还剩14页未读，
继续阅读
数学九年级上册22.3 实际问题与二次函数同步达标检测题
展开
这是一份数学九年级上册22.3 实际问题与二次函数同步达标检测题，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1.如图,某拱桥呈抛物线形状,桥的最大高度是16米,跨度是40米,则在线段AB上离中心M处5米的地方,桥的高度是( )
A.15米B.14米C.13米D.12米
第1题图 第2题图
2.某公园草坪的防护栏是由150段形状相同的抛物线组成的.如图是其中一段抛物线,为了牢固起见,每段护栏需要间距0.4 m加设一根不锈钢的支柱,防护栏的最高点距底部0.5 m,则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为( )
A.240 mB.200 m
C.160 mD.150 m
3.小明在进行物理实验时竖直向上抛一个小球,小球上升的高度h(m)与运动时间t(s)的函数关系式为h＝at2＋bt,图象如图所示.若小球在抛出后第2 s与第6 s时的高度相等,则下列时刻中小球的高度最高的是( )
A.第3 sB.第3.9 s
C.第4.5 sD.第6.5 s
4.滑雪者从山坡上滑下,其滑行距离s(m)与滑行时间t(s)之间的关系可以近似地用二次函数刻画,其图象如图所示,根据图象,当滑行时间为4 s时,滑行距离为( )
A.40 mB.48 mC.56 mD.72 m
5.位于中国贵州省内的射电望远镜(FAST)是目前世界上口径最大、精度最高的望远镜.根据有关资料显示,该望远镜的轴截面呈抛物线状,口径AB为500米,最低点C到口径面AB的距离是100米.若按如图2建立平面直角坐标系,则抛物线的解析式是( )
A.y＝1625x2－100B.y＝－1625x2－100
C.y＝1625x2D.y＝－1625x2
6.超市有一种果冻礼盒,内装两个上下倒置的果冻,果冻高为4 cm,底面是个直径为6 cm的圆,轴截面可以近似地看作一个抛物线.为了节省成本,包装应尽可能的小,这个包装盒的长AD(不计重合部分,两个果冻之间没有挤压)至少为( )
A.(6+32)cmB.(6+23)cm
C.(6+25)cmD.(6+35)cm
7.(2020·山西)竖直上抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系可以近似地用公式h＝－5t2＋v0t＋h0表示，其中h0(m)是物体抛出时离地面的高度，v0(m/s)是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5 m的高处以20 m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为( )
A．23.5 m B．22.5 m
C．21.5 m D．20.5 m
8.(中考·临沂)足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间t(单位：s)之间的关系如下表：
下列结论：①足球距离地面的最大高度为20 m；②足球飞行路线的对称轴是直线t＝eq \f(9,2)；
③足球被踢出9 s时落地；
④足球被踢出1.5 s时，距离地面的高度是11 m.
其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
9.(中考·巴中)一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4 m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5 m时，达到最大高度3.5 m，然后准确落入篮筐内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05 m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是( )
A．此抛物线对应的解析式是y＝－eq \f(1,5)x2＋3.5
B．篮圈中心的坐标是(4，3.05)
C．此抛物线的顶点坐标是(3.5，0)
D．篮球出手时离地面的高度是2 m
10.(2020·绵阳)三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同(如图)．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米．若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为( )
A．4eq \r(3)米 B．5eq \r(2)米 C．2eq \r(13)米 D．7米
二、填空题
11.图1是一款优雅且稳定的抛物线型落地灯.防滑螺母C为抛物线支架的最高点,灯罩D距离地面1.86 m,灯柱AB及支架的相关数据如图2所示.若茶几摆放在灯罩的正下方,则茶几到灯柱的距离AE为 m.
12.某飞机着陆后滑行的路程s(m)与滑行时间t(s)的函数关系式为s＝60t－1.5t2,则飞机着陆后直至完全停下来,滑行了 m.
13.一位运动员在距篮下4m处跳起投篮,球运行的路线是抛物线.当球运行的水平距离为2.5m时,达到最大高度3.5m,然后准确落入篮圈.如图所示,已知篮圈中心到地面的距离为3.05m,该运动员身高1.9m.在这次跳投中,球在头顶上方0.25m处出手,则球出手时,他跳离地面的高度是 .
14.如图,小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子,给他做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米,绳子自然下垂呈抛物线状.身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时,头部刚好接触到绳子,则绳子的最低点到地面的距离为 米.
15.(中考·武汉)飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)关于滑行时间t(单位：s)的函数解析式是y＝60t－eq \f(3,2)t2.在飞机着陆滑行中，最后4 s滑行的距离是________m.
三、解答题
16.如图是丁丁设计的一款杯子的平面图,建立平面直角坐标系后杯子的上半部分是二次函数y＝2x2＋8的图象的一部分.若AB＝4,DE＝3,求杯子的高CE.
17.如图,一名男生推铅球,铅球行进的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系是二次函数的关系.铅球行进起点的高度为53 m,行进到水平距离为4 m时达到最高处,最大高度为3 m.
(1)以地面为x轴,以过铅球行进起点且垂直于地面的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,求该二次函数的解析式(化成一般形式);
(2)求铅球推出的距离.
18.如图,某隧道的横截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是8 m、宽是2 m,抛物线的解析式为y＝－14x2＋4.一辆高4 m、宽2 m的货车正准备进入该隧道.
(1)如果该隧道为单行道,这辆货车能安全通过吗?
(2)如果该隧道内设双行道,中间遇车间隙为0.4 m,那么这辆货车是否可以通过?
19.如图1,在地面上有两根等长的立柱AB,CD,它们之间悬挂了一根抛物线形状的绳子,按照图中的平面直角坐标系,这条绳子可以用y=110x2－45x+3表示.
(1)求这条绳子的最低点到地面的距离;
(2)现由于实际需要,要在两根立柱之间再加一根立柱EF对绳子进行支撑(如图2),已知立柱EF到AB的距离为3 m,两旁的绳子也是抛物线形状,且立柱EF左侧绳子的最低点到EF的距离为1 m,到地面的距离为1.8 m,求立柱EF的长.
20.如图，需在一面墙上绘制几个相同的“抛物线”形图案．按照图中的直角坐标系，最左边的抛物线可以用y＝ax2＋bx(a≠0)表示．已知抛物线上B，C两点到地面的距离均为eq \f(3,4)m，到墙边OA的距离分别为eq \f(1,2)m，eq \f(3,2)m.
(1)求该抛物线对应的函数关系式，并求图案最高点到地面的距离；
(2)若该墙的长度为10m，则最多可以连续绘制几个这样的“抛物线”形图案？
21.(2020·绍兴)如图①，排球场长为18 m，宽为9 m，网高为2.24 m，队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9 m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88 m，即BA＝2.88 m，这时水平距离OB＝7 m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图②所示．
(1)若球向正前方运动(即x轴垂直于底线)，求球运动的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式(不必写出x的取值范围)．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由．
(2)若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P(如图①，点P距底线1 m，边线0.5 m)，问发球点O在底线上的哪个位置(参考数据：eq \r(2)取1.4)?
22.(2020·台州)用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观如图①.
科学原理：如图②，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为H(单位：cm)，如果在离水面竖直距离为h(单位：cm)的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程(水流落地点离小孔的水平距离)s(单位：cm)与h的关系为s2＝4h(H－h)．
应用思考：现用高度为20 cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离h cm处开一个小孔．
(1)写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少？
(2)在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b(单位：cm)，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式．
(3)如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16 cm，求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离．
23.某校进行了一场足球比赛,比赛场上守门员小王在O处开出一高球,球从离地面1米的A处飞出(A在y轴上),运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M,距地面约4米高,球落地后又一次弹起.据试验测算,足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同,最大高度减少到原来最大高度的一半.
(1)求足球开始飞出到第一次落地时,该抛物线的解析式.
(2)足球第一次落地点C距守门员多少米?(取43≈7)
(3)运动员乙要抢到足球第二个落地点D,他应再向前跑多少米?(取26≈5)
t
0
1
2
3
4
5
6
7
…
h
0
8
14
18
20
20
18
14
…
参考答案
一、选择题
1.如图,某拱桥呈抛物线形状,桥的最大高度是16米,跨度是40米,则在线段AB上离中心M处5米的地方,桥的高度是(A)
A.15米B.14米C.13米D.12米
第1题图 第2题图
2.某公园草坪的防护栏是由150段形状相同的抛物线组成的.如图是其中一段抛物线,为了牢固起见,每段护栏需要间距0.4 m加设一根不锈钢的支柱,防护栏的最高点距底部0.5 m,则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为(A)
A.240 mB.200 m
C.160 mD.150 m
3.小明在进行物理实验时竖直向上抛一个小球,小球上升的高度h(m)与运动时间t(s)的函数关系式为h＝at2＋bt,图象如图所示.若小球在抛出后第2 s与第6 s时的高度相等,则下列时刻中小球的高度最高的是(B)
A.第3 sB.第3.9 s
C.第4.5 sD.第6.5 s
4.滑雪者从山坡上滑下,其滑行距离s(m)与滑行时间t(s)之间的关系可以近似地用二次函数刻画,其图象如图所示,根据图象,当滑行时间为4 s时,滑行距离为(B)
A.40 mB.48 mC.56 mD.72 m
5.位于中国贵州省内的射电望远镜(FAST)是目前世界上口径最大、精度最高的望远镜.根据有关资料显示,该望远镜的轴截面呈抛物线状,口径AB为500米,最低点C到口径面AB的距离是100米.若按如图2建立平面直角坐标系,则抛物线的解析式是(A)
A.y＝1625x2－100B.y＝－1625x2－100
C.y＝1625x2D.y＝－1625x2
6.超市有一种果冻礼盒,内装两个上下倒置的果冻,果冻高为4 cm,底面是个直径为6 cm的圆,轴截面可以近似地看作一个抛物线.为了节省成本,包装应尽可能的小,这个包装盒的长AD(不计重合部分,两个果冻之间没有挤压)至少为( A )
A.(6+32)cmB.(6+23)cm
C.(6+25)cmD.(6+35)cm
7.(2020·山西)竖直上抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系可以近似地用公式h＝－5t2＋v0t＋h0表示，其中h0(m)是物体抛出时离地面的高度，v0(m/s)是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5 m的高处以20 m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为( C )
A．23.5 m B．22.5 m
C．21.5 m D．20.5 m
8.(中考·临沂)足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间t(单位：s)之间的关系如下表：
下列结论：①足球距离地面的最大高度为20 m；②足球飞行路线的对称轴是直线t＝eq \f(9,2)；
③足球被踢出9 s时落地；
④足球被踢出1.5 s时，距离地面的高度是11 m.
其中正确结论的个数是( B )
A．1 B．2
C．3 D．4
9.(中考·巴中)一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4 m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5 m时，达到最大高度3.5 m，然后准确落入篮筐内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05 m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是( )
A．此抛物线对应的解析式是y＝－eq \f(1,5)x2＋3.5
B．篮圈中心的坐标是(4，3.05)
C．此抛物线的顶点坐标是(3.5，0)
D．篮球出手时离地面的高度是2 m
【点拨】A.∵抛物线的顶点坐标为(0，3.5)，∴可设抛物线对应的函数解析式为y＝ax2＋3.5.
∵篮圈中心(1.5，3.05)在抛物线上，将它的坐标代入上式，得3.05＝a×1.52＋3.5，∴a＝－eq \f(1,5).
∴y＝－eq \f(1,5)x2＋3.5.故本选项正确．
B．由题图知，篮圈中心的坐标是(1.5，3.05)，故本选项错误．
C．由题图知，此抛物线的顶点坐标是(0，3.5)，故本选项错误．
D．设这次跳投时，篮球出手时离地面的高度是h m，∵y＝－eq \f(1,5)x2＋3.5，
∴当x＝－2.5时，h＝－eq \f(1,5)×(－2.5)2＋3.5＝2.25.
∴这次跳投时，篮球出手时离地面的高度是2.25 m．故本选项错误．
【答案】A
10.(2020·绵阳)三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同(如图)．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米．若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为( )
A．4eq \r(3)米 B．5eq \r(2)米 C．2eq \r(13)米 D．7米
【点拨】建立如图所示的平面直角坐标系．
由题意可得MN＝4米，EF＝14米，BC＝10米，DO＝eq \f(3,2)米．
设大孔所在抛物线的解析式为y＝ax2＋eq \f(3,2).
∵点B(－5，0)，∴0＝a×(－5)2＋eq \f(3,2). ∴a＝－eq \f(3,50).
∴大孔所在抛物线的解析式为y＝－eq \f(3,50)x2＋eq \f(3,2).
设点A(b，0)，顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y＝m(x－b)2.
∵EF＝14米，∴点E的横坐标为－7.
∴点E的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－7，－\f(36,25))).
令－eq \f(36,25)＝m(x－b)2，解得x＝eq \f(6,5)eq \r(－\f(1,m))＋b或x＝－eq \f(6,5)eq \r(－\f(1,m))＋b.
∵MN＝4米，∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)\r(－\f(1,m))＋b－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(6,5)\r(－\f(1,m))＋b))))＝4.
∴m＝－eq \f(9,25).
∴顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y＝－eq \f(9,25)(x－b)2.
∵大孔水面宽度为20米，∴当x＝－10时，y＝－eq \f(9,2).
令－eq \f(9,2)＝－eq \f(9,25)(x－b)2，解得x＝eq \f(5\r(2),2)＋b或x＝－eq \f(5\r(2),2)＋b.
∴单个小孔的水面宽度＝[eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)\r(2)＋b))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)\r(2)＋b))]＝5eq \r(2)(米)．
【答案】B
二、填空题
11.图1是一款优雅且稳定的抛物线型落地灯.防滑螺母C为抛物线支架的最高点,灯罩D距离地面1.86 m,灯柱AB及支架的相关数据如图2所示.若茶几摆放在灯罩的正下方,则茶几到灯柱的距离AE为 2.7 m.
12.某飞机着陆后滑行的路程s(m)与滑行时间t(s)的函数关系式为s＝60t－1.5t2,则飞机着陆后直至完全停下来,滑行了 600 m.
13.一位运动员在距篮下4m处跳起投篮,球运行的路线是抛物线.当球运行的水平距离为2.5m时,达到最大高度3.5m,然后准确落入篮圈.如图所示,已知篮圈中心到地面的距离为3.05m,该运动员身高1.9m.在这次跳投中,球在头顶上方0.25m处出手,则球出手时,他跳离地面的高度是 0.1 m .
14.如图,小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子,给他做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米,绳子自然下垂呈抛物线状.身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时,头部刚好接触到绳子,则绳子的最低点到地面的距离为 0.5 米.
15.(中考·武汉)飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)关于滑行时间t(单位：s)的函数解析式是y＝60t－eq \f(3,2)t2.在飞机着陆滑行中，最后4 s滑行的距离是________m.
【点拨】当y取得最大值时，飞机停下来．因为y＝60t－eq \f(3,2)t2＝－eq \f(3,2)(t－20)2＋600，所以t＝20时，飞机着陆后滑行600 m才能停下来．
因此t的取值范围是0≤t≤20.
当t＝16时，y＝576，所以600－576＝24(m)．
【答案】24
三、解答题
16.如图是丁丁设计的一款杯子的平面图,建立平面直角坐标系后杯子的上半部分是二次函数y＝2x2＋8的图象的一部分.若AB＝4,DE＝3,求杯子的高CE.
解:由题意可得,点D的坐标为(0,8).
∵AB＝4,∴点B的横坐标为2,当x＝2时,y＝2×4＋8＝16,即点B的坐标为(2,16),
∴CD＝16－8＝8,∴CE＝CD＋DE＝8＋3＝11.
17.如图,一名男生推铅球,铅球行进的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系是二次函数的关系.铅球行进起点的高度为53 m,行进到水平距离为4 m时达到最高处,最大高度为3 m.
(1)以地面为x轴,以过铅球行进起点且垂直于地面的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,求该二次函数的解析式(化成一般形式);
(2)求铅球推出的距离.
解:(1)设二次函数的解析式为y＝a(x－4)2＋3,
把点0,53代入y＝a(x－4)2＋3,解得a＝－112,
则二次函数的解析式为y＝－112(x－4)2＋3＝－112x2＋23x＋53.
(2)由题意得－112x2＋23x＋53＝0,
解得x1＝－2(舍去),x2＝10,
即铅球推出的距离为10 m.
18.如图,某隧道的横截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是8 m、宽是2 m,抛物线的解析式为y＝－14x2＋4.一辆高4 m、宽2 m的货车正准备进入该隧道.
(1)如果该隧道为单行道,这辆货车能安全通过吗?
(2)如果该隧道内设双行道,中间遇车间隙为0.4 m,那么这辆货车是否可以通过?
解:(1)由题意,当x＝1时,y＝－14×12＋4＝3.75.
∵3.75＋2＝5.75>4,
∴这辆大货车能通过该隧道.
(2)由题意,当x＝2.2时,y＝－14×(2.2)2＋4＝2.79.
∵2.79＋2＝4.79>4,
∴这辆华车可以通过该隧道.
19.如图1,在地面上有两根等长的立柱AB,CD,它们之间悬挂了一根抛物线形状的绳子,按照图中的平面直角坐标系,这条绳子可以用y=110x2-45x+3表示.
(1)求这条绳子的最低点到地面的距离;
(2)现由于实际需要,要在两根立柱之间再加一根立柱EF对绳子进行支撑(如图2),已知立柱EF到AB的距离为3 m,两旁的绳子也是抛物线形状,且立柱EF左侧绳子的最低点到EF的距离为1 m,到地面的距离为1.8 m,求立柱EF的长.
解:(1)因为y=110x2-45x+3=110(x-4)2+75,所以抛物线的顶点坐标为4,75,则这条绳子的最低点到地面的距离为75 m.
(2)对于y=110x2-45x+3,当x=0时,y=3,即点A的坐标为(0,3).
由题意,立柱EF左侧绳子所在抛物线的顶点为(2,1.8),所以可设其解析式为y=a(x-2)2+1.8,
把x=0,y=3代入,得3=a(0-2)2+1.8,解得a=310,
所以y=310(x-2)2+1.8.
当x=3时,y=310×(3-2)2+1.8=2.1,
所以立柱EF的长为2.1 m.
20.如图，需在一面墙上绘制几个相同的“抛物线”形图案．按照图中的直角坐标系，最左边的抛物线可以用y＝ax2＋bx(a≠0)表示．已知抛物线上B，C两点到地面的距离均为eq \f(3,4) m，到墙边OA的距离分别为eq \f(1,2) m，eq \f(3,2) m.
(1)求该抛物线对应的函数关系式，并求图案最高点到地面的距离；
解：根据题意得B点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,4)))，C点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(3,4))).
把B，C两点的坐标分别代入y＝ax2＋bx，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)a＋\f(1,2)b＝\f(3,4)，,\f(9,4)a＋\f(3,2)b＝\f(3,4)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝2，))
∴此抛物线对应的函数关系式为y＝－x2＋2x；图案最高点到地面的距离为eq \f(－22,4×（－1）)＝1(m)．
(2)若该墙的长度为10 m，则最多可以连续绘制几个这样的“抛物线”形图案？
解：令y＝0，即－x2＋2x＝0，
解得x1＝0，x2＝2.
∴10÷2＝5(个)．
∴最多可以连续绘制5个这样的“抛物线”形图案．
21.(2020·绍兴)如图①，排球场长为18 m，宽为9 m，网高为2.24 m，队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9 m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88 m，即BA＝2.88 m，这时水平距离OB＝7 m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图②所示．
(1)若球向正前方运动(即x轴垂直于底线)，求球运动的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式(不必写出x的取值范围)．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由．
解：设抛物线的解析式为y＝a(x－7)2＋2.88，
将x＝0，y＝1.9代入上式并解得a＝－eq \f(1,50)，
故抛物线的解析式为y＝－eq \f(1,50)(x－7)2＋2.88.
当x＝9时，y＝－eq \f(1,50)(x－7)2＋2.88＝2.8＞2.24；
当x＝18时，y＝－eq \f(1,50)(x－7)2＋2.88＝0.46＞0，
故这次发球过网，但是出界了．
(2)若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P(如图①，点P距底线1 m，边线0.5 m)，问发球点O在底线上的哪个位置(参考数据：eq \r(2)取1.4)?
解：如图，过点P作底线的平行线PQ，过点O作边线的平行线OQ，两线交于点Q，连接PO.
易知∠PQO＝90°.
在Rt△OPQ中，OQ＝18－1＝17(m)．
当y＝0时，y＝－eq \f(1,50)(x－7)2＋2.88＝0，
解得x＝19或x＝－5(舍去)，∴OP＝19 m.
而OQ＝17 m，∴PQ＝6eq \r(2)≈8.4(m)．
∴9－8.4－0.5＝0.1(m)．
答：发球点O在底线上且距右边线0.1 m处．
22.(2020·台州)用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观如图①.
科学原理：如图②，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为H(单位：cm)，如果在离水面竖直距离为h(单位：cm)的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程(水流落地点离小孔的水平距离)s(单位：cm)与h的关系为s2＝4h(H－h)．
应用思考：现用高度为20 cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离h cm处开一个小孔．
(1)写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少？
解：∵s2＝4h(H－h)，
∴当H＝20时，s2＝4h(20－h)＝－4(h－10)2＋400.
∴当h＝10时，s2有最大值400.
∴s有最大值20.
∴当h为10时，射程s有最大值，最大射程是20 cm.
(2)在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b(单位：cm)，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式．
解：要使两孔射出水的射程相同，则有4a(20－a)＝4b(20－b)，
∴20a－a2＝20b－b2，
即(a－b)(a＋b－20)＝0.
∴a－b＝0或a＋b－20＝0.
∴a＝b或a＋b＝20.
(3)如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16 cm，求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离．
解：设垫高的高度为m(单位：cm)，
则s2＝4h(20＋m－h)＝－4(h－eq \f(20＋m,2))2＋(20＋m)2，
∴当h＝eq \f(20＋m,2)时，s有最大值，为20＋m＝20＋16.
∴m＝16，此时h＝eq \f(20＋m,2)＝18.
答：垫高的高度为16 cm，小孔离水面的竖直距离为18 cm.
23.某校进行了一场足球比赛,比赛场上守门员小王在O处开出一高球,球从离地面1米的A处飞出(A在y轴上),运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M,距地面约4米高,球落地后又一次弹起.据试验测算,足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同,最大高度减少到原来最大高度的一半.
(1)求足球开始飞出到第一次落地时,该抛物线的解析式.
(2)足球第一次落地点C距守门员多少米?(取43≈7)
(3)运动员乙要抢到足球第二个落地点D,他应再向前跑多少米?(取26≈5)
解:(1)根据题意,该抛物线的解析式为y＝－112(x－6)2＋4或y＝−112x2＋x＋1.
(2)令y＝0,得－112(x－6)2＋4＝0,解得x1＝43＋6≈13,x2＝－43＋6<0(舍去),所以足球第一次落地点C距守门员13米.
(3)如图,足球第二次弹出后的距离为CD,根据题意知CD＝EF(即相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位长度),
所以－112(x－6)2＋4＝2,解得x1＝6－26,x2＝6＋26,
所以CD＝x2－x1＝46≈10,所以BD＝13－6＋10＝17(米).
答:运动员乙要抢到足球第二个落地点D,他应再向前跑17米.
t
0
1
2
3
4
5
6
7
…
h
0
8
14
18
20
20
18
14
…
一、选择题
1.如图,某拱桥呈抛物线形状,桥的最大高度是16米,跨度是40米,则在线段AB上离中心M处5米的地方,桥的高度是( )
A.15米B.14米C.13米D.12米
第1题图 第2题图
2.某公园草坪的防护栏是由150段形状相同的抛物线组成的.如图是其中一段抛物线,为了牢固起见,每段护栏需要间距0.4 m加设一根不锈钢的支柱,防护栏的最高点距底部0.5 m,则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为( )
A.240 mB.200 m
C.160 mD.150 m
3.小明在进行物理实验时竖直向上抛一个小球,小球上升的高度h(m)与运动时间t(s)的函数关系式为h＝at2＋bt,图象如图所示.若小球在抛出后第2 s与第6 s时的高度相等,则下列时刻中小球的高度最高的是( )
A.第3 sB.第3.9 s
C.第4.5 sD.第6.5 s
4.滑雪者从山坡上滑下,其滑行距离s(m)与滑行时间t(s)之间的关系可以近似地用二次函数刻画,其图象如图所示,根据图象,当滑行时间为4 s时,滑行距离为( )
A.40 mB.48 mC.56 mD.72 m
5.位于中国贵州省内的射电望远镜(FAST)是目前世界上口径最大、精度最高的望远镜.根据有关资料显示,该望远镜的轴截面呈抛物线状,口径AB为500米,最低点C到口径面AB的距离是100米.若按如图2建立平面直角坐标系,则抛物线的解析式是( )
A.y＝1625x2－100B.y＝－1625x2－100
C.y＝1625x2D.y＝－1625x2
6.超市有一种果冻礼盒,内装两个上下倒置的果冻,果冻高为4 cm,底面是个直径为6 cm的圆,轴截面可以近似地看作一个抛物线.为了节省成本,包装应尽可能的小,这个包装盒的长AD(不计重合部分,两个果冻之间没有挤压)至少为( )
A.(6+32)cmB.(6+23)cm
C.(6+25)cmD.(6+35)cm
7.(2020·山西)竖直上抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系可以近似地用公式h＝－5t2＋v0t＋h0表示，其中h0(m)是物体抛出时离地面的高度，v0(m/s)是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5 m的高处以20 m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为( )
A．23.5 m B．22.5 m
C．21.5 m D．20.5 m
8.(中考·临沂)足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间t(单位：s)之间的关系如下表：
下列结论：①足球距离地面的最大高度为20 m；②足球飞行路线的对称轴是直线t＝eq \f(9,2)；
③足球被踢出9 s时落地；
④足球被踢出1.5 s时，距离地面的高度是11 m.
其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
9.(中考·巴中)一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4 m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5 m时，达到最大高度3.5 m，然后准确落入篮筐内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05 m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是( )
A．此抛物线对应的解析式是y＝－eq \f(1,5)x2＋3.5
B．篮圈中心的坐标是(4，3.05)
C．此抛物线的顶点坐标是(3.5，0)
D．篮球出手时离地面的高度是2 m
10.(2020·绵阳)三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同(如图)．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米．若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为( )
A．4eq \r(3)米 B．5eq \r(2)米 C．2eq \r(13)米 D．7米
二、填空题
11.图1是一款优雅且稳定的抛物线型落地灯.防滑螺母C为抛物线支架的最高点,灯罩D距离地面1.86 m,灯柱AB及支架的相关数据如图2所示.若茶几摆放在灯罩的正下方,则茶几到灯柱的距离AE为 m.
12.某飞机着陆后滑行的路程s(m)与滑行时间t(s)的函数关系式为s＝60t－1.5t2,则飞机着陆后直至完全停下来,滑行了 m.
13.一位运动员在距篮下4m处跳起投篮,球运行的路线是抛物线.当球运行的水平距离为2.5m时,达到最大高度3.5m,然后准确落入篮圈.如图所示,已知篮圈中心到地面的距离为3.05m,该运动员身高1.9m.在这次跳投中,球在头顶上方0.25m处出手,则球出手时,他跳离地面的高度是 .
14.如图,小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子,给他做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米,绳子自然下垂呈抛物线状.身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时,头部刚好接触到绳子,则绳子的最低点到地面的距离为 米.
15.(中考·武汉)飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)关于滑行时间t(单位：s)的函数解析式是y＝60t－eq \f(3,2)t2.在飞机着陆滑行中，最后4 s滑行的距离是________m.
三、解答题
16.如图是丁丁设计的一款杯子的平面图,建立平面直角坐标系后杯子的上半部分是二次函数y＝2x2＋8的图象的一部分.若AB＝4,DE＝3,求杯子的高CE.
17.如图,一名男生推铅球,铅球行进的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系是二次函数的关系.铅球行进起点的高度为53 m,行进到水平距离为4 m时达到最高处,最大高度为3 m.
(1)以地面为x轴,以过铅球行进起点且垂直于地面的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,求该二次函数的解析式(化成一般形式);
(2)求铅球推出的距离.
18.如图,某隧道的横截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是8 m、宽是2 m,抛物线的解析式为y＝－14x2＋4.一辆高4 m、宽2 m的货车正准备进入该隧道.
(1)如果该隧道为单行道,这辆货车能安全通过吗?
(2)如果该隧道内设双行道,中间遇车间隙为0.4 m,那么这辆货车是否可以通过?
19.如图1,在地面上有两根等长的立柱AB,CD,它们之间悬挂了一根抛物线形状的绳子,按照图中的平面直角坐标系,这条绳子可以用y=110x2－45x+3表示.
(1)求这条绳子的最低点到地面的距离;
(2)现由于实际需要,要在两根立柱之间再加一根立柱EF对绳子进行支撑(如图2),已知立柱EF到AB的距离为3 m,两旁的绳子也是抛物线形状,且立柱EF左侧绳子的最低点到EF的距离为1 m,到地面的距离为1.8 m,求立柱EF的长.
20.如图，需在一面墙上绘制几个相同的“抛物线”形图案．按照图中的直角坐标系，最左边的抛物线可以用y＝ax2＋bx(a≠0)表示．已知抛物线上B，C两点到地面的距离均为eq \f(3,4)m，到墙边OA的距离分别为eq \f(1,2)m，eq \f(3,2)m.
(1)求该抛物线对应的函数关系式，并求图案最高点到地面的距离；
(2)若该墙的长度为10m，则最多可以连续绘制几个这样的“抛物线”形图案？
21.(2020·绍兴)如图①，排球场长为18 m，宽为9 m，网高为2.24 m，队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9 m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88 m，即BA＝2.88 m，这时水平距离OB＝7 m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图②所示．
(1)若球向正前方运动(即x轴垂直于底线)，求球运动的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式(不必写出x的取值范围)．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由．
(2)若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P(如图①，点P距底线1 m，边线0.5 m)，问发球点O在底线上的哪个位置(参考数据：eq \r(2)取1.4)?
22.(2020·台州)用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观如图①.
科学原理：如图②，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为H(单位：cm)，如果在离水面竖直距离为h(单位：cm)的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程(水流落地点离小孔的水平距离)s(单位：cm)与h的关系为s2＝4h(H－h)．
应用思考：现用高度为20 cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离h cm处开一个小孔．
(1)写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少？
(2)在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b(单位：cm)，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式．
(3)如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16 cm，求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离．
23.某校进行了一场足球比赛,比赛场上守门员小王在O处开出一高球,球从离地面1米的A处飞出(A在y轴上),运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M,距地面约4米高,球落地后又一次弹起.据试验测算,足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同,最大高度减少到原来最大高度的一半.
(1)求足球开始飞出到第一次落地时,该抛物线的解析式.
(2)足球第一次落地点C距守门员多少米?(取43≈7)
(3)运动员乙要抢到足球第二个落地点D,他应再向前跑多少米?(取26≈5)
t
0
1
2
3
4
5
6
7
…
h
0
8
14
18
20
20
18
14
…
参考答案
一、选择题
1.如图,某拱桥呈抛物线形状,桥的最大高度是16米,跨度是40米,则在线段AB上离中心M处5米的地方,桥的高度是(A)
A.15米B.14米C.13米D.12米
第1题图 第2题图
2.某公园草坪的防护栏是由150段形状相同的抛物线组成的.如图是其中一段抛物线,为了牢固起见,每段护栏需要间距0.4 m加设一根不锈钢的支柱,防护栏的最高点距底部0.5 m,则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为(A)
A.240 mB.200 m
C.160 mD.150 m
3.小明在进行物理实验时竖直向上抛一个小球,小球上升的高度h(m)与运动时间t(s)的函数关系式为h＝at2＋bt,图象如图所示.若小球在抛出后第2 s与第6 s时的高度相等,则下列时刻中小球的高度最高的是(B)
A.第3 sB.第3.9 s
C.第4.5 sD.第6.5 s
4.滑雪者从山坡上滑下,其滑行距离s(m)与滑行时间t(s)之间的关系可以近似地用二次函数刻画,其图象如图所示,根据图象,当滑行时间为4 s时,滑行距离为(B)
A.40 mB.48 mC.56 mD.72 m
5.位于中国贵州省内的射电望远镜(FAST)是目前世界上口径最大、精度最高的望远镜.根据有关资料显示,该望远镜的轴截面呈抛物线状,口径AB为500米,最低点C到口径面AB的距离是100米.若按如图2建立平面直角坐标系,则抛物线的解析式是(A)
A.y＝1625x2－100B.y＝－1625x2－100
C.y＝1625x2D.y＝－1625x2
6.超市有一种果冻礼盒,内装两个上下倒置的果冻,果冻高为4 cm,底面是个直径为6 cm的圆,轴截面可以近似地看作一个抛物线.为了节省成本,包装应尽可能的小,这个包装盒的长AD(不计重合部分,两个果冻之间没有挤压)至少为( A )
A.(6+32)cmB.(6+23)cm
C.(6+25)cmD.(6+35)cm
7.(2020·山西)竖直上抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系可以近似地用公式h＝－5t2＋v0t＋h0表示，其中h0(m)是物体抛出时离地面的高度，v0(m/s)是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5 m的高处以20 m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为( C )
A．23.5 m B．22.5 m
C．21.5 m D．20.5 m
8.(中考·临沂)足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间t(单位：s)之间的关系如下表：
下列结论：①足球距离地面的最大高度为20 m；②足球飞行路线的对称轴是直线t＝eq \f(9,2)；
③足球被踢出9 s时落地；
④足球被踢出1.5 s时，距离地面的高度是11 m.
其中正确结论的个数是( B )
A．1 B．2
C．3 D．4
9.(中考·巴中)一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4 m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5 m时，达到最大高度3.5 m，然后准确落入篮筐内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05 m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是( )
A．此抛物线对应的解析式是y＝－eq \f(1,5)x2＋3.5
B．篮圈中心的坐标是(4，3.05)
C．此抛物线的顶点坐标是(3.5，0)
D．篮球出手时离地面的高度是2 m
【点拨】A.∵抛物线的顶点坐标为(0，3.5)，∴可设抛物线对应的函数解析式为y＝ax2＋3.5.
∵篮圈中心(1.5，3.05)在抛物线上，将它的坐标代入上式，得3.05＝a×1.52＋3.5，∴a＝－eq \f(1,5).
∴y＝－eq \f(1,5)x2＋3.5.故本选项正确．
B．由题图知，篮圈中心的坐标是(1.5，3.05)，故本选项错误．
C．由题图知，此抛物线的顶点坐标是(0，3.5)，故本选项错误．
D．设这次跳投时，篮球出手时离地面的高度是h m，∵y＝－eq \f(1,5)x2＋3.5，
∴当x＝－2.5时，h＝－eq \f(1,5)×(－2.5)2＋3.5＝2.25.
∴这次跳投时，篮球出手时离地面的高度是2.25 m．故本选项错误．
【答案】A
10.(2020·绵阳)三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同(如图)．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米．若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为( )
A．4eq \r(3)米 B．5eq \r(2)米 C．2eq \r(13)米 D．7米
【点拨】建立如图所示的平面直角坐标系．
由题意可得MN＝4米，EF＝14米，BC＝10米，DO＝eq \f(3,2)米．
设大孔所在抛物线的解析式为y＝ax2＋eq \f(3,2).
∵点B(－5，0)，∴0＝a×(－5)2＋eq \f(3,2). ∴a＝－eq \f(3,50).
∴大孔所在抛物线的解析式为y＝－eq \f(3,50)x2＋eq \f(3,2).
设点A(b，0)，顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y＝m(x－b)2.
∵EF＝14米，∴点E的横坐标为－7.
∴点E的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－7，－\f(36,25))).
令－eq \f(36,25)＝m(x－b)2，解得x＝eq \f(6,5)eq \r(－\f(1,m))＋b或x＝－eq \f(6,5)eq \r(－\f(1,m))＋b.
∵MN＝4米，∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)\r(－\f(1,m))＋b－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(6,5)\r(－\f(1,m))＋b))))＝4.
∴m＝－eq \f(9,25).
∴顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y＝－eq \f(9,25)(x－b)2.
∵大孔水面宽度为20米，∴当x＝－10时，y＝－eq \f(9,2).
令－eq \f(9,2)＝－eq \f(9,25)(x－b)2，解得x＝eq \f(5\r(2),2)＋b或x＝－eq \f(5\r(2),2)＋b.
∴单个小孔的水面宽度＝[eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)\r(2)＋b))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)\r(2)＋b))]＝5eq \r(2)(米)．
【答案】B
二、填空题
11.图1是一款优雅且稳定的抛物线型落地灯.防滑螺母C为抛物线支架的最高点,灯罩D距离地面1.86 m,灯柱AB及支架的相关数据如图2所示.若茶几摆放在灯罩的正下方,则茶几到灯柱的距离AE为 2.7 m.
12.某飞机着陆后滑行的路程s(m)与滑行时间t(s)的函数关系式为s＝60t－1.5t2,则飞机着陆后直至完全停下来,滑行了 600 m.
13.一位运动员在距篮下4m处跳起投篮,球运行的路线是抛物线.当球运行的水平距离为2.5m时,达到最大高度3.5m,然后准确落入篮圈.如图所示,已知篮圈中心到地面的距离为3.05m,该运动员身高1.9m.在这次跳投中,球在头顶上方0.25m处出手,则球出手时,他跳离地面的高度是 0.1 m .
14.如图,小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子,给他做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米,绳子自然下垂呈抛物线状.身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时,头部刚好接触到绳子,则绳子的最低点到地面的距离为 0.5 米.
15.(中考·武汉)飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)关于滑行时间t(单位：s)的函数解析式是y＝60t－eq \f(3,2)t2.在飞机着陆滑行中，最后4 s滑行的距离是________m.
【点拨】当y取得最大值时，飞机停下来．因为y＝60t－eq \f(3,2)t2＝－eq \f(3,2)(t－20)2＋600，所以t＝20时，飞机着陆后滑行600 m才能停下来．
因此t的取值范围是0≤t≤20.
当t＝16时，y＝576，所以600－576＝24(m)．
【答案】24
三、解答题
16.如图是丁丁设计的一款杯子的平面图,建立平面直角坐标系后杯子的上半部分是二次函数y＝2x2＋8的图象的一部分.若AB＝4,DE＝3,求杯子的高CE.
解:由题意可得,点D的坐标为(0,8).
∵AB＝4,∴点B的横坐标为2,当x＝2时,y＝2×4＋8＝16,即点B的坐标为(2,16),
∴CD＝16－8＝8,∴CE＝CD＋DE＝8＋3＝11.
17.如图,一名男生推铅球,铅球行进的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系是二次函数的关系.铅球行进起点的高度为53 m,行进到水平距离为4 m时达到最高处,最大高度为3 m.
(1)以地面为x轴,以过铅球行进起点且垂直于地面的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,求该二次函数的解析式(化成一般形式);
(2)求铅球推出的距离.
解:(1)设二次函数的解析式为y＝a(x－4)2＋3,
把点0,53代入y＝a(x－4)2＋3,解得a＝－112,
则二次函数的解析式为y＝－112(x－4)2＋3＝－112x2＋23x＋53.
(2)由题意得－112x2＋23x＋53＝0,
解得x1＝－2(舍去),x2＝10,
即铅球推出的距离为10 m.
18.如图,某隧道的横截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是8 m、宽是2 m,抛物线的解析式为y＝－14x2＋4.一辆高4 m、宽2 m的货车正准备进入该隧道.
(1)如果该隧道为单行道,这辆货车能安全通过吗?
(2)如果该隧道内设双行道,中间遇车间隙为0.4 m,那么这辆货车是否可以通过?
解:(1)由题意,当x＝1时,y＝－14×12＋4＝3.75.
∵3.75＋2＝5.75>4,
∴这辆大货车能通过该隧道.
(2)由题意,当x＝2.2时,y＝－14×(2.2)2＋4＝2.79.
∵2.79＋2＝4.79>4,
∴这辆华车可以通过该隧道.
19.如图1,在地面上有两根等长的立柱AB,CD,它们之间悬挂了一根抛物线形状的绳子,按照图中的平面直角坐标系,这条绳子可以用y=110x2-45x+3表示.
(1)求这条绳子的最低点到地面的距离;
(2)现由于实际需要,要在两根立柱之间再加一根立柱EF对绳子进行支撑(如图2),已知立柱EF到AB的距离为3 m,两旁的绳子也是抛物线形状,且立柱EF左侧绳子的最低点到EF的距离为1 m,到地面的距离为1.8 m,求立柱EF的长.
解:(1)因为y=110x2-45x+3=110(x-4)2+75,所以抛物线的顶点坐标为4,75,则这条绳子的最低点到地面的距离为75 m.
(2)对于y=110x2-45x+3,当x=0时,y=3,即点A的坐标为(0,3).
由题意,立柱EF左侧绳子所在抛物线的顶点为(2,1.8),所以可设其解析式为y=a(x-2)2+1.8,
把x=0,y=3代入,得3=a(0-2)2+1.8,解得a=310,
所以y=310(x-2)2+1.8.
当x=3时,y=310×(3-2)2+1.8=2.1,
所以立柱EF的长为2.1 m.
20.如图，需在一面墙上绘制几个相同的“抛物线”形图案．按照图中的直角坐标系，最左边的抛物线可以用y＝ax2＋bx(a≠0)表示．已知抛物线上B，C两点到地面的距离均为eq \f(3,4) m，到墙边OA的距离分别为eq \f(1,2) m，eq \f(3,2) m.
(1)求该抛物线对应的函数关系式，并求图案最高点到地面的距离；
解：根据题意得B点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,4)))，C点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(3,4))).
把B，C两点的坐标分别代入y＝ax2＋bx，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)a＋\f(1,2)b＝\f(3,4)，,\f(9,4)a＋\f(3,2)b＝\f(3,4)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝2，))
∴此抛物线对应的函数关系式为y＝－x2＋2x；图案最高点到地面的距离为eq \f(－22,4×（－1）)＝1(m)．
(2)若该墙的长度为10 m，则最多可以连续绘制几个这样的“抛物线”形图案？
解：令y＝0，即－x2＋2x＝0，
解得x1＝0，x2＝2.
∴10÷2＝5(个)．
∴最多可以连续绘制5个这样的“抛物线”形图案．
21.(2020·绍兴)如图①，排球场长为18 m，宽为9 m，网高为2.24 m，队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9 m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88 m，即BA＝2.88 m，这时水平距离OB＝7 m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图②所示．
(1)若球向正前方运动(即x轴垂直于底线)，求球运动的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式(不必写出x的取值范围)．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由．
解：设抛物线的解析式为y＝a(x－7)2＋2.88，
将x＝0，y＝1.9代入上式并解得a＝－eq \f(1,50)，
故抛物线的解析式为y＝－eq \f(1,50)(x－7)2＋2.88.
当x＝9时，y＝－eq \f(1,50)(x－7)2＋2.88＝2.8＞2.24；
当x＝18时，y＝－eq \f(1,50)(x－7)2＋2.88＝0.46＞0，
故这次发球过网，但是出界了．
(2)若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P(如图①，点P距底线1 m，边线0.5 m)，问发球点O在底线上的哪个位置(参考数据：eq \r(2)取1.4)?
解：如图，过点P作底线的平行线PQ，过点O作边线的平行线OQ，两线交于点Q，连接PO.
易知∠PQO＝90°.
在Rt△OPQ中，OQ＝18－1＝17(m)．
当y＝0时，y＝－eq \f(1,50)(x－7)2＋2.88＝0，
解得x＝19或x＝－5(舍去)，∴OP＝19 m.
而OQ＝17 m，∴PQ＝6eq \r(2)≈8.4(m)．
∴9－8.4－0.5＝0.1(m)．
答：发球点O在底线上且距右边线0.1 m处．
22.(2020·台州)用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观如图①.
科学原理：如图②，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为H(单位：cm)，如果在离水面竖直距离为h(单位：cm)的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程(水流落地点离小孔的水平距离)s(单位：cm)与h的关系为s2＝4h(H－h)．
应用思考：现用高度为20 cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离h cm处开一个小孔．
(1)写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少？
解：∵s2＝4h(H－h)，
∴当H＝20时，s2＝4h(20－h)＝－4(h－10)2＋400.
∴当h＝10时，s2有最大值400.
∴s有最大值20.
∴当h为10时，射程s有最大值，最大射程是20 cm.
(2)在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b(单位：cm)，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式．
解：要使两孔射出水的射程相同，则有4a(20－a)＝4b(20－b)，
∴20a－a2＝20b－b2，
即(a－b)(a＋b－20)＝0.
∴a－b＝0或a＋b－20＝0.
∴a＝b或a＋b＝20.
(3)如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16 cm，求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离．
解：设垫高的高度为m(单位：cm)，
则s2＝4h(20＋m－h)＝－4(h－eq \f(20＋m,2))2＋(20＋m)2，
∴当h＝eq \f(20＋m,2)时，s有最大值，为20＋m＝20＋16.
∴m＝16，此时h＝eq \f(20＋m,2)＝18.
答：垫高的高度为16 cm，小孔离水面的竖直距离为18 cm.
23.某校进行了一场足球比赛,比赛场上守门员小王在O处开出一高球,球从离地面1米的A处飞出(A在y轴上),运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M,距地面约4米高,球落地后又一次弹起.据试验测算,足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同,最大高度减少到原来最大高度的一半.
(1)求足球开始飞出到第一次落地时,该抛物线的解析式.
(2)足球第一次落地点C距守门员多少米?(取43≈7)
(3)运动员乙要抢到足球第二个落地点D,他应再向前跑多少米?(取26≈5)
解:(1)根据题意,该抛物线的解析式为y＝－112(x－6)2＋4或y＝−112x2＋x＋1.
(2)令y＝0,得－112(x－6)2＋4＝0,解得x1＝43＋6≈13,x2＝－43＋6<0(舍去),所以足球第一次落地点C距守门员13米.
(3)如图,足球第二次弹出后的距离为CD,根据题意知CD＝EF(即相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位长度),
所以－112(x－6)2＋4＝2,解得x1＝6－26,x2＝6＋26,
所以CD＝x2－x1＝46≈10,所以BD＝13－6＋10＝17(米).
答:运动员乙要抢到足球第二个落地点D,他应再向前跑17米.
t
0
1
2
3
4
5
6
7
…
h
0
8
14
18
20
20
18
14
…
相关试卷
湘教版八年级下册第3章 图形与坐标3.1 平面直角坐标系课后测评： 这是一份湘教版八年级下册第3章 图形与坐标3.1 平面直角坐标系课后测评，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
【同步练习】人教版数学九年级上册--22.3.3 增长率及其它问题 课时练习(含解析)： 这是一份【同步练习】人教版数学九年级上册--22.3.3 增长率及其它问题 课时练习(含解析)，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
初中数学22.3 实际问题与二次函数精品课后练习题： 这是一份初中数学22.3 实际问题与二次函数精品课后练习题，文件包含人教版数学九年级上册223《实际问题与二次函数建立二次函数模型解决实际问题》解析版docx、人教版数学九年级上册223《实际问题与二次函数建立二次函数模型解决实际问题》原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共86页， 欢迎下载使用。
