三角形，即：AE=BE，
∴弓形BE的面积=，
∴阴影部分的面积=弓形BE的面积+扇形CBF的面积-的面积
=+-=3-6．
故答案是：3-6．
17. （2021•湖南省永州市）某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为60π，底面半径为6的圆锥模型（如图所示），则此圆锥的母线长为 ．
18.（2021•黑龙江省大庆市）一个圆柱形橡皮泥，底面积是12cm2．高是5cm．如果这个橡皮泥的一半，把它捏成高为5cm的圆锥，则这个圆锥的底面积是 cm2；
【分析】首先求出圆柱体积，根据题意得出圆柱体积的一半即为圆锥的体积，根据圆锥体积计算公式列出方程，即可求出圆锥的底面积．
【详解】Ｖ圆柱＝=，
这个橡皮泥的一半体积为：，
把它捏成高为的圆锥，则圆锥的高为5cm，
故，
即，
解得（cm2），
故填：18．
19. （2021•黑龙江省大庆市） 如图，作⊙O的任意一条直经FC，分别以F、C为圆心，以FO的长为半径作弧，与⊙O相交于点E、A和D、B，顺次连接AB、BC、CD、DE、EF、FA，得到六边形ABCDEF，则⊙O的面积与阴影区域的面积的比值为 ；
【分析】可将图中阴影部分的面积转化为两个等边三角形的面积之和，设⊙O的半径与等边三角形的边长为，分别表示出圆的面积和两个等边三角形的面积，即可求解
【详解】连接，，，，
由题可得：
为边长相等的等边三角形
可将图中阴影部分的面积转化为和的面积之和，如图所示：
设⊙O的半径与等边三角形的边长为，
⊙O的面积为
等边与等边的边长为
⊙O的面积与阴影部分的面积比为
故答案为：．
20. （2021•吉林省长春市）如图是圆弧形状的铁轨示意图，半径OA的长度为200米，圆心角，则这段铁轨的长度 米，（铁轨的宽度忽略不计，结果保留π）
【分析】根据圆的弧长计算公式l＝，代入计算即可．
【解答】解：圆弧长是：＝100π（米）．
故答案是：100π．
21. （2021•绥化市）一条弧所对的圆心角为135°弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为__________cm．
【答案】40
【解析】
【分析】设出弧所在圆的半径，由于弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，所以根据原题所给出的等量关系，列出方程，解方程即可．
【详解】解：设弧所在圆的半径为r，由题意得，
，
解得，r=40cm．
22. （2021•江苏省无锡市）用半径为50，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ．
【分析】圆锥的底面圆半径为r，根据圆锥的底面圆周长＝扇形的弧长，列方程求解．
【解答】解：设圆锥的底面圆半径为r，依题意，得
2πr＝，
解得r＝．
故答案为：．
23. （2021•山东省济宁市）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，点O为BC的中点，以O为圆心，以OB为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是 ﹣ ．
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，即可求得DE的长、∠DOB的度数，然后根据图形可知阴影部分的面积是△ABC的面积减去△COD的面积和扇形BOD的面积，从而可以解答本题．
【解答】解，连接OD，过D作DE⊥BC于E，
在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，
∴sinC＝＝＝，BC＝＝＝2，
∴∠C＝30°，
∴∠DOB＝60°，
∵OD＝BC＝，
∴DE＝，
∴阴影部分的面积是：2×2﹣﹣＝﹣，
故答案为：﹣．
24.（2021•呼和浩特市）已知圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为__________．（用含π的代数式表示），圆心角为__________度．，216
25. （2021•齐齐哈尔市）一个圆锥的底面圆半径为6cm，圆锥侧面展开图扇形的圆心角为240°，则圆锥的母线长为_____cm．
【答案】9．
【解析】
【详解】试题分析：求得圆锥的底面周长，利用弧长公式即可求得圆锥的母线长：
∵圆锥的底面周长为：2π×6=12π，
∴圆锥侧面展开图的弧长为12π.
设圆锥的母线长为R，
∴，解得R=9cm．
考点：圆锥的计算．
26. （2021•内蒙古通辽市）如图，AB是⊙O的弦，AB＝2，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝60°，若点M，N分别是AB，BC的中点，则图中阴影部分面积的最大值是 ﹣ ．
【分析】连接OA、OB、OM，根据圆周角定理得到∠AOB＝120°，求出OM＝1，OA＝2，再根据三角形中位线性质得到MN∥AC，MN＝AC，然后根据三角形相似得到＝（）2＝，故当△ABC的面积最大时，△MBN的面积最大，由C、O、M在一条直线时，△ABC的面积最大，求得△ABC的最大值，进而即可求得△MBN的面积最大值，利用扇形的面积和三角形的面积求得弓形的面积，进而即可求得阴影部分的最大值．
【解答】解：连接OA、OB、OM，如图，
∵∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∵AM＝BM＝AB＝，
∴OM⊥AB，
∴tan30°＝，
∴OM＝×＝1，
∴OA＝2OM＝2，
∵点M、N分别是AB、BC的中点，
∴MN∥AC，MN＝AC，
∴△MBN∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∴当△ABC的面积最大时，△MBN的面积最大，
∵C、O、M在一条直线时，△ABC的面积最大，
∴△ABC的面积最大值为：××（2+1）＝3，
∴△MBN的面积最大值为：，
∵S弓形＝S扇形OAB﹣S△AOB＝﹣＝﹣，
∴此时，S阴影＝﹣+＝﹣，
故答案为：﹣．
27. （2021•黑龙江省龙东地区）若一个圆锥的底面半径为1cm，它的侧面展开图的圆心角为，则这个圆锥的母线长为____ cm．
【答案】4
【解析】
【分析】根据圆锥侧面展开图可知圆锥底面圆的周长即为侧面展开图的弧长，然后由题意可进行求解．
【详解】解：设母线长为R，由题意得：
，
∴，
解得：，
∴这个圆锥的母线长为4cm，
故答案为4．
28. （2021•绥化市）边长为的正六边形，它的外接圆与内切圆半径的比值是_______．
【答案】
【解析】
【分析】依题意作出图形，找出直角三角形，它的外接圆与内切圆半径为直角三角形的两条边，根据三角函数值即可求出．
【详解】如图：正六边形中，过作
中，,
它的外接圆与内切圆半径的比值是
．
故答案为．
三、解答题
1. （2021•湖北省黄冈市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC分别相切于点E，F，BO平分∠ABC
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BE＝AC＝3，⊙O的半径是1，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）有切点则连圆心，证明垂直关系；无切点则作垂线，证明等于半径；
（2）将不规则图形转化为规则图形间的换算．
【解答】（1）证明：
连接OE，OF，
∵BO是∠ABC的平分线，
∴OD═OE，OE是圆的一条半径，
∴AB是⊙O的切线，
故：AB是⊙O的切线．
（2）∵BC、AC与圆分别相切于点E，
∴OE⊥BC，OF⊥AC，
∴四边形OECF是正方形，
∴OE═OF═EC═FC═1，
∴BC═BE+EC═4，又AC═3，
∴S阴影═（S△ABC﹣S正方形OECF﹣优弧所对的S扇形EOF）
═×（）
═﹣．
故图中阴影部分的面积是：﹣．
2. （2021•湖南省邵阳市）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1：2．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC．将扇形AEF围成圆锥时，AE，AF恰好重合．
（1）求这种加工材料的顶角∠BAC的大小．
（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留π）
【分析】(1)设∠BAC＝n°．根据弧EF的两种求法，构建方程，可得结论．
（2）根据S阴＝•BC•AD﹣S扇形AEF求解即可．
【解答】解：（1）设∠BAC＝n°．
由题意得π•DE＝,AD＝2DE,
∴n＝90,
∴∠BAC＝90°．
(2)∵AD＝2DE＝10(cm),
∴S阴＝•BC•AD﹣S扇形AEF＝×10×20﹣＝(100﹣25π)cm2．
3. （2021•江西省）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，点C作CE⊥AB于点E，连接AC．
（1）求证：∠CAD＝∠ECB；
（2）若CE是⊙O的切线，∠CAD＝30°，连接OC，如图2．
①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；
②当AB＝2时，求AD，AC与围成阴影部分的面积．
【分析】（1）先判断出∠CBE＝∠D,再用等角的余角相等，即可得出结论；
（2）①先判断出OC∥AB，再判断出BC∥OA，进而得出四边形ABCO是平行四边形，即可得出结论；
②先求出AC，BC，再用面积的和，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠CBE＝∠D，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠D+∠CAD＝90°，
∴∠CBE+∠CAD＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠CBE+∠BCE＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE；
(2)①四边形ABCO是菱形，理由：
∵∠CAD＝30°，
∴∠COD＝2∠CAD＝60°，∠D＝90°﹣∠CAD＝60°，
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∴CE⊥AB，
∴OC∥AB，
∴∠DAB＝∠COD＝60°，
由（1）知，∠CBE+∠CAD＝90°，
∴∠CBE＝90°﹣∠CAD＝60°＝∠DAB，
∴BC∥OA，
∴四边形ABCO是平行四边形，
∵OA＝OC，
∴▱ABCO是菱形；
②由①知，四边形ABCO是菱形，
∴OA＝OC＝AB＝2，
∴AD＝2OA＝4，
由①知，∠COD＝60°，
在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，
∴CD＝2，AC＝2，
∴AD，AC与围成阴影部分的面积为S△AOC+S扇形COD
＝S△ACD+S扇形COD
＝××2×2+
＝+π．
4. （2021•湖北省随州市）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷．
（1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为_____，其内切圆的半径长为______；
（2）①如图1，是边长为的正内任意一点，点为的中心，设点到各边距离分别为，，，连接，，，由等面积法，易知，可得_____；（结果用含的式子表示）
②如图2，是边长为的正五边形内任意一点，设点到五边形各边距离分别为，，，，，参照①的探索过程，试用含的式子表示的值．（参考数据：，）
（3）①如图3，已知的半径为2，点为外一点，，切于点，弦，连接，则图中阴影部分的面积为______；（结果保留）
②如图4，现有六边形花坛，由于修路等原因需将花坛进行改造．若要将花坛形状改造成五边形，其中点在的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点的位置，并说明理由．
（1），1；（2）①；②；（3）①；②见解析．
【分析】
（1）根据等积法解得直角三角形斜边上的高的长，及利用内切圆的性质解题即可；
（2）①先求得边长为的正的面积，再根据解题即可；②设点为正五边形的中心，连接，，过作于，先由正切定义，解得的长，由①中结论知，，继而得到，据此解题；
（3）①由切线性质解得，再由平行线性质及等腰三角形性质解得，根据平行线间的距离相等，及同底等高或等底同高的两个三角形面积相等的性质，可知图中阴影部分的面积等于扇形OBC的面积，最后根据扇形面积公式解题；②连接，过点作交的延长线于点，根据，据此解题．
【详解】
解：（1）直角三角形的面积为：，
直角三角形斜边为：，
设直角三角形斜边上的高为，则
设直角三角形内切圆的半径为，则
，
故答案为：，1；
（2）①边长为的正底边的高为，面积为：
，
故答案为：；
②类比①中方法可知，
设点为正五边形的中心，连接，，
由①得，
过作于，，
故，，
故，从而得到：
．
（3）①是的切线，
过点作
，
是的高，
故答案为：；
②如图，连接，过点作交的延长线于点，则点即为所求，
连接，∵，
∵，
∴，
∴．
5. （2021•襄阳市） 如图，直线经过上的点，直线与交于点和点，与交于点，与交于点，，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分面积．
【答案】（1）见解析；（2）
6. （2021•贵州省贵阳市）如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，点E是的中点，过点E作AB的垂线，交AB于点M，交⊙O于点N，分别连接EB，CN．
（1）EM与BE的数量关系是 BE＝EM ；
（2）求证：＝；
（3）若AM＝，MB＝1，求阴影部分图形的面积．
【分析】（1）证得△BME是等腰直角三角形即可得到结论；
（2）根据垂径定理得到∠EMB＝90°，进而证得∠ABE＝∠BEN＝45°，得到＝，根据题意得到＝，进一步得到＝；
（3）先解直角三角形得到∠EAB＝30°，从而得到∠EOB＝60°，证得△EOB是等边三角形，则OE＝BE＝，然后证得△OEB≌△OCN，然后根据扇形的面积公式和三角形面积公式求得即可．
【解答】解：（1）∵AC为⊙O的直径，点E是的中点，
∴∠ABE＝45°，
∵AB⊥EN，
∴△BME是等腰直角三角形，
∴BE＝EM，
故答案为BE＝EM；
（2）连接EO，AC是⊙O的直径，E是的中点，
∴∠AOE＝90°，
∴∠ABE＝∠AOE＝45°，
∵EN⊥AB，垂足为点M，
∴∠EMB＝90°
∴∠ABE＝∠BEN＝45°，
∴＝，
∵点E是的中点，
∴＝，
∴＝，
∴﹣＝﹣，
∴＝；
（3）连接AE，OB，ON，
∵EN⊥AB，垂足为点M，
∴∠AME＝∠EMB＝90°，
∵BM＝1，由（2）得∠ABE＝∠BEN＝45°，
∴EM＝BM＝1，
又∵BE＝EM，
∴BE＝，
∵在Rt△AEM中，EM＝1，AM＝，
∴tan∠EAB＝＝，
∴∠EAB＝30°，
∵∠EAB＝∠EOB，
∴∠EOB＝60°，
又∵OE＝OB，
∴△EOB是等边三角形，
∴OE＝BE＝，
又∵＝，
∴BE＝CN，
∴△OEB≌△OCN（SSS），
∴CN＝BE＝
又∵S扇形OCN＝＝，S△OCN＝CN•CN＝×＝，
∴S阴影＝S扇形OCN﹣S△OCN＝﹣．
7. （2021•湖北省黄石市）如图，、是的切线，、是切点，是的直径，连接，交于点，交于点．
（1）求证：；
（2）若恰好是的中点，且四边形的面积是，求阴影部分的面积；
（3）若，且，求切线的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）证明∠POB=∠CBO，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论；
（2）证明△AOD是等边三角形得∠AOD=60°，设OA=R，求出AE=，AB=，PO=2R，根据四边形的面积是求出R，再利用求解即可；
（3）利用设出BC=m，则AC=3m，分别求出，DE=m，在Rt△AED中运用勾股定理列方程，求出m的值，再证明∠APO=∠BAC，利用求出PA的长．
【详解】解：（1）证明：∵是的切线
∴，即
∴
∵AC是的直径
∴∠ABC=90°
∴
∴
（2）∵E是OD的中点，且AB⊥OD，
∴AO=AD，
又AO=OD
∴△AOD是等边三角形
∴∠AOD=60°
∵PA是的切线，OA是的半径，
∴∠OAP=90°
∴∠APO=30°
∴PO=2AO
在中，∠AOE=60°
∴∠OAE=30°
设OA=R，则
∴
∴
∵四边形的面积是，
∴，即
解得，（负值舍去）
∴
∵
∴
∴
（3）∵
∴
故设BC=m，则AC=3m，
∴
∵OE//BC
∴
在Rt△AEO中，
在Rt△AED中，
∴
∴ (负值舍去)
∴
∵
∴
∴
∴
8. （2021•四川省达州市）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点（C不与点A，B重合），BC，过点C作CD⊥AB，点D落在点E处得△ACE，AE交⊙O于点F．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝15°，OA＝2，求阴影部分面积．
【分析】（1）连接OC，求得∠ACO＝∠EAC，根据内错角相等两直线平行得到OC∥AE，进而求得∠ECO＝90°，即可证明CE是⊙O的切线；
（2）根据锐角三角函数求出OG、AG、CD、OD，进而求得AF、AE，利用S阴影＝S梯形OCEF﹣S扇形OCF即可求得面积．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵△ACD沿AC翻折得到△ACE，
∴∠EAC＝∠BAC，∠E＝∠ADC＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠BAC，
∴∠ACO＝∠EAC，
∴OC∥AE，
∴∠AEC+∠ECO＝180°，
∴∠ECO＝90°，即OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切线；
（2）连解：接OF，过点O作OG⊥AE于点G，
∵∠BAC＝15°，
∴∠BAE＝2∠OAC＝30°，
∵OA＝2，
∴OG＝OA＝1，
∵OA＝OF，
∴AF＝2AG＝2，
∵∠BOC＝2∠BAC＝30°，CD⊥AB，
∴CD＝OC＝1，
∴AE＝AD＝AO+OD＝5+，
∴EF＝AE﹣AF＝2﹣，CE＝CD＝1，
∴S阴影＝S梯形OCEF﹣S扇形OCF
＝×（2﹣×π×72
＝2﹣﹣π．
9. （2021•湖南省张家界市）如图，在中，=90°，=30°，以点为圆心，为半径的圆交的延长线于点，过点作的平行线，交⊙于点，连接.
（1）求证：为⊙的切线；
（2）若=2，求弧的长.
（1）证明：连接
∵30°，90°
∴60°
又∵
∴60°
∴120°
∴60°
又∵
∴
90°
又∵点在⊙上
∴是⊙的切线
（2）∵120°
∴60°
∴
10. （2021•江苏省扬州）如图，四边形中，，，，连接，以点B为圆心，长为半径作，交于点E．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）相切，理由见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）过点B作BF⊥CD，证明△ABD≌△FBD，得到BF=BA，即可证明CD与圆B相切；
（2）先证明△BCD是等边三角形，根据三线合一得到∠ABD=30°，求出AD，再利用S△ABD-S扇形ABE求出阴影部分面积．
【详解】解：（1）过点B作BF⊥CD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵CB=CD，
∴∠CBD=∠CDB，
∴∠ADB=∠CDB，又BD=BD，∠BAD=∠BFD=90°，
∴△ABD≌△FBD（AAS），
∴BF=BA，则点F在圆B上，
∴CD与圆B相切；
（2）∵∠BCD=60°，CB=CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠CBD=60°
∵BF⊥CD，
∴∠ABD=∠DBF=∠CBF=30°，
∴∠ABF=60°，
∵AB=BF=，
∴AD=DF==2，
∴阴影部分的面积=S△ABD-S扇形ABE
=
=．
11. （2021•河北省）如图，⊙O的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为An（n为1～12的整数），过点A7作⊙O的切线交A1A11延长线于点P．
（1）通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长；
（2）连接A7A11，则A7A11和PA1有什么特殊位置关系？请简要说明理由；
（3）求切线长PA7的值．
【分析】（1）利用弧长公式求解即可．
（2）利用圆周角定理证明即可．
（3）解直角三角形求出PA7即可．
【解答】解：（1）由题意，∠A7OA11＝120°，
∴的长＝＝4π＞12，
∴比直径长．
（2）结论：PA1⊥A7A11．
理由：连接A1A7．
∵A1A7是⊙O的直径，
∴∠A7A11A1＝90°，
∴PA1⊥A7A11．
（3）∵PA7是⊙O的切线，
∴PA7⊥A1A7，
∴∠PA7A1＝90°，
∵∠PA1A7＝60°，A1A7＝12，
∴PA7＝A1A7•tan60°＝12．
2021全国中考真题分类汇编（圆）
----与圆有关的计算
一、选择题
1. （2021•山西）如图，正六边形 ABCDEF 的边长为 2，以 A 为圆心，AC 的长
为半径画弧，得，连接 AC、AE，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. p B. p C. D.
2. （2021•河北省）如图，等腰△AOB中，顶角∠AOB＝40°，用尺规按①到④的步骤操作：
①以O为圆心，OA为半径画圆；
②在⊙O上任取一点P（不与点A，B重合），连接AP；
③作AB的垂直平分线与⊙O交于M，N；
④作AP的垂直平分线与⊙O交于E，F．
结论Ⅰ：顺次连接M，E，N，F四点必能得到矩形；
结论Ⅱ：⊙O上只有唯一的点P，使得S扇形FOM＝S扇形AOB．
对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对
3. （2021•四川省成都市）如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4π B．6π C．8π D．12π
4．（2021•湖北省荆州市）如图，在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2，以B为圆心、BC长为半径画，点P为菱形内一点，连接PA，PB，PC．当△BPC为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．2π D．
5.（2021•四川省广元市）如图，在边长为2的正方形中，是以为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. 1 D.
6.（2021•四川省广元市）如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥．那么这个圆锥的底面圆的半径是（ ）
A. B. C. D. 1
7. （2021•浙江省衢州卷） 已知扇形的半径为6，圆心角为．则它的面积是（ ）
A. B. C. D.
8. （2021•遂宁市） 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，若⊙O的半径为，∠CDF=15°， 则阴影部分的面积为（ ）
A. B.
C. D.
9. (2021•四川省自贡市)如图，直线与坐标轴交于A、B两点，点P是线段AB上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线于点Q，绕点O顺时针旋转45°，边PQ扫过区域（阴影部份）面积的最大值是（ ）
A. B. C. D.
10. （2021•青海省）如图，一根5m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动）那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（ ）
A．πm2 B．πm2 C．πm2 D．πm2
11. （2021•浙江省湖州市）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，点P是AD边上的一个动点，连结BP，点C关于直线BP的对称点为C1，当点P运动时，点C1也随之运动．若点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域的面积是（ ）
A． B． C． D．
12. （2021•湖南省张家界市）如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，设正方形的面积为，黑色部分面积为，则：的比值为（ ）
13. （2021•云南省）如图，等边△ABC的三个顶点都在⊙O上，AD是⊙O的直径．若0A＝3，则劣弧BD的长是（ ）
A． B．π C． D．2π
14. （2021•广西贺州市）如图，在边长为2的等边中，是边上的中点，以点为圆心，为半径作圆与，分别交于，两点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
15. （2021•湖北省江汉油田）用半径为，圆心角为的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为（ ）
A. B. C. D.
16. （2021•呼和浩特市）如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边形的外接圆直径d，根据我国魏晋时期数学家刘的“割圆术”思想，如果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计的值，下面d及的值都正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
17. (2021•内蒙古包头市)如图，在中，，，，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点C，以点B为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B.
C. D.
二．填空题
1. ．（2021•湖南省衡阳市）底面半径为3，母线长为4的圆锥的侧面积为 ．（结果保留π）
2. （2021•怀化市）如图，在⊙O中，OA＝3，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留π）
3. （2021•宿迁市）已知圆锥的底面圆半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为120°，则它的侧面展开图面积为_____________．
4. （2021•山东省聊城市）用一块弧长16πcm的扇形铁片，做一个高为6cm的圆锥形工件侧面（接缝忽略不计），那么这个扇形铁片的面积为_______cm2
5. （2021•山东省泰安市）若△ABC为直角三角形，AC＝BC＝4，以BC为直径画半圆如图所示，则阴影部分的面积为 ．
6. （2021•湖北省宜昌市）“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以边长为2厘米的等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”，该“莱洛三角形”的面积为 平方厘米．（圆周率用π表示）
7. （2021•广东省）如题图，等腰直角三角形中，，．分别以点B、点C为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交、、于点D、E、F，则图中阴影部分的面积为_________．
8. （2021•湖北省恩施州）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，问圆形木材的直径是多少？（1尺＝10寸）
答：圆材直径 寸．
9. （2021•浙江省宁波市） 抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，分别与相切于点C，D，延长交于点P．若，的半径为，则图中的长为________．（结果保留）
10. （2021•浙江省台州）如图，将线段AB绕点A顺时针旋转30°，得到线段AC．若AB＝12，则点B经过的路径长度为_____．（结果保留π）
11. 2021•浙江省温州市）若扇形的圆心角为30°，半径为17，则扇形的弧长为 ．
12. （2021•湖北省荆门市）如图，正方形ABCD的边长为2，分别以B，C为圆心，以正方形的边长为半径的圆相交于点P，那么图中阴影部分的面积为 ．
13. （2021•江苏省盐城市）设圆锥的底面半径为2，母线长为3，该圆锥的侧面积为 ．
14. （2021•重庆市A）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点A，C为圆心，AO长为半径画弧，分别交AB，CD于点E，F．若BD＝4，∠CAB＝36°，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留π）．
15. （2021•重庆市B）如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝12，BD＝16，分别以点A，B，C，D为圆心，AB的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
16.（2021•湖北省十堰市）如图，在边长为4的正方形中，以为直径的半圆交对角线于点E，以C为圆心、长为半径画弧交于点F，则图中阴影部分的面积是_________．
17. （2021•湖南省永州市）某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为60π，底面半径为6的圆锥模型（如图所示），则此圆锥的母线长为 ．
18.（2021•黑龙江省大庆市）一个圆柱形橡皮泥，底面积是12cm2．高是5cm．如果这个橡皮泥的一半，把它捏成高为5cm的圆锥，则这个圆锥的底面积是 cm2；
19.（2021•黑龙江省大庆市） 如图，作⊙O的任意一条直经FC，分别以F、C为圆心，以FO的长为半径作弧，与⊙O相交于点E、A和D、B，顺次连接AB、BC、CD、DE、EF、FA，得到六边形ABCDEF，则⊙O的面积与阴影区域的面积的比值为 ；
20. （2021•吉林省长春市）如图是圆弧形状的铁轨示意图，半径OA的长度为200米，圆心角，则这段铁轨的长度 米，（铁轨的宽度忽略不计，结果保留π）
21. （2021•绥化市）一条弧所对的圆心角为135°弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为__________cm．
22. （2021•江苏省无锡市）用半径为50，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ．
23. （2021•山东省济宁市）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，点O为BC的中点，以O为圆心，以OB为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是 ．
24.（2021•呼和浩特市）已知圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为__________．（用含π的代数式表示），圆心角为__________度．
25. （2021•齐齐哈尔市）一个圆锥的底面圆半径为6cm，圆锥侧面展开图扇形的圆心角为240°，则圆锥的母线长为_____cm．
26. （2021•内蒙古通辽市）如图，AB是⊙O的弦，AB＝2，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝60°，若点M，N分别是AB，BC的中点，则图中阴影部分面积的最大值是 ．
27. （2021•黑龙江省龙东地区）若一个圆锥的底面半径为1cm，它的侧面展开图的圆心角为，则这个圆锥的母线长为____ cm．
28. （2021•绥化市）边长为的正六边形，它的外接圆与内切圆半径的比值是_______．
三、解答题
1. （2021•湖北省黄冈市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC分别相切于点E，F，BO平分∠ABC
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BE＝AC＝3，⊙O的半径是1，求图中阴影部分的面积．
2. （2021•湖南省邵阳市）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1：2．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC．将扇形AEF围成圆锥时，AE，AF恰好重合．
（1）求这种加工材料的顶角∠BAC的大小．
（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留π）
3. （2021•江西省）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，点C作CE⊥AB于点E，连接AC．
（1）求证：∠CAD＝∠ECB；
（2）若CE是⊙O的切线，∠CAD＝30°，连接OC，如图2．
①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；
②当AB＝2时，求AD，AC与围成阴影部分的面积．
4. （2021•湖北省随州市）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷．
（1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为_____，其内切圆的半径长为______；
（2）①如图1，是边长为的正内任意一点，点为的中心，设点到各边距离分别为，，，连接，，，由等面积法，易知，可得_____；（结果用含的式子表示）
②如图2，是边长为的正五边形内任意一点，设点到五边形各边距离分别为，，，，，参照①的探索过程，试用含的式子表示的值．（参考数据：，）
（3）①如图3，已知的半径为2，点为外一点，，切于点，弦，连接，则图中阴影部分的面积为______；（结果保留）
②如图4，现有六边形花坛，由于修路等原因需将花坛进行改造．若要将花坛形状改造成五边形，其中点在的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点的位置，并说明理由．
5. （2021•襄阳市） 如图，直线经过上的点，直线与交于点和点，与交于点，与交于点，，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分面积．
6. （2021•贵州省贵阳市）如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，点E是的中点，过点E作AB的垂线，交AB于点M，交⊙O于点N，分别连接EB，CN．
（1）EM与BE的数量关系是 BE＝EM ；
（2）求证：＝；
（3）若AM＝，MB＝1，求阴影部分图形的面积．
7. （2021•湖北省黄石市）如图，、是的切线，、是切点，是的直径，连接，交于点，交于点．
（1）求证：；
（2）若恰好是的中点，且四边形的面积是，求阴影部分的面积；
（3）若，且，求切线的长．
8. （2021•四川省达州市）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点（C不与点A，B重合），BC，过点C作CD⊥AB，点D落在点E处得△ACE，AE交⊙O于点F．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝15°，OA＝2，求阴影部分面积．
9. （2021•湖南省张家界市）如图，在中，=90°，=30°，以点为圆心，为半径的圆交的延长线于点，过点作的平行线，交⊙于点，连接.
（1）求证：为⊙的切线；
（2）若=2，求弧的长.
10. （2021•江苏省扬州）如图，四边形中，，，，连接，以点B为圆心，长为半径作，交于点E．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
11. （2021•河北省）如图，⊙O的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为An（n为1～12的整数），过点A7作⊙O的切线交A1A11延长线于点P．
（1）通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长；
（2）连接A7A11，则A7A11和PA1有什么特殊位置关系？请简要说明理由；
（3）求切线长PA7的值．
答案
一、选择题
1. （2021•山西）如图，正六边形 ABCDEF 的边长为 2，以 A 为圆心，AC 的长
为半径画弧，得，连接 AC、AE，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. p B. p C. D.
解：过B点作AC垂线，垂直为G，
根据正六边形性质可知，，
∴，
∴S扇形=，
故选：A．
2. （2021•河北省）如图，等腰△AOB中，顶角∠AOB＝40°，用尺规按①到④的步骤操作：
①以O为圆心，OA为半径画圆；
②在⊙O上任取一点P（不与点A，B重合），连接AP；
③作AB的垂直平分线与⊙O交于M，N；
④作AP的垂直平分线与⊙O交于E，F．
结论Ⅰ：顺次连接M，E，N，F四点必能得到矩形；
结论Ⅱ：⊙O上只有唯一的点P，使得S扇形FOM＝S扇形AOB．
对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对
【分析】如图，连接EM，EN，MF．NF．根据矩形的判定证明四边形MENF是矩形，再说明∠MOF≠∠AOB，可知（Ⅱ）错误．
【解答】解：如图，连接EM，EN，MF．NF．
∵OM＝ON，OE＝OF，
∴四边形MENF是平行四边形，
∵EF＝MN，
∴四边形MENF是矩形，故（Ⅰ）正确，
观察图象可知∠MOF≠∠AOB，
∴S扇形FOM≠S扇形AOB，故（Ⅱ）错误，
故选：D．
3. （2021•四川省成都市）如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4π B．6π C．8π D．12π
【分析】首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：∵正六边形的外角和为360°，
∴每一个外角的度数为360°÷6＝60°，
∴正六边形的每个内角为180°﹣60°＝120°，
∵正六边形的边长为6，
∴S阴影＝＝12π，
故选：D
4．（2021•湖北省荆州市）如图，在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2，以B为圆心、BC长为半径画，点P为菱形内一点，连接PA，PB，PC．当△BPC为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．2π D．
【分析】连接AC，延长AP，交BC于E，根据菱形的性质得出△ABC是等边三角形，进而通过三角形全等证得AE⊥BC，从而求得AE、PE，利用S阴影＝S扇形ABC﹣S△PAB﹣S△PBC即可求得．
【解答】解：连接AC，延长AP，交BC于E，
在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2，
∴∠ABC＝∠D＝60°，AB＝BC＝2，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，
在△APB和△APC中，
，
∴△APB≌△APC（SSS），
∴∠PAB＝∠PAC，
∴AE⊥BC，BE＝CE＝1，
∵△BPC为等腰直角三角形，
∴PE＝BC＝1，
在Rt△ABE中，AE＝AB＝，
∴AP＝﹣1，
∴S阴影＝S扇形ABC﹣S△PAB﹣S△PBC＝﹣（﹣1）×1﹣＝π﹣，
故选：A．
5.（2021•四川省广元市）如图，在边长为2的正方形中，是以为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】D
【解析】
【分析】取BC的中点O，设AE与⊙O的相切的切点为F，连接OF、OE、OA，由题意可得OB=OC=OA=1，∠OFA=∠OFE=90°，由切线长定理可得AB=AF=2，CE=CF，然后根据割补法进行求解阴影部分的面积即可．
【详解】解：取BC的中点O，设AE与⊙O的相切的切点为F，连接OF、OE、OA，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，且边长为2，
∴BC=AB=2，∠ABC=∠BCD=90°，
∵是以为直径的半圆的切线，
∴OB=OC=OF=1，∠OFA=∠OFE=90°，
∴AB=AF=2，CE=CF，
∵OA=OA，
∴Rt△ABO≌Rt△AFO（HL），
同理可证△OCE≌△OFE，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
6.（2021•四川省广元市）如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥．那么这个圆锥的底面圆的半径是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】先计算的长度，然后围成的圆锥底面周长等同于的长度，根据公式计算即可．
【详解】解：如下图：
连接BC，AO，
∵，
∴BC是直径，且BC=2，
又∵，
∴，
又∵， ，
∴ ，
∴的长度为：，
∴围成的底面圆周长为，
设圆锥的底面圆的半径为，
则：，
∴．
故选：
7. （2021•浙江省衢州卷） 已知扇形的半径为6，圆心角为．则它的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
8. （2021•遂宁市） 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，若⊙O的半径为，∠CDF=15°， 则阴影部分的面积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接AD，连接OE，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，根据等腰三角形的性质得到∠BAC=2∠DAC=2×15°=30°，求得∠AOE=120°，过O作OH⊥AE于H，解直角三角形得到OH=2，AH=6，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：连接AD，连接OE，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵DF⊥AC，
∴∠DFC=∠DFA=90°，
∴∠DAC=∠CDF=15°，
∵AB=AC，D是BC中点，
∴∠BAC=2∠DAC=2×15°=30°，
∵OA=OE，
∴∠AOE=120°，
过O作OH⊥AE于H，
∵AO=4，
∴OH=AO=2，
∴AH=OH=6，
∴AE=2AH=12，
∴S阴影=S扇形AOE-S△AOE=
．
故选：A．
9. (2021•四川省自贡市)如图，直线与坐标轴交于A、B两点，点P是线段AB上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线于点Q，绕点O顺时针旋转45°，边PQ扫过区域（阴影部份）面积的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意得，设P(a，2-2a)，则Q(a，3-a)，利用扇形面积公式得到，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：如图，
根据旋转的性质，，
∴，
则
，
∵点P在直线上，点Q在直线上，且PQ∥轴，
设P(a，2-2a)，则Q(a，3-a)，
∴OP2=，
OQ2=，
，
设，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴的最大值为．
故选：A．
10. （2021•青海省）如图，一根5m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动）那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（ ）
A．πm2 B．πm2 C．πm2 D．πm2
【分析】小羊的最大活动区域是一个半径为5、圆心角为90°和一个半径为1、圆心角为60°的小扇形的面积和．所以根据扇形的面积公式即可求得小羊的最大活动范围．
【解答】解：大扇形的圆心角是90度，半径是5，
所以面积＝＝π（m2）；
小扇形的圆心角是180°﹣120°＝60°，半径是1m，
则面积＝＝（m2），
则小羊A在草地上的最大活动区域面积＝π+＝π（m2）．
故选：B．
11. （2021•浙江省湖州市）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，点P是AD边上的一个动点，连结BP，点C关于直线BP的对称点为C1，当点P运动时，点C1也随之运动．若点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域的面积是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，C1运动的路径是以B为圆心，为半径，圆心角为120°的弧上运动，故线段CC1扫过的区域是一个圆心角为120°的扇形＋一个以为边长的等边三角形，故S＝，故选B．
12. （2021•湖南省张家界市）如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，设正方形的面积为，黑色部分面积为，则：的比值为（A ）
13. （2021•云南省）如图，等边△ABC的三个顶点都在⊙O上，AD是⊙O的直径．若0A＝3，则劣弧BD的长是（ ）B
A． B．π C． D．2π
14. （2021•广西贺州市）如图，在边长为2的等边中，是边上的中点，以点为圆心，为半径作圆与，分别交于，两点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由等边中，是边上的中点，可知扇形的半径为等边三角形的高，利用扇形面积公式即可求解．
【详解】是等边三角形，是边上的中点
，
扇形
故选C．
15. （2021•湖北省江汉油田）用半径为，圆心角为的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面是一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面周长即可得．
【详解】解：设这个圆锥底面半径为，
由题意得：，
解得，
即这个圆锥底面半径为，
故选：B．
16. （2021•呼和浩特市）如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边形的外接圆直径d，根据我国魏晋时期数学家刘的“割圆术”思想，如果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计的值，下面d及的值都正确的是C
A．， B．，
C．， D．，
17. (2021•内蒙古包头市)如图，在中，，，，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点C，以点B为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
二．填空题
1. ．（2021•湖南省衡阳市）底面半径为3，母线长为4的圆锥的侧面积为 12π ．（结果保留π）
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×3×4÷2＝12π．
故答案为：12π．
2. （2021•怀化市）如图，在⊙O中，OA＝3，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积是 π﹣ ．（结果保留π）
【分析】由∠C＝45°根据圆周角定理得出∠AOB＝90°，根据S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB可得出结论．
【解答】解：∵∠C＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB
＝
＝π﹣．
故答案为：π﹣．
3. （2021•宿迁市）已知圆锥的底面圆半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为120°，则它的侧面展开图面积为_____________．
【答案】48π
【解析】
【分析】首先根据底面圆的半径求得扇形的弧长，然后根据弧长公式求得扇形的半径，然后利用公式求得面积即可．
【详解】解：∵底面圆的半径为4，
∴底面周长为8π，
∴侧面展开扇形的弧长为8π，
设扇形的半径为r，
∵圆锥的侧面展开图的圆心角是120°，
∴＝8π，
解得：r＝12，
∴侧面积为π×4×12＝48π，
故答案为：48π．
4. （2021•山东省聊城市）用一块弧长16πcm的扇形铁片，做一个高为6cm的圆锥形工件侧面（接缝忽略不计），那么这个扇形铁片的面积为_______cm2
【答案】
【解析】
【分析】先求出圆锥的底面半径，再利用勾股定理求出圆锥的母线长，最后利用扇形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵弧长16πcm的扇形铁片，
∴做一个高为6cm的圆锥的底面周长为16πcm，
∴圆锥的底面半径为：16π÷2π=8cm，
∴圆锥的母线长为：，
∴扇形铁片的面积=cm2，
故答案是：．
5. （2021•山东省泰安市）若△ABC为直角三角形，AC＝BC＝4，以BC为直径画半圆如图所示，则阴影部分的面积为 4 ．
【分析】连接CD．构建直径所对的圆周角∠BDC＝90°，然后利用等腰直角△ABC的性质：斜边上的中线是斜边的一半、中线与垂线重合，求得CD＝BD＝AD，从而求得弦BD与CD所对的弓形的面积相等，所以图中阴影部分的面积＝直角三角形ABC的面积﹣直角三角形BCD的面积．
【解答】解：连接CD．
∵BC是直径，
∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB；
又∵△ABC为等腰直角三角形，
∴CD是斜边AB的垂直平分线，
∴CD＝BD＝AD,
∴＝,
∴S弓形BD＝S弓形CD，
∴S阴影＝SRt△ABC﹣SRt△BCD；
∵△ABC为等腰直角三角形，CD是斜边AB的垂直平分线，
∴SRt△ABC＝2SRt△BCD；
又SRt△ABC＝×4×4＝8，
∴S阴影＝4；
故答案为：4．
6. ．（2021•湖北省宜昌市）“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以边长为2厘米的等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”，该“莱洛三角形”的面积为 （2π﹣2） 平方厘米．（圆周率用π表示）
【分析】图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积等于三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．
【解答】解：过A作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC＝BC＝2厘米，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD＝1厘米，AD＝BD＝厘米，
∴△ABC的面积为BC•AD＝（厘米2），
S扇形BAC＝＝π（厘米2），
∴莱洛三角形的面积S＝3×π﹣2×＝（2π﹣2）厘米2，
故答案为：（2π﹣2）．
7. （2021•广东省）如题图，等腰直角三角形中，，．分别以点B、点C为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交、、于点D、E、F，则图中阴影部分的面积为_________．
【答案】
【解析】，考查阴影面积的求法（主要还是用整体减去局部）
8. （2021•湖北省恩施州）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，问圆形木材的直径是多少？（1尺＝10寸）
答：圆材直径 26 寸．
【分析】过圆心O作OC⊥AB于点C，延长OC交圆于点D，则CD＝1寸，AC＝BC＝AB，连接OA，设圆的半径为x，利用勾股定理在Rt△OAC中，列出方程，解方程可得半径，进而直径可求．
【解答】解：过圆心O作OC⊥AB于点C，延长OC交圆于点D，连接OA，如图：
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC＝AB，．
则CD＝1寸，AC＝BC＝AB＝5寸．
设圆的半径为x寸，则OC＝（x﹣1）寸．
在Rt△OAC中，由勾股定理得：
52+（x﹣1）2＝x2，
解得：x＝13．
∴圆材直径为2×13＝26（寸）．
故答案为：26．
9. （2021•浙江省宁波市） 抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，分别与相切于点C，D，延长交于点P．若，的半径为，则图中的长为________．（结果保留）
【答案】
【解析】
【分析】连接OC、OD，利用切线的性质得到，根据四边形的内角和求得，再利用弧长公式求得答案．
【详解】连接OC、OD，
∵分别与相切于点C，D，
∴，
∵，，
∴，
∴的长=（cm），
故答案为：．
．
10. （2021•浙江省台州）如图，将线段AB绕点A顺时针旋转30°，得到线段AC．若AB＝12，则点B经过的路径长度为_____．（结果保留π）
【答案】
【解析】
【分析】直接利用弧长公式即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
11. 2021•浙江省温州市）若扇形的圆心角为30°，半径为17，则扇形的弧长为 π ．
【分析】根据弧长公式代入即可．
【解答】解：根据弧长公式可得：
l＝＝＝π．
故答案为：π．
12. （2021•湖北省荆门市）如图，正方形ABCD的边长为2，分别以B，C为圆心，以正方形的边长为半径的圆相交于点P，那么图中阴影部分的面积为 2﹣ ．
【分析】连接PB、PC，作PF⊥BC于F，根据等边三角形的性质得到∠PBC＝60°，解直角三角形求出BF、PF，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：连接PB、PC，作PF⊥BC于F，
∵PB＝PC＝BC，
∴△PBC为等边三角形，
∴∠PBC＝60°，∠PBA＝30°，
∴BF＝PB•cos60°＝PB＝1，PF＝PB•sin60°＝，
则图中阴影部分的面积＝[扇形ABP的面积﹣（扇形BPC的面积﹣△BPC的面积）]×2
＝[﹣（﹣×2×）]×2＝2﹣，
故答案为：2﹣．
13. （2021•江苏省盐城市）设圆锥的底面半径为2，母线长为3，该圆锥的侧面积为 6π ．
【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
【解答】解：该圆锥的侧面积＝×2π×2×3＝6π．
故答案为6π．
14. （2021•重庆市A）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点A，C为圆心，AO长为半径画弧，分别交AB，CD于点E，F．若BD＝4，∠CAB＝36°，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留π）．
【答案】
【解析】
【分析】利用矩形的性质求得OA=OC=OB=OD=2，再利用扇形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且BD=4，
∴AC=BD＝4，OA=OC=OB=OD=2，
∴，
故答案为：．
15. （2021•重庆市B）如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝12，BD＝16，分别以点A，B，C，D为圆心，AB的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为 96﹣100π ．（结果保留π）
【分析】先求出菱形面积，再计算四个扇形的面积即可求解．
【解答】解：在菱形ABCD中，有：AC＝12，BD＝16．
∴．
∵∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠DAB＝360°．
∴四个扇形的面积，是一个以AB的长为半径的圆．
∴图中阴影部分的面积＝×12×16﹣π×102＝96﹣100π．
故答案为：96﹣100π．
16.（2021•湖北省十堰市）如图，在边长为4的正方形中，以为直径的半圆交对角线于点E，以C为圆心、长为半径画弧交于点F，则图中阴影部分的面积是_________．
【答案】3-6
【解析】
【分析】连接BE，可得是等腰直角三角形，弓形BE的面积=，再根据阴影部分的面积=弓形BE的面积+扇形CBF的面积-的面积，即可求解．
【详解】连接BE，
∵在正方形中，以为直径的半圆交对角线于点E，
∴∠AEB=90°，即：AC⊥BE，
∵∠CAB=45°，
∴是等腰直角三角形，即：AE=BE，
∴弓形BE的面积=，
∴阴影部分的面积=弓形BE的面积+扇形CBF的面积-的面积
=+-=3-6．
故答案是：3-6．
17. （2021•湖南省永州市）某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为60π，底面半径为6的圆锥模型（如图所示），则此圆锥的母线长为 ．
18.（2021•黑龙江省大庆市）一个圆柱形橡皮泥，底面积是12cm2．高是5cm．如果这个橡皮泥的一半，把它捏成高为5cm的圆锥，则这个圆锥的底面积是 cm2；
【分析】首先求出圆柱体积，根据题意得出圆柱体积的一半即为圆锥的体积，根据圆锥体积计算公式列出方程，即可求出圆锥的底面积．
【详解】Ｖ圆柱＝=，
这个橡皮泥的一半体积为：，
把它捏成高为的圆锥，则圆锥的高为5cm，
故，
即，
解得（cm2），
故填：18．
19. （2021•黑龙江省大庆市） 如图，作⊙O的任意一条直经FC，分别以F、C为圆心，以FO的长为半径作弧，与⊙O相交于点E、A和D、B，顺次连接AB、BC、CD、DE、EF、FA，得到六边形ABCDEF，则⊙O的面积与阴影区域的面积的比值为 ；
【分析】可将图中阴影部分的面积转化为两个等边三角形的面积之和，设⊙O的半径与等边三角形的边长为，分别表示出圆的面积和两个等边三角形的面积，即可求解
【详解】连接，，，，
由题可得：
为边长相等的等边三角形
可将图中阴影部分的面积转化为和的面积之和，如图所示：
设⊙O的半径与等边三角形的边长为，
⊙O的面积为
等边与等边的边长为
⊙O的面积与阴影部分的面积比为
故答案为：．
20. （2021•吉林省长春市）如图是圆弧形状的铁轨示意图，半径OA的长度为200米，圆心角，则这段铁轨的长度 米，（铁轨的宽度忽略不计，结果保留π）
【分析】根据圆的弧长计算公式l＝，代入计算即可．
【解答】解：圆弧长是：＝100π（米）．
故答案是：100π．
21. （2021•绥化市）一条弧所对的圆心角为135°弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为__________cm．
【答案】40
【解析】
【分析】设出弧所在圆的半径，由于弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，所以根据原题所给出的等量关系，列出方程，解方程即可．
【详解】解：设弧所在圆的半径为r，由题意得，
，
解得，r=40cm．
22. （2021•江苏省无锡市）用半径为50，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ．
【分析】圆锥的底面圆半径为r，根据圆锥的底面圆周长＝扇形的弧长，列方程求解．
【解答】解：设圆锥的底面圆半径为r，依题意，得
2πr＝，
解得r＝．
故答案为：．
23. （2021•山东省济宁市）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，点O为BC的中点，以O为圆心，以OB为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是 ﹣ ．
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，即可求得DE的长、∠DOB的度数，然后根据图形可知阴影部分的面积是△ABC的面积减去△COD的面积和扇形BOD的面积，从而可以解答本题．
【解答】解，连接OD，过D作DE⊥BC于E，
在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，
∴sinC＝＝＝，BC＝＝＝2，
∴∠C＝30°，
∴∠DOB＝60°，
∵OD＝BC＝，
∴DE＝，
∴阴影部分的面积是：2×2﹣﹣＝﹣，
故答案为：﹣．
24.（2021•呼和浩特市）已知圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为__________．（用含π的代数式表示），圆心角为__________度．，216
25. （2021•齐齐哈尔市）一个圆锥的底面圆半径为6cm，圆锥侧面展开图扇形的圆心角为240°，则圆锥的母线长为_____cm．
【答案】9．
【解析】
【详解】试题分析：求得圆锥的底面周长，利用弧长公式即可求得圆锥的母线长：
∵圆锥的底面周长为：2π×6=12π，
∴圆锥侧面展开图的弧长为12π.
设圆锥的母线长为R，
∴，解得R=9cm．
考点：圆锥的计算．
26. （2021•内蒙古通辽市）如图，AB是⊙O的弦，AB＝2，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝60°，若点M，N分别是AB，BC的中点，则图中阴影部分面积的最大值是 ﹣ ．
【分析】连接OA、OB、OM，根据圆周角定理得到∠AOB＝120°，求出OM＝1，OA＝2，再根据三角形中位线性质得到MN∥AC，MN＝AC，然后根据三角形相似得到＝（）2＝，故当△ABC的面积最大时，△MBN的面积最大，由C、O、M在一条直线时，△ABC的面积最大，求得△ABC的最大值，进而即可求得△MBN的面积最大值，利用扇形的面积和三角形的面积求得弓形的面积，进而即可求得阴影部分的最大值．
【解答】解：连接OA、OB、OM，如图，
∵∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∵AM＝BM＝AB＝，
∴OM⊥AB，
∴tan30°＝，
∴OM＝×＝1，
∴OA＝2OM＝2，
∵点M、N分别是AB、BC的中点，
∴MN∥AC，MN＝AC，
∴△MBN∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∴当△ABC的面积最大时，△MBN的面积最大，
∵C、O、M在一条直线时，△ABC的面积最大，
∴△ABC的面积最大值为：××（2+1）＝3，
∴△MBN的面积最大值为：，
∵S弓形＝S扇形OAB﹣S△AOB＝﹣＝﹣，
∴此时，S阴影＝﹣+＝﹣，
故答案为：﹣．
27. （2021•黑龙江省龙东地区）若一个圆锥的底面半径为1cm，它的侧面展开图的圆心角为，则这个圆锥的母线长为____ cm．
【答案】4
【解析】
【分析】根据圆锥侧面展开图可知圆锥底面圆的周长即为侧面展开图的弧长，然后由题意可进行求解．
【详解】解：设母线长为R，由题意得：
，
∴，
解得：，
∴这个圆锥的母线长为4cm，
故答案为4．
28. （2021•绥化市）边长为的正六边形，它的外接圆与内切圆半径的比值是_______．
【答案】
【解析】
【分析】依题意作出图形，找出直角三角形，它的外接圆与内切圆半径为直角三角形的两条边，根据三角函数值即可求出．
【详解】如图：正六边形中，过作
中，,
它的外接圆与内切圆半径的比值是
．
故答案为．
三、解答题
1. （2021•湖北省黄冈市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC分别相切于点E，F，BO平分∠ABC
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BE＝AC＝3，⊙O的半径是1，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）有切点则连圆心，证明垂直关系；无切点则作垂线，证明等于半径；
（2）将不规则图形转化为规则图形间的换算．
【解答】（1）证明：
连接OE，OF，
∵BO是∠ABC的平分线，
∴OD═OE，OE是圆的一条半径，
∴AB是⊙O的切线，
故：AB是⊙O的切线．
（2）∵BC、AC与圆分别相切于点E，
∴OE⊥BC，OF⊥AC，
∴四边形OECF是正方形，
∴OE═OF═EC═FC═1，
∴BC═BE+EC═4，又AC═3，
∴S阴影═（S△ABC﹣S正方形OECF﹣优弧所对的S扇形EOF）
═×（）
═﹣．
故图中阴影部分的面积是：﹣．
2. （2021•湖南省邵阳市）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1：2．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC．将扇形AEF围成圆锥时，AE，AF恰好重合．
（1）求这种加工材料的顶角∠BAC的大小．
（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留π）
【分析】(1)设∠BAC＝n°．根据弧EF的两种求法，构建方程，可得结论．
（2）根据S阴＝•BC•AD﹣S扇形AEF求解即可．
【解答】解：（1）设∠BAC＝n°．
由题意得π•DE＝,AD＝2DE,
∴n＝90,
∴∠BAC＝90°．
(2)∵AD＝2DE＝10(cm),
∴S阴＝•BC•AD﹣S扇形AEF＝×10×20﹣＝(100﹣25π)cm2．
3. （2021•江西省）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，点C作CE⊥AB于点E，连接AC．
（1）求证：∠CAD＝∠ECB；
（2）若CE是⊙O的切线，∠CAD＝30°，连接OC，如图2．
①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；
②当AB＝2时，求AD，AC与围成阴影部分的面积．
【分析】（1）先判断出∠CBE＝∠D,再用等角的余角相等，即可得出结论；
（2）①先判断出OC∥AB，再判断出BC∥OA，进而得出四边形ABCO是平行四边形，即可得出结论；
②先求出AC，BC，再用面积的和，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠CBE＝∠D，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠D+∠CAD＝90°，
∴∠CBE+∠CAD＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠CBE+∠BCE＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE；
(2)①四边形ABCO是菱形，理由：
∵∠CAD＝30°，
∴∠COD＝2∠CAD＝60°，∠D＝90°﹣∠CAD＝60°，
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∴CE⊥AB，
∴OC∥AB，
∴∠DAB＝∠COD＝60°，
由（1）知，∠CBE+∠CAD＝90°，
∴∠CBE＝90°﹣∠CAD＝60°＝∠DAB，
∴BC∥OA，
∴四边形ABCO是平行四边形，
∵OA＝OC，
∴▱ABCO是菱形；
②由①知，四边形ABCO是菱形，
∴OA＝OC＝AB＝2，
∴AD＝2OA＝4，
由①知，∠COD＝60°，
在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，
∴CD＝2，AC＝2，
∴AD，AC与围成阴影部分的面积为S△AOC+S扇形COD
＝S△ACD+S扇形COD
＝××2×2+
＝+π．
4. （2021•湖北省随州市）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷．
（1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为_____，其内切圆的半径长为______；
（2）①如图1，是边长为的正内任意一点，点为的中心，设点到各边距离分别为，，，连接，，，由等面积法，易知，可得_____；（结果用含的式子表示）
②如图2，是边长为的正五边形内任意一点，设点到五边形各边距离分别为，，，，，参照①的探索过程，试用含的式子表示的值．（参考数据：，）
（3）①如图3，已知的半径为2，点为外一点，，切于点，弦，连接，则图中阴影部分的面积为______；（结果保留）
②如图4，现有六边形花坛，由于修路等原因需将花坛进行改造．若要将花坛形状改造成五边形，其中点在的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点的位置，并说明理由．
（1），1；（2）①；②；（3）①；②见解析．
【分析】
（1）根据等积法解得直角三角形斜边上的高的长，及利用内切圆的性质解题即可；
（2）①先求得边长为的正的面积，再根据解题即可；②设点为正五边形的中心，连接，，过作于，先由正切定义，解得的长，由①中结论知，，继而得到，据此解题；
（3）①由切线性质解得，再由平行线性质及等腰三角形性质解得，根据平行线间的距离相等，及同底等高或等底同高的两个三角形面积相等的性质，可知图中阴影部分的面积等于扇形OBC的面积，最后根据扇形面积公式解题；②连接，过点作交的延长线于点，根据，据此解题．
【详解】
解：（1）直角三角形的面积为：，
直角三角形斜边为：，
设直角三角形斜边上的高为，则
设直角三角形内切圆的半径为，则
，
故答案为：，1；
（2）①边长为的正底边的高为，面积为：
，
故答案为：；
②类比①中方法可知，
设点为正五边形的中心，连接，，
由①得，
过作于，，
故，，
故，从而得到：
．
（3）①是的切线，
过点作
，
是的高，
故答案为：；
②如图，连接，过点作交的延长线于点，则点即为所求，
连接，∵，
∵，
∴，
∴．
5. （2021•襄阳市） 如图，直线经过上的点，直线与交于点和点，与交于点，与交于点，，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分面积．
【答案】（1）见解析；（2）
6. （2021•贵州省贵阳市）如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，点E是的中点，过点E作AB的垂线，交AB于点M，交⊙O于点N，分别连接EB，CN．
（1）EM与BE的数量关系是 BE＝EM ；
（2）求证：＝；
（3）若AM＝，MB＝1，求阴影部分图形的面积．
【分析】（1）证得△BME是等腰直角三角形即可得到结论；
（2）根据垂径定理得到∠EMB＝90°，进而证得∠ABE＝∠BEN＝45°，得到＝，根据题意得到＝，进一步得到＝；
（3）先解直角三角形得到∠EAB＝30°，从而得到∠EOB＝60°，证得△EOB是等边三角形，则OE＝BE＝，然后证得△OEB≌△OCN，然后根据扇形的面积公式和三角形面积公式求得即可．
【解答】解：（1）∵AC为⊙O的直径，点E是的中点，
∴∠ABE＝45°，
∵AB⊥EN，
∴△BME是等腰直角三角形，
∴BE＝EM，
故答案为BE＝EM；
（2）连接EO，AC是⊙O的直径，E是的中点，
∴∠AOE＝90°，
∴∠ABE＝∠AOE＝45°，
∵EN⊥AB，垂足为点M，
∴∠EMB＝90°
∴∠ABE＝∠BEN＝45°，
∴＝，
∵点E是的中点，
∴＝，
∴＝，
∴﹣＝﹣，
∴＝；
（3）连接AE，OB，ON，
∵EN⊥AB，垂足为点M，
∴∠AME＝∠EMB＝90°，
∵BM＝1，由（2）得∠ABE＝∠BEN＝45°，
∴EM＝BM＝1，
又∵BE＝EM，
∴BE＝，
∵在Rt△AEM中，EM＝1，AM＝，
∴tan∠EAB＝＝，
∴∠EAB＝30°，
∵∠EAB＝∠EOB，
∴∠EOB＝60°，
又∵OE＝OB，
∴△EOB是等边三角形，
∴OE＝BE＝，
又∵＝，
∴BE＝CN，
∴△OEB≌△OCN（SSS），
∴CN＝BE＝
又∵S扇形OCN＝＝，S△OCN＝CN•CN＝×＝，
∴S阴影＝S扇形OCN﹣S△OCN＝﹣．
7. （2021•湖北省黄石市）如图，、是的切线，、是切点，是的直径，连接，交于点，交于点．
（1）求证：；
（2）若恰好是的中点，且四边形的面积是，求阴影部分的面积；
（3）若，且，求切线的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）证明∠POB=∠CBO，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论；
（2）证明△AOD是等边三角形得∠AOD=60°，设OA=R，求出AE=，AB=，PO=2R，根据四边形的面积是求出R，再利用求解即可；
（3）利用设出BC=m，则AC=3m，分别求出，DE=m，在Rt△AED中运用勾股定理列方程，求出m的值，再证明∠APO=∠BAC，利用求出PA的长．
【详解】解：（1）证明：∵是的切线
∴，即
∴
∵AC是的直径
∴∠ABC=90°
∴
∴
（2）∵E是OD的中点，且AB⊥OD，
∴AO=AD，
又AO=OD
∴△AOD是等边三角形
∴∠AOD=60°
∵PA是的切线，OA是的半径，
∴∠OAP=90°
∴∠APO=30°
∴PO=2AO
在中，∠AOE=60°
∴∠OAE=30°
设OA=R，则
∴
∴
∵四边形的面积是，
∴，即
解得，（负值舍去）
∴
∵
∴
∴
（3）∵
∴
故设BC=m，则AC=3m，
∴
∵OE//BC
∴
在Rt△AEO中，
在Rt△AED中，
∴
∴ (负值舍去)
∴
∵
∴
∴
∴
8. （2021•四川省达州市）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点（C不与点A，B重合），BC，过点C作CD⊥AB，点D落在点E处得△ACE，AE交⊙O于点F．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝15°，OA＝2，求阴影部分面积．
【分析】（1）连接OC，求得∠ACO＝∠EAC，根据内错角相等两直线平行得到OC∥AE，进而求得∠ECO＝90°，即可证明CE是⊙O的切线；
（2）根据锐角三角函数求出OG、AG、CD、OD，进而求得AF、AE，利用S阴影＝S梯形OCEF﹣S扇形OCF即可求得面积．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵△ACD沿AC翻折得到△ACE，
∴∠EAC＝∠BAC，∠E＝∠ADC＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠BAC，
∴∠ACO＝∠EAC，
∴OC∥AE，
∴∠AEC+∠ECO＝180°，
∴∠ECO＝90°，即OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切线；
（2）连解：接OF，过点O作OG⊥AE于点G，
∵∠BAC＝15°，
∴∠BAE＝2∠OAC＝30°，
∵OA＝2，
∴OG＝OA＝1，
∵OA＝OF，
∴AF＝2AG＝2，
∵∠BOC＝2∠BAC＝30°，CD⊥AB，
∴CD＝OC＝1，
∴AE＝AD＝AO+OD＝5+，
∴EF＝AE﹣AF＝2﹣，CE＝CD＝1，
∴S阴影＝S梯形OCEF﹣S扇形OCF
＝×（2﹣×π×72
＝2﹣﹣π．
9. （2021•湖南省张家界市）如图，在中，=90°，=30°，以点为圆心，为半径的圆交的延长线于点，过点作的平行线，交⊙于点，连接.
（1）求证：为⊙的切线；
（2）若=2，求弧的长.
（1）证明：连接
∵30°，90°
∴60°
又∵
∴60°
∴120°
∴60°
又∵
∴
90°
又∵点在⊙上
∴是⊙的切线
（2）∵120°
∴60°
∴
10. （2021•江苏省扬州）如图，四边形中，，，，连接，以点B为圆心，长为半径作，交于点E．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）相切，理由见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）过点B作BF⊥CD，证明△ABD≌△FBD，得到BF=BA，即可证明CD与圆B相切；
（2）先证明△BCD是等边三角形，根据三线合一得到∠ABD=30°，求出AD，再利用S△ABD-S扇形ABE求出阴影部分面积．
【详解】解：（1）过点B作BF⊥CD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵CB=CD，
∴∠CBD=∠CDB，
∴∠ADB=∠CDB，又BD=BD，∠BAD=∠BFD=90°，
∴△ABD≌△FBD（AAS），
∴BF=BA，则点F在圆B上，
∴CD与圆B相切；
（2）∵∠BCD=60°，CB=CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠CBD=60°
∵BF⊥CD，
∴∠ABD=∠DBF=∠CBF=30°，
∴∠ABF=60°，
∵AB=BF=，
∴AD=DF==2，
∴阴影部分的面积=S△ABD-S扇形ABE
=
=．
11. （2021•河北省）如图，⊙O的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为An（n为1～12的整数），过点A7作⊙O的切线交A1A11延长线于点P．
（1）通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长；
（2）连接A7A11，则A7A11和PA1有什么特殊位置关系？请简要说明理由；
（3）求切线长PA7的值．
【分析】（1）利用弧长公式求解即可．
（2）利用圆周角定理证明即可．
（3）解直角三角形求出PA7即可．
【解答】解：（1）由题意，∠A7OA11＝120°，
∴的长＝＝4π＞12，
∴比直径长．
（2）结论：PA1⊥A7A11．
理由：连接A1A7．
∵A1A7是⊙O的直径，
∴∠A7A11A1＝90°，
∴PA1⊥A7A11．
（3）∵PA7是⊙O的切线，
∴PA7⊥A1A7，
∴∠PA7A1＝90°，
∵∠PA1A7＝60°，A1A7＝12，
∴PA7＝A1A7•tan60°＝12．
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