华师大版八年级上册第14章 勾股定理综合与测试习题

第14章 勾股定理 复习课

知识点：勾股定理、勾股定理的逆定理及其应用.

重  点：勾股定理及其逆定理的运用.

难  点：勾股定理在实际中的应用.

基础巩固：

一、选择题：

1．下列四组长度的线段中，可以组成直角三角形的是(　　)

A．4，5，6      B．3，4，5        C．2，3，4          D．1，2，3

2．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝5，则边AC的长为(　　)

A.或     B.             C.           D．以上都是不对

3.有五组数：①25，7，24；②16，20，12；③9，40，41；④4，6，8；

⑤32，42，52，以各组数为边长，能组成直角三角形的个数为 (    )

A.1            B.2            C.3            D.4

4. 在△ABC中，BC＝a，AB＝c，AC＝b，则不能作为判定△ABC是直角三角形的条件的是（　　）

A．∠A＝∠B﹣∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：4：3 

C．a：b：c＝7：24：25 D．a：b：c＝4：5：6

5. 下面各图中，不能证明勾股定理正确性的是（　　）

A．B．C． D．

6． “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（　　）

A．9 　　　　  B．6 　　　   　C．4 　　　D．3

6题图               7题图                  8题图

7．把一个边长为1的正方形按如图所示方式放在数轴上，以正方形的对角线为半径画弧交数轴于点A，则点A对应的数是(　　)

A．1           B.               C.              D．2

8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，CD⊥AB于D，则CD的长是（　　）

A．5 B．7 C． D．

9.如图,直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为3和4,则b的面积为　(　　)

A.3　　　　B.4　　　　C.5　　　　D.7

二、填空题：

10.在Rt△ABC中，∠C=90°，①若a=5，b=12，则c=           ；

②若a=15，c=25，则b=           ；

③若c=61，b=60，则a=          ；

④若a∶b=3∶4，c=10则SRt△ABC=        .

11.如图，9，16表示两个正方形的面积，则阴影部分的面积是         .

12.如图，根据图中的数据进行计算，AB=          .

11题图              12题图               13题图

13.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为          cm2.

14.如图，三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是           　．

14题图              15题图                16题图

15. 如图，圆柱的底面半径为24，高为7π，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是      　 　．

16.如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘AB＝CD＝20m，点E在CD上，CE＝5m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为        　 　m．（边缘部分的厚度忽略不计）

三、解答题：

17. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，CD是AB边上的高．求线段AD的长．

17题图

18.如图，在△ABC中，AD＝15，AC＝12，DC＝9，点B是CD延长线上一点，连接AB，若AB＝20．求：△ABD的面积．

18题图

19.已知在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，

且BE2﹣AE2＝AC2．

（1）求∠A的度数；

（2）若DE＝3，BD＝4，求AE的长．

19题图 

20．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB=3千米，CH=2.4千米，HB=1.8千米．

（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：CH与AB是否垂直？）请通过计算加以说明；

（2）求原来的路线AC的长．

20题图         

21. 如图1，一架云梯斜靠在一竖直的墙上，云梯的顶端距地面15米，梯子的长度比梯子底端离墙的距离大5米．

（1）这个云梯的底端离墙多远？

（2）如图2，如果梯子的顶端下滑了8m，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米？

21题图  

22.如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN的距离为80m，现有一卡车在公路MN上以5m/s的速度沿PN方向行驶，卡车行驶时周围100m以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间多长？

22题图

23．有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1 m，将它往前推送6 m (水平距离BC＝6 m)时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝4 m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．

强化提高：

1.在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小刚发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中：

则当a＝20时，b+c的值为（　　）

A．162 B．200 C．242 D．288

2. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发以每秒1cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．

（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；

（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上（但不与A点重合），求t的值．

第14章 勾股定理复习课答案

1. B.   2. C.   3. C.

4. D. 解析：A. 由∠A＝∠B﹣∠C得到：∠B＝∠A+∠C，所以∠B＝90°，

故能判定△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；

B. ∠A：∠B：∠C＝1：4：3，又∠A+∠B+∠C＝180°，则∠B＝90°，

故能判定△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；

C. 因为72+242＝252，所以能判定△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；

D. 因为42+52≠62，所以不能判定△ABC是直角三角形，故本选项符合题意；

故选：D．

5. C. 解析：A. ∵c2ab（a+b）（a+b），

∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；

B. ∵4（b﹣a）2＝c2，

∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；

C. 根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；

D. ∵4c2＝（a+b）2，

∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；故选：C．

6. D. 解析：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，

∵每一个直角三角形的面积为： ab=×8=4，

∴4×ab+（a﹣b）2=25，∴（a﹣b）2=25﹣16=9，

∴a﹣b=3，故选：D．

7. B.

8. C. 解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB5，

∵AC×BCCD×AB，∴3×45×CD，解得CD．

故选：C．

9. D. 解析：如图,∵∠ACB+∠ECD=90°,∠DEC+∠ECD=90°,

∴∠ACB=∠DEC, ∵∠ABC=∠CDE, AC=CE,

∴△ABC≌△CDE,∴BC=DE.

根据勾股定理的几何意义,b的面积=a的面积+c的面积,

∴b的面积=3+4=7.

   9题图

10.  ①13，②20，③11，④24.

11. 56.      12. 65.    13. 49.

14. ．解析：作CP⊥AB于P，

由垂线段最短可知，此时PC最小，

由勾股定理得，AB5，

S△ABCAC×BCAB×PC，即3×45×PC，

解得，PC，故答案为：．

14题图               15题图             16题图

15. 25π．解析：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接AB，

则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程，

AC2π×24＝24π，∠C＝90°，BC＝7π，

由勾股定理得：AB25π．

故答案为：25π．

16.25m. 解析：如图是其侧面展开图：AD＝π20m，AB＝CD＝20m．

DE＝CD﹣CE＝20﹣5＝15（m），

在Rt△ADE中，AE25（m）．

故他滑行的最短距离约为25m．

17.解：设AD＝x，∵CD⊥AB，∴∠D＝90°，

∴CD2＝BC2﹣BD2＝AC2﹣AD2，

∴82﹣（5+x）2＝52﹣x2，

∴x，∴AD．

18.解：在△ADC中，AD＝15，AC＝12，DC＝9，

AC2+DC2＝122+92＝152＝AD2，

即AC2+DC2＝AD2，

∴△ADC是直角三角形，∠C＝90°，

在Rt△ABC中，BC16，

∴BD＝BC﹣DC＝16﹣9＝7，

∴△ABD的面积7×12＝42．

19. 解：（1）连接CE，∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴CE＝BE．

∵BE2﹣AE2＝AC2，∴AE2+AC2＝CE2．

∴△AEC是直角三角形，∠A＝90°；

（2）在Rt△BDE中，BE5．

∴CE＝BE＝5．

设AE＝x，则在Rt△AEC中，AC2＝CE2﹣AE2，

∴AC2＝25﹣x2．∵BD＝4，∴BC＝2BD＝8．

在Rt△ABC中，根据BC2＝AB2+AC2，

即64＝（5+x）2+25﹣x2，解得x＝1.4．即AE＝1.4．

19题图

20．解：（1）是，理由是：在△CHB中，

∵CH2+BH2=（2.4）2+（1.8）2=9，BC2=9.

∴CH2+BH2=BC2，∴CH⊥AB，

所以CH是从村庄C到河边的最近路.

（2）设AC=x，在Rt△ACH中，

由已知得AC=x，AH=x﹣1.8，CH=2.4.

由勾股定理得：AC2=AH2+CH2.

∴x2=（x﹣1.8）2+（2.4）2

解这个方程，得x=2.5，

答：原来的路线AC的长为2.5千米．

21.解：（1）根据题意可得OA＝15米，AB﹣OB＝5米，

由勾股定理OA2+OB2＝AB2，可得：152+OB2＝（5+OB）2

解得：OB＝20，

答：这个云梯的底端离墙20米远；

（2）由（1）可得：AB＝20+5＝25米，

根据题意可得：CO＝7米，CD＝AB＝25米，

由勾股定理OC2+OD2＝CD2，可得：，

∴BD＝24﹣20＝4米，

答：梯子的底部在水平方向滑动了4米．

22. 解：设拖拉机开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束了噪声的影响．

22题图

则有CA＝DA＝100m，

在Rt△ABC中，CB60（m），

∴CD＝2CB＝120m，

则该校受影响的时间为：120÷5＝24（s）．

答：该校受影响拖拉机产生的噪声的影响时间为24秒．

23．解：在Rt△ACB中，

AC2＋BC2＝AB2，

设秋千的绳索AD长为x m，则AC＝(x－3) m，

故x2＝62＋(x－3)2，解得x＝7.5，

答：绳索AD的长度是7.5 m．

强化提高：

1.解：根据表格中数据可得：a2+b2＝c2，并且c＝b+2，

则a2+b2＝（b+2）2，

当a＝20时，202+b2＝（b+2）2，

解得：b＝99，则c＝99+2＝101，∴b+c＝200，

故选：B．

2. 解：（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，

则由勾股定理得到：AC8（cm）

设存在点P，使得PA＝PB，此时PA＝PB＝t，PC＝8﹣t，

在Rt△PCB中，PC2+CB2＝PB2，

即：（8﹣t）2+62＝t2，解得：t，

∴当t时，PA＝PB；

（2）当点P在∠BAC的平分线上时，如图，过点P作PE⊥AB于点E，

此时BP＝14﹣t，PE＝PC＝t﹣8，BE＝10﹣8＝2，

在Rt△BEP中，PE2+BE2＝BP2，

即：（t﹣8）2+22＝（14﹣t）2，解得：t，

∴当t时，P在△ABC的角平分线上．

  2题图