华师大版八年级上册1 全等三角形第3课时当堂检测题

第13章  全等三角形复习第3课时（尺规作图）

知识点1：互逆命题、互逆定理及其应用.

知识点2：尺规作图及其应用.

知识点3：线段垂直平分线和角平分线的应用.

1. 下列命题中，其逆命题是真命题的是（　　）

A．对顶角相等                      B．两直线平行，同位角相等

C．全等三角形的对应角相等           D．正方形的四个角都相等

2. 如图，在△ABC中，AC=BC，∠A=40°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为（　　）

A.    40°        B. 45°       C. 50°         D. 60°

3. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是（　　）

A．20° B．30° C．45° D．60°

   2题图                   3题图                      4题图

4. 如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若AC=6，AD=2，则BD的长为（    ）

A. 2 B. 3             C. 4          D. 6

5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数为（   ）

A. 50°           B. 40°           C. 30°        D. 20°

 5题图                       6题图                   7题图

6. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为(　　)

A．8 B．11 C．16 D．17

7. 在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝3，则DE的长为（　　）

A．3 B． C．2 D．6

8. 如图所示ΔABC中，AB=AC=14cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，△DBC的周长是24cm，则BC=___________cm．

8题图                  9题图                 

9. 如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD＝3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为　       　．

10. 如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠1＝39°，则∠AOC＝　        　．

10题图                       11题图

11. 如图，在△ABC中，∠C＝84°，分别以点A.B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，作直线MN交AC点D；以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA.BC于点E.F，再分别以点E.F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP，此时射线BP恰好经过点D，则∠A＝　　度．

12. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，交AC于点E，连接BE，若CE＝3，则BE的长为　      　．

12题图               13题图

13. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝20°，PQ垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P．按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，AB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F；③作射线AF．若AF与PQ的夹角为α，则α＝　   　°．

14. 如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°．（保留作图痕迹．不写作法）

14题图

15. 如图，C为线段AB外一点．

求作四边形ABCD，使得CD∥AB，且CD＝2AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

15题图

16. 人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：

已知：∠AOB．

求作：∠AOB的平分线．

作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．

（2）分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．

（3）画射线OC，射线OC即为所求（如图）．

请你根据提供的材料完成下面问题．

（1）这种作已知角的平分线的方法的依据是　      　．（填序号）

①SSS    ②SAS   ③AAS   ④ASA

（2）请你证明OC为∠AOB的平分线．

16题图  

17. 如图，在△ABC 中，D是BC边上一点，且BD=BA.

（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：

①作∠ABC的角平分线交AD于点E；

②作线段DC的垂直平分线交DC于点F.

（2）连接EF，直接写出线段EF和AC的数量关系及位置关系.

17题图  

18. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，一同学利用直尺和圆规完成如下操作：

①以点C为圆心，以CB为半径画弧，交AB于点G；分别以点G、B为圆心，以大于GB的长为半径画弧，两弧交点K，作射线CK；

②以点B为圆心，以适当的长为半径画弧，交BC于点M，交AB的延长线于点N；分别以点M、N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作直线BP交AC的延长线于点D，交射线CK于点E．

请你观察图形，根据操作结果说明线段CD与CE的大小关系是什么，并加以证明；

18题图  

强化提高

19. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3．分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则CD的长为（　  　）

A．2 B．4 C．3 D．

19题图

20. （1）如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．

解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC得到AB＝FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断．AB、AD、DC之间的等量关系              　   　；

（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB、AF、CF之间的等量关系，并证明你的结论．

21．如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A、B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．

（1）如图②，作出点A关于l的对称点A′，线段A′B与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线ACB是最短的．

为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点C′，连接AC′、BC′，证明AC+CB＜AC′+C′B．请完成这个证明．

（2）如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域．请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由）．

①生态保护区是正方形区域，位置如图③所示；

②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示．

第13章  全等三角形复习第3课时（尺规作图）答案

1. B. 解析：A. 其逆命题是：两个相等的角是对顶角，是假命题；

B. 其逆命题是：同位角相等，两直线平行，是真命题；

C. 其逆命题是：对应角相等的两个三角形是全等三角形．大小不同的两个等边三角形虽然对应角相等但不全等，是假命题；

D. 其逆命题是：四个角都相等的四边形是正方形，是假命题；故选：B．

2. C. 解析：由作法得CG⊥AB，

∵AB=AC，∴CG平分∠ACB，∠A=∠B，

∵∠ACB=180°-40°-40°=100°，

∴∠BCG=∠ACB=50°．故选：C．

3. B. 解析：在△ABC中，∵∠B＝30°，∠C＝90°，

∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，

由作图可知MN为AB的中垂线，

∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝30°，

∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝30°，故选：B．

4.  C. 解析：由作图可知， MN是线段BC的垂直平分线，

∴BD=CD=AC-AD=6-2=4，故选：C.

5. D. 解析：∵∠A=50°，可得∠B=40°，∵BC=BD，∴∠BCD=∠BDC，∵∠B+∠BCD+∠BDC=180°，∴∠BCD=70°，∴∠ACD=90°-70°=20°，故答案为D

6. B. 解析：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，

∴△ACE的周长＝AC+CE+AE＝AC+CE+BE＝AC+BC＝5+6＝11．故选B．

7. A. 解析：∵∠B＝90°，∴DB⊥AB，

又∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，

∴由角平分线的性质得DE＝BE＝3，故选：A．

8.  10. 解析：∵△DBC的周长为24cm，

∴BD+DC+BC=24cm，

∵MN垂直平分AB，∴AD=BD，

∴AD+DC+BC=24cm，

即AC+BC=24cm，

又∵AC=14cm，∴BC=24-14=10cm．故答案为：10

9. 3. 解析：根据垂线段最短可知：当PM⊥OC时，PM最小，

当PM⊥OC时，又∵OP平分∠AOC，PD⊥OA，PD＝3，

∴PM＝PD＝3，故答案为：3．

10. 78°．解析：过O作射线BP，

∵线段AB.BC的垂直平分线11.l2相交于点O，

∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，

∴∠DOE+∠ABC＝180°，

∵∠DOE+∠1＝180°，∴∠ABC＝∠1＝39°，

∵OA＝OB＝OC，∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，

∵∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，

∴∠AOC＝∠AOP+∠COP＝∠A+∠ABC+∠C＝2×39°＝78°，

故答案为：78°．

      10题图

11. 32. 解析：由作图可得，MN是线段AB的垂直平分线，BD是∠ABC的平分线，

∴AD＝BD，∠ABD=∠CBD=∠ABC，

∴∠A＝∠ABD，

∴∠A＝∠ABD＝∠CBD，

∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，且∠C＝84°，

∴∠A+2∠ABD＝180°﹣∠C，

即3∠A＝180°﹣84°，

∴∠A＝32°．故答案为：32．

12. 5. 解析：由作图可知，MN垂直平分线段AB，∴AE＝EB，

设AE＝EB＝x，

∵EC＝3，AC＝2BC，∴BC＝（x+3），

在Rt△BCE中，∵BE2＝BC2+EC2，

∴x2＝32+[（x+3）]2，

解得，x＝5或﹣3（舍弃），∴BE＝5，故答案为5．

13. 55°. 解析：如图，

∵△ABC是直角三角形，∠C＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，

∵∠B＝20°，∴∠BAC＝90°－∠B＝90°－20°＝70°，

∵AM是∠BAC的平分线，∴，

∵PQ是AB的垂直平分线，∴△AMQ是直角三角形，∴∠AMQ+∠2＝90°，

∴∠AMQ＝90°－∠2＝90°－35°＝55°，

∵∠α与∠AMQ是对顶角，∴∠α＝∠AMQ＝55°．故答案为55°．

14. 解：如图，点P即为所求．

      14题图

15. 解：（1）如图，四边形ABCD即为所求；

                   15题图

16. 解：（1）这种作已知角的平分线的方法的依据是①SSS．

（2）由基本作图方法可得：OM＝ON，OC＝OC，MC＝NC，

则在△OMC和△ONC中，

，

∴△OMC≌△ONC（SSS），

∴∠AOC＝∠BOC，

即OC为∠AOB的平分线．

16题图

17. 解：（1）①作出∠ABC 的角平分线；

②作出线段DC的垂直平分线.

（2）数量关系：EF=AC；

位置关系：EF∥AC.

18. 解析： CD＝CE，

由作图知CE⊥AB，BD平分∠CBF，

18题图

∴∠1＝∠2＝∠3，

∵∠CEB+∠3＝∠2+∠CDE＝90°，

∴∠CEB＝∠CDE，

∴CD＝CE.

19. A. 解析：如图，连接FC，则AF＝FC．

∵AD∥BC，∴∠FAO＝∠BCO．

在△FOA与△BOC中，

，

∴△FOA≌△BOC（ASA），

∴AF＝BC＝3，

∴FC＝AF＝3，FD＝AD﹣AF＝4﹣3＝1．

在△FDC中，∵∠D＝90°，

∴CD2+DF2＝FC2，∴CD2+12＝32，

∴CD＝2．故选：A．

19题图

20. 解：（1）AD＝AB+DC. 如图

理由如下：∵AE是∠BAD的平分线，

∴∠DAE＝∠BAE,

∵AB∥CD, ∴∠F＝∠BAE,

∴∠DAF＝∠F,  ∴AD＝DF，

∵点E是BC的中点，

∴CE＝BE，且∠F＝∠BAE，∠AEB＝∠CEF，

∴△CEF≌△BEA（AAS），

∴AB＝CF，

∴AD＝CD+CF＝CD+AB.

（2）AB＝AF+CF.

理由如下：如图②，延长AE交DF的延长线于点G

∵E是BC的中点，∴CE＝BE，

∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠G．且BE＝CE，∠AEB＝∠GEC,

∴△AEB≌△GEC（AAS）, ∴AB＝GC,

∵AE是∠BAF的平分线，∴∠BAG＝∠FAG，

∵∠BAG∠G，∴∠FAG＝∠G，∴FA＝FG，

∵CG＝CF+FG，∴AB＝AF+CF. 

21.（1）证明：如图②，连接A′C′，

∵点A，点A′关于l对称，点C在l上，

∴CA=CA′，∴AC+BC=A′C+BC=A′B，

同理可得AC′+C′B=A′C′+BC′，

∵A′B＜A′C′+C′B ，

∴AC+BC=AC′+C′B；

（2）如图③，

在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是ACDB，（其中点D是正方形的顶点）；

如图④，

在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是ACD+弧DE+EB，（其中CD，BE都与圆相切）