2020年云南省昆明市官渡区中考数学一模试卷

这是一份2020年云南省昆明市官渡区中考数学一模试卷，共25页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020年云南省昆明市官渡区中考数学一模试卷
一、填空题（每小题3分，满分18分.请考生用黑色碳素笔将答案写在答题卡相应题号后的横线上）
1．（3分）2020的倒数是　 　．
2．（3分）使有意义的x的取值范围为　 　．
3．（3分）庚子新春，一场突如其来的新冠肺炎疫情肆虐湖北．举国上下，众志成城，为坚决打赢疫情防控的人民战争、总体战、阻击战，截止2020年2月28日，国家卫健委组织支援湖北的医护人员已超过40000人．数字40000用科学记数法表示为　 　．
4．（3分）将一副三角板（含30°、45°、60°、90°角）按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为　 　度．

5．（3分）若一个多边形的内角和是外角和的3倍，则该多边形是　 　边形（填该多边形的边数）．
6．（3分）如图，将半径为6的圆形纸片沿半径OA、OB将其裁成1：3两个部分，用所得扇形围成圆锥的侧面，则圆锥的底面半径为　 　．

二、选择题（每小题4分，满分32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）
7．（4分）我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的主视图是（　　）

A． B．
C． D．
8．（4分）初三（1）班一次体育模拟考试中，10名同学跳绳项目的测试成绩统计如表：则下列说法错误的是（　　）
成绩（个/分钟）
140
160
169
170
177
180
人数
1
1
1
2
3
2
A．平均数是170 B．众数是177
C．中位数是173.5 D．方差是135
9．（4分）下列运算中，计算正确的是（　　）
A．a2+a3＝a5 B．（3a2）3＝27a6
C．a6÷a2＝a3 D．（a+b）2＝a2+b2
10．（4分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　）
A．x2﹣2x﹣3＝0 B．x2+2x+1＝0 C．x2﹣x+1＝0 D．x2＝1
11．（4分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
12．（4分）《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
13．（4分）如图，点A在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点C在x轴的正半轴上，则平行四边形ABCO的面积是（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3
14．（4分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E、F是AD边上的两个动点，且AE＝FD，连接BE、CF、BD，CF与BD交于点G，连接AG交BE于点H，连接DH，下列结论正确的个数是（　　）
①△ABG∽△FDG②HD平分∠EHG③AG⊥BE④S△HDG：S△HBG＝tan∠DAG⑤线段DH的最小值是2﹣2．

A．2 B．3 C．4 D．5
三、解答题（共9小题，满分70分.请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效.特别注意：作图时，必须使用黑色碳素笔在答题卡上作图）
15．（5分）计算：（π﹣2020）0+|1﹣|+2﹣1﹣2sin60°．
16．（6分）如图，已知∠BAD＝∠CAE，AB＝AD，AC＝AE．求证：∠B＝∠D．

17．（7分）受非洲猪瘟疫情影响，2019年我国猪肉价格有较大幅度的上升．为了解某地区养殖户的受灾情况，现从该地区建档的养殖户中随机抽取了部分养殖户进行调查（把调查结果分为四个等级：A级﹣非常严重，B级﹣严重，C级﹣一般，D级﹣没有感染），并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：

（1）填空：本次抽样调查的养殖户的总户数是　 　；在扇形统计图中A级所对应的圆心角为　 　度．
（2）请补全条形统计图；
（3）若该地区建档的养殖户有1500户，估计非常严重与严重的养殖户一共有多少户？
18．（8分）近年来，随着互联网经济的兴起和发展，人们的购物模式发生了改变，支付方式除了现金支付外，还有微信、支付宝、银行卡等．在一次购物中，小明和小亮都想从微信（记为A）、支付宝（记为B）、银行卡（记为C）三种支付方式中选择一种方式进行支付．
（1）小明从微信、支付宝、银行卡三种支付方式中选择一种方式进行支付，选择用微信支付的概率为　 　；
（2）请用画树状图或列表的方法，求小明和小亮恰好选择同一种支付方式的概率．
19．（7分）2020年春节期间，昆明市政府为了进一步做好新冠肺炎疫情的防控工作，在各个高速公路出入口均设立检测点，对出入人员进行登记和体温检测．如图为一高速路口检测点的指示牌，已知立杆AB的高度是3m，从侧面D点处测得指示牌C点和B点的仰角分别是60°和45°，求BC的长．（结果精确到0.1m．参考数据：≈1.414，≈1.732）

20．（8分）在创建全国文明城市过程中，官渡区决定购买A、B两种树苗对某路段道路进行绿化改造．已知购买A种树苗5棵，B种树苗3棵，需要840元；购买A种树苗3棵，B种树苗5棵，需要760元．
（1）求购买A、B两种树苗每棵各需多少元？
（2）现需购进这两种树苗共100棵，考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗不能少于30棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过10000元，怎样购买所需资金最少？
21．（8分）阅读材料：若抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上（点A与点B不重合），我们称这样的两条抛物线L1、L2互为“友好”抛物线，如图1．

解决问题：如图2，已知抛物线L3：y＝2x2﹣8x+4与y轴交于点C．
（1）若点D与点C关于抛物线L3的对称轴对称，求点D的坐标；
（2）求出以点D为顶点的L3的“友好”抛物线L4的解析式；
（3）直接写出L3与L4中y同时随x增大而增大的自变量x的取值范围．
22．（9分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E．
（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，若BE＝3，DF＝3，求图中阴影部分的面积．

23．（12分）已知，如图1，将△AED绕点E旋转180°得到△BEF，延长FB到点C，使得BC＝FB，连接DC．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）如图2，点G是边BC上任意一点（点G与点B、C不重合），连接AG交DF于点H，连接HC，过点A作AK∥HC，交DF于点K．
①求证：HC＝2AK；
②当点G是BC边中点时，恰有HD＝n•HK（n为正整数），求n的值．


2020年云南省昆明市官渡区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（每小题3分，满分18分.请考生用黑色碳素笔将答案写在答题卡相应题号后的横线上）
1．（3分）2020的倒数是　　．
【分析】根据倒数之积等于1可得答案．
【解答】解：2020的倒数是，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了倒数，解题的关键是掌握倒数定义．
2．（3分）使有意义的x的取值范围为　x≥9　．
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：x﹣9≥0，
∴x≥9，
故答案为：x≥9．
【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
3．（3分）庚子新春，一场突如其来的新冠肺炎疫情肆虐湖北．举国上下，众志成城，为坚决打赢疫情防控的人民战争、总体战、阻击战，截止2020年2月28日，国家卫健委组织支援湖北的医护人员已超过40000人．数字40000用科学记数法表示为　4×104　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：40000＝4×104，
故答案为：4×104．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）将一副三角板（含30°、45°、60°、90°角）按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为　75　度．

【分析】由平角等于180°结合三角板各角的度数，可求出∠2的度数，由直尺的上下两边平行，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠1的度数．
【解答】解：∵∠2+60°+45°＝180°，
∴∠2＝75°．
∵直尺的上下两边平行，
∴∠1＝∠2＝75°．
故答案为：75．

【点评】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
5．（3分）若一个多边形的内角和是外角和的3倍，则该多边形是　八　边形（填该多边形的边数）．
【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理和外角和定理列出方程，解方程即可．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
由题意得，（n﹣2）×180°＝360°×3，
解得n＝8，
则这个多边形的边数为8．
故答案为：八．
【点评】本题考查的是内角与外角的计算，多边形内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3且n为整数），多边形的外角和等于360度．
6．（3分）如图，将半径为6的圆形纸片沿半径OA、OB将其裁成1：3两个部分，用所得扇形围成圆锥的侧面，则圆锥的底面半径为　或　．

【分析】分别求出两个扇形的弧长，根据圆的周长公式计算即可．
【解答】解：∵圆形纸片的半径为6，
∴圆形纸片的周长＝12π，
将其裁成1：3两个部分，
一部分弧长＝3π，另一部分弧长＝9π，
则圆锥的底面半径为或，即或，
故答案为：或．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，掌握圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键．
二、选择题（每小题4分，满分32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）
7．（4分）我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的主视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据主视图的定义，得出圆柱以及立方体的摆放即可得出主视图为3个正方形组合体，进而得出答案即可．
【解答】解：利用圆柱直径等于立方体边长，得出此时摆放，圆柱主视图是正方形，
得出圆柱以及立方体的摆放的主视图为两列，左边一个正方形，右边两个正方形，
故选：B．
【点评】此题主要考查了几何体的三视图；掌握主视图是从几何体正面看得到的平面图形是解决本题的关键．
8．（4分）初三（1）班一次体育模拟考试中，10名同学跳绳项目的测试成绩统计如表：则下列说法错误的是（　　）
成绩（个/分钟）
140
160
169
170
177
180
人数
1
1
1
2
3
2
A．平均数是170 B．众数是177
C．中位数是173.5 D．方差是135
【分析】根据平均数、方差、中位数和众数的定义分别进行解答，即可求出答案．
【解答】解：A、这组数据的平均数是：（140+160+169+170×2+177×3+180×2）÷10＝170，此选项正确；
B、这组数据中177出现次数最多，即众数为177，此选项正确；
C、∵共有10个数，
∴中位数是第5个和6个数的平均数，
∴中位数是（170+177）÷2＝173.5；此选项正确；
D、方差＝[（140﹣170）2+（160﹣170）2+（169﹣170）2+2×（170﹣170）2+3×（177﹣170）2+2×（180﹣170）2]＝134.8；此选项错误；
故选：D．
【点评】本题主要考查方差、中位数、平均数、众数等，熟练掌握中位数、众数及平均数、方差等定义是解题的关键．
9．（4分）下列运算中，计算正确的是（　　）
A．a2+a3＝a5 B．（3a2）3＝27a6
C．a6÷a2＝a3 D．（a+b）2＝a2+b2
【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、完全平方公式、同底数幂的除法运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、a2+a3，不是同类项，无法合并，故此选项错误；
B、（3a2）3＝27a6，正确；
C、a6÷a2＝a4，故此选项错误；
D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此选项错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、完全平方公式、同底数幂的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
10．（4分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　）
A．x2﹣2x﹣3＝0 B．x2+2x+1＝0 C．x2﹣x+1＝0 D．x2＝1
【分析】找出各选项中的a，b及c的值，计算出根的判别式的值，当根的判别式的值小于0时满足题意．
【解答】解：A、这里a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3，
∵△＝b2﹣4ac＝16＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，不合题意；
B、这里a＝1，b＝2，c＝1，
∵△＝b2﹣4ac＝0，
∴方程有两个相等的实数根，不合题意；
C、这里a＝1，b＝﹣1，c＝1，
∵△＝b2﹣4ac＝﹣3＜0，
∴方程没有实数根，符合题意；
D、方程即为x2﹣1＝0，这里a＝1，b＝0，c＝﹣1，
∵△＝b2﹣4ac＝4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
11．（4分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】先求出不等式组的解集并在数轴上表示出来，找出符合条件的选项即可．
【解答】解：，
解不等式2x﹣5＜1得x＜3，
解不等式3x+1≥2x得x≥﹣1，
故不等式组的解集为﹣1≤x＜3，
在数轴上的表示如选项C所示．
故选：C．
【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
12．（4分）《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】首先设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x﹣3）天，慢马所需的时间为（x+1）天，由题意得等量关系：慢马速度×2＝快马速度，根据等量关系，可得方程．
【解答】解：设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x﹣3）天，慢马所需的时间为（x+1）天，由题意得：
×2＝，
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
13．（4分）如图，点A在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点C在x轴的正半轴上，则平行四边形ABCO的面积是（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】设点B的坐标，根据对称性表示AB、ON，再利用反比例函数的k的几何意义可求出答案．
【解答】解：过点B作BM⊥OC，垂足为M，
设点B（m，n），则OM＝m，MB＝ON＝n，mn＝3，
∵y＝﹣（x＜0）与y＝（x＞0）关于y轴对称，
∴AN＝BN＝2m，
∴S四边形OABC＝AB•ON＝2m×n＝6，
故选：A．

【点评】考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的对称性和k的几何意义是解决问题的关键．
14．（4分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E、F是AD边上的两个动点，且AE＝FD，连接BE、CF、BD，CF与BD交于点G，连接AG交BE于点H，连接DH，下列结论正确的个数是（　　）
①△ABG∽△FDG②HD平分∠EHG③AG⊥BE④S△HDG：S△HBG＝tan∠DAG⑤线段DH的最小值是2﹣2．

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】首先证明△ABE≌△DCF，△ADG≌△CDG（SAS），△AGB≌△CGB，利用全等三角形的性质，等高模型、三边关系一一判断即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，∠ADB＝∠CDB＝45°，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠ABE＝∠DCF，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠DAG＝∠DCF，
∴∠ABE＝∠DAG，
∵∠DAG+∠BAH＝90°，
∴∠ABE+∠BAH＝90°，
∴∠AHB＝90°，
∴AG⊥BE，故③正确，
同法可证：△AGB≌△CGB，
∵DF∥CB，
∴△CBG∽△FDG，
∴△ABG∽△FDG，故①正确，
∵S△HDG：S△HBG＝DG：BG＝DF：BC＝DF：CD＝tan∠FCD，
又∵∠DAG＝∠FCD，
∴S△HDG：S△HBG＝tan∠FCD，tan∠DAG，故④正确
取AB的中点O，连接OD、OH，
∵正方形的边长为4，
∴AO＝OH＝×4＝2，
由勾股定理得，OD＝＝2 ，
∵DH≥OD﹣OH，
∴O、D、H三点共线时，DH最小，
∴DH最小＝2 ﹣2．故5正确
无法证明DH平分∠EHG，故②错误，
故①③④⑤正确，
故选：C．

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，勾股定理、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，难点在于⑤作辅助线并确定出DH最小时的情况．
三、解答题（共9小题，满分70分.请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效.特别注意：作图时，必须使用黑色碳素笔在答题卡上作图）
15．（5分）计算：（π﹣2020）0+|1﹣|+2﹣1﹣2sin60°．
【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝1+﹣1+﹣2×
＝．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
16．（6分）如图，已知∠BAD＝∠CAE，AB＝AD，AC＝AE．求证：∠B＝∠D．

【分析】利用SAS判定△ABC≌△ADE，再根据全等三角形的对应边相等，对应角相等，即可证得∠B＝∠D．
【解答】证明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAC＝∠DAE．
∵AB＝AD，AC＝AE，
∴△ABC≌△ADE（SAS）．
∴∠B＝∠D．
【点评】本题考查三角形全等的判定与性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
17．（7分）受非洲猪瘟疫情影响，2019年我国猪肉价格有较大幅度的上升．为了解某地区养殖户的受灾情况，现从该地区建档的养殖户中随机抽取了部分养殖户进行调查（把调查结果分为四个等级：A级﹣非常严重，B级﹣严重，C级﹣一般，D级﹣没有感染），并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：

（1）填空：本次抽样调查的养殖户的总户数是　50　；在扇形统计图中A级所对应的圆心角为　50.4　度．
（2）请补全条形统计图；
（3）若该地区建档的养殖户有1500户，估计非常严重与严重的养殖户一共有多少户？
【分析】（1）从统计图可得，“B级”的占调查总户数的20%，则A，C，D级的占调查总户数的80%，可求出调查总户数；
（2）求出“B级”户数，即可补全条形统计图；
（2）样本估计总体，样本中“严重”和“非常严重”占，估计总体1500户的是“严重”和“非常严重”的户数；
【解答】解：（1）（7+20+13）÷（1﹣20%）＝50（户）；
在扇形统计图中A级所对应的圆心角为360°×＝50.4°，
故答案为：50，50.4；
（2）严重的户数有50×20%＝10（户），
补全条形统计图如图所示；
（3）估计非常严重与严重的养殖户一共有1500×＝510（户）．

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
18．（8分）近年来，随着互联网经济的兴起和发展，人们的购物模式发生了改变，支付方式除了现金支付外，还有微信、支付宝、银行卡等．在一次购物中，小明和小亮都想从微信（记为A）、支付宝（记为B）、银行卡（记为C）三种支付方式中选择一种方式进行支付．
（1）小明从微信、支付宝、银行卡三种支付方式中选择一种方式进行支付，选择用微信支付的概率为　　；
（2）请用画树状图或列表的方法，求小明和小亮恰好选择同一种支付方式的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小明和小亮恰好选择同一种支付方式的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）∵共有三种支付方式，分别是微信、支付宝、银行卡，
∴选择用微信支付的概率为；
故答案为：；

（2）根据题意画树状图如下：

∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，
∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为＝．
【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率．注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．（7分）2020年春节期间，昆明市政府为了进一步做好新冠肺炎疫情的防控工作，在各个高速公路出入口均设立检测点，对出入人员进行登记和体温检测．如图为一高速路口检测点的指示牌，已知立杆AB的高度是3m，从侧面D点处测得指示牌C点和B点的仰角分别是60°和45°，求BC的长．（结果精确到0.1m．参考数据：≈1.414，≈1.732）

【分析】在Rt△ADB中，由∠BDA＝45°，AB＝3可得出DA＝3，在Rt△ADC中，由特殊角的正切值即可得出线段CA的长度，再利用线段间的关系即可得出结论．
【解答】解：∵在Rt△ADB中，∠BDA＝45°，AB＝3m，
∴DA＝3m．
在Rt△ADC中，∠CDA＝60°，
∴tan60°＝，
∴CA＝DA•tan60°＝3（m），
∴BC＝CA﹣BA＝3﹣3≈3×1.732﹣3＝2.196≈2.2（m）．
答：高速路口检测点的指示牌BC的高度约为2.2米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的俯角仰角问题，解题的关键是求出线段CA的长度．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，在直角三角形中结合特殊角的正切值找出线段间的关系是关键．
20．（8分）在创建全国文明城市过程中，官渡区决定购买A、B两种树苗对某路段道路进行绿化改造．已知购买A种树苗5棵，B种树苗3棵，需要840元；购买A种树苗3棵，B种树苗5棵，需要760元．
（1）求购买A、B两种树苗每棵各需多少元？
（2）现需购进这两种树苗共100棵，考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗不能少于30棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过10000元，怎样购买所需资金最少？
【分析】（1）设购买A种树苗每棵需要x元，B种树苗每棵需要y元，根据“购买A种树苗5棵，B种树苗3棵，需要840元；购买A种树苗3棵，B种树苗5棵，需要760元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A种树苗m棵，则购进B种树苗（100﹣m）棵，由购进A种树苗不能少于30棵且用于购买这两种树苗的资金不能超过10000元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，设购买树苗的总费用为w元，由总价＝单价×数量可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设购买A种树苗每棵需要x元，B种树苗每棵需要y元，
依题意，得：，解得：．
答：购买A种树苗每棵需要120元，B种树苗每棵需要80元．

（2）设购进A种树苗m棵，则购进B种树苗（100﹣m）棵，
依题意，得：，
解得：30≤m≤50．
设购买树苗的总费用为w元，则w＝120m+80（100﹣m）＝40m+8000．
∵40＞0，
∴w的值随m值的增大而增大，
∴当m＝30时，w取得最小值，最小值为9200．
答：当购买A种树苗30棵、B种树苗70棵时，所需资金最少，最少资金为9200元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
21．（8分）阅读材料：若抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上（点A与点B不重合），我们称这样的两条抛物线L1、L2互为“友好”抛物线，如图1．

解决问题：如图2，已知抛物线L3：y＝2x2﹣8x+4与y轴交于点C．
（1）若点D与点C关于抛物线L3的对称轴对称，求点D的坐标；
（2）求出以点D为顶点的L3的“友好”抛物线L4的解析式；
（3）直接写出L3与L4中y同时随x增大而增大的自变量x的取值范围．
【分析】（1）设x＝0，求出y的值，即可得到C的坐标，把抛物线L3：y＝2x2﹣8x+4配方即可得到抛物线的对称轴，由此可求出点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标；
（2）由（1）可知点D的坐标为（4，4），再由条件以点D为顶点的L3的“友好”抛物线L4的解析式，可求出L4的解析式；
（3）画图象，根据图象可得L3与L4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线L3：y＝2x2﹣8x+4，
∴y＝2（x﹣2）2﹣4，
∴顶点为（2，﹣4），对称轴为x＝2，
设x＝0，则y＝4，
∴C（0，4），
∴点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标为：（4，4）；

（2）设抛物线L4的解析式为：y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），
∵L4的顶点D（4，4），且过点（2，﹣4），
∴a（2﹣4）2+4＝﹣4，
∴a＝﹣2，
∴L4的解析式为y＝﹣2（x﹣4）2+4，
即y＝﹣2x2+16x﹣28；

（3）如图2，由图象可知当2≤x≤4时，L3与L4中y同时随x增大而增大．

【点评】本题属于二次函数的综合题，涉及了抛物线的对称变换、抛物线与坐标轴的交点坐标以及新定义的问题，解答本题的关键是数形结合，特别是（3）问根据已知条件得出方程组求解，有一定难度．
22．（9分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E．
（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，若BE＝3，DF＝3，求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）直接利用角平分线的定义结合平行线的判定与性质得出∠DEB＝∠EDO＝90°，进而得出答案；
（2）利用勾股定理结合扇形面积求法分别分析得出答案．
【解答】解：（1）DE与⊙O相切，
理由：连接DO，
∵DO＝BO，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，
∴∠EBD＝∠DBO，
∴∠EBD＝∠BDO，
∴DO∥BE，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝∠EDO＝90°，
∴DE与⊙O相切；

（2）∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BE，DF⊥AB，
∴DE＝DF＝3，
∵BE＝3，
∴BD＝＝6，
∵sin∠DBF＝＝，
∴∠DBA＝30°，
∴∠DOF＝60°，
∴sin60°＝＝＝，
∴DO＝2，
则FO＝，
故图中阴影部分的面积为：﹣××3＝2π﹣．

【点评】此题主要考查了切线的判定方法以及扇形面积求法等知识，正确得出DO的长是解题关键．
23．（12分）已知，如图1，将△AED绕点E旋转180°得到△BEF，延长FB到点C，使得BC＝FB，连接DC．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）如图2，点G是边BC上任意一点（点G与点B、C不重合），连接AG交DF于点H，连接HC，过点A作AK∥HC，交DF于点K．
①求证：HC＝2AK；
②当点G是BC边中点时，恰有HD＝n•HK（n为正整数），求n的值．

【分析】（1）欲证明四边形ABCD是平行四边形，只要证明AD＝BC，AD∥BC即可．
（2）①想办法证明△AKD∽△CHF，推出＝＝可得结论．
②如图2中，过点G作GM∥DF交HC于M．由△CMG∽△CHF，推出GM＝FH，由△AHD∽△GHF，推出DH＝FH，推出DH＝GM，由△AHK∽△HGM，推出HK＝GM，可得HD＝4HK解决问题．
【解答】（1）证明：如图1中，

∵△AED绕点E旋转180°得到△BEF，
∴∠ADE＝∠F，AD＝BF，
∴AD∥CF，
∵BC＝FB，
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．

（2）①证明：∵BC＝FB，
∴FC＝2BF，
∵BF＝AD，
∴FC＝2AD，
∵AK∥CH，
∴∠AKF＝∠CHD，
∴∠AKD＝∠CHF，
∵∠ADK＝∠F，
∴△AKD∽△CHF，
∴＝＝，
∴CH＝2AK．

②如图2中，过点G作GM∥DF交HC于M．

∵G是BC的中点，且FC＝2BF，
∴CG＝CF，
∵GM∥DF，
∴△CMG∽△CHF，
∴＝＝，即GM＝FH，
∵AD∥FC，
∴△AHD∽△GHF，
∴＝＝＝，即DH＝FH，
∴＝，即DH＝GM，
∵AK∥HC，GM∥DF，
∴∠HAK＝∠GHM，∠AHK＝∠HGM，
∴△AHK∽△HGM，
∴＝＝，即HK＝GM，
∴＝，即HD＝4HK，
∴n＝4．
【点评】本题属于相似形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
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日期：2021/4/1 21:46:27；用户：昆明星火初中数学；邮箱：xhjykmczsx02@xyh.com；学号：36044286