西师大版第六单元 平行四边形和梯形平行四边形课后练习题

18.1 平行四边形

第5课时 三角形的中位线

基础训练

知识点1 三角形的中位线性质

1.如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,若DE=10,则BC等于(　　)

A.12 B.16 C.20 D.24

2.(2016·河南)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,AB=10,DE垂直平分AC交AB于点E,则DE的长为(　　)

A.6    B.5     C.4  D.3

3.如图,在△ABC中,点D,E分别是边AB,BC的中点.若△DBE的周长是6,则△ABC的周长是(　　)

A.8      B.10    C.12  D.14

4.(2016·株洲)如图,已知四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD交于点O,E是BC的中点,连接OE,以下说法错误的是(　　)

A.OE=DC       B.OA=OC

C.∠BOE=∠OBA D.∠OBE=∠OCE

5.如图,点D,E,F分别为△ABC各边中点,下列说法正确的是(　　)

A.DE=DF        B.EF=AB

C.S△ABD=S△ACD  D.AD平分∠BAC

6.如图,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,DE∥AC交AB于E,则S△EBD∶S△ABC=(　　)

A.1∶2    B.1∶4

C.1∶3    D.2∶3

知识点2 三角形中位线在四边形中的应用

7. 如图,已知E,F,G,H分别为四边形ABCD各边的中点,若AC=10 cm,BD=12 cm,则四边形EFGH的周长为(　　)

A.10 cm B.11 cm

C.12 cm D.22 cm

8.如图,在四边形ABCD中,点P是对角线BD的中点,点E,F分别是AB,CD的中点,AD=BC,∠PEF=30°,则∠PFE的度数是(　　)

A.15° B.20° C.25° D.30°

9.如图,已知长方形ABCD中,R,P分别是DC,BC上的点,E,F分别是AP,RP的中点,当P在BC上从B向C移动而R不动时,下列结论成立的是(　　)

A.线段EF的长逐渐增大

B.线段EF的长逐渐减小

C.线段EF的长不改变

D.线段EF的长先增大后减小

10.如图,四边形ABCD中,∠A=90°,AB=3,AD=3,点M,N分别为线段BC,AB上的动点(含端点,但点M不与点B重合),点E,F分别为DM,MN的中点,则EF长度的最大值为　　　　. 

易错点 忽视整体思想的应用而求不出中位线的长

11.如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是线段AO,BO的中点,若AC+BD=24 cm,△OAB的周长是18 cm,则EF=　　　　cm. 

提升训练

考查角度1 利用三角形的中位线求线段的长

12.(2016·菏泽)如图,点O是△ABC内一点,连接OB,OC,并将AB,OB,OC,AC的中点D,E,F,G依次连接,得到四边形DEFG.

(1)求证:四边形DEFG是平行四边形;

(2)若M为EF的中点,OM=3,∠OBC和∠OCB互余,求DG的长度.

(提示:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.)

考查角度2 利用三角形的中位线巧证线段间的数量关系

13.如图,AD与BC相交于点E,∠1=∠2=∠3,BD=CD,∠ADB=90°,CH⊥AB于点H,CH交AD于点F.求证:若O为AB的中点,则OF=BE.

探究培优

拔尖角度1 利用三角形中位线巧证角相等(构造中位线法)

14.如图,四边形ABCD中,AB=CD,G,H分别是BC,AD的中点,BA,CD的延长线分别交GH的延长线于点E,F.求证:∠AEH=∠F.

拔尖角度2 利用三角形中位线巧证线段相等(构造平行四边形法)

15.已知:如图,在▱ABCD中,E是CD的中点,F是AE的中点,FC与BE交于G.求证:GF=GC.

参考答案

1.【答案】C　

解：因为D,E分别是AB,AC的中点,所以DE是△ABC的中位线,因此DE=BC,故BC=2DE=20.选C.

2.【答案】D　

解：连接CE.∵在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AC=8,AB=10,∴BC=6.

又∵DE垂直平分AC交AB于点E,

∴AE=CE.∴∠A=∠ACE.

又∵∠A+∠B=90°,∠ACE+∠BCE=90°,

∴∠B=∠BCE.∴CE=BE.

∴AE=BE.

∴DE是△ACB的中位线,

∴DE=BC=3.

故选D.

3.【答案】C

4.【答案】D　

解：由平行四边形的性质和三角形中位线定理得出选项A,B,C正确;由OB≠OC,得出∠OBE≠∠OCE,故选项D错误.

5.【答案】C　6.【答案】B　7.【答案】D　8.【答案】D

9.【答案】C　

解：连接AR.因为E,F分别是AP,RP的中点,所以EF为△APR的中位线,所以EF=AR,为定值.所以线段EF的长不改变.故选C.

10.【答案】3　

解：连接DN.∵E,F分别为DM,MN的中点,∴EF=DN,∴DN最大时,EF最大,∵N与B重合时DN最大,此时DN=DB==6,∴EF长度的最大值为3.

11.【答案】3　

解：∵AC+BD=24 cm,∴OA+OB=12 cm,又∵△OAB的周长是18 cm,∴OA+OB+AB=18 cm,∴AB=6 cm.又∵点E,F分别是线段AO,BO的中点,∴EF=AB=3 cm.此题易错之处在于忽视运用整体思想求OA,OB的长度和,从而导致求不出中位线长.

12.分析:(1)根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥BC且EF=BC,DG∥BC且DG=BC,从而得到DG=EF,DG∥EF,再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可;

(2)先判断出∠BOC=90°,再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,求出EF即可.

(1)证明:∵D,G分别是AB,AC的中点,∴DG?BC.

∵E,F分别是OB,OC的中点,

∴EF?BC.

∴DG?EF.

∴四边形DEFG是平行四边形.

(2)解:∵∠OBC和∠OCB互余,

∴∠OBC+∠OCB=90°.

∴∠BOC=90°.

∵M为EF的中点,OM=3,

∴EF=2OM=6.

∵四边形DEFG是平行四边形,

∴DG=EF=6.

13.证明:∵BD=CD,∴∠1=∠BCD.

∵∠1=∠2,∴∠BCD=∠2.

∴CD∥AB,∴∠CDA=∠3.

又∵∠BCD=∠2=∠3,∴∠CDA=∠BCD,BE=AE,∴DE=CE.

又∵∠BED=∠AEC,

∴△BDE≌△ACE.

∴∠1=∠4,∠BDE=∠ACE=90°.

∴∠ACH=90°-∠BCH.

又∵CH⊥AB,∴∠2=90°-∠BCH,

∴∠ACH=∠2=∠1=∠4,

∴AF=CF.

又∵∠AEC=90°-∠4,∠ECF=90°-∠ACH,

∴∠AEC=∠ECF,

∴CF=EF,∴EF=AF.

又∵O为AB的中点,∴OF为△ABE的中位线,∴OF=BE.

方法总结:证明线段倍分关系的方法:由于三角形的中位线等于三角形第三边长的一半,因此当需要证明某一线段是另一线段的一半或两倍,且题中出现中点时,常考虑三角形中位线定理.

14.证明:如图,连接AC,取AC的中点M,连接HM,GM.

∵H是AD的中点,M是AC的中点,

∴HM∥CD,HM=CD.

∴∠MHG=∠F.

同理,GM∥AB,GM=AB.

∴∠MGH=∠AEH.

又∵AB=CD,∴GM=HM.

∴∠MGH=∠MHG.

∴∠AEH=∠F.

解：当几个中点不是一个三角形的各边中点时,可设法再取一个中点,使它与已知中点能构成三角形的中位线.此题中H,G分别是四边形ABCD两条对边的中点,这时需连接对角线,将四边形转化为两个三角形,再取对角线中点,与已知中点相连,就会产生三角形的中位线,问题便迎刃而解.

15.证明:如图,

取BE的中点H,连接FH,CH.

∵F是AE的中点,H是BE的中点,

∴FH是△ABE的中位线.

∴FH∥AB且FH=AB.

在▱ABCD中,AB∥DC,AB=DC.

又∵点E是DC的中点,

∴EC=DC=AB,

∴FH=EC.

又∵AB∥DC,FH∥AB,∴FH∥EC,

∴四边形EFHC是平行四边形.

∴GF=GC.