初中数学浙教版九年级下册第一章 解直角三角形综合与测试随堂练习题

这是一份初中数学浙教版九年级下册第一章 解直角三角形综合与测试随堂练习题，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．cs 30°的值为( )
A.eq \f(1,2) B．1 C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(3),2)
2．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝40°，BC＝3，则AC等于( )
A．3sin 40° B．3sin 50° C．3tan 40° D．3tan 50°
3．等腰三角形底边与底边上的高的比是2∶eq \r(3)，则顶角为( )
A．60° B．90° C．120° D．150°
4．为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图所示的图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于点D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下4组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC.能根据所测数据，求出A，B两点之间距离的有( )
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连结BD，若cs ∠BDC＝eq \f(5,7)，则BC的长是( )
A．10 B．8 C．4eq \r(3) D．2eq \r(6)
6．如图①，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P处沿水平方向打入木桩底下，使木桩竖直向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为20°，若楔子沿水平方向前移8 cm(如图②)，则木桩大约上升了(结果保留一位小数．参考数据：sin 20°≈0.34，cs 20°≈0.94，tan 20°≈0.36)( )
A．2.9 cm B．2.2 cm C．2.7 cm D．7.5 cm
7．如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝45°，∠C＝120°，AB＝8，则CD的长为( )
A.eq \f(8\r(6),3) B．4eq \r(3) C.eq \f(8\r(2),3) D．4eq \r(2)
8．李红同学遇到了这样一道题：求eq \r(3)tan (α＋20°)＝1中锐角α的度数．你认为锐角α的度数应是( )
A．40° B．30°
C．20° D．10°
9．如图，某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于P的北偏东30°方向，且相距20 n mile.客轮以60 n mile/h的速度沿北偏西60°方向航行eq \f(2,3) h到达B处，那么tan∠ABP的值等于( )
A.eq \f(1,2) B．2 C.eq \f(\r(5),5) D.eq \f(2\r(5),5)

10．如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内)，已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于( )
A．asin x＋bsin x B．acs x＋bcs x
C．asin x＋bcs x D．acs x＋bsin x
二、填空题(每题3分，共24分)
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，则∠A的正切值为________．
12．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，AC＝4，BC＝3，则cs ∠BCD＝________.
13．已知传送带的坡度i＝1∶2.4，如果它把物体送到离地面10 m高的地方，那么物体所经过的路程为________ .
14．如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15eq \r(3)米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是____________米(结果保留根号)．
15．如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，M，N两点关于对角线AC所在的直线对称，若DM＝1，则tan∠ADN＝________.
16．如图，在△ABC中，∠B＝30°，AC＝2，cs C＝eq \f(3,5)，则AB边的长为________．
17．如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30 m/min的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25 min后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A，B两点间的距离为__________．
18．如图，在东西方向的海岸线上有A，B两个港口，甲货船从A港出发，沿北偏东60°的方向以40 n mile/h的速度航行，同时乙货船从B港出发，沿西北方向航行，2 h后两船在点P处相遇，则乙货船的速度为____________．
三、解答题(19～21题每题10分，其余每题12分，共66分)
19．计算：
(1)2－1－eq \r(3)tan 60°＋(π－2 021)0＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))；
(2)(π－eq \r(5))0＋eq \r(4)＋(－1)2 021－eq \r(3)tan 60°.
20．如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物方向前进了100 m到达B处，此时测得建筑物顶部的仰角是45°.已知测角仪的高度是1.5 m，请你计算出该建筑物的高度(结果精确到1 m．参考数据：eq \r(3)≈1.732)．
21．如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸B处测得对岸A处一棵柳树位于北偏东60°方向，他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达C处，此时测得柳树位于北偏东30°方向，试计算此段河流河面的宽度．
22．为了缓解交通拥堵，方便行人，市政府计划在某街道修建一座横断面为四边形ABCD的过街天桥(如图)，BC∥AD，若天桥斜坡AB的坡角∠BAD为35°，斜坡CD的坡度i＝1∶1.2，BC＝10 m，天桥高度CE＝5 m，求AD的长度(结果精确到0.1 m．参考数据：sin 35°≈0.57，cs 35°≈0.82，tan 35°≈0.70)．

23．如图是由6个形状、大小完全相同的小矩形组成的，小矩形的顶点称为格点．已知小矩形较短边长为1，△ABC的顶点都在格点上．
(1)用无刻度的直尺作图：找出格点D，连结CD，使∠ACD＝90°；
(2)在(1)的条件下，连结AD，求tan ∠BAD的值．
24．小红家的阳台上放置了一个晒衣架(如图①)，图②是晒衣架的侧面示意图，立杆AB，CD相交于点O，B，D两点立于地面，经测量：AB＝CD＝136 cm，OA＝OC＝51 cm，OE＝OF＝34 cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段，且EF＝32 cm(参考数据：sin 61.9°≈0.882，cs 61.9°≈0.471，tan 28.1°≈0.534)．
(1)求证：AC∥BD；
(2)求扣链EF与立杆AB的夹角∠OEF的度数(结果精确到0.1°)；
(3)小红的连衣裙穿在衣架上的总长度达到122 cm，垂挂在晒衣架上是否会碰到地面？请通过计算说明理由．
答案
一、1.D 2.D 3.A
4．C 点拨：对于①，可由AB＝BC·tan ∠ACB求出A，B两点间的距离；对于②，由BC＝eq \f(AB,tan ∠ACB)，BD＝eq \f(AB,tan ∠ADB)，BD－BC＝CD，可求出A，B两点间的距离；对于③，易知△DEF∽△DBA，则eq \f(DE,EF)＝eq \f(BD,AB)，可求出A，B两点间的距离；对于④无法求得A，B两点间的距离，故有①②③共3组，故选C.
5．D 6.A
7．A 点拨：过点A作AE⊥BC于点E，过D作DF⊥BC，交BC延长线于点F，解Rt△ABE可得AE＝4eq \r(2)，易证DF＝AE，∴DF＝4eq \r(2)，再解Rt△DCF即可求出CD.
8．D 9.A
10．D 点拨：如图，作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°.
∵∠ABC＝∠AEC，∠BCO＝x，
∴∠EAB＝x.
∴∠FBA＝x.
∵AB＝a，BC＝AD＝b，
∴FO＝FB＋BO＝acs x＋bsin x.
二、11.3 12.eq \f(4,5) 13.26 m
14．(15 eq \r(3)＋15) 15.eq \f(4,3)
16.eq \f(16,5) 点拨：如图，作AH⊥BC于点H.
在Rt△ACH中，∵∠AHC＝90°，AC＝2，cs C＝eq \f(3,5)，
∴eq \f(CH,AC)＝eq \f(3,5).∴CH＝eq \f(6,5).
∴AH＝eq \r(AC2－CH2)＝eq \r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)))\s\up12(2))＝eq \f(8,5).
在Rt△ABH中，
∵∠AHB＝90°，∠B＝30°，
∴AB＝2AH＝eq \f(16,5).
17．750 eq \r(2) m 点拨：过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ACD中，∠ACD＝75°－30°＝45°，AC＝30×25＝750(m)，∴AD＝AC·sin 45°＝375 eq \r(2)(m)．在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，∴AB＝2AD＝750eq \r(2)(m)．即小山东西两侧A，B两点间的距离为750eq \r(2) m.
18．20 eq \r(2) n mile/h 点拨：如图，作PC⊥AB于点C.
∵甲货船从A港出发，沿北偏东60°的方向以40 n mile/h的速度航行，∴∠PAC＝30°，AP＝40×2＝80(n mile)．∴PC＝AP·sin 30°＝80×eq \f(1,2)＝40(n mile)．
∵乙货船从B港出发，沿西北方向航行，∴∠PBC＝45°.
∴PB＝PC÷eq \f(\r(2),2)＝40 eq \r(2)(n mile)．
∴乙货船的速度为40 eq \r(2)÷2＝20 eq \r(2)(n mile/h)．
三、19.解：(1)2－1－eq \r(3)tan 60°＋(π－2 021)0＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))
＝eq \f(1,2)－3＋1＋eq \f(1,2)
＝－1.
(2)(π－eq \r(5))0＋eq \r(4)＋(－1)2 021－eq \r(3)tan 60°
＝1＋2－1－3
＝－1.
20．解：设CE＝x m．由题意可知，△BCE为等腰直角三角形．∴BE＝CE＝x m.
在Rt△AEC中，tan ∠CAE＝eq \f(CE,AE)，即tan 30°＝eq \f(x,x＋100)，
∴eq \f(x,x＋100)＝eq \f(\r(3),3).解得x≈136.6.
∴CD＝CE＋ED≈138 m.
故该建筑物的高度约为138 m.
21．解：如图，过点A作AD⊥BC于点D.
由题意可知BC＝1.5×40＝60(米)，∠ABD＝30°，∠ACD＝60°，
∴∠BAC＝∠ACD－∠ABC＝30°.
∴∠ABC＝∠BAC.∴AC＝BC＝60米．
在Rt△ACD中，∠ACD＝60°，
∴AD＝AC·sin 60°＝60×eq \f(\r(3),2)＝30eq \r(3)(米)．
答：此段河流河面的宽度为30eq \r(3)米．
22．解：过点B作BF⊥AD于点F，则四边形BFEC是矩形，
∴BF＝CE＝5 m，EF＝BC＝10 m.
在Rt△ABF中，∠BAF＝35°，tan∠BAF＝eq \f(BF,AF)，
∴AF＝eq \f(BF,tan 35°)≈eq \f(5,0.70)≈7.14(m)．
∵斜坡CD的坡度i＝1∶1.2，
∴eq \f(CE,ED)＝eq \f(1,1.2).
∴ED＝1.2CE＝1.2×5＝6(m)．
∴AD＝AF＋FE＋ED≈7.14＋10＋6≈23.1(m)．
故AD的长度约为23.1 m.
23．解：(1)如图．
(2)如图，连结BD，
∵∠BED＝90°，
BE＝DE＝1，
∴∠EBD＝∠EDB＝45°，
BD＝eq \r(BE2＋DE2)＝
eq \r(12＋12)＝eq \r(2).
易知BF＝AF＝2，∠BFA＝90°.
∴∠ABF＝∠BAF＝45°，
AB＝eq \r(BF2＋AF2)＝eq \r(22＋22)＝2eq \r(2)，
∴∠ABD＝∠ABF＋∠EBD＝45°＋45°＝90°.
∴tan ∠BAD＝eq \f(BD,AB)＝eq \f(\r(2),2\r(2))＝eq \f(1,2).
24．(1)证明：∵AB＝CD＝136 cm，
OA＝OC＝51 cm，
∴OB＝OD＝85 cm.∴eq \f(OA,OB)＝eq \f(OC,OD)＝eq \f(3,5).
又∵∠AOC＝∠BOD，∴△AOC∽△BOD.
∴∠OAC＝∠OBD.∴AC∥BD.
(2)解：在△OEF中，OE＝OF＝34 cm，EF＝32 cm.如图，作OM⊥EF于点M，则EM＝16 cm.
∴cs∠OEF＝eq \f(EM,OE)＝eq \f(16,34)≈0.471.
∴∠OEF≈61.9°.
(3)解：小红的连衣裙垂挂在衣架上会碰到地面．理由如下：
易得∠ABD＝∠OEF≈61.9°.
如图，过点A作AH⊥BD于点H.
在Rt△ABH中，∵sin∠ABD＝eq \f(AH,AB)，
∴AH＝AB·sin∠ABD≈136×sin 61.9°≈136×0.882≈120(cm)．
∵小红的连衣裙穿在衣架上的总长度122 cm大于晒衣架的高度120 cm，∴小红的连衣裙垂挂在晒衣架上会碰到地面．