初中数学21.2 二次函数的图象和性质同步达标检测题

人教版2021年九年级上册22.1《二次函数的图象和性质》同步练习

一．选择题

1．下列函数中，一定是二次函数是（　　）

A．y＝ax2+bx+c B．y＝x（﹣x+1） 

C．y＝（x﹣1）2﹣x2 D．y＝

2．抛物线y＝﹣x2+5x的开口方向是（　　）

A．向左 B．向右 C．向上 D．向下

3．抛物线y＝（x﹣5）2的顶点坐标是（　　）

A．（0，﹣5） B．（﹣5，0） C．（0，5） D．（5，0）

4．抛物线y＝（x+3）2+2的对称轴是（　　）

A．直线x＝3 B．直线x＝﹣3 C．直线x＝2 D．直线x＝﹣2

5．对于二次函数y＝﹣2（x+3）2的图象，下列说法正确的是（　　）

A．开口向上                              B．对称轴是直线x＝﹣3 

C．当x＞﹣4时，y随x的增大而减小      D．顶点坐标为（﹣2，﹣3）

6．一次函数y＝ax+b的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx的图象可能是（　　）

A．B．C．D．

7．若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在二次函数y＝（x﹣2）2+3的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　）

A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y1＜y2＜y3

8．已知二次函数y＝（a﹣1）x2，当x＞0时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（　　）

A．a＞0 B．a＞1 C．a≠1 D．a＜1

9．关于x的二次函数y＝（x﹣h）2+3，当1≤x≤3时，函数有最小值4，则h的值为（　　）

A．0或2 B．2或4 C．0或4 D．0或2或4

10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣5，0），对称轴为直线x＝﹣2，给出四个结论：①abc＞0；②4a﹣2b+c＞0；③若B（﹣3，y1）与C（﹣4，y2）是抛物线上两点，则y2＜y1；④5a+c＝0．其中，正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

二．填空题

11．若y＝（2﹣a）x是二次函数，则a＝　   　．

12．抛物线y＝3（x﹣1）2+2的对称轴是　      　．

13．二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象与y轴交点坐标是　      　．

14．已知二次函数y＝﹣x2+4x图象的最高点是　      　．

15．将抛物线y＝5（x﹣1）2+3向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到的抛物线解析式为 　            　．

16．已知A（﹣3，y1）、B（﹣1，y2）是二次函数y＝x2+4x﹣1图象上的两个点，则y1与y2的大小关系为y1　 　y2．

17．若二次函数y＝x2﹣2x+m图象的顶点在x轴上方，则实数m的取值范围是 　    　．

18．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的正半轴交于点A，对称轴为直线x＝1．下面结论：

①abc＜0；②2a+b＝0；③3a+c＞0；

④方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一个根大于﹣1且小于0．

其中正确的是 　    　．（只填序号）

三．解答题

19．已知二次函数y＝x2+4x﹣6．

（1）将二次函数的解析式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；

（2）写出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．

20．画出函数y＝x2﹣2x﹣8的图象．

（1）先求顶点坐标：（　 　，　 　）；

（2）列表

（3）画图．

21．已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点（﹣3，0），（2，﹣5）．

（1）试确定此二次函数的解析式；

（2）请你判断点P（﹣2，3）是否在这个二次函数的图象上？

22．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：

（1）求该二次函数的关系式；

（2）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？

（3）若A（m，y1），B（c，y2）两点都在该函数的图象上，试比较y1与y2的大小．

23．如图，以P为顶点的抛物线y＝（x﹣m）2+k交y轴于点A，经过点P的直线y＝﹣2x+3交y轴于点B．

（1）用关于m的代数式表示k．

（2）若点A在B的下方，且AB＝2，求该抛物线的函数表达式．

24．如图，直线y＝x+n与抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）相交于A（1，2）和B（4，m）两点，点P是线段AB上异于A，B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．

（1）求抛物线的解析式．

（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

参考答案

一．选择题

1．解：A、当a＝0时，函数不是二次函数，故本选项不符合题意；

B、符合二次函数的定义，是二次函数，故本选项符合题意；

C、化简后不含二次项，不是二次函数，故本选项不符合题意；

D、右边是分式，不是整式，不是二次函数，故本选项不符合题意；

故选：B．

2．解：∵y＝﹣x2+5x，a＝﹣1＜0，

∴抛物线的开口向下．

故选：D．

3．解：抛物线y＝（x﹣5）2的顶点坐标是（5，0）．

故选：D．

4．解：由二次函数顶点式y＝a（x﹣h）2+k，可知在y＝（x+3）2+2中，h═﹣3，

∴其对称轴为直线x═﹣3．

故选：B．

5．解：由y＝﹣2（x+3）2得抛物线开口向下，

对称轴为直线x＝﹣3，顶点坐标为（﹣3，0），

x≤﹣3时y随x增大而增大，

x＞﹣3时y随x增大而减小．

故选：B．

6．解：∵一次函数y＝ax+b的图象经过一、二、四象限，

∴a＜0，b＞0，

∴二次函数y＝ax2+bx的图象：开口方向向下，对称轴在y轴右侧，

故选：D．

7．解：y＝（x﹣2）2+3的开口向上，对称轴为直线x＝2，

∵A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在二次函数y＝（x﹣2）2+3的图象上，且B在对称轴上，A到对称轴的距离最远，

∴y2＜y3＜y1，

故选：B．

8．解：∵二次函数y＝（a﹣1）x2，当x＞0时，y随x增大而增大，

∴a﹣1＞0，

∴a＞1，

故选：B．

9．解：∵二次函数的对称轴为：x＝h，

∴分为3种情况．

①当 h＜1时，当1≤x≤3时，y随x的增大而增大，

∴当x＝1时取最小值，即：（1﹣h）2+3＝4，

解得：h1＝0，h2＝2．

由h＜1．得：h＝0；

②当1≤h≤3时，y的最小值为顶点值，

∵3≠4，

∴l≤h≤3时，h无解；

③当h＞3时，当1≤x≤3时，y随x的增大而减小，

∴当x＝3时取最小值，

即：（3﹣h）2+3＝4，

解得：h1＝2，h2＝4，

∵h＞3，

∴h＝4；

综上所述，h＝0或4，

故选：C．

10．解：由图象可知：开口向下，故a＜0，

抛物线与y轴交点在x轴上方，故c＞0，

∵对称轴x＝﹣＜0，

∴b＜0，

∴abc＞0，故①正确；

由图象可知，x＝﹣2时，y＞0，

∴4a﹣2b+c＞0，故②正确；

当x＜﹣2时，

此时y随x的增大而增大，

∵﹣3＞﹣4，

∴y2＜y1，故③正确；

∵对称轴为x＝﹣2，

∴﹣＝﹣2，

∴b＝4a，

∵点A（﹣5，0）关于对称轴的对称点是（1，0），

∴a+b+c＝0，

∴4a+a+c＝0，即5a+c＝0，故④正确；

故选：D．

二．填空题

11．解：由题意得：a2﹣2＝2且2﹣a≠0，

解得：a＝﹣2，

故答案为：﹣2．

12．解：∵抛物线y＝3（x﹣1）2+2，

∴该抛物线对称轴是直线x＝1，

故答案为：直线x＝1．

13．解：∵y＝（x﹣1）2+2，当x＝0时，y＝1+2＝3，

∴二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象与y轴交点坐标是（0，3）；

故答案为：（0，3）．

14．解：由题意得，y＝﹣x2+4x

＝﹣（x2﹣4x+4）+4

＝﹣（x﹣2）2+4，

二次函数图象的最高点的坐标为（2，4），

故答案为：（2，4）．

15．解：将抛物线y＝5（x﹣1）2+3向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到的抛物线解析式为：y＝5（x﹣1+2）2+3﹣1，即y＝5（x+1）2+2．

故答案为：y＝5（x+1）2+2．

16．解：将A，B代入二次函数y＝x2+4x﹣1得：

y1＝（﹣3）2+4×（﹣3）﹣1

＝9﹣12﹣1

＝﹣4，

y2＝（﹣1）2+4×（﹣1）﹣1

＝1﹣4﹣1

＝﹣4，

∴y1＝y2，

故答案为：＝．

17．解：抛物线的对称轴为x＝﹣＝﹣＝1，

将x＝1代入y＝x2﹣2x+m，得y＝m﹣1，

所以抛物线的顶点为（1，m﹣1），

∴m﹣1＞0，

∴m＞1，

故答案为：m＞1．

18．解：由图象可得，

a＜0，b＞0，c＞0，

则abc＜0，故①正确；

∵﹣＝1，

∴b＝﹣2a，

∴2a+b＝0，故②正确；

∵函数图象与x轴的正半轴交点在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x＝1，

∴函数图象与x轴的另一个交点在点（0，0）和点（﹣1，0）之间，故④正确；

∴当x﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，

∴y＝a+2a+c＜0，

∴3a+c＜0，故③错误；

故答案为：①②④．

三．解答题

19．解：（1）y＝x2+4x+4﹣6﹣4＝（x2+4x+4）﹣10

＝（x+2）2﹣10；

（2）y＝（x+2）2﹣10，

∵a＝1＞0，

∴二次函数图象的开口向上．对称轴是直线x＝﹣2，顶点坐标是（﹣2，﹣10）．

20．解：（1）y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9

∴其顶点坐标为（1，﹣9）

故答案为：1，﹣9

（2）列表

（3）画图：

21．解：（1）由题意得，，

解得，，

则二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）当x＝﹣2时，y＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3，

∴点P（﹣2，3）在这个二次函数的图象上．

22．解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+1，

当x＝0时，y＝5，则4a+1＝5，

解得a＝1．

所以抛物线解析式为y＝（x﹣2）2+1；

（2）当x＝2时，y有最小值，最小值为1；

（3）当|m﹣2|＜|c﹣2|时，y1＜y2；

当|m﹣2|＝|c﹣2|时，y1＝y2；

当|m﹣2|＞|c﹣2|时，y1＞y2．

23．解：（1）∵抛物线y＝（x﹣m）2+k，

∴P（m，k），

∵经过点P的直线y＝﹣2x+3交y轴于点B，

∴k＝﹣2m+3．

（2）∵y＝﹣2x+3交y轴于点B，

∴y＝﹣2×0+3，

∴B（0，3），

∵AB＝2，

∴A（0，1），

把（0，1）代入y＝（x﹣m）2+k得，

1＝m2+k，

∵k＝﹣2m+3，

∴1＝m2﹣2m+3，

∴m＝2，

代入k＝﹣2m+3得，k＝﹣1，

∴抛物线的函数表达式为：y＝（x﹣2）2﹣1．

24．解：（1）把A（1，2）代入y＝x+n得1+n＝2，解得n＝1，

∴一次函数解析式为y＝x+1；

把B（4，m）代入y＝x+1得m＝4+1＝5，

即B（4，5），

把A（1，2），B（4，5）代入y＝ax2+bx+5得，解得，

∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+5；

（2）存在．

设P（t，t+1）（1≤t≤4），

∵PC⊥x轴，

∴C（t，t2﹣4t+5），

∴PC＝t+1﹣（t2﹣4t+5）

＝﹣t2+5t﹣4

＝﹣（t﹣）2+，

当t＝时，PC的长有最大值，最大值为．