数学九年级上册28.4 垂径定理学案设计

九年级数学教案（编号43）

课题：垂径定理2          姓名：                 

学习目标：会用垂径定理解决实际问题。

一、知识链接：【师生活动】　学生独立思考回答,教师规范书写.

1、垂径定理是                                                          。

2、用符号语言表达垂径定理:已知                         ，

则有                                         。

3、如图(1)， (1)AB=8，OE=1，则CD=           。（2）OA=5，CD=8，则OE=           。

（3）OE=1，CE=，则OC=           。（4）OB=5，CE=4，则BE=           。

（5）OB=5，BE=1，则CD=           。（6）CE=4，BE=2，则OC=           

二、新知探究：学生自主学习、独立思考后,小组合作交流,学生展示后教师点评归纳,.

1、如上图，在河北省赵县境内，有一座建于隋代的石拱桥------赵州桥，其桥拱为圆弧形，如图，拱高（弧的中点到弦的距离也叫弓形高）为7.2m，跨度（弧所对的弦长）为37.4m，求桥拱的半径（精确到0.1m）

三、典例分析：学生独立思考后,小组合作交流,教师对有困难的学生进行指导,小组代表展示,教师点评过程中强调易错点.

1、如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且AB=26m，OE⊥CD于点E．水位正常时测得OE：CD=5：24
（1）求CD的长；
（2）现汛期来临，水面要以每小时4m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？

四、题组训练: 　学生独立完成后小组交流答案,教师在巡视过程中帮助有困难的学生                                         

【A组】

2、一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽AB为0.6米．
（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；
（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度．

【B组】

3、有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽度8m，拱顶高出水面2m．现有一货船载一货箱欲从桥下经过，已知货箱宽6m，高1.5m（货箱底与水面持平），问该货船能否顺利通过该桥？

【C组】

4、.如图是小方在十一黄金周某旅游景点看到的圆弧形门，小方同学很想知道这扇门的相关数据．于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=20cm，BD=200cm，且AB、CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮助小方同学计算出这个圆弧形门的半径是多少？

答案： 

一、知识链接：

1、垂直于弦的直径平分弦并且平分这条弦所对的两条弧

2、因为CD是直径，CD⊥AB于P    

   所以PA=PB   弧AC=弧BC   弧AD=弧BD

3、  3   2   2     6   5

二、 新知探究

设拱桥的半径为rm.

∵AB=37.4m，

∴根据垂径定理可得AD=AB=18.7m.

又∵CD=7.2m，OD=r-CD，

∴OD=（r-7.2）m.

在Rt△AOD中，AD2+OD2=OA2，

∴18.72+（r−7.2）2=r2.

∴r≈27.9m.

答：拱桥的半径约为27.9m.

三、 典例分析

(1)∵直径AB=26m，

∴OD=1/2AB=1/2×26=13m，

∵OE⊥CD，

∴DE=1/2CD，

∵OE:CD=5:24，

∴OE:ED=5:12，

∴设OE=5x，ED=12x，

∴在Rt△ODE中(5x)2+(12x)2=132，

解得x=1，

∴CD=2DE=2×12×1=24m；

(2)由(1)得OE=1×5=5m，

延长OE交圆O于点F，

∴EF=OF−OE=13−5=8m，

∴8/4=2(小时)，即经过2小时桥洞会刚刚被灌满。

四、题组训练

A组:

(1)作半径OC⊥AB，垂足为点D，连接OA，则CD即为弓形高

∵OC⊥AB，

∴AD=1/2AB

∵AO=0.5，AB=0.6，

∴AD=12AB=12×0.6=0.3，

∴OD==0.4，

∴CD=OC−OD=0.5−0.4=0.1米，即此时的水深为0.1米

(2)当水位上升到水面宽MN为0.8米时，直线OC与MN相交于点P

同理可得OP=0.3，

当MN与AB在圆心同侧时，水面上升的高度为0.1米；

当MN与AB在圆心异侧时，水面上升的高度为0.7米。

B组：

作出弧AB所在圆的圆心O，连接OA、ON，

则NH=1/2MN=1/2×6=3，

设OA=r,则OD=OC−CD=r−2,AD=1/2AB=4，

在Rt△AOD中，

∵OA2=AD2+OD2，，

∴r=5(m)

在Rt△ONH中,OH2=ON2−NH2

∴OH==4(m)，

∴FN=DH=OH−OD=4−3=1(m)，

∵1<1.5，

∴货船不可以顺利通过这座拱桥。

C组

连接OF，交AD于点E，

∵BC是O的切线，

∴OF⊥BC，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴OE⊥AD，EF=AB，

设圆O的半径为R,在Rt△AOE中,AE=AD/2=BC/2=100

OE=R−AB=R−20，

∵AE2+OE2=OA2，

∴1002+(R−20)2=R2，

解之R=260.

260×2=520(cm).

答：这个圆弧形门的最高点离地面的高度为520cm.