初中人教版13.1.1 轴对称综合训练题

2016－2017学年人教版八年级数学上册

第十三章《轴对称》单元模拟试卷

一、选择题（每小题3分，共18分）

1．如图所示4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（  ）

A．    B．    C．    D．

2．三角形两边的垂直平分线的交点为O，则点O（  ）

A．到三边距离相等   

B．到三顶点距离相等

C．不在第三边的垂直平分线上   

D．以上都不对

3．如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，若∠1=70°，则∠BAC的大小为（  ）

A．40°    B．30°    C．70°    D．50°

4．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（  ）

A．7cm    B．3cm    C．7cm或3cm    D．8cm

5．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（  ）

A．6    B．7    C．8    D．9

6．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（  ）

A．∠A=∠1+∠2      B．2∠A=∠1+∠2

C．3∠A=2∠1+∠2    D．3∠A=2（∠1+∠2）

二、填空题（每小题3分，共18分）

7．如果等腰三角形的一个外角是105°，那么它的顶角的度数为              ．

8．已知点M(x，y)与点N(-2，-3)关于x轴对称，则x+y=___________。

9．角是轴对称图形，它的对称轴是                         ．

10．如图，已知AB=AC，DE垂直平分AB分别交AB．AC于D．E两点，若∠A=40°，则∠EBC=    °．

11．在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝       时，△ABC是等腰三角形。

12．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC=          度．

三、解答题

13．（6分）如图，△ABC中，AB=AC=CD，BD=AD，求△ABC中各角的度数．

14．（6分）如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=4cm，求BC的长．

15．（6分）如图，已知AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE．

16．（6分）如图，在△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，∠CAE=∠B+30°，求∠AEB的度数．　　

17．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．

①在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；

②写出点A1和C1的坐标．

18．（8分）若等腰三角形一边长为12cm，且腰长是底边长的，求这个三角形的周长．

19．（8分）如图，D是△ABC的BC边上的一点，AD=BD，∠ADC=80°．

（1）求∠B的度数；

（2）若∠BAC=70°，判断△ABC的形状，并说明理由．

20．（8分）如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．D为线段AC上任一点，连接BD，过C点作CE∥AB且AD=CE，试说明BD和AE之间的关系，并证明．

21．（8分）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．

（1）求∠F的度数；

（2）若CD=2，求DF的长．

22．（10分）（1）问题发现

如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，求∠AEB的度数．

（2）拓展探究

如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请求∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．

23．（12分）（1）如图1，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB=BC=CD=DE，已知∠EDM=84°，求∠A的度数；

（2）如图2，点B、F、D在射线AM上，点G、C、E在射线AN上，且AB=BC=CD=DE=EF=FG=GA，求∠A的度数．

参考答案

一、选择题

1．A

【试题解析】

根据轴对称图形的概念求解．

解：A、是轴对称图形，故正确；

B、不是轴对称图形，故错误；

C、不是轴对称图形，故错误；

D、不是轴对称图形，故错误．

故选A．

考点：轴对称图形．

2．B

【试题解析】

画出图形，根据线段垂直平分线性质求出OA=OB=OC，即可得出选项．

解：如图：

连接OA、P\OB、OC，

∵O为△ABC两边BC、AC的垂直平分线的交点，

∴OB=OC，OA=OC，

∴OA=OB=OC，

∴O也在AB的垂直平分线上，且O到△ABC三顶点的距离相等，

三角形的三角的平分线的交点到三角形的三边距离相等，

即选项A、C、D错误，只有选项B正确；

故选B．

考点：线段垂直平分线的性质．

3．A

【试题解析】

根据AD∥BC可得出∠C=∠1=70°，再根据AB=AC即可得出∠B=∠C=70°，结合三角形的内角和为180°，即可算出∠BAC的大小．

解：∵AD∥BC，

∴∠C=∠1=70°，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C=70°，

∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=40°．

故选A．

【解题策略】本题考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，解题的关键是找出∠B=∠C=70°．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质找出相等（或互补）的角是关键．

4．B

【试题解析】

已知的边可能是腰，也可能是底边，应分两种情况进行讨论．

解：当腰是3cm时，则另两边是3cm，7cm．而3+3＜7，不满足三边关系定理，因而应舍去．

当底边是3cm时，另两边长是5cm，5cm．则该等腰三角形的底边为3cm．

故选：B．

【解题策略】本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．

5．D

【试题解析】

由∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，然后即可求得结论．

解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，

∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，

∵MN∥BC，

∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB，

∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，

∴BM=ME，EN=CN，

∴MN=ME+EN，

即MN=BM+CN．

∵BM+CN=9

∴MN=9，

故选：D．

【解题策略】此题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解与掌握．此题关键是证明△BME△CNE是等腰三角形．

6．B.

【试题解析】

∵在四边形ADA′E中，∠A+∠A′+∠ADA′+∠AEA′=360°，

则2∠A+180°-∠2+180°-∠1=360°，

∴可得2∠A=∠1+∠2．

故选B．

考点：1.三角形内角和定理；2.翻折变换（折叠问题）．

二、填空题

7．75°或30°.

【试题解析】

∵一个外角为105°，

∴三角形的一个内角为75°，

当75°为顶角时，顶角为75°，

当75°为底角时，顶角为30°，

所以等腰三角形的顶角为75°或30°．

考点：等腰三角形的性质．

8．1.

【试题解析】

根据题意，得x=-2，y=3．

∴x+y=1．

考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．

9．角平分线所在的直线

【试题解析】

因为轴对称图形的对称轴是一条直线，所以角的对称轴是角平分线所在的直线．

考点：轴对称图形

10．30°．

【试题解析】

由DE垂直平分AB分别交AB．AC于D．E两点，利用线段垂直平分线的性质，可得AE=BE，即可求得∠ABE的度数，又由AB=AC，即可求得∠ABC的度数，继而求得答案．

∵DE垂直平分AB分别交AB．AC于D．E两点，

∴AE=BE，

∴∠ABE=∠A=40°，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C=70°，

∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=30°

考点：1．线段垂直平分线的性质；2．等腰三角形的性质．

11．40或70或100；

【试题解析】

本题需要进行分类讨论：（1）当∠A=∠B=40°，（2）、∠A=∠C=40°，∠B=100°，（3）、∠A=40°，∠B=∠C=70°.

考点：等腰三角形

12．108°．

【试题解析】

如图，连接OB、OC，

∵∠BAC=54°，AO为∠BAC的平分线，

∴∠BAO=∠BAC=×54°=27°，

又∵AB=AC，

∴∠ABC=（180°-∠BAC）=（180°-54°）=63°，

∵DO是AB的垂直平分线，

∴OA=OB，

∴∠ABO=∠BAO=27°，

∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=63°-27°=36°，

∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，

∴△AOB≌△AOC（SAS），

∴OB=OC，

∴点O在BC的垂直平分线上，

又∵DO是AB的垂直平分线，

∴点O是△ABC的外心，

∴∠OCB=∠OBC=36°，

∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，

∴OE=CE，

∴∠COE=∠OCB=36°，

在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-36°-36°=108°．

考点：1.线段垂直平分线的性质；2.等腰三角形的性质；3.翻折变换（折叠问题）．

三、解答题

13．

【试题解析】

利用AB=AC，可得∠B和∠C的关系，利用AD=BD，可求得∠CAD=∠CDA及其与∠B的关系，在△ABC中利用内角和定理可求得∠B，进一步求得∠ABC，得到结果．

【解答】∵AB=AC，∴∠B=∠C，

∵BD=AD，∴∠B=∠DAB，

∵AC=DC，∴∠DAC=∠ADC=2∠B，

∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠B+2∠B=3∠B，又∠B+∠C+∠BAC=180°，

∴5∠B=180°，∴∠B=36°，∠C=36°，∠BAC=108°．

考点：1．等腰三角形的性质；2．三角形内角和定理．

14．

【试题解析】

等腰△ABC中，由∠B=∠C=30°，∠BAD=90°；易证得∠DAC=∠C=30°，即CD=AD=4cm．Rt△ABD中，由30°角所对直角边等于斜边的一半，可求得BD=2AD=8cm；由此可求得BC的长．

解：∵AB=AC，∴∠B=∠C=30°，

∵AB⊥AD，∴BD=2AD=2×4=8（cm），∠B+∠ADB=90°，

∴∠ADB=60°，

∵∠ADB=∠DAC+∠C=60°，

∴∠DAC=30°，∴∠DAC=∠C，

∴DC=AD=4cm，∴BC=BD+DC=8+4=12（cm）．

考点：1．含30度角的直角三角形；2．三角形内角和定理；3．等腰三角形的性质．

15．

【试题解析】

此题可以用证明全等三角形的方法解决；也可以用等腰三角形的三线合一的性质解决．

作AF⊥BC于F，∵AB=AC（已知），∴BF=CF（三线合一），

又∵AD=AE（已知），∴DF=EF（三线合一），

∴BF﹣DF=CF﹣EF，即BD=CE（等式的性质）．

考点：等腰三角形的性质．

16．

【试题解析】

利用线段垂直平分线的性质计算．

【解答】∵DE垂直且平分AB，∴AE=BE   ∴∠EAB=∠B，

又∵∠CAE=∠B+30°，故∠CAE=∠B+30°=90°﹣2∠B，

∴∠B=20°，∴∠AEB=180°﹣20°×2=140°．

考点：线段垂直平分线的性质．

17．

【试题解析】

（1）根据图形找出A、B、C三点关于y轴的对称点A1、B1、C1，再顺次连接A1B1C1；

（2）写出点A1和C1的坐标即可．

【解答】（1）所作图形如图所示：

；

（2）点A1的坐标为（1，5），点C1的坐标为（4，3）．

考点：作图-轴对称变换

18．

【试题解析】

分12cm为等腰三角形的腰长和底边长两种情况计算即可．

解：∵等腰三角形一边长为12cm，且腰长是底边长的，

①如果腰长为12cm，则底边为16cm，等腰三角形的三边为12、12、16，能构成三角形，

∴C△=12+12+16=40cm；

②如果底长为12cm，则腰长为9cm，

等腰三角形的三边为12、9、9，能构成三角形，

∴C△=9+9+12=30cm．

考点：分类讨论；等腰三角形的性质．

19．

【试题解析】

（1）由AD=BD，根据等边对等角的性质，可得∠B=∠BAD，又由三角形外角的性质，即可求得∠B的度数；

（2）由∠BAC=70°，易求得∠C=∠BAC=70°，根据等角对等边的性质，可证得△ABC是等腰三角形．

解：（1）∵在△ABD中，AD=BD，

∴∠B=∠BAD，

∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=80°，

∴∠B=∠ADC=40°；

（2）△ABC是等腰三角形．

理由：∵∠B=40°，∠BAC=70°，

∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=70°，

∴∠C=∠BAC，

∴BA=BC，

∴△ABC是等腰三角形．

【解题策略】此题考查了等腰三角形的性质与判定以及三角形外角的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．

20．

【试题解析】

先证∠ABD=∠CAE，再证△ABD≌△CAE即可得出答案．

BD=AE，AE⊥BD；

证明：∵AB∥CE，∠BAC=90°，

∴∠ACE=90°，

在△ABD和△CAE中，

∴△ABD≌△CAE（SAS），

∴BD=AE．

∴∠ABD+∠EAB=∠CAE+∠EAB=90°

∴AE⊥BD

∴BD=AE，AE⊥BD.

考点：等腰三角形的性质.

21．

【试题解析】

（1）根据等边三角形的性质得出∠B=60°，根据DE∥AB得出∠EDC=60°，根据垂直得出∠DEF=90°，根据三角形内角和定理可得∠F的度数；（2）根据∠ACB=∠EDC=60°得出△EDC为等边三角形，则ED=DC=2，根据∠DEF=90°，∠F=30°得出DF=2DE=4.

【解答】（1）∵△ABC是等边三角形，

∴∠B=60°，

∵DE∥AB，

∴∠EDC=∠B=60°

∵EF⊥DE，

∴∠DEF=90°，

∴∠F=90°﹣∠EDC=30°

（2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，

∴△EDC是等边三角形．

∴ED=DC=2，

∵∠DEF=90°，∠F=30°

∴DF=2DE=4．

考点：等边三角形的性质

22．

【解答】解：（1）∵△ACB和△DCE均为等边三角形，

∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACD=60°﹣∠DCB =∠BCE．

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS）．

∴∠ADC=∠BEC．

∵△DCE为等边三角形，

∴∠CDE=∠CED=60°．

∵点A，D，E在同一直线上，

∴∠ADC=120°，

∴∠BEC=120°．

∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°．

（2）∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°

∴CA=CB，CD=CE．

且∠ACD=∠BCE．

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS）． 

∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．

∵△DCE为等腰直角三角形，

∴∠CDE=∠CED=45°．

∵点A，D，E在同一直线上，

∴∠ADC=135°，

∴∠BEC=135°．

∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．

∵CD=CE，CM⊥DE，

∴DM=ME．

∵∠DCE=90°，

∴DM=ME=CM．

∴AE=AD+DE=BE+2CM．

23．

【试题解析】

（1）根据等边对等角可得∠A=∠BCA，∠CBD=∠BDC，∠ECD=∠CED，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠BCA=∠CBD，∠A+∠CDB=∠ECD，∠A+∠CED=∠EDM，然后用∠A表示出∠EDM，计算即可求解；

（2）由特殊到一般，解题的思路与（1）相同．

解：（1）∵AB=BC=CD=DE，

∴∠A=∠BCA，∠CBD=∠BDC，∠ECD=∠CED，

根据三角形的外角性质，

∠A+∠BCA=∠CBD，∠A+∠CDB=∠ECD，∠A+∠CED=∠EDM，

又∵∠EDM=84°，

∴∠A+3∠A=84°，

解得，∠A=21°；

（2）∵AB=BC=CD=DE=EF=FG=GA，设∠A=x°，

则∠AFG=∠ACB=x°，∠CGF=∠CEF=∠CBF=∠CDF=2x°，

∠ECD=∠CED=∠EFD=∠EDF=3x°，

而∠A+∠CED+∠EDF=180°，故，即∠A=；

考点：等腰三角形的性质．