2020-2021学年第13章 全等三角形13.5 逆命题与逆定理3 角平分线习题

13.5.3  角平分线

知识点：角平分线的性质定理及其逆定理.

重  点：角平分线的性质定理及其逆定理的运用.

难  点：角平分线的性质定理、逆定理的灵活应用.

基础巩固

1. 如图，已知：AC平分∠PAQ，点B，B′分别在边AP，AQ上，如果添加一个条件，不能推出AB=AB′，那么该条件可以是(     )

A.BB′⊥AC      B.BC=B′C        C.∠ACB=∠ACB′    D.∠ABC=∠AB′C

2. 如图，FD⊥AO于D，FE⊥BO于E，下列条件：①OF是∠AOB的平分线；②DF=EF；③DO=EO；④∠OFD=∠OFE.其中能够证明△DOF≌△EOF的条件的个数有(     )

A.1个       B.2个       C.3个       D.4个 

1题图             2题图                  3题图         

3.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为（　　）

A．44° 　　　　B．40° 　　　　C．39° 　　　　D．38°

4．如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是(      )

A．线段CD的中点                 B．CD与过点O作CD的垂线的交点

C．CD与∠AOB的平分线的交点     D．以上都不对

    4题图                     5题图                   6题图

5．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是(    )

A．点M          B．点N          C．点P        D．点Q

6．如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB，BC，CA的距离OF＝OD＝OE，若∠BAC＝70°，则∠BOC的度数是(      )

A．35°       B．145°        C．55°        D．125°

7．△ABC是一个任意三角形，用直尺和圆规作出∠A，∠B的平分线，如果两条平分线交于点O，那么下列说法中不正确的是(      )

A．点O一定在△ABC的内部             B．∠C的平分线一定经过点O

C．点O到△ABC的三边距离一定相等     D．点O到△ABC三顶点的距离一定相等

8.△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D.若DC=7，则D到AB的距离是     .

9．如图，PD⊥OA，PE⊥OB，点D，E为垂足，PD＝6 cm，当PE＝      cm时，点P在∠AOB的平分线上．

     9题图                      10题图            11题图 

10．如图，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE＝DF，若∠DBC＝50°，则∠ABC＝        °.

11．如图，l1，l2，l3是三条两两相交的笔直公路，现欲修建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有         处．

12．如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若BD＝CD.求证：AD平分∠BAC.

12题图  

13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．

（1）求∠CBE的度数；

（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．

13题图  

14．如图，在△ABC中，BD＝DC，∠1＝∠2. 求证：AD平分∠BAC.

14题图

15.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC.求证：BD＝DF.

15题图  

16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，BF∥DE交CD于点F. 求证：DE＝BF.

16题图

17．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP，MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N.

求证：∠OAB＝∠OBA.

17题图

强化提高

18．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得

S△PAB＝S△PCD，则满足此条件的点P(      )

A．有且只有1个            B．有且只有2个

C．组成∠E的角平分线      D．组成∠E的角平分线所在的直线(E点除外)

18题图                       19题图

19.如图，AC⊥BC，BM平分∠ABC且交AC于点M，N是AB的中点且BN=BC.

求证：(1) MN平分∠AMB，

(2) ∠A=∠CBM.

20．如图，在∠EAF的平分线上取点B作BC⊥AF于点C，在直线AC上取一动点P，在直线AE上取点Q使得BQ＝BP.

(1)如图1，当点P在线段AC上运动时，求证：∠BQA＋∠BPA＝180°；

(2)如图2，当点P在CA延长线上时，探究AQ、AP、AC三条线段之间的数量关系，并说明理由；

(3)在满足(1)的结论条件下，当点P运动到射线AC上时，直接写出AQ、AP、PC三条线段之间的数量关系．

图1             　  图2              　备用图

13.5.3  角平分线答案

1. B.   2.D.

3.C. 解析：∵∠A=54°，∠B=48°，

∴∠ACB=180°﹣54°﹣48°=78°，

∵CD平分∠ACB交AB于点D，

∴∠DCB=×78°=39°，

∵DE∥BC，∴∠CDE=∠DCB=39°，故选：C．

4. C.  5. A.  6. D.  7. D. 

8. 7.    9. 6.    10. 100.

11. 4. 解析：分别在三个角的平分线的交点上，在三角形内部一个，外部三个，共四个.

12. 证明：在Rt△BDF和Rt△CDE中，

∴Rt△BDF≌Rt△CDE(AAS)，

∴DF＝DE，∴AD平分∠BAC.

13. 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，

∴∠ABC=90°﹣∠A=50°，∴∠CBD=130°．

∵BE是∠CBD的平分线，

∴∠CBE=∠CBD=65°；

（2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，

∴∠CEB=90°﹣65°=25°．

∵DF∥BE，∴∠F=∠CEB=25°．

14. 解：过D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，

则∠BED＝∠CFD＝90°，

又∠1＝∠2，BD＝CD，

∴Rt△BED≌Rt△CFD(AAS)，

∴DE＝DF，从而可证AD平分∠BAC.

15. 证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，∴DC＝DE.

在△DCF和△DEB中，

∴△DCF≌△DEB(S.A.S.)，

∴BD＝DF.

16．证明：如图，∵CD平分∠ACB，∴∠1＝∠2.

∵DE⊥AC，∠ABC＝90°，

∴DE＝BD，∠3＝∠4.

∵BF∥DE，∴∠4＝∠5，∴∠3＝∠5，

∴BD＝BF，∴DE＝BF.

16题图

17．证明：∵OM平分∠POQ，MA⊥OP，MB⊥OQ，

∴AM＝BM.

在Rt△AOM和Rt△BOM中，

∴Rt△AOM≌Rt△BOM(H.L.)，

∴OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA.

18. D.

19. 证明：(1)∵BM平分∠ABC，

∴∠CBM=∠NBM.

在△BCM和△BNM中，

∵BN=BC，∠CBM=∠NBM，BM=BM，

∴△CBM≌△NBM.∴∠BCM=∠BNM=90°.

又∵N为AB中点，∴BM=AM.

∴MN平分∠AMB.

(2)由(1)得：∠A=∠ABM，∠ABM=∠MBC.

∴∠A=∠CBM.

20．(1)证明：如图1，作BD⊥AE于点D.

图1

∵AB是∠EAF的平分线，BC⊥AF，BD⊥AE，

∴BD＝BC.

在Rt△DBQ和Rt△CBP中，

∴Rt△DBQ≌Rt△CBP(H.L.)，

∴∠BQA＝∠BPC.

∵∠BPC＋∠BPA＝180°，

∴∠BQA＋∠BPA＝180°.

(2)解：AQ－AP＝2AC.

理由如下：如图2，作BM⊥AE，垂足为点M，

图2

∵BC⊥AF，∴∠BMA＝∠BCA＝90°.

在△ABM和△ABC中，

∴△ABM≌△ABC(A.A.S.)，

∴∠ABM＝∠ABC，AM＝AC，BM＝BC.

在Rt△MBQ和Rt△CBP中，

∴Rt△MBQ≌Rt△CBP(H.L.)，

∴QM＝PC，

∴AQ－AP＝(AM＋QM)－(PC－AC)＝2AC.

(3)AQ－AP＝2PC或AP－AQ＝2PC.

 如图3.

图3