初中数学浙教版八年级上册2.3 等腰三角形的性质定理同步达标检测题

浙教版2021年八年级上册数学同步练习卷

2.3 等腰三角形的性质定理

一、选择题

1．等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则顶角的度数是(    )

A．30° B．60° C．30°或150° D．不能确定

2．如图所示，已知，等边的顶点B在直线n上，，则∠2的度数是（    ）

A． B． C． D．

3．如图，在中，，为边上的中线，，则的度数为（    ）．

A．55° B．65° C．75° D．45°

4．下列结论错误的是(    )

A．等腰三角形的底角必为锐角；

B．等腰三角形的底角等于顶角的一半

C．等腰三角形的腰一定大于底边的一半

D．等腰直角三角形底边上的高等于底边的一半

5．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，CD交BE 于点F，那么图中的等腰三角形共有(     )个.

A．6 B．7 C．8 D．9

6．如图，若是等边三角形，，是的平分线，延长到，使，则

A．7 B．8 C．9 D．10

7．在等腰△ABC中，AB＝AC，D、E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在△ABC的（　　）

A．重心 B．内心 C．外心 D．不能确定

8．如图，等边中，，与相交于点，则的度数是（    ）

A． B． C． D．

9．如图，已知是等边三角形，点、，、在同一直线上，且，，则

A． B． C． D．

10．如图，在四边形ABCD中，AC，BD为对角线，AB＝BC＝AC＝BD，则∠ADC的大小为(　  　)

A．120° B．135° C．145° D．150°

11．已知等腰△ABC的周长为18cm，BC＝8cm，若△ABC与△A′B′C′全等，则△A′B′C′的腰长等于（　　）

A．8cm B．2cm或8cm C．5cm D．8cm或5cm

12．如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，且AE=CD，AD与BE相交于点F，则∠BFD的度数为（　　）

A．45° B．90° C．60° D．30°

二、填空题

13．已知等腰三角形一个角是，则它的底角等于________________．

14．在△ABC中，∠A＝40°，当∠B＝_____时，△ABC是等腰三角形．

15．如图，在中，的垂直平分线分别交、于点E、F．若是等边三角形，则_________°．

16．如图，在等边三角形ABC中，BD=CE,AD,BE交于点F,则_________;

17．如图，等边的边长为，、分别是、上的点，将沿直线折叠，点落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为__________.

18．如图，等边三角形的周长为，、两点分别从、两点同时出发，点以的速度按顺时针方向在三角形的边上运动，点以的速度按逆时针方向在三角形的边上运动，设、两点第一次在三角形的顶点处相遇的时间为，第二次在三角形顶点处相遇的时间为，则__．

三、解答题

19．已知如图，四边形中，，，求证：．

20．如图，在中，平分交于点D，若，求的度数．

21．如图，△ABC中，CB=AC=BD，CD=AD， 求△ABC中各角的度数？

22．如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上一点，以CD为边作等边△CDE，使点E，A在直线DC的同侧，连接AE，判断AE与BC的位置关系，并说明理由．

23．（1）如图（a）所示在等边中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等边连接CN．求证：．

（2）如图（b）所示，在等边中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C）．若其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．

参考答案

1．C

本题分两种情况讨论：

（1）当BD在三角形内部时．

∵BDAB，∠ADB=90°，

∴∠A=30°；

（2）当BD在三角形外部时．

∵BDAB，∠ADB=90°，

∴∠DAB=30°，

∴∠BAC=180°﹣∠DAB=180°-30°=150°．

2．B

过点C作

∵，

∴

∵

∴

∵是等边三角形

∴

∴

∴

3．B

∵AB=AC，AD是BC边上的中线，

∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，

∴∠B+∠BAD=90°，

∵∠B=25°，

∴∠BAD=65°，

4．B

选项A，根据三角形的内角和定理可知等腰三角形的底角必为锐角，选项A正确；

选项B，等腰三角形的底角不一定等于顶角的一半，如30°、30°120°的等腰三角形，选项B错误；

选项C，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的腰一定大于底边的一半，选项C正确；

选项D，根据等腰直角三角形的性质可得等腰直角三角形底边上的高等于底边的一半，选项D正确.

5．C

∵AB=AC，∠A=36°，

∴∠ABC=∠ACB=72°；

∵CD、BE分别平分∠ABC、∠ACB，

∴∠ABE=∠ACD=∠EBC=∠DCB=36°，

∴△ABE、△ACD、△BFC为等腰三角形，

∵∠BDC=∠A+∠ACD，∠BEC=∠A+∠ABE，

∴∠BDC=∠BEC=72°，

∴∠CFE=∠BFD=180°-∠ABE-∠BDC=180°-36°-72°=72°，

∴∠BDF=∠BFD，∠CFE=∠CEF，∠DBC=∠BDC，∠BCE=∠BEC，

∴△BDF、△CEF、△BDC，△BEC为等腰三角形，

又△ABC为等腰三角形，

∴图中的等腰三角形共有8个，

故选C.

6．C

解：由于△ABC是等边三角形，则其三边相等，BD也是AC的垂直平分线，即AB=BC=CA=6，AD=DC=3，已知CE=CD,则CE=3.而BE=BC+CE，因此BE=6+3=9.

7．A

取AB的中点F，连接EF，连接CF交AD于P′，如图，

∵E点为AC的中点，

∴EF为△ABC的中位线，

∴EF∥BC，

∵AB＝AC，点D为BC的中点，

∴AD⊥BC，

∴AD⊥EF，

∵AE＝AF＝AB，

∴AD垂直平分EF，

∴P′E＝P′F，

∴P′C+P′E＝P′C+P′F＝CF，

∴此时P′C+P′E的值最小，△P′CE的周长最小，

而P′点为△ABC的中线AD和CF的交点，即P′点为△ABC的重心．

8．C

解：∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC，∠ABD＝∠C，

又∵BD＝CE，

∴△ABD≌△BCE（SAS），

∴∠BAD＝∠CBE，

∵∠ABE＋∠CBE＝60°，

∴∠ABE＋∠BAD＝60°，

∴∠APE＝∠ABE＋∠BAD＝60°，

9．C

如图所示：

∵△ABC是等边三角形，

∴∠B＝∠1＝60°，

∵CD＝CG，

∴∠CGD＝∠2，

∴∠1＝2∠2，

同理有∠2＝2∠E，

∴4∠E＝60°，

∴∠E＝15°．

10．D

∵AB＝BC＝AC，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠ABC＝60°，

∵AB＝BC＝BD，

∴∠ADB＝（180°−∠ABD），

∠BDC＝（180°−∠CBD），

∴∠ADC＝∠ADB＋∠BDC，

＝（180°−∠ABD）＋（180°−∠CBD），

＝（180°＋180°−∠ABD−∠CBD），

＝（360°−∠ABC），

＝180°−×60°，

＝150°．

11．D

分析：因为BC是腰是底不确定，因而有两种可能，当BC是底时，△ABC的腰长是5cm，当BC是腰时，腰长就是8cm，且均能构成三角形，因为△A′B′C′与△ABC全等，所以△A′B′C′的腰长也有两种相同的情况：8cm或5cm．

详解：分为两种情况：当BC是底时，△ABC的腰长是5cm，

∵△ABC与△A′B′C′全等，

∴△A′B′C′的腰长也是5cm；

当BC是腰时，腰长就是8cm，且均能构成三角形，

∵△A′B′C′与△ABC全等，

∴△A′B′C′的腰长也等于8cm，

即△A′B′C′的腰长为8cm或5cm，

12．C

解：∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠BAE=∠C=60°，

在△ABE和△CAD中，

∵AB=AC，

∠BAE=∠C，

AE=CD，

∴△ABE≌△CAD(SAS)，

∴∠ABE=∠CAD，

∴∠BFD=∠ABE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60∘

13．，；

根据三角形的内角和定理，100°的内角是顶角，所以两个底角为： =40.故两个底角为，.

14．40°或70°或100°

①∠B=∠A=40°，此时∠C=100°，符合题意；

②∠B=∠C==70°，符合题意；

③∠A=∠C=40°，此时∠B=100°，符合题意；

故填40°或70°或100°

15．30

解：∵EF垂直平分BC，

∴BF=CF，

∴∠B=∠BCF，

∵△ACF为等边三角形，

∴∠AFC=60°，

∴∠B=∠BCF=30°.

故答案为：30.

16．60°

解：在等边△ABC中，AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
在△ABD和△BCE中，
∵，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE，
在△ABF中，∠AFE=∠BAD+∠ABF=∠CBE+∠ABF=∠ABC=60°，
即∠AFE=60°．
17．3

解：由折叠性质可得，，

所以.

故答案为：3.

18．

解：等边三角形的周长为，

的边长为，

由题意知，、第一次时间为，

以后每隔，、就会相遇一次，

设、相遇次数为次，

则当（为正整数）时，、两点就在三角形的顶点处相遇，

整理得：，

（为正整数），

当时，即时，、两点第二次在三角形的顶点处相遇，

则，．

19．详见解析.

解：连接，

∵AB=AC，AD=CD，

∴∠BAC=∠BCA，∠DAC=∠DCA，

∴∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA，

即．

20．

解：如图，在上截取，连接．

∵平分，

．

∵，

，

∴

∵，，

∴，

∴，

∴．

∵，

∴．

设，

则．

∵在中，，

解得，

∴．

21．∠BCA=108°，∠B=∠A=36°．

设

22．AE∥BC，理由见解析．

证明：∵△ABC和△DEC是等边三角形，

∴BC=AC，CD=CE，∠BCA=∠ECD=60°，∠B=60°，

∴∠BCA﹣∠DCA=∠ECD﹣∠DCA，

即∠BCD=∠ACE，

在△ACE和△BCD中，

，

∴△ACE≌△BCD（SAS），

∵∠B=60°，

∴∠EAC=∠B=60°，

∵∠ACB=60°，

∴∠EAC=∠ACB，

∴AE//BC．

23．（1）见解析；（2）成立，理由见解析

（1）、是等边三角形，

，，，

．

在和中，

，

．

．

（2）结论仍成立．

理由如下：、是等边三角形，

，，．

．

在和中，

，

．

．