2021全国中考数学真题分类汇编--圆——与圆有关的位置关系

这是一份2021全国中考数学真题分类汇编--圆——与圆有关的位置关系，共75页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021全国中考真题分类汇编（圆）
----与圆有关的位置关系
一、选择题
1. （2021•山东省临沂市）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B，∠P＝70°，C为⊙O上一点，则∠ACB的度数为（　　）

A．110° B．120° C．125° D．130°
2. （2021•山东省泰安市）如图，在△ABC中，AB＝6，以点A为圆心，3为半径的圆与边BC相切于点D，与AC，AB分别交于点E和点G，点F是优弧GE上一点，∠CDE＝18°，则∠GFE的度数是（　　）

A．50° B．48° C．45° D．36°
3. （2021•上海市）如图，已知长方形中，，圆B的半径为1，圆A与圆B内切，则点与圆A的位置关系是（ ）

A. 点C在圆A外，点D在圆A内 B. 点C在圆A外，点D在圆A外
C. 点C在圆A上，点D在圆A内 D. 点C在圆A内，点D在圆A外
4. （2021•山西）如图，在eO 中，AB 切eO 于点 A，连接 OB 交eO 于点 C，过点 A 作 AD//OB 交eO 于点 D，连接 CD.若ÐB = 50° ，则ÐOCD 为（ ）
A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°





5.（2021•四川省凉山州）如图，等边三角形ABC的边长为4，的半径为，P为AB边上一动点，过点P作的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为________．

6. （2021•泸州市）如图，⊙O的直径AB=8，AM，BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C两点，BD，OC相交于点F，若CD=10，则BF的长是

A. B. C. D.
7. （2021•浙江省嘉兴市）已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，则直线AB与⊙O的位置关系为（　　）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
8. （2021•湖北省荆门市）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，若∠P＝70°，则∠ABO＝（　　）

A．30° B．35° C．45° D．55°
9. （2021•福建省）如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD与⊙O相切，切点分别为C，D．若AB＝6，PC＝4，则sin∠CAD等于（　　）

A． B． C． D．
10. （2021•吉林省长春市）如图，AB是的直径，BC是的切线，若，则的大小为（ ）

A. B. C. D.
11. （2021•广西贺州市）如图，在中，，，点在上，，以为半径的与相切于点，交于点，则的长为（ ）

A. B. C. D. 1
12. （2021•贵州省贵阳市）如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，C两点，则∠AOC的度数是（　　）

A．144° B．130° C．129° D．108°
13. （2021•湖南省娄底市）如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙与直线只有一个公共点时，点A的坐标为（ ）

A. B. C. D.
二．填空题
1. （2021•岳阳市）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、，，为的外接圆，过点作的切线交于点，则下列结论正确的是______．（写出所有正确结论的序号）
①；②；③若，则的长为；④；⑤若，则．

2. （2021•江苏省南京市） 如图，是五边形外接圆的切线，则______．

3. （2021•陕西省）如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1．若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切）　　．

4. （2021•湖北省荆州市）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，OD⊥AC于D，连接OC，过点D作DF∥OC交AB于F，过点B的切线交AC的延长线于E．若AD＝4，DF＝，则BE＝　　．

5. （2021•青海省）点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4cm，最大距离是9cm，则⊙的半径是 　　．
6. （2021•浙江省杭州）如图，已知⊙O的半径为1，点P是⊙O外一点，T为切点，连结OT，则PT=　　．

7. （2021•浙江省温州市）如图，⊙O与△OAB的边AB相切，切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O′A′B，边A′B交线段AO于点C．若∠A′＝25°，则∠OCB＝　　度．

8. （2021•浙江省温州市）图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个小正方形组成，将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形（如图2）　　；记图1中小正方形的中心为点A，B，C，图2中的对应点为点A′，B′，C′,以大正方形的中心O为圆心作圆，则当点A′，B′，则当点A′，B′，C′在圆内或圆上时。圆的最小面积为 　　．

9. （2021•北京市）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点．若∠P＝50°，则∠AOB＝　 　．



三、解答题
1. （2021•甘肃省定西市）如图，△ABC内接于⊙O，D是⊙O的直径AB的延长线上一点，∠DCB＝∠OAC．过圆心O作BC的平行线交DC的延长线于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD＝4，CE＝6，求⊙O的半径及tan∠OCB的值．








2.（2021•湖南省常德市）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心，AB为直径的圆交AC于D，E是BC的中点，DE交BA的延长线于F．

（1）求证：FD是圆O的切线；
（2）若，，求的长．




3.（2021•湖南省衡阳市）如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，E为的中点，点C在BA的延长线上，且∠CDA＝∠B．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若DE＝2，∠BDE＝30°，求CD的长．





4.（2021•怀化市）如图，在半径为5cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，E是BC的中点，OE＝3cm．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求AD的长．





5.（2021•江苏省连云港） 如图，中，，以点C为圆心，为半径作，D为上一点，连接、，，平分．
（1）求证：是切线；
（2）延长、相交于点E，若，求的值．





6. （2021•宿迁市）如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，以点O为圆心，OA为半径的圆交AB于点C，点D在边OB上，且CD= BD．
（1）判断直线CD与圆O的位置关系，并说明理由；
（2）已知AB=40，求的半径．






7.（2021•山东省聊城市）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，AE是直径，交BC于点H，点D在上，连接AD，CD过点E作EF∥BC交AD的延长线于点F，延长BC交AF于点G．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若BC＝2，AH＝CG＝3，求EF和CD的长．





8.（2021•湖北省随州市）如图，D是以AB为直径的⊙O上一点，过点D的切线DE交AB的延长线于点E，过点B作BC⊥DE交AD的延长线于点C，垂足为点F．

（1）求证：AB=BC；
（2）若的直径为9，．
①求线段的长；
②求线段的长．




9.（2021•湖北省宜昌市）如图，在菱形ABCD中，O是对角线BD上一点（BO＞DO），OE⊥AB，垂足为E，以OE为半径的⊙O分别交DC于点H，交EO的延长线于点F，EF与DC交于点G．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若G是OF的中点，OG＝2，DG＝1．
①求的长；
②求AD的长．





10.（2021•山东省菏泽市）如图，在⊙O中，AB是直径，弦CD⊥AB，垂足为H，E为上一点，F为弦DC延长线上一点，连接FE并延长交直径AB的延长线于点G，连接AE交CD于点P，若FE＝FP．
（1）求证：FE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为8，sinF＝，求BG的长．





11. （2021•四川省成都市）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，D为AB延长线上一点，连接CD，且∠BCD＝∠A．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为，△ABC的面积为2，求CD的长；
（3）在（2）的条件下，E为⊙O上一点，连接CE交线段OA于点F，若＝，求BF的长．






12.（2021•四川省乐山市）如图，已知点是以为直径的圆上一点，是延长线上一点，过点作的垂线交的延长线于点，连结，且．

（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．




13. （2021•四川省凉山州）如图，在中，，AE 平分交BC于点E，点D在AB上，．是的外接圆，交AC于点F．

（1）求证：BC是的切线；
（2）若的半径为5，，求．



14.（2021•泸州市）如图，ABC是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F，AE是⊙O的直径，连接EC

（1）求证：；
（2）若，于点，，，求的值



15. (2021•四川省自贡市)如图，点D在以AB为直径的⊙O上，过D作⊙O的切线交AB延长线于点C，于点E，交⊙O于点F，连接AD，FD．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，，求EF的长．










16. （2021•天津市） 已知内接于，点D是上一点．

（Ⅰ）如图①，若为的直径，连接，求和的大小；
（Ⅱ）如图②，若//，连接，过点D作切线，与的延长线交于点E，求的大小．



17. （2021•湖北省恩施州）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，⊙O与AB相交于点C，与AO相交于点E，连接CE，已知∠AOC＝2∠ACE．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若AO＝20，BO＝15，求CE的长．






18.（2021•浙江省温州市）如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点O（2，0），B（0，8），连结AB．直线CM分别交⊙M于点D，E（点D在左侧），交x轴于点C（17，0）
（1）求⊙M的半径和直线CM的函数表达式；
（2）求点D，E的坐标；
（3）点P在线段AC上，连结PE．当∠AEP与△OBD的一个内角相等时，求所有满足条件的OP的长．





19.（2021•江苏省盐城市）如图，O为线段PB上一点，以O为圆心，OB长为半径的⊙O交PB于点A，点C在⊙O上，连接PC，满足PC2＝PA•PB．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若AB＝3PA，求的值．




20.（2021•广西贺州市）如图，在中，，是上的一点，以为直径的与相切于点，连接，．
（1）求证：平分；
（2）若，求的值．





21. （2021•江苏省无锡市）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，AC与BD交于点E，PB切⊙O于点B．
（1）求证：∠PBA＝∠OBC；
（2）若∠PBA＝20°，∠ACD＝40°，求证：△OAB∽△CDE．





22.（2021•齐齐哈尔市） 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AE和过点C的切线CD互相垂直，垂足为E，AE与⊙O相交于点F，连接AC．

（1）求证：AC平分；
（2）若，．求OB的长．



23.（2021•内蒙古通辽市）如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AC，点P是射线AC上的动点，连接OP，过点B作BD∥OP，交⊙O于点D，连接PD．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）当四边形POBD是平行四边形时，求∠APO的度数．













答案
一、选择题
1. （2021•山东省临沂市）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B，∠P＝70°，C为⊙O上一点，则∠ACB的度数为（　　）

A．110° B．120° C．125° D．130°
【分析】由切线的性质得出∠OAP＝∠OBP＝90°，利用四边形内角和可求∠AOB＝110°，再利用圆周角定理可求∠ADB＝55°，再根据圆内接四边形对角互补可求∠ACB．
【解答】解：如图所示，连接OA，OB，在优弧AB上取点D，连接AD，BD，

∵AP、BP是⊙O切线，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，
∴∠ADB＝AOB＝55°，
又∵圆内接四边形的对角互补，
∴∠ACB＝180°﹣∠ADB＝180°﹣55°＝125°．
故选：C．
2. （2021•山东省泰安市）如图，在△ABC中，AB＝6，以点A为圆心，3为半径的圆与边BC相切于点D，与AC，AB分别交于点E和点G，点F是优弧GE上一点，∠CDE＝18°，则∠GFE的度数是（　　）

A．50° B．48° C．45° D．36°
【分析】连接AD,根据切线的性质得到AD⊥BC,根据垂直的定义得到∠ADB＝∠ADC＝90°,根据直角三角形的性质得到∠B＝30°,根据三角形的内角和定理得到∠GAD＝60°,根据等腰三角形的性质得到∠AED＝∠ADE＝72°,根据圆周角定理即可得到结论。
【解答】解：连接AD,
∵BC与⊙A相切于点D，
∴AD⊥BC,
∴∠ADB＝∠ADC＝90°,
∵AB＝6,AG＝AD＝3,
∴AD＝AB,
∴∠B＝30°
∴∠GAD＝60°,
∵∠CDE＝18°，
∴∠ADE＝90°﹣18°＝72°,
∵AD＝AE,
∴∠AED＝∠ADE＝72°,
∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝180°﹣72°﹣72°＝36°,
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝60°+36°＝96°,
∴∠GFE＝GAE＝96°＝48°,
故选：B．


3. （2021•上海市）如图，已知长方形中，，圆B的半径为1，圆A与圆B内切，则点与圆A的位置关系是（ ）

A. 点C在圆A外，点D在圆A内 B. 点C在圆A外，点D在圆A外
C. 点C在圆A上，点D在圆A内 D. 点C在圆A内，点D在圆A外
【答案】C
【解析】
【分析】根据内切得出圆A的半径，再判断点D、点E到圆心的距离即可
【详解】
∵圆A与圆B内切，，圆B的半径为1
∴圆A的半径为5
∵<5
∴点D在圆A内
在Rt△ABC中，
∴点C在圆A上
故选：C
4. （2021•山西）如图，在eO 中，AB 切eO 于点 A，连接 OB 交eO 于点 C，过点 A 作 AD//OB 交eO 于点 D，连接 CD.若ÐB = 50° ，则ÐOCD 为（ ）
A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°






5. （2021•四川省凉山州）如图，等边三角形ABC的边长为4，的半径为，P为AB边上一动点，过点P作的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为________．

【答案】3
【解析】
【分析】连接OC和PC，利用切线的性质得到CQ⊥PQ，可得当CP最小时，PQ最小，此时CP⊥AB，再求出CP，利用勾股定理求出PQ即可．
【详解】解：连接QC和PC，
∵PQ和圆C相切，
∴CQ⊥PQ，即△CPQ始终为直角三角形，CQ为定值，
∴当CP最小时，PQ最小，
∵△ABC是等边三角形，
∴当CP⊥AB时，CP最小，此时CP⊥AB，
∵AB=BC=AC=4，
∴AP=BP=2，
∴CP==，
∵圆C的半径CQ=，
∴PQ==3，
故答案为：3．




6. （2021•泸州市）如图，⊙O的直径AB=8，AM，BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C两点，BD，OC相交于点F，若CD=10，则BF的长是

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】过点D作DG⊥BC于点G，延长CO交DA的延长线于点H，根据勾股定理求得，即可得AD=BG=2，BC= 8，再证明△HAO≌△BCO，根据全等三角形的性质可得AH=BC=8，即可求得HD= 10；在Rt△ABD中，根据勾股定理可得；证明△DHF∽△BCF，根据相似三角形的性质可得，由此即可求得．
【详解】过点D作DG⊥BC于点G，延长CO交DA的延长线于点H，

∵AM，BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，
∴AD=DE，BC=CE，∠DAB=∠ABC=90°，
∵DG⊥BC，
∴四边形ABGD为矩形，
∴AD=BG，AB=DG=8，
在Rt△DGC中，CD=10，
∴，
∵AD=DE，BC=CE，CD=10，
∴CD= DE+CE = AD+BC =10，
∴AD+BG +GC=10，
∴AD=BG=2，BC=CG+BG=8，
∵∠DAB=∠ABC=90°，
∴AD∥BC，
∴∠AHO=∠BCO，∠HAO=∠CBO，
∵OA=OB，
∴△HAO≌△BCO，
∴AH=BC=8，
∵AD=2，
∴HD=AH+AD=10；
在Rt△ABD中，AD=2，AB=8，
∴，
∵AD∥BC，
∴△DHF∽△BCF，
∴，
∴，
解得，．
故选A．

7. （2021•浙江省嘉兴市）已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，则直线AB与⊙O的位置关系为（　　）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【解答】解：⊙O的半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，
即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，
∴点A在⊙O外，点B在⊙O上，
∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切，
故选：D．
8. （2021•湖北省荆门市）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，若∠P＝70°，则∠ABO＝（　　）

A．30° B．35° C．45° D．55°
【分析】连接OA，根据切线的性质得到∠PBO＝∠PAO＝90°，根据四边形的内角和等于360°得到∠BOA＝360°﹣∠PBO﹣∠PAO﹣∠P＝110°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：连接OA，
∵PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，
∴∠PBO＝∠PAO＝90°，
∵∠P＝70°，
∴∠BOA＝360°﹣∠PBO﹣∠PAO﹣∠P＝110°，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝（180°﹣∠BOA）＝（180°﹣110°）＝35°，
故选：B．


9. （2021•福建省）如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD与⊙O相切，切点分别为C，D．若AB＝6，PC＝4，则sin∠CAD等于（　　）

A． B． C． D．

10. （2021•吉林省长春市）如图，AB是的直径，BC是的切线，若，则的大小为（ ）

A. B. C. D.

11. （2021•广西贺州市）如图，在中，，，点在上，，以为半径的与相切于点，交于点，则的长为（ ）

A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】连接OD，EF，可得OD∥BC，EF∥AC，从而得，，进而即可求解．
【详解】解：连接OD，EF，

∵与相切于点，BF是的直径，
∴OD⊥AC，FE⊥BC，
∵，
∴OD∥BC，EF∥AC，
∴，，
∵，，
∴OD=OB=2，AO=5-2=3，BF=2×2=4，
∴，，
∴BC=，BE=，
∴CE=-=．
故选：B．

12. （2021•贵州省贵阳市）如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，C两点，则∠AOC的度数是（　　）

A．144° B．130° C．129° D．108°
【分析】先根据五边形的内角和求∠E＝∠D＝108°，由切线的性质得：∠OAE＝∠OCD＝90°，最后利用五边形的内角和相减可得结论．
【解答】解：正五边形的内角＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，
∴∠E＝∠D＝108°，
∵AE、CD分别与⊙O相切于A、C两点，
∴∠OAE＝∠OCD＝90°，
∴∠AOC＝540°﹣90°﹣90°﹣108°﹣108°＝144°，
故选：A．

13. （2021•湖南省娄底市）如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙与直线只有一个公共点时，点A的坐标为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】当⊙与直线只有一个公共点时，则此时⊙A与直线相切，（需考虑左右两侧相切的情况）；设切点为，此时点同时在⊙A与直线上，故可以表示出点坐标，过点作，则此时，利用相似三角形的性质算出长度，最终得出结论．
【详解】如下图所示，连接，过点作，

此时点坐标可表示为，
∴，，
在中，，
又∵半径为5，
∴，
∵，
∴，
则，
∴，
∴，
∵左右两侧都有相切的可能，
∴A点坐标为，
故选：D．

二．填空题
1. （2021•岳阳市）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、，，为的外接圆，过点作的切线交于点，则下列结论正确的是______．（写出所有正确结论的序号）
①；②；③若，则的长为；④；⑤若，则．

【答案】①②④⑤

2. （2021•江苏省南京市） 如图，是五边形外接圆的切线，则______．

【答案】
【解析】
【分析】由切线的性质可知切线垂直于半径，所以要求的5个角的和等于5个直角减去五边形的内角和的一半．
【详解】如图：过圆心连接五边形的各顶点，
则





．
故答案为：．

3. （2021•陕西省）如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1．若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切）　3+1　．

【分析】当⊙O与CB、CD相切时，点A到⊙O上的点Q的距离最大，如图，过O点作OE⊥BC于E，OF⊥CD于F，根据切线的性质得到OE＝OF＝1，利用正方形的性质得到点O在AC上，然后计算出AQ的长即可．
【解答】解：当⊙O与CB、CD相切时，如图，
过O点作OE⊥BC于E，OF⊥CD于F，
∴OE＝OF＝1，
∴OC平分∠BCD，
∵四边形ABCD为正方形，
∴点O在AC上，
∵AC＝BC＝5OE＝，
∴AQ＝OA+OQ＝4﹣+1＝3，
即点A到⊙O上的点的距离的最大值为3+3，
故答案为3+2．


4. （2021•湖北省荆州市）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，OD⊥AC于D，连接OC，过点D作DF∥OC交AB于F，过点B的切线交AC的延长线于E．若AD＝4，DF＝，则BE＝　　．

【分析】根据垂径定理得到AD＝DC，根据三角形中位线定理求出OC，根据勾股定理求出OD，证明△AOD∽△AEB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【解答】解：∵OD⊥AC，AD＝4，
∴AD＝DC＝4，
∵DF∥OC，DF＝，
∴OC＝2DF＝5，
在Rt△COD中，OD＝＝3，
∵BE是⊙O的切线，
∴AB⊥BE，
∵OD⊥AD，
∴∠ADO＝∠ABE，
∵∠OAD＝∠EAB，
∴△AOD∽△AEB，
∴＝，即＝，
解得：BE＝，
故答案为：．

5. （2021•青海省）点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4cm，最大距离是9cm，则⊙的半径是 　6.5cm或2.5cm　．
【分析】点应分为位于圆的内部于外部两种情况讨论：①当点P在圆内时，直径＝最小距离+最大距离；②当点P在圆外时，直径＝最大距离﹣最小距离．
【解答】解：分为两种情况：

①当点在圆内时，如图1，
∵点到圆上的最小距离PB＝4cm，最大距离PA＝9cm，
∴直径AB＝4cm+9cm＝13cm，
∴半径r＝6.5cm；
②当点在圆外时，如图2，
∵点到圆上的最小距离PB＝4cm，最大距离PA＝9cm，
∴直径AB＝9cm﹣4cm＝5cm，
∴半径r＝2.5cm；
故答案为：6.5cm或2.5cm．

6. （2021•浙江省杭州）如图，已知⊙O的半径为1，点P是⊙O外一点，T为切点，连结OT，则PT=　　．

【分析】根据圆的切线性质可得出△OPT为直角三角形，再利用勾股定理求得PT长度．
【解答】解：∵PT是⊙O的切线，T为切点，
∴OT⊥PT，
在Rt△OPT中，OT═1，
∴PT═══，
故：PT═．
7. （2021•浙江省温州市）如图，⊙O与△OAB的边AB相切，切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O′A′B，边A′B交线段AO于点C．若∠A′＝25°，则∠OCB＝　85　度．

【分析】根据切线的性质得到∠OBA＝90°，连接OO′，如图，再根据旋转的性质得∠A＝∠A′＝25°，∠ABA′＝∠OBO′，BO＝BO′，则判断△OO′B为等边三角形得到∠OBO′＝60°，所以∠ABA′＝60°，然后利用三角形外角性质计算∠OCB．
【解答】解：∵⊙O与△OAB的边AB相切，
∴OB⊥AB，
∴∠OBA＝90°，
连接OO′，如图，
∵△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O′A′B，
∴∠A＝∠A′＝25°，∠ABA′＝∠OBO′，
∵OB＝OO′，
∴△OO′B为等边三角形，
∴∠OBO′＝60°，
∴∠ABA′＝60°，
∴∠OCB＝∠A+∠ABC＝25°+60°＝85°．
故答案为85．


8. （2021•浙江省温州市）图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个小正方形组成，将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形（如图2）　6﹣2　；记图1中小正方形的中心为点A，B，C，图2中的对应点为点A′，B′，C′,以大正方形的中心O为圆心作圆，则当点A′，B′，则当点A′，B′，C′在圆内或圆上时。圆的最小面积为 　(16﹣8)π　．

【分析】如图，连接FH,由题意可知点A′,O,C′在线段FH上,连接OB′,B′C′,过点O作OH⊥B′C′于H．证明∠EGF＝30°,解直角三角形求出JK,OH,B′H,再求出OB′2,可得结论．
【解答】解：如图，连接FH,O,C′在线段FH上,B′C′．

∵大正方形的面积＝12，
∴FG＝GH＝2,
∵EF＝HK＝2,
∴在Rt△EFG中，tan∠EGF＝＝＝,
∴∠EGF＝30°,
∵JK∥FG,
∴∠KJG＝∠EGF＝30°,
∴d＝JK＝GK＝﹣6)＝6﹣2,
∵OF＝OH＝FH＝,
∴OC′＝﹣,
∵B′C′∥QH,B′C′＝2,
∴∠OC′H＝∠FHQ＝45°,
∴OH＝HC′＝﹣2,
∴HB′＝2﹣(﹣6)＝3﹣,
∴OB′5＝OH2+B′H2＝(﹣1)2+(8﹣)2＝16﹣3,
∵OA′＝OC′＜OB′,
∴当点A′，B′，圆的最小面积为(16﹣8．
故答案为：6﹣2，(16﹣8．

9. （2021•北京市）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点．若∠P＝50°，则∠AOB＝　 　．



三、解答题
1. （2021•甘肃省定西市）如图，△ABC内接于⊙O，D是⊙O的直径AB的延长线上一点，∠DCB＝∠OAC．过圆心O作BC的平行线交DC的延长线于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD＝4，CE＝6，求⊙O的半径及tan∠OCB的值．

【分析】（1）由等腰三角形的性质与已知条件得出,∠OCA＝∠DCB，由圆周角定理可得∠ACB＝90°，进而得到∠OCD＝90°，即可得出结论；
（2）根据平行线分线段成比例定理得到＝＝,设BD＝2x,则OB＝OC＝3x,OD＝OB+BD＝5x,在Rt△OCD中，根据勾股定理求出x＝1,即⊙O的半径为3，由平行线的性质得到∠OCB＝∠EOC,在Rt△OCE中，可求得tan∠EOC＝2,即tan∠OCB＝2．
【解答】（1）证明：∵OA＝OC,
∴∠OAC＝∠OCA,
∵∠DCB＝∠OAC,
∴∠OCA＝∠DCB,
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°,
∴∠OCA+∠OCB＝90°,
∴∠DCB+∠OCB＝90°,
即∠OCD＝90°,
∴OC⊥DC,
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵OE∥AC，
∴＝,
∵CD＝4，CE＝6，
∴＝＝,
设BD＝2x,则OB＝OC＝3x,OD＝OB+BD＝5x,
∵OC⊥DC,
∴△OCD是直角三角形，
在Rt△OCD中，OC2+CD2＝OD2,
∴(3x)2+42＝(5x)2,
解得，x＝1,
∴OC＝3x＝3,即⊙O的半径为3，
∵BC∥OE,
∴∠OCB＝∠EOC,
在Rt△OCE中，tan∠EOC＝＝＝2,
∴tan∠OCB＝tan∠EOC＝2．
2.（2021•湖南省常德市）如图，在中，，以的中点O为圆心，为直径的圆交于D，E是的中点，交的延长线于F．

（1）求证：是圆O的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）连接OD，利用等腰三角形性质，直角三角形证明即可；
（2）设OD=x，求证，列比例求解即可．
【详解】解：证明：连接OD，如图：

∵AB为直径，
∴，
∵点E是BC的中点，
∴ED=EB，
∴，
∵，
∴，
∵OA=OD，
∴
∵，，
∴，
∴
∴是圆O的切线．
（2）∵E是BC中点，BC=4,
∴BE=2，
∴，
在和中，，，
∴，
∴设OD为x，
则，
解得：,
则．
3.（2021•湖南省衡阳市）如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，E为的中点，点C在BA的延长线上，且∠CDA＝∠B．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若DE＝2，∠BDE＝30°，求CD的长．

【分析】(1)连结OD，利用已知条件证明OD⊥CD即可求证CD是⊙O的切线；
(2)连结OE，根据∠BDE＝30°，E为的中点即可求出∠BOD度数以及求证三角形EOD为等边三角形，进而求出∠DOC度数，再利用tan∠DOC的值即可求出CD的长．
【解答】解：（1）证明：连结OD，如图所示：

∵AB是直径，
∴∠BDA＝90°，
∴∠BDO+∠ADO＝90°，
又∵OB＝OD，∠CDA＝∠B，
∴∠B＝∠BDO＝∠CDA，
∴∠CDA+∠ADO＝90°，
∴OD⊥CD，且OD为⊙O半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）连结OE，如图所示：

∵∠BDE＝30°，
∴∠BOE＝2∠BDE＝60°，
又∵E为的中点，
∴∠EOD＝60°,
∴△EOD为等边三角形，
∴ED＝EO＝OD＝2,
又∵∠BOD＝∠BOE+∠EOD＝120°，
∴∠DOC＝180°﹣∠BOD＝180°﹣120°＝60°,
在Rt△DOC中，∠DOC＝60°,OD＝2，
∴tan∠DOC＝tan60°＝＝＝,
∴CD＝2．
4.（2021•怀化市）如图，在半径为5cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，E是BC的中点，OE＝3cm．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求AD的长．

【分析】（1）连接OC，由AC平分∠BAD，OA＝OC，可得∠DAC＝∠OCA，AD∥OC，根据AD⊥DC，即可证明CD是⊙O的切线；
（2）由OE是△ABC的中位线，得AC＝6，再证明△DAC∽△CAB，得＝，即＝，从而可得AD＝．
【解答】（1）证明：连接OC，如图：

∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠CAO，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴AD∥OC，
∵AD⊥DC，
∴CO⊥DC，
∴CD是⊙O的切线；
（2）∵E是BC的中点，且OA＝OB，
∴OE是△ABC的中位线，AC＝2OE，
∵OE＝3，
∴AC＝6，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°＝∠ADC，
又∠DAC＝∠CAB，
∴△DAC∽△CAB，
∴＝，即＝，
∴AD＝．
5.（2021•江苏省连云港） 如图，中，，以点C为圆心，为半径作，D为上一点，连接、，，平分．
（1）求证：是切线；
（2）延长、相交于点E，若，求的值．

【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）利用SAS证明，可得，即可得证；
（2）由已知条件可得，可得出，进而得出即可求得；
【详解】（1）∵平分，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴，
∴是的切线．
（2）由（1）可知，，
又，
∴．
∵，且，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵
∴
6. （2021•宿迁市）如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，以点O为圆心，OA为半径的圆交AB于点C，点D在边OB上，且CD= BD．
（1）判断直线CD与圆O的位置关系，并说明理由；
（2）已知AB=40，求的半径．

【答案】（1）直线CD与圆O相切，理由见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）连接 证明可得 从而可得答案；
（2）由 设 则 再求解 再表示 再利用 列方程解方程，可得答案．
【详解】解：（1）直线CD与圆O相切，理由如下：
如图，连接








为的半径，
是的切线．
（2）
设 则








（负根舍去）
的半径为：
7.（2021•山东省聊城市）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，AE是直径，交BC于点H，点D在上，连接AD，CD过点E作EF∥BC交AD的延长线于点F，延长BC交AF于点G．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若BC＝2，AH＝CG＝3，求EF和CD的长．

【答案】（1）见解析；（2），
【解析】
【分析】（1）因为AE是直径，所以只需证明EFAE即可；
（2）因EF∥BG，可利用，将要求的EF的长与已知量建立等量关系；因四边形ABCD是圆内接四边形，可证得，由此建立CD与已知量之间的等量关系．
【详解】（1）证明：∵AB＝AC，
．
又∵AE是O的直径，
．
．
∵AB=AC，
∴AEBC．
∴∠AHC=90°．
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠AHC=90°．
∴EFAE．
∴EF是O的切线．
（2）如图所示，连接OC，设O的半径为r．






在Rt△COH中，
∵，
又∵OH=AH-OA=3-r，

解得，．

∵EF∥BC，
∴．



∵四边形ABCD内接于，










8.（2021•湖北省随州市）如图，是以为直径的上一点，过点的切线交的延长线于点，过点作交的延长线于点，垂足为点．

（1）求证：；
（2）若的直径为9，．
①求线段的长；
②求线段的长．
（1）见解析；（2）①；②
【分析】
（1）连接，由是的切线，可得，可证，可得．由，可得即可；
（2）①连接，由的直径为9，，可求．可证，由，．
②由（1）可知，可证∽，由性质可得，解方程得．
【详解】
（1）证明：连接，
∵是的切线，
∴，
又∵，
∴，
∴．
又∵在中，，
∴，
∴，
∴；
（2）①连接，
∵的直径为9，
∴，
在中，
∵，
∴．
又∵，且，
∴，
在中，
∵，
∴．
②由（1）可知，
∴∠DOE=∠FBE，∠ODE=∠BFE，
∴∽，
∴，即，
解得．
经检验符合题意．

9.（2021•湖北省宜昌市）如图，在菱形ABCD中，O是对角线BD上一点（BO＞DO），OE⊥AB，垂足为E，以OE为半径的⊙O分别交DC于点H，交EO的延长线于点F，EF与DC交于点G．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若G是OF的中点，OG＝2，DG＝1．
①求的长；
②求AD的长．

【分析】（1）过点O作OM⊥BC于点M，证明OM＝OE即可；
（2）①先求出∠HOE＝120°，再求出OH＝4，代入弧长公式即可；
②过A作AN⊥BD，由△DOG∽△DAN，对应边成比例求出AD的长．
【解答】解：（1）证明：如图1，过点O作OM⊥BC于点M，
∵BD是菱形ABCD的对角线，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵OM⊥BC，OE⊥AB，
∴OE＝OM，
∴BC是⊙O的切线．

（2）①如图2，

∵G是OF的中点，OF＝OH，
∴OG＝OH，
∵AB∥CD，OE⊥AB，
∴OF⊥CD，
∴∠OGH＝90°，
∴sin∠GHO＝，
∴∠GHO＝30°，
∴∠GOH＝60°，
∴∠HOE＝120°，
∵OG＝2，
∴OH＝4，
∴由弧长公式得到的长：＝．
②如图3，过A作AN⊥BD于点N，
∵DG＝1，OG＝2，OE＝OH＝4，
∴OD＝，OB＝2，DN＝，
∴△DOG∽△DAN，
∴，
∴，
∴AD＝．

10.（2021•山东省菏泽市）如图，在⊙O中，AB是直径，弦CD⊥AB，垂足为H，E为上一点，F为弦DC延长线上一点，连接FE并延长交直径AB的延长线于点G，连接AE交CD于点P，若FE＝FP．
（1）求证：FE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为8，sinF＝，求BG的长．

【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠A＝∠AEO，∠FPE＝∠FEP，由余角的性质可求∠FEP+∠AEO＝90°，可得结论；
（2）由余角的性质可求∠F＝∠EOG，由锐角三角函数可设EG＝3x，OG＝5x，在Rt△OEG中，利用勾股定理可求x＝2，即可求解．
【解答】解：（1）如图，连接OE，

∵OA＝OE，
∴∠A＝∠AEO，
∵CD⊥AB，
∴∠AHP＝90°，
∵FE＝FP，
∴∠FPE＝∠FEP，
∵∠A+∠APH＝∠A+∠FPE＝90°，
∴∠FEP+∠AEO＝90°＝∠FEO，
∴OE⊥EF，
∴FE是⊙O的切线；
（2）∵∠FHG＝∠OEG＝90°，
∴∠G+∠EOG＝90°＝∠G+∠F，
∴∠F＝∠EOG，
∴sinF＝sin∠EOG＝＝，
设EG＝3x，OG＝5x，
∴OE＝＝＝4x，
∵OE＝8，
∴x＝2，
∴OG＝10，
∴BG＝10﹣8＝2．
11. （2021•四川省成都市）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，D为AB延长线上一点，连接CD，且∠BCD＝∠A．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为，△ABC的面积为2，求CD的长；
（3）在（2）的条件下，E为⊙O上一点，连接CE交线段OA于点F，若＝，求BF的长．

【分析】（1）连接OC,由AB为⊙O的直径，可得∠A+∠ABC＝90°，再证明∠ABC＝∠BCO,结合已知∠BCD＝∠A，可得∠ACB＝90°，从而证明CD是⊙O的切线；
（2）过C作CM⊥AB于M,过B作BN⊥CD于N,由△ABC的面积为2,可得CM＝2，由∠BCM＝∠A得＝，可解得BM＝﹣1，根据△BCM≌△BCN，可得CN＝CM＝2，再由△DBN∽△DCM,得＝＝即＝＝，解DN＝2﹣2，故CD＝DN+CN＝2;
（3）过C作CM⊥AB于M,过E作EH⊥AB于H,连接OE,由CM⊥AB，EH⊥AB，可得＝＝,而＝，故HE＝1，MF＝2HF,Rt△OEH中，OH＝2，可得AH＝OA﹣OH＝﹣2，设HF＝x,则MF＝2x,则(﹣1)+2x+x+(﹣2)＝2,可解得HF＝1,MF＝2,从而BF＝BM+MF＝(﹣1)+2＝+1．
【解答】（1）证明：连接OC,如图：

∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∠A+∠ABC＝90°，
∵OB＝OC,
∴∠ABC＝∠BCO,
又∠BCD＝∠A，
∴∠BCD+∠BCO＝90°，即∠ACB＝90°，
∴OC⊥CD,
∴CD是⊙O的切线；
（2）过C作CM⊥AB于M,过B作BN⊥CD于N,如图：

∵⊙O的半径为，
∴AB＝2，
∵△ABC的面积为2,
∴AB•CM＝2，即×2•CM＝2，
∴CM＝2，
Rt△BCM中，∠BCM＝90°﹣∠CBA,
Rt△ABC中，∠A＝90°﹣∠CBA,
∴∠BCM＝∠A,
∴tan∠BCM＝tanA,即＝,
∴＝,
解得BM＝﹣1，(BM＝+1已舍去），
∵∠BCD＝∠A,∠BCM＝∠A,
∴∠BCD＝∠BCM,
而∠BMC＝∠BNC＝90°，BC＝BC,
∴△BCM≌△BCN(AAS),
∴CN＝CM＝2，BN＝BM＝﹣1，
∵∠DNB＝∠DMC＝90°,∠D＝∠D,
∴△DBN∽△DCM,
∴＝＝,
即＝＝，
解得DN＝2﹣2，
∴CD＝DN+CN＝2;
（3）过C作CM⊥AB于M,过E作EH⊥AB于H,连接OE,如图：

∵CM⊥AB，EH⊥AB，
∴＝＝,
∵＝，
∴＝＝，
由（2）知CM＝2，BM＝﹣1，
∴HE＝1，MF＝2HF,
Rt△OEH中，OH＝＝＝2，
∴AH＝OA﹣OH＝﹣2，
设HF＝x,则MF＝2x,
由AB＝2可得：BM+MF+HF+AH＝2，
∴(﹣1)+2x+x+(﹣2)＝2,
解得：x＝1,
∴HF＝1,MF＝2,
∴BF＝BM+MF＝(﹣1)+2＝+1．

12.（2021•四川省乐山市）如图，已知点是以为直径的圆上一点，是延长线上一点，过点作的垂线交的延长线于点，连结，且．

（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）连接、，根据已知条件证明，即可得解；
（2）由（1）可得，得到，令，根据正切的定义列式求解即可；
【详解】解：（1）证明：连结、．

∵，，
∴，．
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，即是的切线．
（2）由（1）知，，又，
∴，
∴，即．
令，∴．
即，即．
∵，即，
∴，
解得或（舍），
∴的半径为．
13. （2021•四川省凉山州）如图，在中，，AE 平分交BC于点E，点D在AB上，．是的外接圆，交AC于点F．

（1）求证：BC是的切线；
（2）若的半径为5，，求．
【答案】（1）见解析；（2）20
【解析】
【分析】（1）连接OE，由OA=OE，利用等边对等角得到一对角相等，再由AE为角平分线得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行，得到AC与OE平行，再根据两直线平行同位角相等及∠C为直角，得到OE与BC垂直，可得出BC为圆O的切线；
（2）过E作EG垂直于OD，利用AAS得出△ACE≌△AGE，得到AC=AG=8，从而可得OG，利用勾股定理求出EG，再利用三角形面积公式可得结果．
【详解】解：（1）证明：连接OE，

∵OA=OE，
∴∠1=∠3，
∵AE平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴OE∥AC，
∴∠OEB=∠C=90°，
则BC为圆O的切线；
（2）过E作EG⊥AB于点G，
在△ACE和△AGE中，
，
∴△ACE≌△AGE（AAS），
∴AC=AG=8，
∵圆O的半径为5，
∴AD=OA+OD=10，
∴OG=3，
∴EG==4，
∴△ADE的面积==20．
14.（2021•泸州市）如图，ABC是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F，AE是⊙O的直径，连接EC

（1）求证：；
（2）若，于点，，，求的值
【答案】（1）证明见详解；（2）18．
【解析】
【分析】（1）连接，根据是⊙O的切线，AE是⊙O的直径，可得，利用，得到，根据圆周角定理可得，则可证得；
（2）由（1）可知，易得，则有,则可得，并可求得，连接，易证，则有，可得．
【详解】解：（1）连接

∵是⊙O的切线，AE是⊙O的直径，
∴，
∴
∴
又∵
∴
根据圆周角定理可得：
∴，
∴；
（2）由（1）可知，
∵
∴
∴
∴,
∵，，
∴
∴
∴
又∵中，
∴，
如图示，连接

∵，
∴
∴
∴．
15. (2021•四川省自贡市)如图，点D在以AB为直径的⊙O上，过D作⊙O的切线交AB延长线于点C，于点E，交⊙O于点F，连接AD，FD．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，，求EF的长．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）EF．
【解析】
【分析】（1）连接OD，BD，由圆的切线的性质结合圆周角定理可求得∠EDA=∠ABD，再利用等角的余角相等，可证明结论；
（2）如图，连接BD、BF，利用平行线的性质以及圆周角定理证得∠C=∠ADF，根据（1）的结论可证明△ADF△ACD，可证明结论；
（3）设OA=OD=x，利用三角函数的定义和勾股定理得到OC=4x，CD，AC =5x，根据相似三角形的判定和性质求解即可．
详解】（1）证明：连接OD，BD，

∵ED是⊙O的切线，D为切点，
∴OD⊥ED，
∴∠ODA+∠EDA=90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ODA+∠ODB=90°，
∴∠ODB=∠EDA，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠EDA=∠ABD，
∵，
∴∠E=90°，
∴(等角余角相等)；
（2）如图，连接BD、BF，

∵AB为⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
∴BF∥CF，
∴∠C=∠ABF=∠ADF，
由（2）得，
∴△ADF△ACD，
∴,
∴；
（3）过D作DH⊥AB于H，连接OD，BD，

设OA=OD=x，
在Rt△ODC中，，
∴OC=4x，
则CD=，
AC=OA+OC=5x，
由（2）得，即，
∵∠C+∠DOC=90°，∠ODH+∠DOH=90°，
∴∠ODH=∠C，
在Rt△ODH中，，
∴OH=，
∴DH=，
由（1）得，
DH=DE=，
∵∠EFD=∠ABD(圆内接四边形外角等于内对角)，
由（1）得∠EDA=∠ABD，
∴∠EFD=∠EDA，
∴△EAD△EDF，
∴，即，
∴EF，
在Rt△DEF中，，即，
解得：，
∴EF．
16. （2021•天津市） 已知内接于，点D是上一点．

（Ⅰ）如图①，若为的直径，连接，求和的大小；
（Ⅱ）如图②，若//，连接，过点D作切线，与的延长线交于点E，求的大小．
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）．
【解析】
【分析】（Ⅰ）由圆周角定理的推论可知，，即可推出；由等腰三角形的性质结合三角形内角和定理可求出，从而求出．
（Ⅱ）连接，由平行线的性质可知．由圆内接四边形的性质可求出．再由三角形内角和定理可求出．从而由圆周角定理求出．由切线的性质可知．即可求出．
【详解】（Ⅰ）为的直径，

∴．
∵在中，，
∴；
∵，
∴．
∴．
（Ⅱ）如图，连接．

∵，
∴．
∵四边形是圆内接四边形，，
∴．
∴．
∴．
∵是的切线，
∴，即．
∴．
17. （2021•湖北省恩施州）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，⊙O与AB相交于点C，与AO相交于点E，连接CE，已知∠AOC＝2∠ACE．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若AO＝20，BO＝15，求CE的长．

【分析】（1）证OC⊥AB即可证AB为⊙O的切线；
（2）作EH⊥AC于H，利用三角形相似和勾股定理分别求出EH和CH的长度，再利用勾股定理求出CE即可．
【解答】（1）证明：∵OC＝OE，
∴∠OCE＝∠OEC，
∵∠AOC＝2∠ACE，
∴∠OCA＝∠OCE+∠ACE＝（∠OCE+∠OEC+∠AOC）＝＝90°，
∴OC⊥AB，
∴AB为⊙O的切线；
（2）解：作EH⊥AC于H，
∵AO＝20，BO＝15，
∴AB＝＝＝25，
∵，
即，
∴OC＝12，
∴AE＝OA﹣OE＝20﹣12＝8，
∵EH⊥AC，OC⊥AC，
∴EH∥OC，
∴△AEH∽△AOC，
∴＝，
即＝，
∴EH＝，
∵BC＝＝＝9，
∴AC＝AB﹣BC＝25﹣9＝16，
∵AH＝＝＝，
∴CH＝AC﹣AH＝16﹣＝，
∴CE＝＝＝．

18.（2021•浙江省温州市）如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点O（2，0），B（0，8），连结AB．直线CM分别交⊙M于点D，E（点D在左侧），交x轴于点C（17，0）
（1）求⊙M的半径和直线CM的函数表达式；
（2）求点D，E的坐标；
（3）点P在线段AC上，连结PE．当∠AEP与△OBD的一个内角相等时，求所有满足条件的OP的长．

【分析】（1）点M是AB的中点，则点M（1,4），则圆的半径AM＝＝，再用待定系数法即可求解；
（2）由AM＝得：（x﹣1）2+（﹣x+﹣4）2＝（）2，即可求解；
（3）①当∠AEP＝∠DBO＝45°时，则△AEP为等腰直角三角形，即可求解；②∠AEP＝∠BDO时，则△EAP∽△DBO，进而求解；③∠AEP＝∠BOD时，同理可解．
【解答】解：（1）∵点M是AB的中点，则点M（1，
则圆的半径为AM＝＝，
设直线CM的表达式为y＝kx+b，则，解得，
故直线CM的表达式为y＝﹣x+；

（2）设点D的坐标为（x，﹣x+），
由AM＝得：（x﹣3）2+（﹣x+2＝（）8，
解得x＝5或﹣3，
故点D、E的坐标分别为（﹣5、（5；

（3）过点D作DH⊥OB于点H，则DH＝3，
故∠DBO＝45°，

由点A、E的坐标；
由点A、E、B、D的坐标得＝8，
同理可得：BD＝3，OB＝8，
①当∠AEP＝∠DBO＝45°时，
则△AEP为等腰直角三角形，EP⊥AC，
故点P的坐标为（5,5），
故OP＝5；
②∠AEP＝∠BDO时，
∵∠EAP＝∠DBO，
∴△EAP∽△DBO，
∴，即＝＝，解得AP＝8，
故PO＝10；
③∠AEP＝∠BOD时，
∵∠EAP＝∠DBO，
∴△EAP∽△OBD，
∴，即，解得AP＝，
则PO＝5+＝，
综上，OP为5或10或．
19.（2021•江苏省盐城市）如图，O为线段PB上一点，以O为圆心，OB长为半径的⊙O交PB于点A，点C在⊙O上，连接PC，满足PC2＝PA•PB．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若AB＝3PA，求的值．

【分析】（1）由PC2＝PA•PB得，可证得△PAC∽△PCB，根据相似三角形的性质得∠PCA＝∠B，根据圆周角定理得∠ACB＝90°，则∠CAB+∠B＝90°，由OA＝OB得∠CAB＝∠OCA，等量代换可得∠PCA+∠OCA＝90°，即OC⊥PC，即可得出结论；
（2）由AB＝3PA可得PB＝4PA，OA＝OC＝1.5PA，根据勾股定理求出PC＝2PA，根据相似三角形的性质即可得出的值．
【解答】（1）证明：连接OC，

∵PC2＝PA•PB，
∴，
∵∠P＝∠P，
∴△PAC∽△PCB，
∴∠PCA＝∠B，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠CAB＝∠OCA，
∴∠PCA+∠OCA＝90°，
∴OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝3PA，
∴PB＝4PA，OA＝OC＝1.5PA，PO＝2.5PA，
∵OC⊥PC，
∴PC＝＝2PA，
∵△PAC∽△PCB，
∴＝＝＝．
20.（2021•广西贺州市）如图，在中，，是上的一点，以为直径的与相切于点，连接，．
（1）求证：平分；
（2）若，求的值．

【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）连接OE，根据切线定义可得，结合∠C=90°，可得，即，进而说明即可证明结论；
（2）先证可得，再得，最后运用三角函数解答即可．
【详解】（1）证明：连接，

∵是的切线，
∴，即 ，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴平分．
（2）∵是的直径，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
又∵，，
∴．
∴．
又∵，
∴，即．
21. （2021•江苏省无锡市）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，AC与BD交于点E，PB切⊙O于点B．
（1）求证：∠PBA＝∠OBC；
（2）若∠PBA＝20°，∠ACD＝40°，求证：△OAB∽△CDE．

【分析】（1）根据圆周角定理和切线的性质证得∠ACB+∠BAC＝∠PBC+∠ABO＝90°，结合等腰三角形的性质即可证得结论；
（2）由三角形外角的性质求出∠AOB＝∠ACB+∠OBC＝40°，得到AOB＝∠ACD，由圆周角的性质得到∠CDE＝∠BAO，根据相似三角形的判定即可证得△OAB∽△CDE．
【解答】证明：（1）∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ACB+∠BAC＝90°，
∵PB切⊙O于点B，
∴∠PBA+∠ABO＝90°，
∵OA＝OB＝OC，
∴∠BAO＝∠ABO，∠OBC＝∠ACB，
∴∠OBC+∠ABO＝∠PBC+∠ABO＝90°，
∴∠PBA＝∠OBC；
（2）由（1）知，∠PBA＝∠OBC＝∠ACB，
∵∠PBA＝20°，
∴∠OBC＝∠ACB＝20°，
∴∠AOB＝∠ACB+∠OBC＝20°+20°＝40°，
∵∠ACD＝40°，
∴∠AOB＝∠ACD，
∵＝，
∴∠CDE＝∠CDB＝∠BAC＝∠BAO，
∴△OAB∽△CDE．


22.（2021•齐齐哈尔市） 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AE和过点C的切线CD互相垂直，垂足为E，AE与⊙O相交于点F，连接AC．

（1）求证：AC平分；
（2）若，．求OB的长．
【答案】（1）见解析；（2）8
【解析】
【分析】（1）连接OC，由CD是⊙O的切线，，可证，可证；
（2）连接BC，由AB是⊙O的直径，可得，由， 可得，可求，由勾股定理求，即可．
详解】（1）证明：连接OC，
∵CD是⊙O的切线，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴AC平分，

（2）解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴，
∵，，，
∴，即，
∴，
在Rt△ACE中，
∴，
又∵，，即，
∴，
∴，
∴．

23.（2021•内蒙古通辽市）如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AC，点P是射线AC上的动点，连接OP，过点B作BD∥OP，交⊙O于点D，连接PD．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）当四边形POBD是平行四边形时，求∠APO的度数．

【分析】（1）连接OD，根据切线的性质求出∠PAO＝90°，根据平行线的性质和等腰三角形的性质求出∠DOP＝∠AOP，根据全等三角形的判定推出△AOP≌△DOP（，根据全等三角形的性质得出∠PDO＝∠PAO＝90°，再根据切线的判定得出即可；
（2）根据全等得出PA＝PD，根据平行四边形的性质得出PD＝OB，求出PA＝OA，再求出答案即可．
【解答】（1）证明：连接OD，

∵PA切⊙O于A，
∴PA⊥AB，
即∠PAO＝90°，
∵OP∥BD，
∴∠DBO＝∠AOP，∠BDO＝∠DOP，
∵OD＝OB，
∴∠BDO＝∠DBO，
∴∠DOP＝∠AOP，
在△AOP和△DOP中
，
∴△AOP≌△DOP（SAS），
∴∠PDO＝∠PAO，
∵∠PAO＝90°，
∴∠PDO＝90°，
即OD⊥PD，
∵OD过O，
∴PD是⊙O的切线；

（2）解：
由（1）知：△AOP≌△DOP，
∴PA＝PD，
∵四边形POBD是平行四边形，
∴PD＝OB，
∵OB＝OA，
∴PA＝OA，
∵∠PAO＝90°，
∴∠APO＝∠AOP＝45°