专题23 勾股定理-2021年中考数学一轮复习精讲+热考题型

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专题勾股定理【知识要点】勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理方法一：，，化简可证．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为　　大正方形面积为所以方法三：，，化简得证知识点二 勾股数勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数常见的勾股数：如；；；等扩展：用含字母的代数式表示组勾股数：1）（为正整数）；2）（为正整数）3）（，为正整数）注意：每组勾股数的相同整数倍，也是勾股数。【考查题型】考查题型一 勾股定理理解三角形典例1．在中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C．若OC：OB＝3 ：5，则DE的长为（    ）A．6 B．9 C．12 D．15变式1-1．如图，在中，，若，则的长为（    ）A．8 B．12 C． D．变式1-2．如图，Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AB = 5，AC= 3，把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C' ，则四边形ABC'A'的面积是 （    ）A．15 B．18 C．20 D．22故选：A．变式1-3．某几何体的三视图及相关数据(单位:cm)如图所示，则该几何体的侧面积是（    ）A． B． C． D．【答案】C故选：C．考查题型二 勾股定理与网格问题典例2．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　）A． B． C． D．【答案】D故选：D．变式2-1．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（    ）．A． B． C． D．【答案】D故选：D．变式2-2．如图所示，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为（ ）A． B． C．2 D．【答案】A故答案选A．考查题型三 利用勾股定理解决折叠问题典例3．如图，把某矩形纸片沿，折叠（点E、H在边上，点F，G在边上），使点B和点C落在边上同一点P处，A点的对称点为、D点的对称点为，若，为8，的面积为2，则矩形的长为（    ）A． B． C． D．【答案】D故选D.变式3-1．如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF；把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点处，得到折痕BM，BM与FF相交于点N．若直线B A’交直线CD于点O，BC＝5，EN＝1，则OD的长为（    ）A． B． C． D．【答案】B故选：B．变式3-2．如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把沿着AD翻折，得到，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F.若，，，的面积为2，则点F到BC的距离为(    )A． B． C． D．【答案】B故选：B．考查题型四 利用勾股定理证明线段的平方关系典例4．如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（     ）A．a2+b2＝5c2 B．a2+b2＝4c2 C．a2+b2＝3c2 D．a2+b2＝2c2【答案】A故选：A．【点评】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 也考查了勾股定理．变式4-1．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则__________．【答案】20故答案为：20.考查题型五 利用勾股定理解决实际问题（选题类型不限于中考真题及模拟）1.求梯子滑落高度典例5．如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，则梯子顶端A下落了（　　）米．A．0.5 B．1 C．1.5 D．2【答案】A变式5-1． 如图所示，一架梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，此时梯子下端B与墙角C的距离为1.5米，当梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.9米．则梯子顶端A沿墙下移了______米．【答案】1.32.求旗杆高度典例6．从电线杆离地面8米处拉一根长为10m的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有(    )m．A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C变式6-1．如图，小华将升旗的绳子拉到竖直旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，此时绳子末端距离地面，则绳子的长度为____．【答案】173.求蚂蚁爬行距离典例7．如图，圆柱的高为8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点沿圆柱外壁爬到点处吃食，要爬行的最短路程是（          ）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm【答案】C变式7-1．如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，它飞行的最短路程是（　　）A．13米 B．12米 C．5米 D．米【答案】A4.求大树折断前的高度典例8．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远(如图)，则折断后的竹子高度为多少尺？(1丈=10尺)(　　)A．3 B．5 C． D．4【答案】C变式8-1．《九章算术》是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？其意思是：有一根与地面垂直且高一丈的竹子（1丈＝10尺），现被大风折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为三尺．问折断处高地面的距离为（    ）A．5.45尺 B．4.55尺 C．5.8尺 D．4.2尺【答案】B5.求水杯中筷子长度问题典例9．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是尺．根据题意，可列方程为（    ）A．B．C．D．【答案】B变式9-1．如图，将一根长12cm的筷子置于底面半径为3cm，高为8cm的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度h至少为_______cm．【答案】26.解决航海问题典例10．如图，快艇从地出发，要到距离地10海里的地去，先沿北偏东70°方向走了8海里，到达地，然后再从地走了6海里到达地，此时快艇位于地的（    ）．A．北偏东20°方向上 B．北偏西20°方向上C．北偏西30°方向上 D．北偏西40°方向上【答案】B变式10-1．如图，海中有一小岛A，它周围10.5海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行．在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，那么渔船还需航行_____海里就开始有触礁的危险．【答案】4.57.求河宽典例11．如图，为了测量池塘的宽度，在池塘周围的平地上选择了、、三点，且、、、四点在同一条直线上，，已测得，，，，则池塘的宽度（    ）A． B． C． D．【答案】C变式11-1．一条河的宽度处处相等，小强想从河的南岸横游到北岸去，由于水流影响，小强上岸地点偏离目标地点200m，他在水中实际游了520m，那么该河的宽度为（　　）A．440m B．460m C．480m D．500m【答案】C8.求台阶上的地毯长度典例12．地面上铺设了长为20cm，宽为10cm的地砖，长方形地毯的位置如图所示．那么地毯的长度最接近多少？（　　）A．50cm B．100cm C．150cm D．200cm【答案】C变式12-1．在高5m，长13m 的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图所示，地毯的长度至少需要（    ）A．13m B．5m C．12m D．17m【答案】D9.判断是否超速典例13．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m，则这辆小汽车的速度是__m/s．【答案】20变式13-1．《中华人民共和国道路交通管理条例》规定，小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70km/h.如图所示，一辆小汽车在一条城市街道沿直道向处行驶.某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m处的点，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪之间的距离为50m，这辆小汽车________.（填“超速”或“不超速”）【答案】超速变式13-2．如图，小明家（A）在小亮家（B）的正北方，某日，小明与小亮约好去图书馆（D），一小明行走的路线是A→C→D，小亮行走的路线是B→C→D，已知，，，，已知小明骑自行车速度为a km/分钟，小亮走路，速度为0.1km分钟。小亮出发20分钟后小明再出发，若小明在路上遇到小亮，则带上小亮一起去图书馆，为了使小亮能坐上小明的顺风车，则a的取值范围是________。【答案】.判断是否受台风影响典例14．M 城气象中心测得台风中心在 M 城正北方向 240km 的 P 处，以每小时 45km 的速度向南偏东 30°的 PB 方向移动，距台风中心 150km 的范围内是受台风影响的区域，则 M 城 受台风影响的时间为（    ）小时．A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A变式14-1．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°．公路上处距点米．如果火车行驶时，周围米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以千米/时的速度行驶时，处受噪音影响的时间为（  ） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒【答案】B变式14-2．如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域(包括边界)都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA=300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过(    )小时它就会进入台风影响区A．10 B．7 C．6 D．12【答案】B9.利用勾股定理选址使到两地距离相等典例15．一条河流的段长，在点的正北方处有一村庄，在点的正南方处有一村庄，在段上有一座桥，把建在何处时可以使到村和村的距离和最小，那么此时桥到村和村的距离和为（    ）A．10 B． C．12 D．【答案】A变式15-1．如图，高速公路上有、两点相距，、为两村庄，已知，，于，于，现要在上建一个服务站，使得、两村庄到站的距离相等，则的长是（    ）．A． B． C． D．【答案】C变式15-2．如图，要在距离地面5米处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若要考虑到符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L1=5.2米，L2=6.1米，L3=7.8米，L4=10米四种备用材料中，拉线AC最好选用（　　）A．L1 B．L2 C．L3 D．L4【答案】B