初中数学浙教版八年级上册2.4 等腰三角形的判定定理练习题

浙教版2021年八年级上册数学同步练习卷

2.4 等腰三角形的判定定理

一、选择题

1．在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是（　　）

A．∠A=40°，∠B=50 B．∠A=40°，∠B=60°

C．∠A=40°，∠B=70 D．∠A=40°，∠B=80°

2．已知下列各组数据，能构成等腰三角形三边边长的是（　　）

A．2 , 2 , 1 B．1 , 2 , 1 C．1 , 3 , 1 D．2 , 2 , 5

3．下列两个三角形中，一定全等的是（    ）

A．有一个角是 40°，腰相等的两个等腰三角形

B．两个等边三角形

C．有一个角是 100°，底相等的两个等腰三角形

D．有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形

4．如图，是等边三角形，D，E，F为各边中点，则图中的等边三角形有（    ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

5．如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB＝10，BD＝6，则△ADE的周长为（　　）

A．4 B．30 C．18 D．12

6．若△ABC三条边的长度分别为m，n，p，且，则这个三角形为

A．等腰三角形 B．等边三角形

C．直角三角形 D．等腰直角三角形

7．已知等腰三角形的一边长为6，一个内角为60°，则它的周长是（    ）

A．12 B．15 C．18 D．20

8．△ABC中AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于D，则图中的等腰三角形有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

9．在下列命题中：①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的三角形是等边三角形；④三个外角都相等的三角形是等边三角形．正确的命题有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

10．如图，等腰中，分别为上的点，且，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

11．如图，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线交AC于点D，有下列结论：①∠C＝72°；②BD是∠ABC的平分线；③△ABD是等腰三角形；④△BCD是等腰三角形．其中正确的结论有(   )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

12．如下图，△MNP中，∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至G，取NG=NQ，若△MNP的周长为12，MQ=a，则△MGQ周长是（　　）

A．8+2a B．8+a C．6+a D．6+2a

二、填空题

13．等腰三角形的一个内角是，则它的顶角度数是_______________．

14．在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝70°，则△ABC是______________三角形．

15．已知：如图所示，点在的延长线上，，则的形状为___________

16．在△ABC中，高AD和BE所在直线交于点H，且BH=AC，则∠ABC=____．

17．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内的两点，AE平分∠BAC，∠D=∠DBC=60°，若BD=5cm，DE=3cm，则BC的长是 ______cm．

18．如图，△ABC中，AB=AC，D、E分别在CA、BA的延长线上，连接BD、CE，且∠D+∠E=180°，若BD=6，则CE的长为__．

三、解答题

19．如图，在中，，，是的垂直平分线．

（1）求证：是等腰三角形．

（2）若的周长是，，求的周长．（用含，的代数式表示）

20．已知中，，，为边上一点，过点的直线交及延长线于、两点，．

（1）求证；

（2）求证；

（3）若，，请直接写出的面积．

21．如图，在中，，点D，E，F分别在边上，且，．

（1）求证：是等腰三角形；

（2）求证：；

（3）当时，求的度数．

22．如图：已知 BAC=30°，AT平分BAC，TE∥AC．

（1）求证：是等腰三角形；

（2）若，垂足为点D，AE=4cm，求TD的长．

23．已知：如图，点B，C，D在同一直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形，BE交AC于点F，AD交CE于点H，

（1）求证：△BCE≌△ACD；

（2）求证：CF＝CH；

（3）判断△CFH的形状并说明理由．

参考答案

1．C

当顶角为∠A＝40°时，∠C＝70°≠∠B，当顶角为∠B＝50°时，∠C＝65°≠∠A，故A项错误；当顶角为∠A＝40°时，∠C＝70°≠∠B，当顶角为∠B＝60°时，∠C＝60°≠∠A，故B选项错误；当顶角为∠A＝40°时，∠C＝70°＝∠B，故C选项正确；当顶角为∠A＝40°时，∠C＝70°≠∠B，当顶角为∠B＝80°时，∠C＝50°≠∠A，故D项错误.因此选C.

2．A

解：A选项：2+1>2，能构成三角形，且有两边相等，故是正确的；

B选项：1+1=2,不能构成三角形，故是错误的；

C选项：1+1<3,不能构成三角形，故是错误的；

D选项：2+2<5,不能构成三角形，故是错误的；

3．C

解：A、不正确，没有指明该角是顶角还是底角；

B、不正确，虽然其角相等，但边不一定相等； SAS；

C、正确，分析得该角不顶角，符合判定

D、不正确，没有指明边与角具体是腰还是底边，是顶角还是底角．

4．D

∵为等边三角形，

∴．

∵D，E，F为各边中点，

∴，

∴为等边三角形，

∴，

∴为等边三角形，

∴题图中的等边三角形共有5个．

5．D

∵△ABC为等边三角形，

∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，

∵DE∥BC，

∴∠ADE＝∠AED＝∠B＝∠C＝60°，

∴△ADE为等边三角形，

∵AB＝10，BD＝6，

∴AD＝AB﹣BD＝10﹣6＝4，

∴△ADE的周长为12．

6．B

∵|m-n|+(n-p)2=0，

∴|m-n|=0，(n-p)2=0，

∴m=n，n=p，

∴m=n=p，

∴△ABC为等边三角形.

7．C

解：∵等腰三角形的一个内角为60°，

∴此等腰三角形是等边三角形.

∵一边长为6，

∴它的周长为18．

8．C

【解析】

试题分析：∵AB=AC，

∴△ABC是等腰三角形．

∵∠A=36°，

∴∠C=∠ABC=72°．

BD平分∠ABC交AC于D，

∴∠ABD=∠DBC=36°，

∵∠A=∠ABD=36°，

∴△ABD是等腰三角形．

∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C，

∴△BDC是等腰三角形．

∴共有3个等腰三角形．

9．C

解：①因为外角和与其对应的内角的和是180°，已知有一个外角是120°，即是有一个内角是60°，有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形．该结论正确；
②两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．该结论错误；
③等腰三角形的底边上的高和中线本来就是重合的，“有一边”可能是底边，故不能保证该三角形是等边三角形．该结论错误；
④三个外角都相等的三角形是等边三角形，说法正确，
正确的命题有2个，
10．A

如图，在上取点D，使，连接．设，则．

，

．

又，

，

，

，

，

为等边三角形，

，

，，

，

．

11．D

【解析】

已知∠A=36°，AB=AC，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得∠ABC=∠C=72°，①正确；由DM是AB的垂直平分线，可得DA=DB，所以∠DBA=∠A=36°，即可得∠DBC=∠ABC-∠DBA=36°，所以BD是∠ABC的平分线，②正确；由②的过程可知：△ABD是等腰三角形，△BCD是等腰三角形，③④都正确，所以①②③④正确，共4个．故选D．

12．D

【解析】

试题分析：由∠P=60°，MN=NP，可得△MNP是等边三角形，再根据等边三角形的“三线合一”的性质以及等腰三角形的判定，即可求得结果．

∵∠P=60°，MN=NP

∴△MNP是等边三角形．

又∵MQ⊥PN，垂足为Q，

∴PM=PN=MN=4，NQ=NG=2，MQ=a，∠QMN=30°，∠PNM=60°，

∵NG=NQ，

∴∠G=∠QMN，

∴QG=MQ=a，

∵△MNP的周长为12，

∴MN=4，NG=2，

∴△MGQ周长是6+2a．

故选D．

13．20度或80度

当80°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是80°；

当80°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°−80°×2＝20°．

故答案为：80°或20°．

14．等腰

解：∵在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝70°，

∴∠B=180°－∠A－∠C=70°

∴∠B=∠C

∴△ABC为等腰三角形

15．等边三角形

解：∵点在的延长线上，，

∴，

∵，

∴△ABC的形状为等边三角形．

故答案为：等边三角形．

16．45°或135°

解：分为三种情况：

①如图1，

、是的高，

，，

，，

，

在和中

，

，

，

，

，

②如图2，

，，

，

，

，

在和中，

，

，

，

，

，

，

；

③高和所在的直线交于点，

，

，，

，

在和中

，

，

，

，

17．8．

解：延长DE交BC于M，延长AE交BC于N，作EF∥BC于F，

∵AB=AC，AE平分∠BAC，

∴AN⊥BC，BN=CN，

∵∠DBC=∠D=60°，

∴△BDM为等边三角形，

∴△EFD为等边三角形，

∵BD=5，DE=3，

∴EM=2，

∵△BDM为等边三角形，

∴∠DMB=60°，

∵AN⊥BC，

∴∠ENM=90°，

∴∠NEM=30°，

∴NM=1，

∴BN=4，

∴BC=2BN=8（cm），

故答案为8．

18．6

解：

在AD上截取AF=AE，连接BF，如图所示：

AB=AC，∠FAB=∠EAC，

，

BF=EC，∠BFA=∠E，

∠D+∠E=180°，∠BFA+∠DFB=180°，

∠DFB=∠D，

BF=BD，

BD=6，

CE=6．

19．（1）详见解析；（2）a+b

（1）∵，

∴

∵是的垂直平分线

∴

∴

∵是的外角

∴

∴

∴

∴是等腰三角形；

（2）∵，的周长是

∴

∵

∴

∴的周长.

20．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）

证明：（1）

（2）如图，过作交于，

,，

,

，

，

，

 在与中，

（3）过作于，

，

，

，

，

，

，

，

，

21．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）70°

（1）∵，

∴，

在和中

∴，

∴，

∴是等腰三角形；

（2）∵，

∴，

∴；

（3）由（2）知，

∵，

∴．

22．（1）见解析；（2）2cm

解：（1）∵AT平分BAC．

∴∠EAT=∠TAD．

∵TE∥AC．

∴∠TAD=∠ETA．

∴∠EAT=∠ETA．

∴是等腰三角形．

（2）过点T作TFAB，垂足点F,

∵AT平分BAC，TFAB，．

∴据角平分线定理可得DT=TF．

∵在RT△TFE中，ET=4cm，∠FET=30°，则TF=2cm,

∴TD=2cm．

23．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）△CFH是等边三角形，理由见解析．

解：（1）∵∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠BCE=∠ACD．
又BC=AC、CE=CD，
∴△BCE≌△ACD．

（2）∵△BCE≌△ACD，
∴∠CBF=∠CAH．
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACH=60°．
∴∠BCF=∠ACH．
又BC=AC，
∴△BCF≌△ACH．
∴CF=CH．

（3）∵CF=CH，∠ACH=60°，
∴△CFH是等边三角形．