浙教版八年级上册第2章 特殊三角形2.4 等腰三角形的判定定理课时练习

2.4  等腰三角形的判定定理

A组

1．在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，下列条件不能判定△ABC是等腰三角形的是(D)

A． ∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶3

B． a∶b∶c＝2∶2∶3

C． ∠B＝50°，∠C＝80°

D． 2∠A＝∠B＋∠C

2．给出下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的是(D)

A．①②③  B．①②④

C．①③  D．①②③④

(第3题)

3．如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝5，BC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D作BC的平行线交AB于点E，交AC于点F，则△AEF的周长为(C)

A． 9　　　  　　　　B． 11

C． 12　　  　　　　D． 13

4．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，请你再添加一个条件，确定△ABC是等腰三角形．你添加的条件是BD＝CD(答案不唯一)．

,(第4题))　　,(第5题))

5．如图，已知OA＝5，P是射线ON上的一个动点，∠AON＝60°．当OP＝__5__时，△AOP为等边三角形．

(第6题)

6．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EG∥AD，找出图中的等腰三角形，并给出证明．

【解】　△AEF是等腰三角形．证明如下：

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD．

∵EG∥AD，

∴∠E＝∠CAD，∠EFA＝∠BAD，

∴∠E＝∠EFA，

∴△AEF是等腰三角形．

(第7题)

7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°， AD⊥BC，BE平分∠ABC．求证： △AEF是等腰三角形．

【解】　∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE＝∠CBE．

∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°．

∵∠ADB＋∠CBE＋∠BFD＝180°，

∠BAC＋∠ABE＋∠BEA＝180°，

∴∠BFD＝∠BEA．

∵∠BFD＝∠AFE，∴∠BEA＝∠AFE．

∴△AEF是等腰三角形．

8．如图，已知AB＝AD，∠ABC＝∠ADC, 则BC＝CD，请说明理由．

(第8题)

　　　(第8题解)

【解】　如解图，连结BD．

∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB．

∵∠ABC＝∠ADC，

∴∠ABD－∠ABC＝∠ADB－∠ADC，

即∠CBD＝∠CDB，∴BC＝CD．

B组

(第9题)

9．如图，E是等边三角形ABC中AC边上的点，∠1＝∠2，BE＝CD，则△ADE的形状是(B)

A．一般等腰三角形 

B．等边三角形

C．不等边三角形 

D．不能确定形状

【解】　∵△ABC为等边三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝60°．

又∵∠1＝∠2，BE＝CD，

∴△ABE≌△ACD(SAS)．

∴AE＝AD，∠CAD＝∠BAE＝60°．

∴△ADE是等边三角形．

(第10题)

10．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．

(1)求∠F的度数．

(2)若CD＝2，求DF的长．

【解】　(1)∵△ABC为等边三角形，

∴∠B＝∠ACB＝60°．

∵DE∥AB，

∴∠EDF＝∠B＝60°．

∵EF⊥DE，

∴∠DEF＝90°，

∴∠F＝180°－∠DEF－∠EDF＝30°．

(2)∵∠ACB＝60°，∠F＝30°，

∴∠CEF＝∠ACB－∠F＝30°＝∠F，

∴CE＝CF．

∵∠EDF＝∠ACB＝60°，

∴△CDE为等边三角形，

∴CD＝CE，

∴DF＝DC＋CF＝DC＋CE＝2CD＝4．

11．如图①，A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形．

(1)连结BE，DC，求证：BE＝DC．

(2)如图②，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′．

①当旋转角为__60__度时，边AD′落在AE上．

②在①的条件下，延长DD′交CE于点P，连结BD′，CD′．当线段AB，AC满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明．

 (第11题)

【解】　(1)∵△ABD和△ACE都是等边三角形．

∴AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠CAE＝60°，

∴∠BAD＋∠DAE＝∠CAE＋∠DAE，

即∠BAE＝∠DAC．

在△BAE和△DAC中，∵

∴△BAE≌△DAC(SAS)，∴BE＝DC．

(2)①∵∠BAD＝∠CAE＝60°，

∴∠DAE＝180°－60°×2＝60°．

∵边AD′落在AE上，

∴旋转角＝∠DAE＝60°．

②当AC＝2AB时，△BDD′与△CPD′全等．

证明如下：

由旋转可知，AB′与AD重合，

∴AB＝DB＝DD′＝AD′．

又∵BD′＝BD′，∴△ABD′≌△DBD′(SSS)．

∴∠ABD′＝∠DBD′＝∠ABD＝×60°＝30°．

同理，∠AD′B＝∠DD′B＝30°，∴DP∥BC．

∵△ACE是等边三角形，

∴AC＝AE＝CE，∠ACE＝60°．

∵AC＝2AB，∴AE＝2AD′．

∴∠PCD′＝∠ACD′＝∠ACE＝×60°＝30°．

∴∠ABD′＝∠ACD′．∴BD′＝CD′．

∵DP∥BC，∴∠PD′C＝∠ACD′＝30°．

∴∠DBD′＝∠DD′B＝∠PCD′＝∠PD′C＝30°．

在△BDD′与△CPD′中，∵

∴△BDD′≌△CPD′(ASA)．

数学乐园

(第12题)

12．如图，△ABC和△ADC都是等边三角形，点E，F同时分别从点B，A出发，以相同的速度各自沿BA，AD的方向运动到点A，D停止，连结EC，FC．

(1)在点E，F运动的过程中，∠ECF的度数是否随之变化？请说明理由．

(2)在点E，F运动的过程中，以A，E，C，F为顶点的四边形的面积变化了吗？请说明理由．

(3)连结EF，在图中找出所有和∠ACE相等的角，并说明理由．

(4)若点E，F在射线BA，射线AD上继续运动下去，(1)中的结论还成立吗？直接写出结论，不必说明理由．导学号：91354011

【解】　(1)没有变化．理由如下：

∵点E，F的速度相同，且同时运动，

∴BE＝AF．

∵△ABC和△ADC都是等边三角形，

∴BC＝AC，∠B＝∠ACB＝∠CAF＝60°．

在△BCE和△ACF中，∵

∴△BCE≌△ACF(SAS)，∴∠BCE＝∠ACF，

∴∠ECF＝∠ACF＋∠ACE＝∠BCE＋∠ACE＝∠ACB＝60°．

(2)没有变化．理由如下：

由(1)知，△BCE与△ACF的面积相等，

∴S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE＝S△BCE＋S△ACE＝S△ABC．

∴四边形AECF的面积没有变化．

(3)∠AFE＝∠DCF＝∠ACE．理由如下：

∵△ABC和△ADC都是等边三角形，

∴∠EAC＝∠FDC＝60°，AB＝AC＝DC＝AD．

∵BE＝AF，∴AB－BE＝AD－AF，即AE＝DF，

∴△ACE≌△DCF(SAS)，

∴∠ACE＝∠DCF，EC＝FC．

又∵∠ECF＝60°，

∴△ECF是等边三角形，∴∠EFC＝60°，

∴∠AFE＋∠DFC＝120°．

∵∠D＝60°，∴∠DCF＋∠DFC＝120°，

∴∠AFE＝∠DCF＝∠ACE．

(4)(1)中的结论仍成立．