小学第六单元 平行四边形和梯形平行四边形第4课时练习

18.1 平行四边形

第4课时 平行四边形的性质和判定的应用

基础训练

知识点1 利用平行四边形的性质和判定判定平行四边形

1.(2016·鄂州)如图,在▱ABCD中,BD是它的一条对角线,过A,C两点作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F,延长AE,CF分别交CD,AB于M,N.

(1)求证:四边形CMAN是平行四边形;

(2)已知DE=4,FN=3,求BN的长.

知识点2 利用平行四边形的性质和判定说明线段的关系

2.如图,在△ABC中,AB=AC,DE∥BA交AC于E,DF∥CA交AB于F,连接EF,AD,那么是否有下列结论?说明理由.

(1)AD与EF互相平分;

(2)AE=BF.

知识点3 利用平行四边形的性质和判定探究图形的形状

3.如图,E,F分别是▱ABCD的AD,BC边上的点,且AE=CF.

(1)求证:△ABE≌△CDF;

(2)若M,N分别是BE,DF的中点,连接MF,EN,试判断四边形MFNE是怎样的四边形,并证明你的结论.

知识点4利用平行四边形的性质和判定证明线段间数量关系

4.如图,将▱ABCD沿过点A的直线l折叠,使点D落到AB边上的点D'处,折痕l交CD边于点E,连接BE.

(1)求证:四边形BCED'是平行四边形;

(2)若BE平分∠ABC,求证:AB2=AE2+BE2.

提升训练

考查角度1 利用平行四边形的性质和判定求线段的长

5.如图,将▱ABCD的AD边延长至点E,使DE=AD,连接CE,F是BC边的中点,连接FD.

(1)求证:四边形CEDF是平行四边形;

(2)若AB=3,AD=4,∠A=60°,求CE的长.

考查角度2 利用平行四边形的性质和判定探究线段的和差关系(归一法)

6.在△ABC中,AB=AC,点D在边BC所在的直线上,过点D作DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F.

(1)当点D在边BC上时,如图①,求证:DE+DF=AC.

(2)当点D在边BC的延长线上时,如图②;当点D在边BC的反向延长线上时,如图③.请分别写出图②,图③中DE,DF,AC之间的数量关系,不需要证明.

(3)若AC=6,DE=4,则DF=_______. 

探究培优

拔尖角度1 利用平行四边形的性质和判定探究动点问题

7.如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,BC=18 cm,CD=15 cm,AD=10 cm,AB=12 cm,动点P、Q分别从点A、C同时出发,点P以2 cm/s的速度由A向D运动,点Q以3 cm/s的速度由C向B运动.

(1)几秒后,四边形ABQP为平行四边形?并求出此时四边形ABQP的周长;

(2)几秒后,四边形PDCQ为平行四边形?并求出此时四边形PDCQ的周长.

拔尖角度2 利用平行四边形的性质和判定求解翻折问题

8.如图,四边形ABCD是长方形纸片,翻折∠B,∠D,使BC,AD恰好落在AC上,设F,H分别是B,D落在AC上的两点,E,G分别是折痕CE,AG与AB,CD的交点.

(1)求证:四边形AECG是平行四边形;

(2)若AB=4 cm,BC=3 cm,求线段EF的长.

参考答案

1.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD∥AB.

∵AM⊥BD,CN⊥BD,∴AM∥CN.

∴四边形CMAN是平行四边形.

(2)解:∵四边形CMAN是平行四边形,∴CM=AN.

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴CD=AB,CD∥AB.

∴DM=BN,∠MDE=∠NBF.

在△MDE和△NBF中,

∴△MDE≌△NBF.

∴BF=DE=4.

在Rt△NBF中,∵∠BFN=90°,BF=4,FN=3,

∴BN===5.

2.解:结论(1)(2)都成立,理由如下:

(1)∵DE∥AB,DF∥AC,

∴四边形AFDE是平行四边形.

∴AD与EF互相平分.

(2)在▱AFDE中,AE=DF,

∵AC∥DF,

∴∠C=∠FDB.

∵AB=AC,∴∠C=∠B,

∴∠B=∠FDB,∴BF=DF=AE,即AE=BF.

3.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AB=CD,∠A=∠C.

∵AE=CF,∴△ABE≌△CDF(SAS).

(2)解:四边形MFNE是平行四边形.证明如下:

∵△ABE≌△CDF,

∴∠AEB=∠CFD,BE=DF.

又∵M,N分别是BE,DF的中点,

∴ME=FN.

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴BC∥AD,

∴∠AEB=∠FBE.

∴∠CFD=∠FBE.

∴EB∥DF,即ME∥FN.

∴四边形MFNE是平行四边形.

规律总结:本题是一道猜想型问题,先猜想结论,再证明结论.本题已知一个四边形是平行四边形,借助其性质,利用平行四边形的判定方法判定另一个四边形是平行四边形.

4.证明:(1)∵将▱ABCD沿过点A的直线l折叠,使点D落到AB边上的点D'处,

∴∠DAE=∠D'AE,∠DEA=∠D'EA,∠D=∠AD'E.

∵∠D=∠CBA,∴∠AD'E=∠CBA.∴ED'∥CB.

∵EC∥D'B,

∴四边形BCED'是平行四边形.

(2)∵BE平分∠ABC,

∴∠CBE=∠EBA.

∵AD∥BC,∴∠DAB+∠CBA=180°.

∵∠DAE=∠BAE,

∴∠EAB+∠EBA=90°.

∴∠AEB=90°.∴AB2=AE2+BE2.

5.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AD?BC.

∵F是BC的中点,∴FC=BC.

又∵DE=AD,∴FC?DE.

∴四边形CEDF是平行四边形.

(2)解:如图,过点D作DM⊥BC于点M.

∵四边形CEDF,四边形ABCD是平行四边形,F是BC的中点,

∴CE=DF,∠DCM=∠A=60°,

FC=BC=AD=2,DC=AB=3.

在Rt△DCM中,∠CDM=90°-60°=30°,DC=3.

∴CM=.∴DM=,FM=.

在Rt△DFM中,由勾股定理可知:

DF==.

∴CE=DF=.

6.(1)证明:∵DE∥AC,DF∥AB,

∴∠FDC=∠B,四边形AEDF是平行四边形.

∴DE=AF.

又∵AB=AC,∴∠B=∠C.

∴∠FDC=∠C,∴DF=FC.

∴DE+DF=AF+FC=AC.

(2)解:当点D在边BC的延长线上时,DE-DF=AC;

当点D在边BC的反向延长线上时,DF-DE=AC.

(3)2或10

7.解:(1)设x s后,四边形ABQP为平行四边形,由题意易得2x=18-3x,解得x=3.6,

即3.6 s后,四边形ABQP为平行四边形,此时四边形ABQP的周长是3.6×2×2+12×2=38.4(cm).

(2)设y s后,四边形PDCQ为平行四边形.由题意易得10-2y=3y,解得y=2,即2 s后,四边形PDCQ为平行四边形,此时四边形PDCQ的周长是3×2×2+15×2=42(cm).

8.(1)证明:由题意知AD∥BC,

∴∠DAC=∠ACB,

由翻折的性质可知∠GAH=∠DAC,

∠ECF=∠ACB,

∴∠GAH=∠ECF,

∴AG∥CE.又AE∥CG,

∴四边形AECG是平行四边形.

(2)解:易得AC=5 cm,AF=2 cm,设EF=BE=x cm,则

AE=(4-x)cm,

∴(4-x)2=22+x2,解得x=.

∴EF= cm.