初中数学华师大版八年级上册1 直角三角形三边的关系同步训练题

第14章 勾股定理

14.1.1 直角三角形三边的关系

知识点：勾股定理.

重  点：用勾股定理求直角三角形的边长.

难  点：用勾股定理解决一些简单的实际问题.

基础巩固：

1.如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a，b，c的关系是           .即直角三角形两直角边的平方和等于       的平方.

2.在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=16，AC=12，则AB=        .

3.如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的各边为边在△ABC外作三个正方形，S1，S2，S3分别表示这三个正方形的面积，S1=81，S2=225，则S3=        .

4.如图,在等腰△ABC中, AB=AC=10, BC=12, 则高AD=　　　　.

     3题图           4题图           5题图               6题图

5.如图，点E在正方形ABCD的一边AB上，BE=5，EC=13，则正方形ABCD的面积为(     )

A.169　　 　   B.25　　   　 C.144　　        D.65

6.如图所示，圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，现在有一只蚂蚁想要从A 处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（　　）

A．3 　　B．3 　　   C．　　     D．3

7.如图,边长为6的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别为S1,S2,则S1+S2的值为　(　　)

A.16　　      　　B.17　         　C.18　　         D.19

          7题图                                      8题图

8.如图,有两棵树,一棵高10m,另一棵高4m,两树相距8m.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,问小鸟至少飞行　(　　)

A.8 m　       B.10 m　         C.12 m　        D.14 m

9.如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C. 若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为(   )

A．3    B．6     C．3          D.

                             9题图            10题图

10.如图，一个高4m、宽3m的大门，需要在对角线的顶点间加固一根木条，求木条的长.

11.如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是多少？

                                                             11题图

12.如图,在△ABC中, AD⊥BC, 垂足为D, ∠B=60°, ∠C=45°.

 (1)求∠BAC的度数；

 (2)若AC=2,求AD的长.

12题图

13.如图,在△ABC中, CD⊥AB于D, 若AD=2BD, AC=3, BC=2, 求BD的长.

13题图

14.如图,将长方形ABCD(AB<AD)沿BD折叠后,点C落在点E处,且BE交AD于点F,若AB=4, BC=8, 求DF的长.

14题图 

15.已知如图, 在△ABC中, ∠C=90°, ∠1=∠2, CD=15, BD=25, 求AC的长.

15题图 

16.生活经验表明,靠墙摆放梯子时,若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的,则梯子比较稳定,现有一梯子,稳定摆放时,顶端达到5m高的墙头,请问梯子有多长?（结果保留1位小数）

16题图

17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是中线，MN⊥AB，垂足为点N，求证：AN2﹣BN2＝AC2．

17题图 

18．如图所示，长方形纸片ABCD的长AD=9cm，宽AB=3cm，将其折叠，使点D与点B重合．

求：（1）折叠后DE的长；

（2）以折痕EF为边的正方形面积．

18题图

19.铁路上A.B两站（视为直线上两点）相距25 km，C.D两村庄（视为两个点）DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝15 km，CB＝10 km，现在要在铁路上建一个土特产收购站E使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？

19题图

强化提高：

1.某小区有一块等腰三角形的草地,它的一边长为20m,面积为160m2,为美化小区环境,现要给这块三角形草地围上白色的低矮栅栏,则需要栅栏的长度为　  　m.

2.小明学了勾股定理后很高兴，兴冲冲地回家告诉了爸爸:在△ABC中，若∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，如图(1)，根据勾股定理，则a2+b2=c2. 爸爸听完后笑眯眯地说：很好，你又掌握了一种知识，现在考考你，若不是直角三角形，那勾股定理还成不成立?若成立，请说明理由；若不成立，请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论.(图(2),图(3)备用)

3．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．

（1）出发2秒后，求PQ的长；

（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？

（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．

14.1.1  直角三角形三边的关系答案

基础巩固：

1. a2+b2=c2，斜边.  

2. 20. 解析：由勾股定理得，AB2=AC2+BC2，即AB2=122+162=400, ∴AB=20.

3.144. 解析：由勾股定理知，S1+S3=S2，∴S3=S2-S1=225-81=144.

4. 8. 解析：∵AB=AC，AD⊥BC，BC=12，∴BD=DC=BC=6.

在Rt△ABD中，∵AB=10, BD=6, ∴AD==8. 答案:8

5. C. 解析：在Rt△EBC中，∠B=90°, EC=13, BE=5, 由勾股定理，∴BC=12，

∴正方形ABCD的面积为144， 故选：C.

6. C. 解析：把圆柱侧面展开，展开图如下图所示，点A、C的最短距离为线段AC的长．在Rt△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD为底面半圆弧长，AD=1.5π，

所以AC==，故选：C．

　          6题图                 7题图                   8题图

7. B. 解析：如图所示,设AB=x,则GB2=x2+x2=2x2,

∴BC2=2x2+2x2=4x2,又BC>0,∴BC=2x,

又∵AC=6,所以x+2x=6,即x=2,  ∴GB=2,S2=(2)2=8;

又CD=DH=DE,CE=6,  ∴DE=3,

∴S1=32=9,∴S1+S2=9+8=17.

8. B. 解析：选B.作AB⊥BC于点B，连结AC，如图，

根据题意可得：BC=10－4=6(m),

AB=8m，∴AC===10(m).

9. A. 解析：在Rt△ABC中，由勾股定理，AB=3, 在Rt△AB′C中，

由勾股定理，B′C2=AC2+B′A2, =9+18=27, ∴B′C=3. 故选：A.

10. 解：由勾股定理得，木条长的平方=门高长的平方+门宽长的平方.即：32+42=25，

∴木条长为5（m）.

11.解：由题意得，最大正方形E的面积是四个小正方形的面积之和，

即32+52+22+32=9+25+4+9=47. ∴最大正方形E的面积是47.

12. 解：(1)∠BAC=180°－60°－45°=75°.

(2)∵AD⊥BC, ∴△ADC是直角三角形, ∴AD2+DC2=AC2.

∵∠C=45°,∴∠DAC=45°,

∴AD=DC. ∵AC=2,  ∴ AD=.

13.解：在Rt△ACD中,由勾股定理得，CD2=AC2－AD2=32－(2BD)2=9－4BD2,

在Rt△BCD中,由勾股定理得，CD2=BC2－BD2=22－BD2=4－BD2,

∴9－4BD2=4－BD2, 解得BD2=,  ∴ BD=.

14. 解：∵AD∥BC，∴∠DBC=∠FDB，

由折叠得，∠DBC=∠DBE，∴∠FDB=∠FBD，∴BF=FD，

设AF=x，则BF=DF=8－x，

在Rt△ABF中，根据勾股定理得：42+x2=(8－x)2，

解得x=3，∴DF=8－3=5. ∴DF的长为5.

15. 解：过D作DE⊥AB,垂足为E, 如图，

∵∠1=∠2，∴CD=DE=15，

在Rt△BDE中，BE===20，

∵CD=DE，AD=AD，∴Rt△ACD≌Rt△AED，

∴在Rt△ABC中， AB2=AC2+BC2，即(AC+20)2=AC2+(15+25)2，

解得AC=30.

15题图

16.解：如图,设梯子长xm，

在Rt△ABC中，x2=+25，解得x==5.3025≈5.3（m）.

答：梯子大约有5.3m长.

17．证明：∵MN⊥AB于N，由勾股定理得，

∴BN2＝BM2﹣MN2，AN2＝AM2﹣MN2

∴BN2﹣AN2＝BM2﹣AM2，

又∵∠C＝90°，∴AM2＝AC2+CM2

∴BN2﹣AN2＝BM2﹣AC2﹣CM2，

又∵BM＝CM，∴BN2﹣AN2＝﹣AC2，

即AN2﹣BN2＝AC2．

18．解：（1）设DE长为xcm，则AE=（9-x）cm，BE=xcm，

那么在Rt△ABE中，∠A=90°，∴x2-（9-x）2=32，

故（x+9-x）（x-9+x）=9，即2x=10，那么x=5，即DE长为5cm，

（2）连BD即BD与EF互相垂直平分，即可求得：EF2=12cm2，

∴以EF为边的正方形面积为144cm2．

19.解：如图，若设AE＝x，则BE＝25－x．

∵DA⊥AB于A，在Rt△ADE中， AD2＋AE2＝DE2，

∵CB⊥AB于B，在Rt△ECB中，EB2＋BC2＝CE2，

∵DE＝CE所以DE2＝CE2，∴AD2＋AE2＝EB2＋BC2

∴ 152＋x2＝(25－x)2＋102， ∴ x＝10.

答：E站应建在距A站10 km处.

19题图

强化提高：

1.  (20+4)或(40+16)或(40+8).

解析：(1)当20是等腰三角形的底边时, 如图1， 根据面积求得底边上的高AD是16,再根据等腰三角形的三线合一知，底边上的高也是底边上的中线,即底边的一半BD=10,根据勾股定理即可求得其腰长AB===2,此时三角形的周长是(20+4)m.

     图1                    图2                    图3

(2)当20是腰时，由于高可以在三角形的内部,也可在三角形的外部,又应分两种情况.根据面积求得腰上的高是16;

①当高在三角形的外部时，如图2， 在Rt△ADC中，AD==12，从而可得BD=32， 进一步根据勾股定理求得其底边BC===16，此时三角形的周长是(40+16)m;

②当高在三角形的内部时，如图3，根据勾股定理求得AD==12,，BD=AB－AD=8，在Rt△CDB中，BC===8，

此时三角形的周长是(40+8)m.

答案：(20+4)或(40+16)或(40+8)

2. 解：若不是直角三角形，勾股定理不成立.

①当三角形是锐角三角形时,如图(2)，

证明：作AD⊥BC，垂足是D，设CD的长为x，

根据勾股定理得:b2－x2=AD2=c2－(a－x)2,

整理得:a2+b2=c2+2ax.∵2ax>0,∴a2+b2>c2.

②当三角形为钝角三角形时,如图(3),

证明:过A点作BC的垂线交BC延长线于D点，

设CD的长为y，在直角三角形ABD中，

AD2=c2－(a+y)2 ，在Rt△ADC中，AD2=b2－y2，∴b2－y2=c2－(a+y)2，

整理得:a2+b2=c2－2ay.∵2ay>0，∴a2+b2<c2.

∴①在锐角三角形中,a2+b2>c2.②在钝角三角形中,a2+b2<c2.

3．解：（1）∵BQ＝2×2＝4（cm），BP＝AB﹣AP＝16﹣2×1＝14（cm ），

∠B＝90°，∴PQ＝＝＝（cm）；

（2）BQ＝2t，BP＝16﹣t，根据题意得：2t＝16﹣t，解得：t＝，

即出发秒钟后，△PQB能形成等腰三角形；

（3）①当CQ＝BQ时，如图1所示，则∠C＝∠CBQ，

∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．∠A+∠C＝90°，

∴∠A＝∠ABQ，∴BQ＝AQ，∴CQ＝AQ＝10，∴BC+CQ＝22，

∴t＝22÷2＝11秒．

②当CQ＝BC时，如图2所示，

则BC+CQ＝24，∴t＝24÷2＝12秒．

③当BC＝BQ时，如图3所示，

过B点作BE⊥AC于点E，则BE＝＝，

∴CE＝，

∴CQ＝2CE＝14.4，∴BC+CQ＝26.4，

∴t＝26.4÷2＝13.2秒．

综上所述：当t为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ为等腰三角形．