初中数学华师大版八年级上册2 直角三角形的判定复习练习题

14.1.2   直角三角形的判定

知识点：勾股定理的逆定理及勾股数.

重  点：利用勾股定理的逆定理判定直角三角形.

难  点：用勾股定理和直角三角形判别条件，解决实际问题.

基础巩固：

1.下列几组数中，不能作为直角三角形的三边长的是(    )

A. 2，3，4　       B. 5，12，13　　 

C. 6，8，10　　      D. 9，12，15

2．在△ABC中，AB＝8，AC＝15，BC＝17，则该三角形为(    )

A．锐角三角形                 B．直角三角形

C．钝角三角形                D．等腰直角三角形

3．已知△ABC的三边分别为a、b、c，下列条件中，不能判定△ABC为直角三角形的是（　　）

A．∠A＝∠B+∠C B．a：b：c＝1：1： 

C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．b2＝a2+c2

4.将直角三角形三边缩小同样的倍数，得到的新的三角形是(    )

A.锐角三角形         B.直角三角形  

C.钝角三角形       D.任意三角形

5．在如图所示的网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得△ABC是直角三角形，则这样的格点C的个数是（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10

   5题图                               6题图

6．如图，已知△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，DE是AC的垂直平分线，DE交AB于点D，交AC于点E，连接CD，则CD的值为（　　）

A．1 B．1.5 C．2 D．2.5

7.三角形的三边长为a,b,c,满足(a+b)2－c2=2ab,则此三角形是　　　　.

8.若一个三角形的三边之比为5∶12∶13,且周长为60cm,则它的面积为　　　　cm2.

9．已知 a，b，c是△ABC的三边长，满足关系式|a﹣b|+＝0，则△ABC的形状为　   　．

10．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足关系式+|b﹣|+（c﹣）2＝0，则△ABC的形状为　   　．

11．已知三角形两边长为2和6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为　   　．

12.小强在操场上向东走200m后,又走了150m,再走250m回到原地.小强在操场上向东走了200m后,又走150m的方向是            .

13.在新农村建设中,一农民在建房时挖了一个地基,如图是它的平面图形.按建房标准,四边形ABCD应为长方形.他在挖完后测量发现AB=DC=8cm,AD=BC=6cm,AC=9cm,请你帮他看一下挖的地基是否合格.

13题图

14.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD＝12，BD＝16，CD＝5.

(1)求△ABC的周长；

(2)判断△ABC是不是直角三角形？为什么？

   14题图    

15．如图，已知CD＝3，AD＝4，BC＝12，AB＝13，∠ADC＝90°，试求阴影部分的面积．

15题图

16．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上．

（1）计算边AB、BC、AC的长．

（2）判断△ABC的形状，并说明理由．

16题图 

17.如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了500米到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500米到达目的地C点，求A.C两点间的距离．

18．如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠DAB＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，E、F分别是BC和CD边上的点，且CE＝BC，F为CD的中点，问△AEF是什么三角形？请说明理由．

19.王伟准备用一段长30m的篱笆围成一个三角形形状的小圈,用于饲养家兔.已知第一条边长为am,由于受地势限制,第二条边长只能是第一条边长的2倍多2m.

(1)请用a表示第三条边长.

(2)问第一条边长可以为7m吗?为什么?请说明理由,并求出a的取值范围.

(3)能否使得围成的小圈是直角三角形形状,且各边长均为整数?若能,说出你的围法;若不能,请说明理由.

强化提高：

1．如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

       1题图                               2题图 

2．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，如图①，若∠C＝90°，则有a2+b2＝c2．若△ABC为锐角三角形时，小明猜想：a2+b2＞c2．理由如下：如图②，过点A作AD⊥CB于点D，设CD＝x．在Rt△ADC中，AD2＝b2﹣x2，在Rt△ADB中，AD2＝c2﹣（a﹣x）2，∴a2+b2＝c2+2ax．∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0，∴a2+b2＞c2，∴当△ABC为锐角三角形时，a2+b2＞c2．小明的猜想是正确的．

（1）请你猜想，当△ABC为钝角三角形时，a2+b2与c2的大小关系．（温馨提示：在图③中，作BC边上的高）

（2）证明你猜想的结论是否正确．

3．如图，在△ABC中，AB＝30cm，BC＝35cm，∠B＝60°，有一动点M自A向B以1cm/s的速度运动，动点N自B向C以2cm/s的速度运动，若M，N同时分别从A，B出发．

（1）经过多少秒，△BMN为等边三角形；

（2）经过多少秒，△BMN为直角三角形．

3题图

14.1.2   直角三角形的判定答案

基础巩固：

1. A. 解析：根据勾股定理，直角三角形的三边应是勾股数，因为22+32=13≠42=16,

所以答案为：A.

2. B. 解析：因为82+152=64+225=289=172, 所以该三角形为直角三角形，选B.

3．C. 解析：A. ∵∠A＝∠B+∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝90°，

∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；

B. ∵（）2＝12+12，∴能构成直角三角形，故此选项不合题意；

C. 设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°，

3x+4x+5x＝180，解得：x＝15，则5x°＝75°，

∴△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意；

D. ∵b2＝a2+c2，∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意．

故选：C．

4. B. 解析：设直角三角形的三边分别为a, b, c, 由勾股定理得，a2+b2=c2, 那么，式子(ka)2+(kb)2=(kc)2（k≠0）也是成立的, 所以将直角三角形三边缩小或扩大同样的倍数，得到的新的三角形仍是直角三角形. 答案为：B.

5．C. 解析：如图所示：

格点C的个数是8，故选：C．

6．D. 解析：∵AC＝4，BC＝3，AB＝5，

∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，

∵DE是AC的垂直平分线，

∴AE＝EC＝2，DE∥BC，且线段DE是△ABC的中位线，

∴DE＝1.5，

Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2＝CE2+DE2，

∴CD2＝22+1.52，∴CD＝2.5．故选：D．

7. 直角三角形.  解析：∵(a+b)2－c2=2ab,

∴a2+b2+2ab－c2=2ab,  ∴a2+b2=c2, ∴三角形是直角三角形.

8. 120. 解析：设三边分别为5x,12x,13x,

则5x+12x+13x=60, ∴x=2,

∴三边分别为10cm,24cm,26cm,

∵102+242=262,∴三角形为直角三角形,

两直角边边长分别是10cm,24cm,

∴S=10×24÷2=120(cm2).

9．等腰直角三角形．解析：∵|a﹣b|+=0，∴c2﹣a2﹣b2＝0，a﹣b＝0，

∴a2+b2＝c2，a＝b，∴△ABC的形状为等腰直角三角形．

故答案为：等腰直角三角形．

10．直角三角形．解析：∵+|b﹣|+（c﹣）2＝0，

∴a﹣1＝0，b﹣＝0，c﹣＝0，

解得：a＝1，b＝，c＝，∴a2+b2＝c2，∴∠C＝90°，

即△ABC的形状为直角三角形．故答案为：直角三角形．

11． 2或4．解析：根据勾股定理分两种情况：

（1）当第三边为斜边时，第三边长＝＝2；

（2）当斜边为6时，第三边长＝＝4；

故答案为：2或4．

12. 正南或正北. 解析：因为2002+1502=62500=2502,所以小强走了一个直角三角形.开始他是向东走,当他再向正北或者正南走的时候,恰好构成直角.

答案：正南或正北

13. 解：先看∠ADC是不是直角.

在△ADC中,∵AD2+DC2=62+82=100,AC2=92=81,

∴AD2+DC2≠AC2,∴△ADC不是直角三角形,

∴∠ADC不是直角.但标准是长方形的四个角都应是直角,

∴该农民挖的地基不合格.

14.解：(1)在Rt△ABD和Rt△ACD中，根据勾股定理，

得AB2＝AD2＋BD2，AC2＝AD2＋CD2，

又∵AD＝12，BD＝16，CD＝5，

∴AB＝20，AC＝13.

∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝AB＋AC＋BD＋DC

＝20＋13＋16＋5＝54.

(2)△ABC不是直角三角形．理由：

∵AB＝20，AC＝13，BC＝21，

AB2＋AC2≠BC2，∴△ABC不是直角三角形．

15．解：由勾股定理可知：

AC＝，

又∵AC2+BC2＝52+122＝132＝AB2，

∴△ABC是直角三角形

故所求面积＝S△ABC﹣S△ACD＝×5×12﹣×3×4＝30﹣6＝24，

答：阴影部分的面积为24．

16．解：（1）∵每个小正方形的边长都是1，

∴AB＝＝，BC＝＝，AC＝＝；

（2）△ABC是等腰直角三角形，

理由是：∵AB2+BC2＝13+13＝26，AC2＝26，

∴AB2+BC2＝AC2，

∵AB＝BC＝，∴△ABC是等腰直角三角形．

17．解：过点B作NM垂直于正东方向，垂足为M，则∠ABM=60°．

因为∠NBC=30°，所以∠ABC=90°．

在Rt△ABC中，AC==1000（米）．

18．解：∵AB＝BC＝CD＝AD＝4，AB＝4，CE＝BC，

∴EC＝1，BE＝3，

∵F为CD的中点，∴DF＝FC＝2，

∵∠DAB＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，

∴EF＝＝，

AF＝＝，

AE＝＝．

∴AE2＝EF2+AF2．

∴△AEF是直角三角形．

19.解：(1)∵第二条边长为(2a+2)m,

∴第三条边长为30－a－(2a +2)=(28－3a)m.

(2)当a=7时,三边长分别为7m,16m,7m.

由于7+7<16,所以不能构成三角形,即第一条边长不能为7m.

由可解得<a<,即a的取值范围是<a<.

(3)在(2)的条件下,a为整数时,a只能取5或6.

当a =5时,三角形的三边长分别为5,12,13.由52+122=132知,恰好能构成直角三角形.

当a =6时,三角形的三边长分别为6,14,10.由62+102≠142知,此时不能构成直角三角形.

综上所述,能围成满足条件的小圈,它们的三边长分别为5m,12m,13m.

强化提高：

1． C. 解析：如图，连接AC、AB、AD、BC、CD、BD，

设小正方形的边长为1，

由勾股定理得：AB2＝12+22＝5，AC2＝22+42＝20，

AD2＝12+32＝10，BC2＝52＝25，CD2＝12+32＝10，BD2＝12+22＝5，

∴AB2+AC2＝BC2，AD2+CD2＝AC2，BD2+AB2＝AD2，

∴△ABC、△ADC、△ABD是直角三角形，共3个直角三角形，

故选：C．

1题图                       2题图 

2．解：（1）当△ABC为钝角三角形时，a2+b2与c2 的大小关系为：a2+b2＜c2；

（2）如图③，过点A作AD⊥BC于点D，设CD＝x，

在Rt△ADC中，AD2＝b2﹣x2，

在Rt△ADB中，AD2＝c2﹣（a+x）2，

∴b2﹣x2＝c2﹣（a+x）2，∴a2+b2＝c2﹣2ax，

∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0，∴a2+b2＜c2

即当△ABC为钝角三角形时，a2+b2＜c2．

3．解：（1）设经过x秒，△BMN为等边三角形，

则AM＝x，BN＝2x，∴BM＝AB﹣AM＝30﹣x，

根据题意得：30﹣x＝2x，解得：x＝10，

答：经过10秒△BMN为等边三角形；

（2）经过x秒，△BMN是直角三角形，

①当∠BNM＝90°时，

∵∠B＝60°，∴∠BMN＝30°，

∴BN＝BM，即2x＝（30﹣x），解得：x＝6；

②当∠BMN＝90°时，

∵∠B＝60°，∴∠BNM＝30°，

∴BM＝BN，即30﹣x＝×2x，解得：x＝15，

答：经过6秒或15秒，△BMN是直角三角形．