初中数学沪教版 (五四制)八年级上册第十九章 几何证明第二节 线段的垂直平分线与角的平分线19．5 角的平分线第2课时课后练习题

第2课时  角的平分线的判定

要点感知1  角的内部到角的两边的距离相等的点在角的______上.[来源:学科网]

预习练习1-1  已知点P为∠AOB内部的一点,PD⊥OB于点D,PC⊥OA于点C,且PC=PD,则OP平分_____.

要点感知2 三角形的三条内角平分线相交于一点,并且这一点到_____.

预习练习2-1  如图,在△ABC中,BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB,并且BD，CE相交于点O,过O点作OP⊥BC于点P,OM⊥AB于点M,ON⊥AC于点N,则OP，OM，ON的大小关系是_____.[来源:学|科|网]

知识点1 角平分线的判定

1.已知：如图，OC是∠AOB内部的一条射线，P是射线OC上任意点，PD⊥OA，PE⊥OB.下列条件中:①∠AOC=∠BOC，②PD=PE，③OD=OE，④∠DPO=∠EPO,能判定OC是∠AOB的角平分线的有(  )

  A.1个  B.2个  C.3个  D.4个

2.已知：如图所示，BE=CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF和CE相交于点D.求证：AD平分∠BAC.

知识点2  角平分线的性质与判定的综合运用

3.如图，△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线相交于O，下面结论中正确的是(  )

  A.∠1＞∠2   B.∠1=∠2  C.∠1＜∠2  D.不能确定

4.如图,∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D,连接AD.求证：AD是∠BAC的外角平分线.

知识点3  角平分线的性质与判定的实际应用

5.如图,铁路OA和铁路OB交于O处,河道AB与铁路分别交于A处和B处,试在河岸上建一座水厂M,要求M到铁路OA，OB的距离相等,则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置.

6.某市有一块由三条公路围成的三角形绿地,现准备在其中建一小亭子,供人们休息,而且要使小亭中心到三条公路的距离相等,试确定小亭的中心位置.

7.如图所示，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D，C，AD与BC相交于点P，若PA=PB，则∠1与∠2的大小关系是(  )

  A.∠1=∠2  B.∠1＞∠2  C.∠1＜∠2  D.无法确定

8.如图所示,P为△ABC外部一点,D，E分别在AB，AC的延长线上,若点P到BC，BD，CE的距离都相等,则关于点P的说法最佳的是(  )

  A.在∠DBC的平分线上

  B.在∠BCE的平分线上

  C.在∠BAC的平分线上[来源:Z&xx&k.Com]

  D.在∠DBC，∠BCE，∠BAC的平分线上

9.三条公路两两相交于A，B，C三点,现计划修建一个商品超市,要求这个超市到三条公路距离相等,则可供选择的地方有_____处.

10.已知：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD相交于点O.求证：

(1)当∠1＝∠2时，OB＝OC；

(2)当OB＝OC时，∠1＝∠2.

[来源:学科网]

11.如图，D，E，F分别是△ABC三边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等，求证：AD平分∠BAC.

12.如图所示,△ABC中,∠B＝∠C,D是BC边上一动点,过D作DE⊥AB,DF⊥AC,E，F分别为垂足,则当D移动到什么位置时,AD恰好平分∠BAC,请说明理由.

挑战自我

13.已知：如图所示，在△ABC中，BD=DC,∠1=∠2，求证：AD平分∠BAC.[来源:学科网]

参考答案

课前预习

要点感知1  平分线

预习练习1-1  ∠AOB

要点感知2  三边的距离相等

预习练习2-1  OP=OM=ON

当堂训练

1.D  2.证明：∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，∴∠DEB=∠DFC=90°,在△BDE和△CDF中，∠BDE=∠CDF,

∠DEB=∠DFC,

BE=CF,∴△BDE≌△CDF(AAS).∴DE=DF.又∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，∴AD平分∠BAC.

3.B  4.证明：过点D分别作DE⊥AB,DG⊥AC,DF⊥BC,垂足分别为E,G,F.又∵BD平分∠ABC,CD平分∠ACF,∴DE=DF,DG=DF.∴DE=DG.∴AD平分∠EAC,即AD是∠BAC的外角平分线.

5.图略.提示：作∠AOB的角平分线，与AB的交点即为点M的位置.

6.在三角形内部分别作出两条角平分线,其交点O就是小亭的中心位置,图略.

课后作业

7.A  8.D  9.4

10.(1)证明：∵∠1＝∠2，OD⊥AB，OE⊥AC，∴OE＝OD，∠ODB＝∠OEC＝90°.在△BOD和△COE中，

∠BOD=∠COE，OD=OE，∠ODB=∠OEC,∴△BOD≌△COE(ASA).∴OB＝OC.

(2)证明：在△BOD和△COE中，∠ODB=∠OEC，∠BOD=∠COE，

OB=OC，∴△BOD≌△COE(AAS).∴OD＝OE.又∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴AO平分∠BAC，即∠1＝∠2.

11.证明：过点D作DH⊥AB于H，DG⊥AC于G.∵S△DCE=CE·DG,S△DBF=BF·DH,S△DCE=S△DBF,∴CE·DG=BF·DH.又∵CE=BF,∴DG=DH.∴点D在∠BAC的平分线上，即AD平分∠BAC.

12.移动到BC的中点时,AD恰好平分∠BAC.理由如下:∵D是BC的中点,∴BD＝CD.∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠DEB＝∠DFC＝90°.又∵∠B＝∠C,∴△DEB≌△DFC(AAS).∴DE＝DF.又∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴AD平分∠BAC.

13.证明：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.在△BED和△CFD中，∠BED=∠CFD=90°,

∠1=∠2,

BD=CD,∴△BED≌△CFD(AAS).∴DE=DF.又DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC.