初中数学华师大版八年级上册1 全等三角形第2课时巩固练习

第13章  全等三角形复习第2课时（等腰三角形）

知识点1：等腰三角形的性质及判定方法.

知识点2：利用等腰三角形的判定及性质进行证明或计算.

知识点3：等腰三角形的判定及性质的综合应用.

1. 等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是　       　．

2. 在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A的大小为　   　．

3. 在△ABC中，AB＝AC，∠A＝400，则∠B＝___________.

4. 定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝     　．

5. 如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F．若△AFC是等边三角形，则∠B＝　        °．

       5题图                     6题图                 8题图

6. 已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD＝DC，∠C＝35°，则∠BAD＝　   　度．

7. 等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（    ）

A. 55°，55° B. 70°，40°或70°，55°

C. 70°，40° D. 55°，55°或70°，40°

8. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝65°，点D是BC边上任意一点，过点D作DF∥AB交AC于点E，则∠FEC的度数是（　　）

A．120° B．130° C．145° D．150°

9. 一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝20°，则∠2的度数是（　　）

A．15° B．20° C．25° D．40°

      9题图                     10题图                11题图

10. 已知如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，CD∥AB，则∠BCD＝（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°

11. 如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（　　）

A．10 B．5 C．4 D．3

12. 如图，在等腰三角形ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°，AB=AC=a，BC=b，则CD =（   ）

A.  B.  C. a-b D. b-a

13. 如图，等腰△ABC中，点D，E分别在腰AB，AC上，添加下列条件，不能判定△ABE≌△ACD的是（    ）

A. AD=AE B.BE=BD      C.∠ADC=∠AEB     D. ∠DCB=∠EBC

   12题图              13题图                  14题图

14. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC＝∠ECA，则AC的长是(　　)

A．3 B．4 C．5 D．6

15.  “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是（     ） 

A. 60°                              B. 65°                               C. 75°                    D. 80°

                              15题图 

16. 如图，在△ABC中，点D.E分别是AB.AC边上的点，BD=CE，∠ABE=∠ACD，BE与CD相交于点F．求证：△ABC是等腰三角形．

16题图

17. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，E为边BC上的点，且AB＝AE，D为线段BE的中点，过点E作EF⊥AE，过点A作AF∥BC，且AF、EF相交于点F．

（1）求证：∠C＝∠BAD；

（2）求证：AC＝EF．

17题图  

强化提高

18. 已知：在△ABC中，AB＝AC，点D.点E在边BC上，BD＝CE，连接AD.AE．

（1）如图1，求证：AD＝AE；

（2）如图2，当∠DAE＝∠C＝45°时，过点B作BF∥AC交AD的延长线于点F，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个等腰三角形，使写出的每个等腰三角形的顶角都等于45°．

18题图  

19. 如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以lcm/s的速度沿AB匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为以t（s）．过点P作PE⊥AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．

（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；

（2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；

（3）求DE的长；

19题图 

第13章  全等三角形复习（第2课时）答案

1. 10或11．解析：①3是腰长时，三角形的三边分别为3.3.4，

∵此时能组成三角形，∴周长＝3+3+4＝10；

②3是底边长时，三角形的三边分别为3.4.4，

此时能组成三角形，所以周长＝3+4+4＝11．

综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11．

故答案为：10或11．

2. 80°．解析：∵AB＝AC，∠B＝50°，

∴∠C＝∠B＝50°，

∴∠A＝180°﹣2×50°＝80°．

故答案为：80°．

3. 70°．解析：∵AB＝AC，∠A＝40°，

∴∠B＝∠C＝70°. 故答案为：70°.

4. 或.解析：

①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：＝50°

∴特征值k＝＝

②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°﹣80°﹣80°＝20°

∴特征值k＝＝

综上所述，特征值k为或

故答案为或

5. 30．解析：∵EF垂直平分BC，

∴BF＝CF，∴∠B＝∠BCF，

∵△ACF为等边三角形，

∴∠AFC＝60°，∴∠B＝∠BCF＝30°．

故答案为：30．

6. 40. 解析：∵AD＝DC，∴∠DAC＝∠C＝35°，

∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝70°．

∵AB＝AD，∴∠B＝∠ADB＝70°，

∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣70°﹣70°＝40°．

故答案为：40．．

7. D. 解析：（1）当70°的内角为这个等腰三角形的顶角

则另外两个内角均为底角，它们的度数为

（2）当70°的内角为这个等腰三角形的底角

则另两个内角一个为底角，一个为顶角

底角为70°，顶角为180°-70°-70°=40°

综上，另外两个内角的度数分别是55°，55°或70°，40°

故选：D．

8. B. 解析：∵AB＝AC，∠C＝65°，∴∠B＝∠C＝65°，

∵DF∥AB，∴∠CDE＝∠B＝65°，

∴∠FEC＝∠CDE+∠C＝65°+65°＝130°；

故选：B．

9. C. 解析：∵AB∥CD，∴∠3＝∠1＝20°，

∵三角形是等腰直角三角形，∴∠2＝45°﹣∠3＝25°，

故选：C．

9题图

10. D. 解析：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ACB＝70°，

∵CD∥AB，∴∠ACD＝180°﹣∠A＝140°，

∴∠BCD＝∠ACD﹣∠ACB＝70°．故选：D．

11. B. 解析：∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，∴CD＝5．故选：B．

12. C. 解析：∵在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°，

∴∠ABC=∠C=2∠ABD=72°，

∴∠ABD=36°=∠A，∴BD=AD，

∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C，∴BD=BC，

∵AB=AC=a，BC=b，

∴CD=AC-AD=a-b，故选：C．

13. B. 解析： A.若添加AD=AE ，由于AB=AC，∠A是公共角，则可根据SAS判定△ABE≌△ACD ，故本选项不符合题意；

B.若添加BE=CD，不能判定△ABE≌△ACD ，故本选项符合题意；

C.若添加∠ADC=∠AEB，由于AB=AC，∠A是公共角，则可根据AAS判定△ABE≌△ACD ，故本选项不符合题意；

D.若添加∠DCB=∠EBC ，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABE=∠ACD，

由于∠A是公共角，则可根据ASA判定△ABE≌△ACD ，故本选项不符合题意．

故选：B．

14. D. 解析：∵将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，

∴AF＝AB，∠AFE＝∠B＝90°，∴EF⊥AC，

∵∠EAC＝∠ECA，∴AE＝CE，∴AF＝CF，∴AC＝2AB＝6，故选D．

15. D. 解析：∵OC=CD=DE，

∴∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，

设∠O=∠ODC=x，∴∠DCE=∠DEC=2x，

∴∠CDE=180°-∠DCE-∠DEC=180°-4x，

∵∠BDE=75°，∴∠ODC+∠CDE+∠BDE=180°，

即x+180°-4x+75°=180°，

解得：x=25°，∠CDE=180°-4x=80°.

故答案为：D.

16. 证明：∵BD=CE，∠ABE=∠ACD，∠DFB=∠CFE，

∴△BFDF≌△CFE（AAS），

∴∠DBF=∠ECF，

∵∠DBF+∠ABE=∠ECF+∠ACD，

∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，

∴△ABC是等腰三角形.

17. 证明：（1）∵AB＝AE，D为线段BE的中点，

∴AD⊥BC，

∴∠C+∠DAC＝90°，

∵∠BAC＝90°，

∴∠BAD+∠DAC＝90°，

∴∠C＝∠BAD，

（2）∵AF∥BC，

∴∠FAE＝∠AEB，

∵AB＝AE，

∴∠B＝∠AEB，

∴∠B＝∠FAE，且∠AEF＝∠BAC＝90°，AB＝AE，

∴△ABC≌△EAF（ASA）.

∴AC＝EF.

18. （1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴AD＝AE；

（2）∵AD＝AE，

∴∠ADE＝∠AED，

∵BF∥AC，

∴∠FDB＝∠C＝45°，

∵∠ABC＝∠C＝∠DAE＝45°，∠BDF＝∠ADE，

∴∠F＝∠BDF，∠BEA＝∠BAE，∠CDA＝∠CAD，

∴满足条件的等腰三角形有：△ABE，△ACD，△DAE，△DBF．

19. 解析：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，

∴当BQ＝2BP时，∠BPQ＝90°，

∴6+t＝2（6﹣t），∴t＝3，

∴t＝3时，△BPQ是直角三角形．

（2）存在．

理由：如图1中，连接BF交AC于M．

∵BF平分∠ABC，BA＝BC，

∴BF⊥AC，AM＝CM＝3cm，

∵EF∥BQ，

∴∠EFM＝∠FBC＝∠ABC＝30°，

∴EF＝2EM，∴t＝2•（3﹣t），解得t＝3．

（3）如图2中，作PK∥BC交AC于K．

∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠A＝60°，

∵PK∥BC，∴∠APK＝∠B＝60°，

∴∠A＝∠APK＝∠AKP＝60°，

∴△APK是等边三角形，∴PA＝PK，

∵PE⊥AK，∴AE＝EK，

∵AP＝CQ＝PK，∠PKD＝∠DCQ，∠PDK＝∠QDC，

∴△PKD≌△QCD（AAS），

∴DK＝DC，

∴DE＝EK+DK＝（AK+CK）＝AC＝3（cm）．