高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.1.3 函数的奇偶性导学案

授课类型

函数奇偶性

授课日期及时段

教学内容

函数基本性质----奇偶性

1．偶函数

一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数．

2．奇函数

一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数．

3．奇偶性

如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f(x)具有奇偶性．

4．奇、偶函数的图象性质

偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称.

5.函数奇偶性定义中应注意：

(1)、如果函数f(x)是奇函数或偶函数，就说函数f(x)具有奇偶性.函数的奇偶性是函数的整体性质。奇偶性是对函数的整个定义域而言的.

(2)、既不是奇函数也不是偶函数的函数称为非奇非偶函数。

(3)、定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件。

(4)、具有奇偶性的函数的图象的特征：①偶函数的图象关于y轴对称;②函数的图象关于原点对称

6．判断函数奇偶性的两个方法

(1)定义法：

(2)图像法：

(3).判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性

判断下列函数的奇偶性．

    (1)f(x)＝＋；      (2)f(x)＝；        (3)f(x)＝x2＋      (4)f(x)＝.

判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝x－；               (2)f(x)＝|x＋2|＋|x－2|；        (3)f(x)＝

已知函数f(x)＝在区间[0，＋∞)上的图象如图所示，请据此在该坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图象，请说明你的作图依据．

设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]．若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是________．

已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x3＋x＋1，求f(x)的解析式．

把题设条件“f(x)是R上的奇函数”换成“f(x)是{x|x≠0}上的偶函数”，求相应问题．

 若函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，求f(x)的解析式.

设定义在[－2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1－m)＜f(m)，则实数m的取值范围是________________.

 (1)已知定义域为(－1，1)的奇函数y＝f(x)，在(－1，1)上又是减函数，且满足f(2x－1)＋＜0，则x的取值范围为______________.

(2)若f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)上递增，且f(－3)＝0，则xf(x)<0的解集是________.

设函数f(x)的定义域为R，对于任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＞0时，f(x)＞0且f(2)＝6.

(1)求证：函数f(x)为奇函数；

(2)求证：函数f(x)在R上是增函数；

(3)在区间[－4,4]上，求f(x)的最值.

一、巩固练习

1．函数f(x)＝－x＋的奇偶性是________

2．已知函数f(x)＝a－为奇函数，则a＝________.

3．若函数f(x)＝x3－bx＋a＋2是定义在[a，b]上的奇函数，则b－a＝________.

4．下列说法中正确的是________．

①函数y＝3x2，x∈(－2,2]是偶函数；

②函数f(x)＝是奇函数；

③函数f(x)＝x＋1既不是奇函数也不是偶函数；

④f(x)＝x2＋1是偶函数．

5. 已知f(x)是定义在[－2,0)∪(0,2]上的奇函数，当x>0时，f(x)的图象如图2－2－6所示，那么f(x)的值域是________．

6．设函数f(x)＝ax3＋cx＋5，已知f(－3)＝3，则f(3)＝________.

7．定义在R上的奇函数f(x)，若当x>0时，f(x)＝x2－2x，则x<0时f(x)＝________.

8．若f(x)为R上的奇函数，给出下列四个说法：

①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)－f(－x)＝2f(x)；③f(x)·f(－x)<0；④＝－1.其中一定正确的有________．

9．判断函数f(x)＝的奇偶性．

10．若f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x(1－x)，求函数f(x)的解析式．

11．设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．

   12.已知函数f(x)＝是奇函数.

   (1)求实数m的值；

   (2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.

   .

13.已知函数f(x)的定义域为(－2，2)，函数g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x).

(1)求函数g(x)的定义域；

(2)若f(x)为奇函数，并且在定义域上单调递减，求不等式g(x)≤0的解集.

    14.函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2).

     (1)求f(1)的值；

     (2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；

     (3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围.

1.判定函数的奇偶性时，应先确定函数的定义域是否关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系，必要时可对函数解析式进行化简变形.

2.判定函数的奇偶性时，有时可通过其等价形式：f(－x)±f(x)＝0或＝±1 (f(x)≠0)进行处理.

3．利用奇偶函数图象的对称性，我们可以作出函数的大致图象，然后观察图象得出结论．

4．已知奇偶函数在某个区间上的解析式，我们利用对称性可求出这个区间的对称区间上的解析式．要注意“求谁设谁”．

5．解含“f”的不等式，应具备两个方面：一是能转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式，二是f(x)的单调性已知．特别是f(x)为偶函数时，应把不等式f(x1)<f(x2)转化为f(|x1|)<f(|x2|)的形式，利用x∈[0，＋∞)的单调性求解．