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2019年云南省昆明市官渡区中考数学一模试卷
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这是一份2019年云南省昆明市官渡区中考数学一模试卷，共24页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2019年云南省昆明市官渡区中考数学一模试卷
一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（3分）2019的相反数是 ．
2．（3分）如图，在平面直角坐标系中，若将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A1B1C1，则点B的对应点 B1的坐标为 ．
3．（3分）使代数式有意义的x的取值范围是 ．
4．（3分）分解因式：x3﹣2x2+x＝ ．
5．（3分）若正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的内角和是 ．
6．（3分）等腰三角形ABC中，顶角A为40°，点P在以A为圆心，BC长为半径的圆上，且BP＝BA，则∠PBC的度数为 ．
二、选择题（本大题共8小题，每小题只有一个正确选项，每小题4分，共32分）
7．（4分）党的十八大以来，党中央把脱贫攻坚摆到治国理政的重要位置，采取超常规的举措，全面打响脱贫攻坚战经过五年的努力全国贫困人口减少了68530000．将68530000用科学记数法表示为（ ）
A．6.853×106 B．0.6853×107 C．68.53×106 D．6.853×107
8．（4分）一个圆柱和一个正方体如图摆放，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
9．（4分）如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，点D在⊙O上，若∠AOB＝70°，则∠ADC的度数为（ ）
A．30° B．35° C．45° D．70°
10．（4分）某市从不同学校随机抽取100名初中生对“使用数学教辅用书的册数”进行调查，统计结果如下：
册数
0
1
2
3
人数
10
20
30
40
关于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．众数是2册 B．中位数是2册
C．平均数是3册 D．方差是1.5
11．（4分）下列命题中，假命题是（ ）
A．一组对边相等的四边形是平行四边形
B．三个角是直角的四边形是矩形
C．四边相等的四边形是菱形
D．有一个角是直角的菱形是正方形
12．（4分）一组按规律排列的多项式：a+b，a2﹣b3，a3+b5，a4﹣b7，…，其中第10个式子是（ ）
A．a10+b19 B．a10﹣b19 C．a10﹣b17 D．a10﹣b21
13．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．（4分）如图，点A在反比例函数的图象上，连接OA，分别以点O和点A为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于B，C两点，过B，C两点作直线交x轴于点D，连接AD．若∠AOD＝30°，△AOD的面积为2，则k的值为（ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣2 D．﹣3
三、解答题（本大题共9小题，共70分）
15．（5分）计算：
16．（6分）如图，EF∥BC，EF＝BC，DA＝EB，求证：∠F＝∠C．
17．（8分）在某个世界读书日前夕，我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间（用t表示，单位：小时），采用随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果按0≤t＜2，2≤t＜3，3≤t＜4，t≥4分为四个等级，并依次用A，B，C，D表示，根据调查结果统计的数据绘制成了如下图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题：
（1）求本次调查的学生人数；
（2）求扇形统计图中等级B所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完整；
（3）若该校共有学生1200人，试估计每周课外阅读时间不少于3小时的人数．
18．（8分）四张扑克牌的点数分别是2，5，6，8，除点数不同外，其余都相同，将它们洗匀后背面朝上放在桌上
（1）若从中随机抽取一张牌，则抽出的牌的点数是偶数的概率为 ；
（2）若随机抽取一张牌不放回，接着再抽取一张牌，请用列表法或画树状图法（只选其中一种）表示出所有可能出现的结果，并求所抽两张牌的点数都是偶数的概率．
19．（7分）如图，反比例函数的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于A（1，a），B两点，点C在第四象限，CA∥y轴，∠ABC＝90°
（1）求反比例函数的解析式及点B的坐标；
（2）求tanC的值．
20．（8分）某商场计划购进A、B两种新型节能台灯，已知B型节能台灯每盏进价比A型的多40元，且用3000元购进的A型节能台灯与用5000元购进的B型节能台灯的数量相同．
（1）求每盏A型节能台灯的进价是多少元？
（2）商场将购进A、B两型节能台灯100盏进行销售，A型节能台灯每盏的售价为90元，B型节能台灯每盏的售价为140元，且B型节能台灯的进货数量不超过A型节能台灯数量的2倍．应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润是多少元？
21．（8分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+1与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．
（1）求点B的坐标及抛物线的解析式；
（2）在直线BC上方的抛物线上有一点P，使△PBC的面积为1，求出点P的坐标．
22．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC于点F
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若∠C＝60°，⊙O的半径为2，求由弧DE，线段DF，EF围成的阴影部分的面积（结果保留根号和π）
23．（12分）在矩形ABCD中，AB＝12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F．
（1）如图1，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC；
（2）如图2，①求证：BP＝BF；
②当AD＝25，且AE＜DE时，求cos∠PCB的值；
③当BP＝9时，求BE•EF的值．
2019年云南省昆明市官渡区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（3分）2019的相反数是 ﹣2019 ．
【分析】根据相反数的意义，直接可得结论．
【解答】解：2019的相反数是﹣2019，
故答案为：﹣2019．
【点评】本题考查了相反数的意义．理解a的相反数是﹣a，是解决本题的关键．
2．（3分）如图，在平面直角坐标系中，若将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A1B1C1，则点B的对应点 B1的坐标为 （2，﹣1） ．
【分析】根据要求画出图形即可解决问题．
【解答】解：观察图象可知B1（2，﹣1）．
故答案为（2，﹣1）．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3．（3分）使代数式有意义的x的取值范围是 x≥﹣2 ．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，2+x≥0，
解得x≥﹣2．
故答案为：x≥﹣2．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
4．（3分）分解因式：x3﹣2x2+x＝ x（x﹣1）2 ．
【分析】首先提取公因式x，进而利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：x3﹣2x2+x＝x（x2﹣2x+1）＝x（x﹣1）2．
故答案为：x（x﹣1）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键．
5．（3分）若正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的内角和是 720° ．
【分析】根据多边形的边数与多边形的外角的个数相等，可求出该正多边形的边数，再由多边形的内角和公式求出其内角和．
【解答】解：该正多边形的边数为：360°÷60°＝6，
该正多边形的内角和为：（6﹣2）×180°＝720°．
故答案为：720°．
【点评】解答本题的关键是求出该正多边形的边数与熟记多边形的内角和公式．
6．（3分）等腰三角形ABC中，顶角A为40°，点P在以A为圆心，BC长为半径的圆上，且BP＝BA，则∠PBC的度数为 30°或110° ．
【分析】分两种情形，利用全等三角形的性质即可解决问题；
【解答】解：如图，当点P在直线AB的右侧时．连接AP．
∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝70°，
∵AB＝AB，AC＝PB，BC＝PA，
∴△ABC≌△BAP，
∴∠ABP＝∠BAC＝40°，
∴∠PBC＝∠ABC﹣∠ABP＝30°，
当点P′在AB的左侧时，同法可得∠ABP′＝40°，
∴∠P′BC＝40°+70°＝110°，
故答案为30°或110°．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
二、选择题（本大题共8小题，每小题只有一个正确选项，每小题4分，共32分）
7．（4分）党的十八大以来，党中央把脱贫攻坚摆到治国理政的重要位置，采取超常规的举措，全面打响脱贫攻坚战经过五年的努力全国贫困人口减少了68530000．将68530000用科学记数法表示为（ ）
A．6.853×106 B．0.6853×107 C．68.53×106 D．6.853×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：68530000＝6.853×107，
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
8．（4分）一个圆柱和一个正方体如图摆放，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看左边是一个矩形，右边是一个正方形，
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，看不到的线用虚线．
9．（4分）如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，点D在⊙O上，若∠AOB＝70°，则∠ADC的度数为（ ）
A．30° B．35° C．45° D．70°
【分析】利用圆周角与圆心角的关系即可求解．
【解答】解：∵OA⊥BC，
∴，
∴，
∵∠AOB＝70°，
∴∠ADC＝35°，
故选：B．
【点评】此题考查了圆周角与圆心角定理，熟练掌握圆周角与圆心角的关系是解题关键．
10．（4分）某市从不同学校随机抽取100名初中生对“使用数学教辅用书的册数”进行调查，统计结果如下：
册数
0
1
2
3
人数
10
20
30
40
关于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．众数是2册 B．中位数是2册
C．平均数是3册 D．方差是1.5
【分析】根据方差、众数、中位数及平均数的定义，依次计算各选项即可作出判断．
【解答】解：A、众数是3册，结论错误，故A不符合题意；
B、中位数是2册，结论正确，故B符合题意；
C、平均数是（0×10+1×20+2×30+3×40）÷100＝2册，结论错误，故C不符合题意；
D、方差＝×[10×（0﹣2）2+20×（1﹣2）2+30×（2﹣2）2+40×（3﹣2）2]＝1，结论错误，故D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了方差、平均数、中位数及众数的知识，属于基础题，掌握各部分的定义及计算方法是解题关键．
11．（4分）下列命题中，假命题是（ ）
A．一组对边相等的四边形是平行四边形
B．三个角是直角的四边形是矩形
C．四边相等的四边形是菱形
D．有一个角是直角的菱形是正方形
【分析】根据矩形、正方形、平行四边形、菱形的判定即可求出答案．
【解答】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，是假命题；
B、三个角是直角的四边形是矩形，是真命题；
C、四边相等的四边形是菱形，是真命题；
D、有一个角是直角的菱形是正方形，是真命题；
故选：A．
【点评】本题考查菱形、矩形和平行四边形的判定与命题的真假区别，关键是根据矩形、正方形、平行四边形、菱形的判定解答．
12．（4分）一组按规律排列的多项式：a+b，a2﹣b3，a3+b5，a4﹣b7，…，其中第10个式子是（ ）
A．a10+b19 B．a10﹣b19 C．a10﹣b17 D．a10﹣b21
【分析】把已知的多项式看成由两个单项式组成，分别找出两个单项式的规律，也就知道了多项式的规律．
【解答】解：多项式的第一项依次是a，a2，a3，a4，…，an，
第二项依次是b，﹣b3，b5，﹣b7，…，（﹣1）n+1b2n﹣1，
所以第10个式子即当n＝10时，
代入到得到an+（﹣1）n+1b2n﹣1＝a10﹣b19．
故选：B．
【点评】本题属于找规律的题目，把多项式分成几个单项式的和，分别找出各单项式的规律是解决这类问题的关键．
13．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【分析】要使一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根，只需△≥0．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根，
∴△＝9﹣4m≥0，
m≤．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，关键是根据题意列出不等式．
14．（4分）如图，点A在反比例函数的图象上，连接OA，分别以点O和点A为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于B，C两点，过B，C两点作直线交x轴于点D，连接AD．若∠AOD＝30°，△AOD的面积为2，则k的值为（ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣2 D．﹣3
【分析】过A作AE⊥x轴于E，根据BC垂直平分AO，即可得到AD＝OD，S△ADF＝S△ODF＝1，进而得出△ADE≌△ADF（AAS），可得S△AOE＝3，再根据反比例函数系数k的几何意义，即可得到k的值．
【解答】解：如图，过A作AE⊥x轴于E，
依据作图可得，BC垂直平分AO，
∴AD＝OD，S△ADF＝S△ODF＝1，
∴∠AOD＝∠OAD＝30°，
∴∠ADE＝60°，
∴∠DAE＝∠DAF＝30°，
又∵∠AED＝∠AFD＝90°，AD＝AD，
∴△ADE≌△ADF（AAS），
∴S△AOE＝3，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴|k|＝3，
解得k＝±6，
又∵k＜0，
∴k＝﹣6，
故选：A．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，反比例函数图象上的点的坐标特征，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
三、解答题（本大题共9小题，共70分）
15．（5分）计算：
【分析】根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：＝﹣1﹣3+1+＝﹣2．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记零指数幂、乘方、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值等考点的运算．
16．（6分）如图，EF∥BC，EF＝BC，DA＝EB，求证：∠F＝∠C．
【分析】欲证明∠F＝∠C，只要证明△ABC≌△DEF（SSS）即可．
【解答】证明：∵DA＝BE，
∴DE＝AB，
∵EF∥BC，
∴∠B＝∠DEF，
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠C＝∠F．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考基础题目．
17．（8分）在某个世界读书日前夕，我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间（用t表示，单位：小时），采用随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果按0≤t＜2，2≤t＜3，3≤t＜4，t≥4分为四个等级，并依次用A，B，C，D表示，根据调查结果统计的数据绘制成了如下图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题：
（1）求本次调查的学生人数；
（2）求扇形统计图中等级B所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完整；
（3）若该校共有学生1200人，试估计每周课外阅读时间不少于3小时的人数．
【分析】（1）由条形图、扇形图中给出的级别A的数字，可计算出调查学生人数；
（2）先计算出C在扇形图中的百分比，用1﹣[（A+D+C）在扇形图中的百分比]可计算出B在扇形图中的百分比，再计算出B在扇形的圆心角．
（3）总人数×课外阅读时间满足t≥3的百分比即得所求．
【解答】解：（1）由条形图知，A级的人数为20人，
由扇形图知：A级人数占总调查人数的10%
所以：20÷10%＝20×＝200（人）
即本次调查的学生人数为200人；
（2）由条形图知：C级的人数为60人
所以C级所占的百分比为：×100%＝30%，
B级所占的百分比为：1﹣10%﹣30%﹣45%＝15%，
B级的人数为200×15%＝30（人）
D级的人数为：200×45%＝90（人）
B所在扇形的圆心角为：360°×15%＝54°．
（3）因为C级所占的百分比为30%，
所以全校每周课外阅读时间满足t≥3的人数为：1200×75%＝900（人）
答：全校每周课外阅读时间不少于3小时的人数约有900人．
【点评】本题考查了扇形图和条形图的相关知识．题目难度不大．扇形图中某项圆心角的度数＝360°×该项在扇形图中的百分比．
18．（8分）四张扑克牌的点数分别是2，5，6，8，除点数不同外，其余都相同，将它们洗匀后背面朝上放在桌上
（1）若从中随机抽取一张牌，则抽出的牌的点数是偶数的概率为 ；
（2）若随机抽取一张牌不放回，接着再抽取一张牌，请用列表法或画树状图法（只选其中一种）表示出所有可能出现的结果，并求所抽两张牌的点数都是偶数的概率．
【分析】（1）利用数字2，5，6，8中一共有3个偶数，总数为4，即可得出点数偶数的概率；
（2）列表得出所有情况，让点数都是偶数的情况数除以总情况数即为所求的概率．
【解答】解：（1）因为共有4张牌，其中点数是偶数的有3张，
所以这张牌的点数是偶数的概率是；
故答案为：；
（2）列表如下：
2
5
6
8
2
（2，5）
（2，6）
（2，8）
5
（5，2）
（3，6）
（5，8）
6
（6，2）
（6，5）
（6，8）
8
（8，2）
（8，5）
（8，6）
从上面的表格可以看出，总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中恰好两张牌的点数都是偶数有6种，
所以这两张牌的点数都是偶数的概率为＝．
【点评】此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．（7分）如图，反比例函数的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于A（1，a），B两点，点C在第四象限，CA∥y轴，∠ABC＝90°
（1）求反比例函数的解析式及点B的坐标；
（2）求tanC的值．
【分析】（1）先利用正比例函数解析式确定A（1，2），再根据A点坐标即可得到反比例函数解析式，然后依据点A和点B关于原点对称得到B点坐标；
（2）依据∠ABC＝∠ADO＝90°，可得∠C＝∠AOD，再根据A（1，2），即可得出tanC＝tan∠AOD＝＝2．
【解答】解：（1）把A（1，a）代入y＝2x，得a＝2，
∴A（1，2），
把A（1，2）代入y＝，得k＝1×2＝2，
∴反比例函数解析式为y＝，
∵点A和点B关于原点对称，
∴点B的坐标为（﹣1，﹣2）；
（2）如图，∵CA∥y轴，∠ABC＝90°，
∴∠ABC＝∠ADO＝90°，
∴∠C＝∠AOD，
又∵A（1，2），
∴AD＝2，OD＝1，
∴tanC＝tan∠AOD＝＝2．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
20．（8分）某商场计划购进A、B两种新型节能台灯，已知B型节能台灯每盏进价比A型的多40元，且用3000元购进的A型节能台灯与用5000元购进的B型节能台灯的数量相同．
（1）求每盏A型节能台灯的进价是多少元？
（2）商场将购进A、B两型节能台灯100盏进行销售，A型节能台灯每盏的售价为90元，B型节能台灯每盏的售价为140元，且B型节能台灯的进货数量不超过A型节能台灯数量的2倍．应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润是多少元？
【分析】（1）设每盏A型节能台灯的进价是x元，则B型节能台灯每盏进价为（x+40）元，根据用3000元购进的A型节能台灯与用5000元购进的B型节能台灯的数量相同，列方程求解；
（2）设购进B型台灯m盏，根据商场购进100盏台灯且规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的2倍，列不等式求解，进一步得到商场在销售完这批台灯时获利最多时的利润．
【解答】解：（1）设每盏A型节能台灯的进价是x元，则B型节能台灯每盏进价为（x+40）元，
根据题意得，＝，
解得：x＝60，
经检验：x＝60是原方程的解，
故x+40＝100，
答：每盏A型节能台灯的进价是60元，则B型节能台灯每盏进价为100元；
（2）设购进B型节能台灯m盏，购进A型节能台灯（100﹣m）盏，
依题意有m≤2（100﹣m），
解得m≤66，
90﹣60＝30（元），
140﹣100＝40（元），
∵m为整数，30＜40，
∴m＝66，即A型台灯购进34盏，B型台灯购进66盏时获利最多，
34×30+40×66
＝1020+2640
＝3660（元）．
此时利润为3660元．
【点评】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解．
21．（8分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+1与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．
（1）求点B的坐标及抛物线的解析式；
（2）在直线BC上方的抛物线上有一点P，使△PBC的面积为1，求出点P的坐标．
【分析】（1）利用抛物线的对称性确定B（3，0），然后利用交点式求抛物线解析式；
（2）作PQ∥y轴于Q，如图，利用待定系数法求出直线BC的解析式为y＝﹣x+1，设P（t，﹣t2+t+1）（0＜t＜3），则Q（t，﹣t+1），则PQ＝﹣t2+t，利用三角形面积公式得到×3×（﹣t2+t）＝1，然后解方程求出t即可得到P点坐标．
【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，
∴B（3，0），
设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
即y＝ax2﹣2ax﹣3a，
∵﹣3a＝1，
∴a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+1；
（2）作PQ∥y轴于Q，如图，
当x＝0时，y＝﹣x2+x+1＝1，则C（0，1）
设直线BC的解析式为y＝mx+n，
把C（0，1），B（3，0）代入得，解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+1，
设P（t，﹣t2+t+1）（0＜t＜3），则Q（t，﹣t+1）
∴PQ＝﹣t2+t+1﹣（﹣t+1）＝﹣t2+t，
∵△PBC的面积为1，
∴×3×（﹣t2+t）＝1，
整理得t2﹣3t+2＝0，解得t1＝1，t2＝2，
∴P点坐标为（1，）或（2，1）．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征．
22．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC于点F
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若∠C＝60°，⊙O的半径为2，求由弧DE，线段DF，EF围成的阴影部分的面积（结果保留根号和π）
【分析】（1）连接CD、OD，先利用等腰三角形的性质证AD＝BD，再证OD为△ABC的中位线得DO∥AC，根据DF⊥AC可得；
（2）连接OE、BE，DE，根据已知条件得到△ABC是等边三角形，求得DE∥AB，于是得到S△ADE＝S△ODE，根据阴影部分面积＝S梯形EFDO﹣S扇形DOE计算可得．
【解答】解：（1）如图，连接AD、OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∵OA＝OB，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∴DF是⊙O的切线；
（2）连接OE，BE，DE，
∵AB＝AC，∠C＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵AB为⊙O的直径，
∴BE⊥AC，
∴AE＝CE，
∴DE∥AB，
∴S△ADE＝S△ODE，
∵⊙O的半径为2，∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴AD＝2，
∴DF＝AD＝，AF＝3，
∵∠DOE＝2∠DAC＝60°，
∴阴影部分面积为S梯形EFDO﹣S扇形DOE
＝S三角形ADF﹣S扇形DOE＝××3﹣＝﹣．
【点评】本题主要考查了切线的判定与性质，等边三角形的性质，垂径定理等知识．判断直线和圆的位置关系，一般要猜想是相切，再证直线和半径的夹角为90°即可．注意利用特殊的三角形和三角函数来求得相应的线段长．
23．（12分）在矩形ABCD中，AB＝12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F．
（1）如图1，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC；
（2）如图2，①求证：BP＝BF；
②当AD＝25，且AE＜DE时，求cos∠PCB的值；
③当BP＝9时，求BE•EF的值．
【分析】（1）先判断出∠A＝∠D＝90°，AB＝DC再判断出AE＝DE，即可得出结论；
（2）①利用折叠的性质，得出∠PGC＝∠PBC＝90°，∠BPC＝∠GPC，进而判断出∠GPF＝∠PFB即可得出结论；
②判断出△ABE∽△DEC，得出比例式建立方程求解即可得出AE＝9，DE＝16，再判断出△ECF∽△GCP，进而求出PC，即可得出结论；
③判断出△GEF∽△EAB，即可得出结论．
【解答】解：（1）在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，
∵E是AD中点，
∴AE＝DE，
在△ABE和△DCE中，，
∴△ABE≌△DCE（SAS）；
（2）①在矩形ABCD，∠ABC＝90°，
∵△BPC沿PC折叠得到△GPC，
∴∠PGC＝∠PBC＝90°，∠BPC＝∠GPC，
∵BE⊥CG，
∴BE∥PG，
∴∠GPF＝∠PFB，
∴∠BPF＝∠BFP，
∴BP＝BF；
②当AD＝25时，
∵∠BEC＝90°，
∴∠AEB+∠CED＝90°，
∵∠AEB+∠ABE＝90°，
∴∠CED＝∠ABE，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABE∽△DEC，
∴，
设AE＝x，
∴DE＝25﹣x，
∴，
∴x＝9或x＝16，
∵AE＜DE，
∴AE＝9，DE＝16，
∴CE＝20，BE＝15，
由折叠得，BP＝PG，
∴BP＝BF＝PG，
∵BE∥PG，
∴△ECF∽△GCP，
∴，
设BP＝BF＝PG＝y，
∴，
∴y＝，
∴BP＝，
在Rt△PBC中，PC＝，cos∠PCB＝＝；
③如图，连接FG，
∵∠GEF＝∠PGC＝90°，
∴∠GEF+∠PGC＝180°，
∴BF∥PG
∵BF＝PG，
∴▱BPGF是菱形，
∴BP∥GF，
∴∠GFE＝∠ABE，
∴△GEF∽△EAB，
∴，
∴BE•EF＝AB•GF＝12×9＝108．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．
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日期：2021/4/1 21:46:59；用户：昆明星火初中数学；邮箱：xhjykmczsx02@xyh.com；学号：36044286
2019年云南省昆明市官渡区中考数学一模试卷
一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（3分）2019的相反数是 ．
2．（3分）如图，在平面直角坐标系中，若将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A1B1C1，则点B的对应点 B1的坐标为 ．
3．（3分）使代数式有意义的x的取值范围是 ．
4．（3分）分解因式：x3﹣2x2+x＝ ．
5．（3分）若正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的内角和是 ．
6．（3分）等腰三角形ABC中，顶角A为40°，点P在以A为圆心，BC长为半径的圆上，且BP＝BA，则∠PBC的度数为 ．
二、选择题（本大题共8小题，每小题只有一个正确选项，每小题4分，共32分）
7．（4分）党的十八大以来，党中央把脱贫攻坚摆到治国理政的重要位置，采取超常规的举措，全面打响脱贫攻坚战经过五年的努力全国贫困人口减少了68530000．将68530000用科学记数法表示为（ ）
A．6.853×106 B．0.6853×107 C．68.53×106 D．6.853×107
8．（4分）一个圆柱和一个正方体如图摆放，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
9．（4分）如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，点D在⊙O上，若∠AOB＝70°，则∠ADC的度数为（ ）
A．30° B．35° C．45° D．70°
10．（4分）某市从不同学校随机抽取100名初中生对“使用数学教辅用书的册数”进行调查，统计结果如下：
册数
0
1
2
3
人数
10
20
30
40
关于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．众数是2册 B．中位数是2册
C．平均数是3册 D．方差是1.5
11．（4分）下列命题中，假命题是（ ）
A．一组对边相等的四边形是平行四边形
B．三个角是直角的四边形是矩形
C．四边相等的四边形是菱形
D．有一个角是直角的菱形是正方形
12．（4分）一组按规律排列的多项式：a+b，a2﹣b3，a3+b5，a4﹣b7，…，其中第10个式子是（ ）
A．a10+b19 B．a10﹣b19 C．a10﹣b17 D．a10﹣b21
13．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．（4分）如图，点A在反比例函数的图象上，连接OA，分别以点O和点A为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于B，C两点，过B，C两点作直线交x轴于点D，连接AD．若∠AOD＝30°，△AOD的面积为2，则k的值为（ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣2 D．﹣3
三、解答题（本大题共9小题，共70分）
15．（5分）计算：
16．（6分）如图，EF∥BC，EF＝BC，DA＝EB，求证：∠F＝∠C．
17．（8分）在某个世界读书日前夕，我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间（用t表示，单位：小时），采用随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果按0≤t＜2，2≤t＜3，3≤t＜4，t≥4分为四个等级，并依次用A，B，C，D表示，根据调查结果统计的数据绘制成了如下图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题：
（1）求本次调查的学生人数；
（2）求扇形统计图中等级B所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完整；
（3）若该校共有学生1200人，试估计每周课外阅读时间不少于3小时的人数．
18．（8分）四张扑克牌的点数分别是2，5，6，8，除点数不同外，其余都相同，将它们洗匀后背面朝上放在桌上
（1）若从中随机抽取一张牌，则抽出的牌的点数是偶数的概率为 ；
（2）若随机抽取一张牌不放回，接着再抽取一张牌，请用列表法或画树状图法（只选其中一种）表示出所有可能出现的结果，并求所抽两张牌的点数都是偶数的概率．
19．（7分）如图，反比例函数的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于A（1，a），B两点，点C在第四象限，CA∥y轴，∠ABC＝90°
（1）求反比例函数的解析式及点B的坐标；
（2）求tanC的值．
20．（8分）某商场计划购进A、B两种新型节能台灯，已知B型节能台灯每盏进价比A型的多40元，且用3000元购进的A型节能台灯与用5000元购进的B型节能台灯的数量相同．
（1）求每盏A型节能台灯的进价是多少元？
（2）商场将购进A、B两型节能台灯100盏进行销售，A型节能台灯每盏的售价为90元，B型节能台灯每盏的售价为140元，且B型节能台灯的进货数量不超过A型节能台灯数量的2倍．应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润是多少元？
21．（8分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+1与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．
（1）求点B的坐标及抛物线的解析式；
（2）在直线BC上方的抛物线上有一点P，使△PBC的面积为1，求出点P的坐标．
22．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC于点F
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若∠C＝60°，⊙O的半径为2，求由弧DE，线段DF，EF围成的阴影部分的面积（结果保留根号和π）
23．（12分）在矩形ABCD中，AB＝12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F．
（1）如图1，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC；
（2）如图2，①求证：BP＝BF；
②当AD＝25，且AE＜DE时，求cos∠PCB的值；
③当BP＝9时，求BE•EF的值．
2019年云南省昆明市官渡区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（3分）2019的相反数是 ﹣2019 ．
【分析】根据相反数的意义，直接可得结论．
【解答】解：2019的相反数是﹣2019，
故答案为：﹣2019．
【点评】本题考查了相反数的意义．理解a的相反数是﹣a，是解决本题的关键．
2．（3分）如图，在平面直角坐标系中，若将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A1B1C1，则点B的对应点 B1的坐标为 （2，﹣1） ．
【分析】根据要求画出图形即可解决问题．
【解答】解：观察图象可知B1（2，﹣1）．
故答案为（2，﹣1）．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3．（3分）使代数式有意义的x的取值范围是 x≥﹣2 ．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，2+x≥0，
解得x≥﹣2．
故答案为：x≥﹣2．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
4．（3分）分解因式：x3﹣2x2+x＝ x（x﹣1）2 ．
【分析】首先提取公因式x，进而利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：x3﹣2x2+x＝x（x2﹣2x+1）＝x（x﹣1）2．
故答案为：x（x﹣1）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键．
5．（3分）若正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的内角和是 720° ．
【分析】根据多边形的边数与多边形的外角的个数相等，可求出该正多边形的边数，再由多边形的内角和公式求出其内角和．
【解答】解：该正多边形的边数为：360°÷60°＝6，
该正多边形的内角和为：（6﹣2）×180°＝720°．
故答案为：720°．
【点评】解答本题的关键是求出该正多边形的边数与熟记多边形的内角和公式．
6．（3分）等腰三角形ABC中，顶角A为40°，点P在以A为圆心，BC长为半径的圆上，且BP＝BA，则∠PBC的度数为 30°或110° ．
【分析】分两种情形，利用全等三角形的性质即可解决问题；
【解答】解：如图，当点P在直线AB的右侧时．连接AP．
∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝70°，
∵AB＝AB，AC＝PB，BC＝PA，
∴△ABC≌△BAP，
∴∠ABP＝∠BAC＝40°，
∴∠PBC＝∠ABC﹣∠ABP＝30°，
当点P′在AB的左侧时，同法可得∠ABP′＝40°，
∴∠P′BC＝40°+70°＝110°，
故答案为30°或110°．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
二、选择题（本大题共8小题，每小题只有一个正确选项，每小题4分，共32分）
7．（4分）党的十八大以来，党中央把脱贫攻坚摆到治国理政的重要位置，采取超常规的举措，全面打响脱贫攻坚战经过五年的努力全国贫困人口减少了68530000．将68530000用科学记数法表示为（ ）
A．6.853×106 B．0.6853×107 C．68.53×106 D．6.853×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：68530000＝6.853×107，
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
8．（4分）一个圆柱和一个正方体如图摆放，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看左边是一个矩形，右边是一个正方形，
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，看不到的线用虚线．
9．（4分）如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，点D在⊙O上，若∠AOB＝70°，则∠ADC的度数为（ ）
A．30° B．35° C．45° D．70°
【分析】利用圆周角与圆心角的关系即可求解．
【解答】解：∵OA⊥BC，
∴，
∴，
∵∠AOB＝70°，
∴∠ADC＝35°，
故选：B．
【点评】此题考查了圆周角与圆心角定理，熟练掌握圆周角与圆心角的关系是解题关键．
10．（4分）某市从不同学校随机抽取100名初中生对“使用数学教辅用书的册数”进行调查，统计结果如下：
册数
0
1
2
3
人数
10
20
30
40
关于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．众数是2册 B．中位数是2册
C．平均数是3册 D．方差是1.5
【分析】根据方差、众数、中位数及平均数的定义，依次计算各选项即可作出判断．
【解答】解：A、众数是3册，结论错误，故A不符合题意；
B、中位数是2册，结论正确，故B符合题意；
C、平均数是（0×10+1×20+2×30+3×40）÷100＝2册，结论错误，故C不符合题意；
D、方差＝×[10×（0﹣2）2+20×（1﹣2）2+30×（2﹣2）2+40×（3﹣2）2]＝1，结论错误，故D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了方差、平均数、中位数及众数的知识，属于基础题，掌握各部分的定义及计算方法是解题关键．
11．（4分）下列命题中，假命题是（ ）
A．一组对边相等的四边形是平行四边形
B．三个角是直角的四边形是矩形
C．四边相等的四边形是菱形
D．有一个角是直角的菱形是正方形
【分析】根据矩形、正方形、平行四边形、菱形的判定即可求出答案．
【解答】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，是假命题；
B、三个角是直角的四边形是矩形，是真命题；
C、四边相等的四边形是菱形，是真命题；
D、有一个角是直角的菱形是正方形，是真命题；
故选：A．
【点评】本题考查菱形、矩形和平行四边形的判定与命题的真假区别，关键是根据矩形、正方形、平行四边形、菱形的判定解答．
12．（4分）一组按规律排列的多项式：a+b，a2﹣b3，a3+b5，a4﹣b7，…，其中第10个式子是（ ）
A．a10+b19 B．a10﹣b19 C．a10﹣b17 D．a10﹣b21
【分析】把已知的多项式看成由两个单项式组成，分别找出两个单项式的规律，也就知道了多项式的规律．
【解答】解：多项式的第一项依次是a，a2，a3，a4，…，an，
第二项依次是b，﹣b3，b5，﹣b7，…，（﹣1）n+1b2n﹣1，
所以第10个式子即当n＝10时，
代入到得到an+（﹣1）n+1b2n﹣1＝a10﹣b19．
故选：B．
【点评】本题属于找规律的题目，把多项式分成几个单项式的和，分别找出各单项式的规律是解决这类问题的关键．
13．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【分析】要使一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根，只需△≥0．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根，
∴△＝9﹣4m≥0，
m≤．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，关键是根据题意列出不等式．
14．（4分）如图，点A在反比例函数的图象上，连接OA，分别以点O和点A为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于B，C两点，过B，C两点作直线交x轴于点D，连接AD．若∠AOD＝30°，△AOD的面积为2，则k的值为（ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣2 D．﹣3
【分析】过A作AE⊥x轴于E，根据BC垂直平分AO，即可得到AD＝OD，S△ADF＝S△ODF＝1，进而得出△ADE≌△ADF（AAS），可得S△AOE＝3，再根据反比例函数系数k的几何意义，即可得到k的值．
【解答】解：如图，过A作AE⊥x轴于E，
依据作图可得，BC垂直平分AO，
∴AD＝OD，S△ADF＝S△ODF＝1，
∴∠AOD＝∠OAD＝30°，
∴∠ADE＝60°，
∴∠DAE＝∠DAF＝30°，
又∵∠AED＝∠AFD＝90°，AD＝AD，
∴△ADE≌△ADF（AAS），
∴S△AOE＝3，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴|k|＝3，
解得k＝±6，
又∵k＜0，
∴k＝﹣6，
故选：A．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，反比例函数图象上的点的坐标特征，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
三、解答题（本大题共9小题，共70分）
15．（5分）计算：
【分析】根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：＝﹣1﹣3+1+＝﹣2．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记零指数幂、乘方、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值等考点的运算．
16．（6分）如图，EF∥BC，EF＝BC，DA＝EB，求证：∠F＝∠C．
【分析】欲证明∠F＝∠C，只要证明△ABC≌△DEF（SSS）即可．
【解答】证明：∵DA＝BE，
∴DE＝AB，
∵EF∥BC，
∴∠B＝∠DEF，
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠C＝∠F．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考基础题目．
17．（8分）在某个世界读书日前夕，我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间（用t表示，单位：小时），采用随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果按0≤t＜2，2≤t＜3，3≤t＜4，t≥4分为四个等级，并依次用A，B，C，D表示，根据调查结果统计的数据绘制成了如下图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题：
（1）求本次调查的学生人数；
（2）求扇形统计图中等级B所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完整；
（3）若该校共有学生1200人，试估计每周课外阅读时间不少于3小时的人数．
【分析】（1）由条形图、扇形图中给出的级别A的数字，可计算出调查学生人数；
（2）先计算出C在扇形图中的百分比，用1﹣[（A+D+C）在扇形图中的百分比]可计算出B在扇形图中的百分比，再计算出B在扇形的圆心角．
（3）总人数×课外阅读时间满足t≥3的百分比即得所求．
【解答】解：（1）由条形图知，A级的人数为20人，
由扇形图知：A级人数占总调查人数的10%
所以：20÷10%＝20×＝200（人）
即本次调查的学生人数为200人；
（2）由条形图知：C级的人数为60人
所以C级所占的百分比为：×100%＝30%，
B级所占的百分比为：1﹣10%﹣30%﹣45%＝15%，
B级的人数为200×15%＝30（人）
D级的人数为：200×45%＝90（人）
B所在扇形的圆心角为：360°×15%＝54°．
（3）因为C级所占的百分比为30%，
所以全校每周课外阅读时间满足t≥3的人数为：1200×75%＝900（人）
答：全校每周课外阅读时间不少于3小时的人数约有900人．
【点评】本题考查了扇形图和条形图的相关知识．题目难度不大．扇形图中某项圆心角的度数＝360°×该项在扇形图中的百分比．
18．（8分）四张扑克牌的点数分别是2，5，6，8，除点数不同外，其余都相同，将它们洗匀后背面朝上放在桌上
（1）若从中随机抽取一张牌，则抽出的牌的点数是偶数的概率为 ；
（2）若随机抽取一张牌不放回，接着再抽取一张牌，请用列表法或画树状图法（只选其中一种）表示出所有可能出现的结果，并求所抽两张牌的点数都是偶数的概率．
【分析】（1）利用数字2，5，6，8中一共有3个偶数，总数为4，即可得出点数偶数的概率；
（2）列表得出所有情况，让点数都是偶数的情况数除以总情况数即为所求的概率．
【解答】解：（1）因为共有4张牌，其中点数是偶数的有3张，
所以这张牌的点数是偶数的概率是；
故答案为：；
（2）列表如下：
2
5
6
8
2
（2，5）
（2，6）
（2，8）
5
（5，2）
（3，6）
（5，8）
6
（6，2）
（6，5）
（6，8）
8
（8，2）
（8，5）
（8，6）
从上面的表格可以看出，总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中恰好两张牌的点数都是偶数有6种，
所以这两张牌的点数都是偶数的概率为＝．
【点评】此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．（7分）如图，反比例函数的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于A（1，a），B两点，点C在第四象限，CA∥y轴，∠ABC＝90°
（1）求反比例函数的解析式及点B的坐标；
（2）求tanC的值．
【分析】（1）先利用正比例函数解析式确定A（1，2），再根据A点坐标即可得到反比例函数解析式，然后依据点A和点B关于原点对称得到B点坐标；
（2）依据∠ABC＝∠ADO＝90°，可得∠C＝∠AOD，再根据A（1，2），即可得出tanC＝tan∠AOD＝＝2．
【解答】解：（1）把A（1，a）代入y＝2x，得a＝2，
∴A（1，2），
把A（1，2）代入y＝，得k＝1×2＝2，
∴反比例函数解析式为y＝，
∵点A和点B关于原点对称，
∴点B的坐标为（﹣1，﹣2）；
（2）如图，∵CA∥y轴，∠ABC＝90°，
∴∠ABC＝∠ADO＝90°，
∴∠C＝∠AOD，
又∵A（1，2），
∴AD＝2，OD＝1，
∴tanC＝tan∠AOD＝＝2．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
20．（8分）某商场计划购进A、B两种新型节能台灯，已知B型节能台灯每盏进价比A型的多40元，且用3000元购进的A型节能台灯与用5000元购进的B型节能台灯的数量相同．
（1）求每盏A型节能台灯的进价是多少元？
（2）商场将购进A、B两型节能台灯100盏进行销售，A型节能台灯每盏的售价为90元，B型节能台灯每盏的售价为140元，且B型节能台灯的进货数量不超过A型节能台灯数量的2倍．应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润是多少元？
【分析】（1）设每盏A型节能台灯的进价是x元，则B型节能台灯每盏进价为（x+40）元，根据用3000元购进的A型节能台灯与用5000元购进的B型节能台灯的数量相同，列方程求解；
（2）设购进B型台灯m盏，根据商场购进100盏台灯且规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的2倍，列不等式求解，进一步得到商场在销售完这批台灯时获利最多时的利润．
【解答】解：（1）设每盏A型节能台灯的进价是x元，则B型节能台灯每盏进价为（x+40）元，
根据题意得，＝，
解得：x＝60，
经检验：x＝60是原方程的解，
故x+40＝100，
答：每盏A型节能台灯的进价是60元，则B型节能台灯每盏进价为100元；
（2）设购进B型节能台灯m盏，购进A型节能台灯（100﹣m）盏，
依题意有m≤2（100﹣m），
解得m≤66，
90﹣60＝30（元），
140﹣100＝40（元），
∵m为整数，30＜40，
∴m＝66，即A型台灯购进34盏，B型台灯购进66盏时获利最多，
34×30+40×66
＝1020+2640
＝3660（元）．
此时利润为3660元．
【点评】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解．
21．（8分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+1与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．
（1）求点B的坐标及抛物线的解析式；
（2）在直线BC上方的抛物线上有一点P，使△PBC的面积为1，求出点P的坐标．
【分析】（1）利用抛物线的对称性确定B（3，0），然后利用交点式求抛物线解析式；
（2）作PQ∥y轴于Q，如图，利用待定系数法求出直线BC的解析式为y＝﹣x+1，设P（t，﹣t2+t+1）（0＜t＜3），则Q（t，﹣t+1），则PQ＝﹣t2+t，利用三角形面积公式得到×3×（﹣t2+t）＝1，然后解方程求出t即可得到P点坐标．
【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，
∴B（3，0），
设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
即y＝ax2﹣2ax﹣3a，
∵﹣3a＝1，
∴a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+1；
（2）作PQ∥y轴于Q，如图，
当x＝0时，y＝﹣x2+x+1＝1，则C（0，1）
设直线BC的解析式为y＝mx+n，
把C（0，1），B（3，0）代入得，解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+1，
设P（t，﹣t2+t+1）（0＜t＜3），则Q（t，﹣t+1）
∴PQ＝﹣t2+t+1﹣（﹣t+1）＝﹣t2+t，
∵△PBC的面积为1，
∴×3×（﹣t2+t）＝1，
整理得t2﹣3t+2＝0，解得t1＝1，t2＝2，
∴P点坐标为（1，）或（2，1）．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征．
22．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC于点F
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若∠C＝60°，⊙O的半径为2，求由弧DE，线段DF，EF围成的阴影部分的面积（结果保留根号和π）
【分析】（1）连接CD、OD，先利用等腰三角形的性质证AD＝BD，再证OD为△ABC的中位线得DO∥AC，根据DF⊥AC可得；
（2）连接OE、BE，DE，根据已知条件得到△ABC是等边三角形，求得DE∥AB，于是得到S△ADE＝S△ODE，根据阴影部分面积＝S梯形EFDO﹣S扇形DOE计算可得．
【解答】解：（1）如图，连接AD、OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∵OA＝OB，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∴DF是⊙O的切线；
（2）连接OE，BE，DE，
∵AB＝AC，∠C＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵AB为⊙O的直径，
∴BE⊥AC，
∴AE＝CE，
∴DE∥AB，
∴S△ADE＝S△ODE，
∵⊙O的半径为2，∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴AD＝2，
∴DF＝AD＝，AF＝3，
∵∠DOE＝2∠DAC＝60°，
∴阴影部分面积为S梯形EFDO﹣S扇形DOE
＝S三角形ADF﹣S扇形DOE＝××3﹣＝﹣．
【点评】本题主要考查了切线的判定与性质，等边三角形的性质，垂径定理等知识．判断直线和圆的位置关系，一般要猜想是相切，再证直线和半径的夹角为90°即可．注意利用特殊的三角形和三角函数来求得相应的线段长．
23．（12分）在矩形ABCD中，AB＝12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F．
（1）如图1，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC；
（2）如图2，①求证：BP＝BF；
②当AD＝25，且AE＜DE时，求cos∠PCB的值；
③当BP＝9时，求BE•EF的值．
【分析】（1）先判断出∠A＝∠D＝90°，AB＝DC再判断出AE＝DE，即可得出结论；
（2）①利用折叠的性质，得出∠PGC＝∠PBC＝90°，∠BPC＝∠GPC，进而判断出∠GPF＝∠PFB即可得出结论；
②判断出△ABE∽△DEC，得出比例式建立方程求解即可得出AE＝9，DE＝16，再判断出△ECF∽△GCP，进而求出PC，即可得出结论；
③判断出△GEF∽△EAB，即可得出结论．
【解答】解：（1）在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，
∵E是AD中点，
∴AE＝DE，
在△ABE和△DCE中，，
∴△ABE≌△DCE（SAS）；
（2）①在矩形ABCD，∠ABC＝90°，
∵△BPC沿PC折叠得到△GPC，
∴∠PGC＝∠PBC＝90°，∠BPC＝∠GPC，
∵BE⊥CG，
∴BE∥PG，
∴∠GPF＝∠PFB，
∴∠BPF＝∠BFP，
∴BP＝BF；
②当AD＝25时，
∵∠BEC＝90°，
∴∠AEB+∠CED＝90°，
∵∠AEB+∠ABE＝90°，
∴∠CED＝∠ABE，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABE∽△DEC，
∴，
设AE＝x，
∴DE＝25﹣x，
∴，
∴x＝9或x＝16，
∵AE＜DE，
∴AE＝9，DE＝16，
∴CE＝20，BE＝15，
由折叠得，BP＝PG，
∴BP＝BF＝PG，
∵BE∥PG，
∴△ECF∽△GCP，
∴，
设BP＝BF＝PG＝y，
∴，
∴y＝，
∴BP＝，
在Rt△PBC中，PC＝，cos∠PCB＝＝；
③如图，连接FG，
∵∠GEF＝∠PGC＝90°，
∴∠GEF+∠PGC＝180°，
∴BF∥PG
∵BF＝PG，
∴▱BPGF是菱形，
∴BP∥GF，
∴∠GFE＝∠ABE，
∴△GEF∽△EAB，
∴，
∴BE•EF＝AB•GF＝12×9＝108．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/4/1 21:46:59；用户：昆明星火初中数学；邮箱：xhjykmczsx02@xyh.com；学号：36044286
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