初中数学华师大版八年级上册3 反证法同步达标检测题

14.1.3   反证法

知识点：反证法.

重  点：掌握反证法的三个步骤的运用方法.

难  点：反证法证题中在推理过程中发现矛盾.

基础巩固：

1.写出下列各结论的反面：

（1）a∥b；                                ；

（2）a≥0；                                  ；

（3）b是正数；                             ；

（4）a⊥b.                                    .

2.用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步应假设　　　           　　   　

3.用反证法证明命题：“垂直于同一条直线的两条直线平行”时，第一步应假设                                  .

4．用反证法证明：“三角形中至少有两个锐角”时，首先应假设这个三角形中　   　．

5．用反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°时，假设“　   　”，则与“　   　”矛盾，所以原命题正确．

6．为说明命题“如果a＞b，那么”是假命题，你举出的反例是　   　．

7．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：

①∠A+∠B+∠C＝90°+90°+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；

②所以一个三角形中不能有两个直角；

③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°．

正确顺序的序号排列为　   　．

8.命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是（    ）

  A.有两个内角是直角                     B.有三个内角是直角

  C.至少有两个内角是直角                 D.没有一个内角是直角

9.否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为（   ）

  A.a，b，c都是奇数

  B. a，b，c都是偶数

  C. a，b，c中至少有两个偶数

  D. a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数

10．用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，第一步应先假设命题不成立，则下列各备选项中，第一步假设正确的是（　　）

A．假设四边形中没有一个角是钝角或直角 

B．假设四边形中有一个角是钝角或直角 

C．假设四边形中每一个角均为钝角 

D．假设四边形中每一个角均为直角

11．已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：

①∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾

②因此假设不成立．∴∠B＜90°

③假设在△ABC中，∠B≥90°

④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．

这四个步骤正确的顺序应是（　　）

A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②

12．在下列命题中，真命题的个数有（　　）

①若x＞0，则         ②若﹣2x＞4则x＞

③如果一个三角形一边上的中线是这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

④在用反证法证明“一个三角形中最多有一个直角“时，首先应假设“这个三角形中有两个直角”

A．4 B．3 C．2 D．1

13．用反证法证明命题：“若a，b是整数，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（　　）

A．a，b都能被3整除               B．a不能被3整除 

C．a，b不都能被3整除              D．a，b都不能被3整除

14．用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补（填空）．

已知：如图，l1∥l2，l1，l2都被l3所截．

求证：∠1+∠2＝180°．

证明：假设∠1+∠2　   　180°．

∵l1∥l2，

∴∠1　   　∠3．

∵∠1+∠2　   　180°，

∴∠3+∠2≠180°，这和　   　矛盾，

∴假设∠1+∠2　   　180°不成立，即∠1+∠2＝180°．

     14题图

15.已知：a是整数，2能整除a2. 求证：2能整除a.

16.用反证法证明：三角形的三个内角中，总有一个角不大于60°.

17.用反证法证明：等腰三角形的底角都是锐角.

18.用反证法证明：一条线段只有一个中点.

已知：一条线段AB,M为AB的中点.

求证：线段AB只有一个中点M.

19.阅读下列文字,回答问题.

题目：在Rt△ABC中,∠C=90°,若∠A≠45°,则AC≠BC.

证明：假设AC=BC,因为∠A≠45°,∠C=90°,所以∠A≠∠B.所以AC≠BC,这与假设矛盾,所以AC≠BC.

上面的证明有没有错误?若没有错误,指出其证明的方法;若有错误,请予以纠正.

强化提高：

1．公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数，导致了第一次数学危机，是无理数的证明如下：假设是有理数，那么它可以表示成

（p与q是互质的两个正整数）．于是（）2＝（）2＝2，所以，q2＝2p2．

于是q2是偶数，进而q是偶数，从而可设q＝2m，所以（2m）2＝2p2，p2＝2m2，

于是可得p也是偶数．这与“p与q是互质的两个正整数”矛盾．

从而可知“是有理数”的假设不成立，所以，是无理数．

这种证明“是无理数”的方法是（　　）

A．综合法 B．反证法 C．举反例法 D．数学归纳法

2. 试用举反例的方法说明下列命题是假命题.

举例：如果ab<0,那么a+b<0.

反例：设a=4,b=－3, ab=4×(－3)=－12<0,

而a+b=4+(－3)=1>0,  所以, 这个命题是假命题.

(1)如果a+b>0,那么ab>0.

(2)如果a是无理数,b是无理数,那么a+b是无理数.

(3)两个三角形中,两边及其中一边的对角对应相等,则这两个三角形全等.

(画出图形,并加以说明)

3.如图所示,在△ABC中, AB>AC, AD是内角平分线, AM是BC边上的中线,

求证：点M不在线段CD上.

3题图 

14.1.3   反证法答案

基础巩固：

1.（1）a不平行于b；（2）b是0或负数；（3）b是0或负数；（4）a不垂直于b.

2. 这个三角形是等腰三角形

3. 垂直于同一条直线的两条直线相交.

4．三角形三个内角中最多有一个锐角. 解析：∵至少有两个”的反面为“最多有一个”，而反证法的假设即原命题的逆命题正确；

∴应假设：三角形三个内角中最多有一个锐角．

故答案为：三角形三个内角中最多有一个锐角

5．解析：用反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°时，假设“三角形的三个内角都小于60°”，则与“三角形的内角和是180°”矛盾，所以原命题正确．

6．解析：当a＝2，b＝1时，满足命题的题设a＞b的要求，

而＝，＝1，显然，不支持原命题的结论，

故填当a＝2，b＝1时，a＞b，但．

7．③①②．解析：反证法的步骤是先假设结论成立，然后推出矛盾，最后推出假设不成立，结论成立．所以再确定步骤是③①②．

故答案为③①②．

8. C.   9. D.

10．A. 解析：反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，第一步假设四边形中没有一个角是钝角或直角，故选：A．

11．D. 解析：运用反证法证明这个命题的四个步骤：

1、假设在△ABC中，∠B≥90°，

2、由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，

3、∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，

4、因此假设不成立．∴∠B＜90°，故选：D．

12．D. 解析：①若x＝1，a＝1，b＝2时，＝≠．故错误．

②若﹣2x＞4则x＜﹣2，故错误．

③若一个三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形，故正确．

④因为“最多有一个”的反面是“至少有两个”，反证即假设原命题的逆命题正确，所以在用反证法证明“一个三角形中最多有一个直角“时，首先应假设“这个三角形中至少有两个直角”，故错误．

综上所述，正确的命题有1个．故选：D．

13．D. 解析：反证法证明命题时，应假设命题的反面成立．“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，

故应假设 a，b都不能被3整除．故选：D．

14．证明：假设∠1+∠2≠180°．

∵l1∥l2，∴∠1＝∠3．

∵∠1+∠2≠180°，

∴∠3+∠2≠180°，这与平角为180°矛盾，

∴假设∠1+∠2≠180°不成立，即∠1+∠2＝180°．

故答案为：≠；＝；≠；平角为180°；≠．

15. 证明：假设命题的结论不成立，

即“2不能整除a”,因为a是整数，故a是奇数.

   不妨设a=2n+1(n是整数),

∴a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=2(2n2+2n)+1,

   ∴a2是奇数，则2不能整除a2,这与已知矛盾.

   ∴假设不成立，故2能整除a.

16.证明：假设三角形的三个内角都大于60°.

∵三角形的内角都大于60°，

∴三个内角之和大于180°.

这与三角形内角和等于180°相矛盾，所以原命题正确.

17.已知：在△ABC中，AB=AC，求证：∠B、∠C是锐角.

证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，

∵AB=AC，∴∠B=∠C. 

不妨设∠B、∠C是直角或钝角，

∴∠A+∠B+∠C≥180° 

这与三角形内角和等于180°矛盾，

所以原命题正确.

18. 证明：假设线段AB有两个中点M,N,不妨设M在N的左边,则AM<AN,

又因为AM=AB,AN=AB, 所以AM=AN,

这与AM<AN矛盾,所以线段AB只有一个中点M.

19.解：有错误.改正:假设AC=BC,则∠A=∠B,又∠C=90°,

所以∠B=∠A=45°,这与∠A≠45°矛盾,

所以AC=BC不成立,所以AC≠BC.

强化提高：

1. B. 解析：由题意可得：这种证明“是无理数”的方法是反证法．故选：B．

2. 解：(1)反例：取a=2,b=－1,则a+b=1>0,但ab=－2<0.所以此命题是假命题.

(2)反例：取a=1+,b=1－,a,b均为无理数.

但a+b=2是有理数,所以此命题是假命题.

(3)反例:如图所示,在△ABC与△ABD中,AB=AB,AD=AC,∠ABD=∠ABC,

但△ABC与△ABD显然不全等.所以此命题是假命题.

2题图

3. 证明：假设点M不在线段CD上不成立,则点M在线段CD上.

延长AM到N,使AM=MN, 连结BN,

在△AMC和△NMB中,

BM=CM,∠AMC=∠BMN,AM=MN,

∴△AMC≌△NMB(S.A.S.),

∴∠MAC=∠MNB,BN=AC.

根据M在线段CD上,则∠BAM>∠MAC,

∴∠MNB<∠BAM,∴BN>AB,即AC>AB,与AB>AC相矛盾.

因而M在线段CD上是错误的.所以点M不在线段CD上.

3题图