2020-2021学年第14章 勾股定理14.2 勾股定理的应用第2课时同步训练题

14.2   勾股定理的应用（第2课时）

知识点：勾股定理及其逆定理.

重  点：综合运用勾股定理及其逆定理，解决实际问题.

难  点：构造直角三角形，解决实际问题.

基础巩固：

一、选择题：

1.已知一个直角三角形的木板，三边的平方和为1 800cm2，则斜边长为(    )

A.30cm        B.90cm          C.180cm          D.120cm

2.已知一个直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长为(    )

A.4       B.4或34       C.16或34      D.4或

3.如图，将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是(    )

A.h≤17cm          B.h≥8cm     

C.15cm≤h≤16cm     D.7cm≤h≤16cm

                      3题图                4题图               

4．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝3，BE＝4，则阴影部分的面积是(　　)

A．19            B．13              C．31                D．35

5．如果直角三角形的斜边长为20 cm，两条直角边长之比为3∶4，那么这个直角三角形的周长为(　　)

A．27 cm       B．30 cm            C．40 cm              D．48 cm

6．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为(　　)

A．4 cm        B．5 cm             C．6 cm               D．10 cm

6题图                  7题图              8题图

7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)．若线段AD的长为正整数，则符合条件的点D共有(　　)

A．5个         B．4个            C．3个                D．2个

8．如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形是直角三角形的个数是(　　)

A．1            B．2              C．3                 D．4

二、填空题：

9.一个有盖的长方体文具盒的长、宽、高分别是12cm，4cm，3cm，那么它最多能

放        cm长的铅笔.  

10．如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰三角形ABC，连结OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为________．

10题图                11题图                   12题图

11．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，连结AC，∠DAC＝∠BAC.若BC＝4 cm，AD＝5 cm，则AB＝________cm.

12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过顶点A的直线DE∥BC，∠ABC，∠ACB的平分线分别交DE于点E，D，若AC＝6，BC＝10，则DE的长为________．

13.如图，在水塔O的东北方向32 m处有一抽水站A，在水塔的东南方向24 m处有一建筑工地B，在AB间建一条水管，则水管的最小长度是          .

13题图                14题图                    15题图

14．如图，正方形A1B1B2C1，正方形A2B2B3C2，正方形A3B3B4C3，…，正方形AnBnBn＋1Cn按图放置，使点A1，A2，A3，A4，…，An在射线OA上，点B1，B2，B3，B4，…，Bn在射线OB上．若∠AOB＝45°，OB1＝1，图中阴影部分三角形的面积由小到大依次记作S1，S2，S3，S4，…，Sn，则Sn＝________．

15．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A'D为1.5米，则小巷的宽为      .

三、解答题：

16.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00从点A处甲先出发，他以6km/h的速度向正东行走，1小时后乙再从A处出发，他以5km/h的速度向正北行走。上午10：00，甲、乙两人相距多远？

                                                          16题图

17.如图，一架方梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，

(1)这个梯子的顶端距地面有多高；

(2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？

                                                             17题图

18．学校校内有一块如图所示的三角形空地ABC，其中AB＝13米，BC＝14米，AC＝15米，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价为60元，学校修建这个花园需要投资多少元？

18题图

19．有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多什么米？

19题图

强化提高：

1．如图，距沿海某城市A正南220千米的B处，有一台风中心，其最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就减弱1级，该中心正以每小时15千米的速度沿北偏东30°的BC方向移动，且风力不变，若城市A所受风力达到或超过4级，则称为受台风影响．

（1）A城市是否会受台风影响？为什么？

（2）若会，将持续多长时间？

（3）该城市受台风影响的最大风力为几级？

1题图

2. 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，其底边长为8 cm，腰长为5 cm，一动点P在底边上从点B出发向点C以0.25 cm/s的速度移动，请你探究：当点P运动多长时间时，点P与顶点A的连线PA与腰垂直．

                                                     2题图

14.2   勾股定理的应用（第2课时）答案

基础巩固：

1. A.  2. D.

3. D. 解析： (1)当筷子斜放时，(24-h)2=152+82，24-h=17，∴h=7(cm).

(2)当筷子与水杯底垂直时，h=24-8=16(cm). ∴7cm≤h≤16cm.

4．A.

5．D. 解析：设两条直角边长分别为3x cm，4x cm，根据勾股定理，

得(3x)2＋(4x)2＝202，解得x＝4，则两条直角边的长分别为12 cm，16 cm，

所以这个直角三角形的周长为48 cm.

6．B.

7.  C. 解析：如图，过点A作AE⊥BC于点E.

∵AB＝AC，∴EC＝BE＝BC＝4，

∴AE＝＝＝3.

∵D是线段BC上的动点(不含端点B，C)，∴3≤AD＜5.

∵线段AD的长为正整数，∴AD＝3或4，

当AD＝3时，点D就在点E的位置，

当AD＝4时，点D在点E的两侧各有一个位置，

∴符合条件的点D共有3个．故选C.

7题图

8．C. 解析：从点A，B，C，D中任取三点能组成三角形的一共有4种可能，其中只有△ABD，△ADC，△ABC是直角三角形．

9.13. 

10． . 解析： ∵△ABC为等腰三角形，OA＝OB＝3，∴OC⊥AB.

在Rt△OBC中，OC＝＝＝.

∵以O为圆心，OC长为半径画弧交数轴于点M，

∴OM＝OC＝，∴点M对应的实数为.

11．8. 　 12. 14.  

13. 40m.解析：在直角三角形OAB中，OA=32m, OB=24m,由勾股定理得，AB=40m.

14． 22n－3. 解析：∵OB1＝1，△OB1A1是等腰直角三角形，∴A1B1＝1.

∵四边形A1B1B2C1是正方形，∴A1C1＝1.

∵△A1C1A2是等腰直角三角形，∴S1＝×1×1＝.

同理A2C2＝2，A3C3＝22，A4C4＝23，…，AnCn＝2n－1，

∴Sn＝×2n－1×2n－1＝22n—3.

15．2.7米.解析：在Rt△ABC中，

AB＝＝＝2.5（米），∴A′B＝2.5米，

在Rt△A′BD中，BD＝＝2（米），

∴BC+BD＝2+0.7＝2.7（米）， 即小巷的宽为2.7米.

16. 解：如图，已知A是甲、乙的出发点，10:00甲到达B点,乙到达C点.

则AB=2×6=12(千米)，AC=1×5=5(千米)

在Rt△ABC中，BC2=AC2+AB2=52+122=169=132，

∴BC=13(千米) .即甲乙两人相距13千米

   16题图                  18题图

17.解：(1)∵AB=25，OB=7. ∴OA==24(米).

(2)根据题意，可得：OA′=20A′B′=25OA′=15.   ∴BB′=15-7=8(米).

18．解：过点A作AD⊥BC于点D，设BD＝x，则CD＝14﹣x，

在Rt△ABD与Rt△ACD中，

∵AD2＝AB2﹣BD2，AD2＝AC2﹣CD2，

∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2，解得x＝5，

∴AD2＝AB2﹣BD2＝132﹣52＝144，∴AD＝12（米），

∴学校修建这个花园的费用＝＝5040（元）．

答：学校修建这个花园需要投资5040元．

19．解：如图，设大树高为AB＝10m，小树高为CD＝4m，

过C点作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是矩形，连接AC，

∴EB＝4m，EC＝8m，AE＝AB﹣EB＝10﹣4＝6m，

在Rt△AEC中，AC＝＝＝10m，

故小鸟至少飞行10m．

19题图                                1题图

强化提高：

1．解：（1）该城市会受到这次台风的影响．

理由是：如图，过A作AD⊥BC于D．在Rt△ABD中，

∵∠ABD＝30°，AB＝220，∴AD=，

∵城市受到的风力达到或超过四级，则称受台风影响，

∴受台风影响范围的半径为20×（12﹣4）＝160．

∵110＜160，

∴该城市会受到这次台风的影响．

（2）如图以A为圆心，160为半径作⊙A交BC于E、F．则AE＝AF＝160．

∴台风影响该市持续的路程为：EF＝2DE＝2＝60．

∴台风影响该市的持续时间t＝60÷15＝4（小时）．

（3）∵AD距台风中心最近，

∴该城市受到这次台风最大风力为：12﹣（110÷20）＝6.5（级）．

2. 解：过点A作AD⊥BC于点D.

∵AB＝AC，BC＝8 cm，∴BD＝CD＝BC＝4 cm.

由勾股定理，得AD＝＝3(cm)．

分两种情况：

(1)当点P运动t秒后有PA⊥AC时，如图①，

∵AP2＝PD2＋AD2＝PC2－AC2，

∴PD2＋32＝(PD＋4)2－52，∴PD＝2.25 cm，

∴BP＝4－2.25＝1.75，

∴0.25t＝1.75，解得t＝7.

(2)当点P运动t秒后有PA⊥AB时，如图②，

同理可得PD＝2.25，∴BP＝4＋2.25＝6.25，

∴0.25t＝6.25，解得t＝25.

综上所述，当点P运动的时间为7 s或25 s时，点P与顶点A的连线与腰垂直．