人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示达标测试

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示达标测试，共4页。试卷主要包含了已知f＝x2＋1，则f)＝，下列各组函数表示相等函数的是，已知函数f＝x＋eq \f.等内容，欢迎下载使用。

1．已知f(x)＝x2＋1，则f(f(－1))＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选D 因为f(－1)＝(－1)2＋1＝2，所以f(f(－1))＝f(2)＝22＋1＝5.
2．已知M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数f(x)的定义域为M，值域为N，则f(x)的图象可以是( )
解析：选B A项中函数的定义域为[－2,0]，C项中对任一x都有两个y值与之对应，D项中函数的值域不是[0,2]，均不是函数f(x)的图象．故选B.
3．下列各组函数表示相等函数的是( )
A．y＝eq \f(x2－3,x－3)与y＝x＋3(x≠3)
B．y＝eq \r(x2)－1与y＝x－1
C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)
D．y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z
解析：选C 选项A、B及D中对应关系都不同，故都不是相等函数．
4．函数f(x)＝eq \f(3x2,\r(1－x))－eq \f(2,\r(3x＋1))的定义域是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，1)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，1))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(1,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,3)))
解析：选B 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x＞0，,3x＋1＞0，))可得－eq \f(1,3)＜x＜1，从而得B答案．
5．若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是( )
A．1 B．0
C．－1 D．2
解析：选A ∵f(x)＝ax2－1，∴f(－1)＝a－1，
f(f(－1))＝f(a－1)＝a·(a－1)2－1＝－1.
∴a(a－1)2＝0.
又∵a为正数，∴a＝1.
6．若[a,3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是________．
解析：若[a,3a－1]为一确定区间，则a＜3a－1，解得a＞eq \f(1,2)，所以a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
7．设f(x)＝eq \f(1,1－x)，则f(f(a))＝________.
解析：f(f(a))＝eq \f(1,1－\f(1,1－a))＝eq \f(1,\f(1－a－1,1－a))＝eq \f(a－1,a)(a≠0，且a≠1)．
答案：eq \f(a－1,a)(a≠0，且a≠1)
8．函数y＝2x＋4eq \r(1－x)的值域为________(用区间表示)．
解析：令t＝eq \r(1－x)，则x＝1－t2(t≥0)，
y＝2x＋4eq \r(1－x)＝2－2t2＋4t＝－2(t－1)2＋4.
又∵t≥0，∴当t＝1时，ymax＝4.
故原函数的值域是(－∞，4]．
答案：(－∞，4]
9．已知函数f(x)＝x＋eq \f(1,x).
(1)求f(x)的定义域；
(2)求f(－1)，f(2)的值；
(3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值．
解：(1)要使函数f(x)有意义，必须使x≠0，
∴f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)f(－1)＝－1＋eq \f(1,－1)＝－2，f(2)＝2＋eq \f(1,2)＝eq \f(5,2).
(3)当a≠－1时，a＋1≠0，
∴f(a＋1)＝a＋1＋eq \f(1,a＋1).
10．求函数y＝eq \f(\r(x＋2),\r(6－2x)－1)的定义域，并用区间表示．
解：要使函数解析式有意义，需满足：
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2≥0，,6－2x≥0，,6－2x≠1，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥－2，,x≤3，,x≠\f(5,2)，))所以－2≤x≤3且x≠eq \f(5,2).
所以函数的定义域是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2≤x≤3且x≠\f(5,2))))).
用区间表示为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(5,2)))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，3)).
B级——高考水平高分练
1．已知等腰三角形ABC的周长为10，底边长y关于腰长x的函数式为y＝10－2x，则此函数的定义域为________．
解析：∵△ABC的底边长显然大于0，即y＝10－2x＞0，
∴x＜5，又两边之和大于第三边，∴2x＞10－2x.
∴x＞eq \f(5,2)，∴此函数的定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，5)).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，5))
2．设函数y＝f(x)对任意正实数x，y都有f(x·y)＝f(x)＋f(y)，已知f(8)＝3，则f(eq \r(2))＝________.
解析：因为f(x·y)＝f(x)＋f(y)，所以令x＝y＝eq \r(2)，得f(2)＝f(eq \r(2))＋f(eq \r(2))，令x＝y＝2，得f(4)＝f(2)＋f(2)，令x＝2，y＝4，得f(8)＝f(2)＋f(4)，所以f(8)＝3f(2)＝6f(eq \r(2))，又f(8)＝3，所以f(eq \r(2))＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
3．试求下列函数的定义域与值域：
(1)f(x)＝(x－1)2＋1，x∈{－1,0,1,2,3}；
(2)f(x)＝eq \f(5x＋4,x－1)；
(3)f(x)＝x－eq \r(x＋1).
解：(1)函数的定义域为{－1,0,1,2,3}，则f(－1)＝[(－1)－1]2＋1＝5，同理可得f(0)＝2，f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝5，所以函数的值域为{1,2,5}．
(2)函数的定义域是{x|x≠1}，y＝eq \f(5x＋4,x－1)＝5＋eq \f(9,x－1)，所以函数的值域为{y|y≠5}．
(3)要使函数式有意义，需x＋1≥0，即x≥－1，故函数的定义域是{x|x≥－1}．设t＝eq \r(x＋1)，则x＝t2－1(t≥0)，于是f(t)＝t2－1－t＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,2)))2－eq \f(5,4).又t≥0，故f(t)≥－eq \f(5,4).所以函数的值域是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(y\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(y≥－\f(5,4))))).
4．试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y＝10(1＋x)2描述．
解：把y＝10(1＋x)2看成二次函数，那么它的定义域是R，值域是B＝{y|y≥0}，对应关系f把R中的任意一个数x，对应到B中唯一确定的数10(1＋x)2.
如果对x的取值范围作出限制，例如x∈{x|0临沂市蒙阴县岱崮“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2018年约有10万人次，设观赏人数年平均增长率为x，预计2020年观赏人数为y，那么y＝10(1＋x)2.
其中，x的取值范围是A＝{x|05．已知函数f(x)＝eq \f(x2,1＋x2).
(1)求f(2)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，f(3)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))的值；
(2)由(1)中求得的结果，你发现f(x)与f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))有什么关系？并证明你的结论；
(3)求f(2)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋f(3)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＋…＋f(2 019)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 019)))的值．
解：(1)∵f(x)＝eq \f(x2,1＋x2)，
∴f(2)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(22,1＋22)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)＝1，
f(3)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝eq \f(32,1＋32)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2)＝1.
(2)由(1)可发现f(x)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝1.
证明：f(x)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(x2,1＋x2)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))2,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))2)＝eq \f(x2,1＋x2)＋eq \f(1,x2＋1)＝eq \f(x2＋1,x2＋1)＝1.
(3)由(2)知f(x)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝1，
∴f(2)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝1，f(3)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝1，f(4)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝1，…，f(2 019)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 019)))＝1.
∴f(2)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋f(3)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＋…＋f(2 019)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 019)))＝2 018.