华师大版八年级上册1 全等三角形第1课时课时训练

第13章  全等三角形复习第1课时（全等三角形）

知识点1：全等三角形的性质及判定方法.

知识点2：利用全等三角形的判定条件及性质进行证明或计算.

知识点3：全等三角形的判定及性质的综合应用.

基础巩固

1.如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（　　）

A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE   D．∠ABC＝∠AED

    1题图                             2题图

2.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE＝CF，则图中与∠AEB相等的角的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

3.如图，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，BC＝DC，∠B＝130°，则∠D＝　      　°．

     3题图                       4题图               5题图

4.如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E都在边BC上，∠BAD=∠CAE，若BD=9，则CE的长为               .

5.如图，已知在△ABD和△ABC中，∠DAB＝∠CAB，点A、B、E在同一条直线上，若使△ABD≌△ABC，则还需添加的一个条件是          　．（只填一个即可）

6.如图，已知AD＝AE，请你添加一个条件，使得△ADC≌△AEB，你添加的条件是　            　．（不添加任何字母和辅助线）

   6题图                          7题图

7.如图，AC平分∠DCB，CB=CD，DA的延长线交BC于点E，若∠EAC=49°，则∠BAE的度数为          ．

8.如图，已知∠B＝∠E，BF＝EC，AC∥DF．求证：△ABC≌△DEF．

8题图

9.如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC=DE，求证：AB=CD．

9题图

10.如图，已知AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF．

求证：(1)△ABF≌△DCE；

(2)AF∥DE．

10题图

11.已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA∥FB，EA＝FB，AB＝CD．

（1）求证：∠E＝∠F；

（2）若∠A＝40°，∠D＝80°，求∠E的度数．

11题图

12.如图，已知AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，AE与BD交于点F．

(1)求证：AE＝BD；

(2)求∠AFD的度数．

12题图

13.如图，在矩形ABCD中，点E，F在对角线BD．请添加一个条件，使得结论“AE＝CF”成立，并加以证明．

14.如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G．

（1）求证：BE＝AF；

（2）若AB＝4，DE＝1，求AG的长．

14题图

15. 已知如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，且AF＝CE．

（1）求证：△ABF≌△CBE；

（2）若AB＝4，AF＝1，求四边形BEDF的面积．

15题图

16.如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G．

（1）证明：△ADG≌△DCE；

（2）连接BF，证明：AB＝FB．

16题图

强化提高

17. 如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：

①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．

其中正确的个数为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1

       17题图                               18题图

18. 如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为

（2，3），则点F的坐标为              ．

19. 如图，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发．

（1）如图1，连接AQ、CP．求证：△ABQ≌△CAP；

（2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、CP相交于点M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；

（3）如图2，当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，直线AQ、CP相交于M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．

第13章  全等三角形复习第1课时（全等三角形）答案

1. B. 解析：∵△ABC≌△ADE，

∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，

即∠BAD＝∠CAE．故A，C，D选项错误，B选项正确，故选：B．

2. B. 解析：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB∥BC，AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，

在△ABE和△BCF中，

，

∴△ABE≌△BCF（SAS），

∴∠BFC＝∠AEB，

∴∠BFC＝∠ABF，

故图中与∠AEB相等的角的个数是2．故选：B．

3. 130. 解析：∵在△ADC和△ABC中

，

∴△ABC≌△ADC（SSS），

∴∠D＝∠B，

∵∠B＝130°，∴∠D＝130°，故答案为：130．

4. 9. 解析：因为△ABC是等腰三角形，所以有AB=AC，∠BAD=∠CAE，∠ABD=∠ACE，所以△ABD≌△ACE(ASA)，所以BD=EC，EC=9.

5. AD＝AC（∠D＝∠C或∠ABD＝∠ABC等）．

解析：∵∠DAB＝∠CAB，AB＝AB，

∴当添加AD＝AC时，可根据“SAS”判断△ABD≌△ABC；

当添加∠D＝∠C时，可根据“AAS”判断△ABD≌△ABC；

当添加∠ABD＝∠ABC时，可根据“ASA”判断△ABD≌△ABC．

故答案为AD＝AC（∠D＝∠C或∠ABD＝∠ABC等）．

6. AB＝AC或∠ADC＝∠AEB或∠ABE＝∠ACD；

解析：∵∠A＝∠A，AD＝AE，

∴可以添加AB＝AC，此时满足SAS；

添加条件∠ADC＝∠AEB，此时满足ASA；

添加条件∠ABE＝∠ACD，此时满足AAS，

故答案为AB＝AC或∠ADC＝∠AEB或∠ABE＝∠ACD；

7. 82° . 解析： CD=CB，∠ACD=∠ACB，CA=CA，∴△CAD≌△CAB，∴∠CAD=∠CAB，

∵∠EAC=49°，∴∠CAD=180°-∠EAC=180°-49°=131°，∴∠CAB=131°，

∴∠BAE=∠CAB-∠EAC=131°-49°=82°. 故答案为82°

8. 证明：∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE，

∵BF＝CE，∴BC＝EF，

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（ASA）．

9. 证明：∵AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，

∴

∴，

∴

在和中

∴≌

故．

10. 证明：(1)∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，

∵BE＝CF，∴BE－EF＝CF－EF，即BF＝CE，

在△ABF和△DCE中，

∵，

∴△ABF≌△DCE(SAS)；

(2)∵△ABF≌△DCE，∴∠AFB＝∠DEC，

∴∠AFE＝∠DEF，∴AF∥DE．

11. 证明：（1）∵EA∥FB，∴∠A＝∠FBD，

∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD，

在△EAC与△FBD中，

，

∴△EAC≌△FBD（SAS），

∴∠E＝∠F；

（2）∵△EAC≌△FBD，

∴∠ECA＝∠D＝80°，

∵∠A＝40°，∴∠E＝180°﹣40°﹣80°＝60°，

答：∠E的度数为60°．

12.解：(1)∵AC⊥BC，DC⊥EC，∴∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACE＝∠BCD，

在△ACE和△BCD中，

，

∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴AE＝BD；

(2)∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ANC＝90°，

∵△ACE≌△BCD，∴∠A＝∠B，

∵∠ANC＝∠BNF，∴∠B+∠BNF＝∠A+∠ANC＝90°，

∴∠AFD＝∠B+∠BNF＝90°．

  12题图

13. 解：添加的条件是BE＝DF（答案不唯一）．

证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，AB＝CD，

∴∠ABD＝∠BDC，

又∵BE＝DF（添加），

∴△ABE≌△CDF（SAS），

∴AE＝CF．

14. （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAE＝∠ADF＝90°，AB＝AD＝CD，

∵DE＝CF，∴AE＝DF，

在△BAE和△ADF中，

，

∴△BAE≌△ADF（SAS），∴BE＝AF；

（2）解：由（1）得：△BAE≌△ADF，

∴∠EBA＝∠FAD，

∴∠GAE+∠AEG＝90°，∴∠AGE＝90°，

∵AB＝4，DE＝1，∴AE＝3，

∴BE＝＝＝5，

在Rt△ABE中，AB×AE＝BE×AG，

∴AG＝＝．

15.解：（1）在△ABF和△CBE中

，

∴△ABF≌△CBE（SAS）；

（2）由已知可得正方形ABCD面积为16，

△ABF面积＝△CBE面积＝×4×1＝2．

所以四边形BEDF的面积为16﹣2×2＝12．

16. 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC，

又∵AG⊥DE，

∴∠DAG+∠ADF＝90°＝∠CDE+∠ADF，

∴∠DAG＝∠CDE，

∴△ADG≌△DCE（ASA）；

（2）如图所示，延长DE交AB的延长线于H，

∵E是BC的中点，

∴BE＝CE，

又∵∠C＝∠HBE＝90°，∠DEC＝∠HEB，

∴△DCE≌△HBE（ASA），

∴BH＝DC＝AB，

即B是AH的中点，

又∵∠AFH＝90°，

∴Rt△AFH中，BF＝AH＝AB．

   16题图 

17. 解：∵∠AOB＝∠COD＝40°，

∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，即∠AOC＝∠BOD，

在△AOC和△BOD中，

，

∴△AOC≌△BOD（SAS），

∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，①正确；

∴∠OAC＝∠OBD，

由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，

∴∠AMB＝∠AOB＝40°，②正确；

作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图所示：

则∠OGC＝∠OHD＝90°，

在△OCG和△ODH中，

，

∴△OCG≌△ODH（AAS），∴OG＝OH，

∴MO平分∠BMC，④正确；

正确的个数有3个；故选：B．

         17题图

18. （﹣1，5）.  解析：如图，过点E作x轴的垂线EH，垂足为H．过点G作x轴的垂线GM，垂足为M，连接GE.FO交于点O′，

∵四边形OEFG是正方形，

∴OG=EO，∠GOM=∠OEH，∠OGM=∠EOH，

在△OGM与△EOH中，

，

∴△OGM≌△EOH（ASA），

∴GM=OH=2，OM=EH=3，

∴G（﹣3，2），

∴O′（﹣，），

∵点F与点O关于点O′对称，

∴点F的坐标为（﹣1，5），

故答案是：（﹣1，5）．

              18题图

19. 解：（1）证明：如图1，∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABQ＝∠CAP＝60°，AB＝CA，

又∵点P、Q运动速度相同，∴AP＝BQ，

在△ABQ与△CAP中，

，

∴△ABQ≌△CAP（SAS）；

（2）点P、Q在AB.BC边上运动的过程中，∠QMC不变．

理由：∵△ABQ≌△CAP，

∴∠BAQ＝∠ACP，

∵∠QMC是△ACM的外角，

∴∠QMC＝∠ACP+∠MAC＝∠BAQ+∠MAC＝∠BAC

∵∠BAC＝60°，∴∠QMC＝60°；

（3）如图2，点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变.   理由：同理可得，△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP，

∵∠QMC是△APM的外角，

∴∠QMC＝∠BAQ+∠APM，

∴∠QMC＝∠ACP+∠APM＝180°﹣∠PAC＝180°﹣60°＝120°，

即若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB.BC上运动，∠QMC的度数为120°．