小学数学西师大版四年级下册第六单元 平行四边形和梯形平行四边形课时训练

18.1平行四边形

同步练习

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为（　　）

A．6     B．5     C．4       D．3

选D

2．在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=2，D、E、F分别为AB、BC、AC中点，连接DF、FE，则四边形DBEF的周长是（　　）

A．5       B．7        C．9         D．11

解：∵D、E、F分别为AB、BC、AC中点，

∴DF=BC=2，DF∥BC，EF=AB=，EF∥AB，

∴四边形DBEF为平行四边形，

∴四边形DBEF的周长=2（DF+EF）=2×（2+）=7．

故选B．

3．如图，平行四边形ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为（　　）

A．3cm        B．4cm        C．5cm        D．8cm

解：∵▱ABCD的周长为26cm，

∴AB+AD=13cm，OB=OD，

∵△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，

∴（OA+OD+AD）﹣（OA+OB+AB）=AD﹣AB=3cm，

∴AB=5cm，AD=8cm．

∴BC=AD=8cm．

∵AC⊥AB，E是BC中点，

∴AE=BC=4cm；

故选：B．

4．△ABC，D、E分别为AB、AC中点，S△ABC=8，则△DEC的面积为（　　）

A．6      B．4       C．2         D．1

解：∵△ABC，D、E分别为AB、AC中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE∥BC，且DE=BC，

∴△ADE∽△ABC，S△DEC=S△ADE，

∴S△ADE=S△ABC=2．

∴S△DEC=S△ADE=2．

故选：C．

5．如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B为（　　）

A．66°      B．104°       C．114°       D．124°

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠ACD=∠BAC，

由折叠的性质得：∠BAC=∠B′AC，

∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=22°，

∴∠B=180°﹣∠2﹣∠BAC=180°﹣44°﹣22°=114°；

故选：C．

6．已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是（　　）

A．OE=DC     B．OA=OC     C．∠BOE=∠OBA    D．∠OBE=∠OCE

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC，OB=OD，AB∥DC，

又∵点E是BC的中点，

∴OE是△BCD的中位线，

∴OE=DC，OE∥DC，

∴OE∥AB，

∴∠BOE=∠OBA，

∴选项A、B、C正确；

∵OB≠OC，

∴∠OBE≠∠OCE，

∴选项D错误；

故选：D．

7．在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的是（　　）

A．一组对边平行，另一组对边相等

B．一组对边相等，一组对角相等

C．一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线

D．一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线

解：A、错误．这个四边形有可能是等腰梯形．

B、错误．不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行．

C、正确．可以利用三角形全等证明平行的一组对边相等．故是平行四边形．

D、错误．不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行．

故选C．

8．如图1、2、3分别表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路线图，已知

甲的路线为：A→C→B；

乙的路线为：A→D→E→F→B，其中E为AB的中点；

丙的路线为：A→I→J→K→B，其中J在AB上，且AJ＞JB．

若符号[→]表示[直线前进]，则根据图（三）、图（四）、图（五）的数据，判断三人行进路线长度的大小关系为（　　）

A．甲=乙=丙   B．甲＜乙＜丙   C．乙＜丙＜甲   D．丙＜乙＜甲

解：根据以上分析：所以图2可得AE=BE，AD=EF，DE=BE，

∵AE=BE=AB，

∴AD=EF=AC，DE=BE=BC．

∴甲=乙

图3与图1中，三个三角形相似，所以 ==，==，

∵AJ+BJ=AB，

∴AI+JK=AC，IJ+BK=BC

∴甲=丙．∴甲=乙=丙．

故选A．

9．在四边形ABCD中，从①AB∥CD；②AB=CD；③BC∥AD；④BC=AD中任选两个使四边形ABCD为平行四边形的选法有（　　）

A．3       B．4         C．5         D．6

解：任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有（1）（2）；（3）（4）；（1）（3）；（2）（4）共四种．故选B．

10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，∠ADC=30°，

①四边形ACED是平行四边形；

②△BCE是等腰三角形；

③四边形ACEB的周长是10+2；

④四边形ACEB的面积是16．

则以上结论正确的是（　　）

A．①②③       B．①②④       C．①③④      D．②④

解：①∵∠ACB=90°，DE⊥BC，

∴∠ACD=∠CDE=90°，

∴AC∥DE，

∵CE∥AD，

∴四边形ACED是平行四边形，故①正确；

②∵D是BC的中点，DE⊥BC，

∴EC=EB，

∴△BCE是等腰三角形，故②正确；

③∵AC=2，∠ADC=30°，

∴AD=4，CD=2，

∵四边形ACED是平行四边形，

∴CE=AD=4，

∵CE=EB，

∴EB=4，DB=2，

∴CB=4，

∴AB==2，

∴四边形ACEB的周长是10+2故③正确；

④四边形ACEB的面积：×2×4+×4×2=8，故④错误，

故选：A．

二．填空题（共4小题）

11．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若△ABC的周长为10cm，则△DEF的周长是　5　 cm．

解：如上图所示，

∵D、E分别是AB、BC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE=AC，

同理有EF=AB，DF=BC，

∴△DEF的周长=（AC+BC+AB）=×10=5．

故答案为5．

12．如图所示，在▱ABCD中，∠C=40°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为　50°　．

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DC∥AB，

∴∠C=∠ABF．

又∵∠C=40°，

∴∠ABF=40°．

∵EF⊥BF，

∴∠F=90°，

∴∠BEF=90°﹣40°=50°．

故答案是：50°．

13．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为　4n﹣3　．

解：第①是1个三角形，1=4×1﹣3；

第②是5个三角形，5=4×2﹣3；

第③是9个三角形，9=4×3﹣3；

∴第n个图形中共有三角形的个数是4n﹣3；

故答案为：4n﹣3．

14．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC＞AB，点D在BC上，以AC为对角线的平行四边形ADCE中，DE的最小值是　4　．

解：∵四边形ADCE是平行四边形，

∴BC∥AE，

∴当DE⊥BC时，DE最短，

此时∵∠B=90°，

∴AB⊥BC，

∴DE∥AB，

∴四边形ABDE是平行四边形，

∵∠B=90°，

∴四边形ABDE是矩形，

∴DE=AB=4，

∴DE的最小值为4．

故答案为4．

三．解答题（共6小题）

15．如图所示，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度数．

解：∵在四边形ABCD中，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，

∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，

∴PM=AB，PN=DC，PM∥AB，PN∥DC，

∵AB=CD，

∴PM=PN，

∴△PMN是等腰三角形，

∵PM∥AB，PN∥DC，

∴∠MPD=∠ABD=20°，∠BPN=∠BDC=70°，

∴∠MPN=∠MPD+∠NPD=20°+（180﹣70）°=130°，

∴∠PMN==25°．

16．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE=CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．

证明：∵AE⊥AD，CF⊥BC，

∴∠EAD=∠FCB=90°，

∵AD∥BC，

∴∠ADE=∠CBF，

在Rt△AED和Rt△CFB中，

∵，

∴Rt△AED≌Rt△CFB（AAS），

∴AD=BC，

∵AD∥BC，

∴四边形ABCD是平行四边形．

17．如图，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC的中点为M，ME∥AD，交BA的延长线于点E，交AC于点F．

（1）求证：AE=AF；

（2）求证：BE=（AB+AC）．

证明：（1）∵DA平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD，

∵AD∥EM，

∴∠BAD=∠AEF，∠CAD=∠AFE，

∴∠AEF=∠AFE，

∴AE=AF．

（2）作CG∥EM，交BA的延长线于G．

∵EF∥CG，

∴∠G=∠AEF，∠ACG=∠AFE，

∵∠AEF=∠AFE，

∴∠G=∠ACG，

∴AG=AC，

∵BM=CM．EM∥CG，

∴BE=EG，

∴BE=BG=（BA+AG）=（AB+AC）．

18．如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．

（1）求证：BE=CD；

（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，

∴∠AEB=∠DAE，

∵AE是∠BAD的平分线，

∴∠BAE=∠DAE，

∴∠BAE=∠AEB，

∴AB=BE，

∴BE=CD；

（2）解：∵AB=BE，∠BEA=60°，

∴△ABE是等边三角形，

∴AE=AB=4，

∵BF⊥AE，

∴AF=EF=2，

∴BF===2，

∵AD∥BC，

∴∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，

在△ADF和△ECF中，

，

∴△ADF≌△ECF（AAS），

∴△ADF的面积=△ECF的面积，

∴平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=AE•BF=×4×2=4．

19．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知：∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．

（1）试说明AC=EF；

（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．

证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，

∴AB=2BC，

又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，

∴AB=2AF

∴AF=BC，

在Rt△AFE和Rt△BCA中，

，

∴Rt△AFE≌Rt△BCA（HL），

∴AC=EF；

（2）∵△ACD是等边三角形，

∴∠DAC=60°，AC=AD，

∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°

又∵EF⊥AB，

∴EF∥AD，

∵AC=EF，AC=AD，

∴EF=AD，

∴四边形ADFE是平行四边形．

20．如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG．

（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；

（2）若M为EF的中点，OM=3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．

（2）∵∠OBC和∠OCB互余，

∴∠OBC+∠OCB=90°，

∴∠BOC=90°，

∵M为EF的中点，OM=3，

∴EF=2OM=6．

由（1）有四边形DEFG是平行四边形，

∴DG=EF=6．