初中数学华师大版八年级上册2 线段垂直平分线第二课时教学设计及反思

课  题：13.5 逆命题与逆定理

第二课时 线段的垂直平分线

＆.教学目标：

1、理解线段的垂直平分先的性质定理和判定定理。

2、用逻辑推理的方法证明关于线段垂直平分线的性质定理和其逆定理。

3、通过认识上的升华，使学生加深对命题证明的认识。

＆.教学重点、难点：

重点：掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，并运用这两个定理证明相关命题。

难点：运用这两个定理解答相关的问题。

＆.教学过程：

一、问题引入

1、线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么图形？

2、线段的垂直平分线到这条线段两端点的距离相等吗？思考以前是怎样证明的？

二、探究新知

§.利用全等三角形的知识解决线段垂直平分线的问题：

探究活动1：

问题：如图1，，垂足为，，点是上的任意一点，你能运用全等三角形的知识证明.

证明：∵

∴

在和中

∴（）

∴（全等三角形的对应边相等）

§.线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

几何语言：∵，

∴（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）

探究活动2：

问题1：如图1，如果，那么点是否在线段的垂直平分线上呢？

问题2：如图2，用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎样才能保持射出箭的方向与木棒垂直呢？为什么？

问题3：你能证明吗？

如图1，已知，求证：点在线段的垂直平分线上。

解析：为了证明点在线段的垂直平分线上，可以先经过点作线段的垂线，然后利用“”证明，得到；也可以先作边上的中线，然后利用“”证明，得到.

§.线段垂直平分线定理的逆定理：

到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

几何语言：∵

∴点在线段的垂直平分线

注意：线段垂直平分线的性质线段垂直平分线的判定。

探究活动3：

（1）分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，然后分别作出各边的垂直平分线，观察现象你发现了什么？

（2）请同学们继续探讨一下，这个交点到三角形的三个顶点的距离是否相等？

（3）请同学们回顾在证明“三角形的三条角平分线的交点到三边的距离相等”的思想方法，类比分析去证明在（2）中得到的结论.

§.概括：

（1）三角形的三边的垂直平分线相交于一点，在锐角三角形中，这个交点在三角形的内部；在直角三角形中，这个交点为斜边的中点；在钝角三角形中，这个交点在三角形的外部。

（2）三角形的三边垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等。

三、讲解例题，巩固新知

§.例1、如图3，在中，的垂直平分线交于，若的周长为，，求的周长。

教学方法：引导学生分析求的周长应从整体上求三边的和而不是先求各边的长然后再求和，同时通过此题的训练让学生体会“等线段”代换的妙处。

解：∵点在的垂直平分线上

∴

∴

∵

∴

同步练习：如图4，在中，是的垂直平分线，，的周长为，求的周长。

§.例2、如图5，在中，，的垂直平分线交于，的垂直平分线恰好经过点，求的度数。

分析：由线段的垂直平分线得：，由等边对等角以及三角形三内角的和为而求解。

解：连结

∵、分别线段、的垂直平分线

∴

∴，

又∵

设，则，解得：，即

同步练习：

（1）如图6，已知，若和分别是、的中垂线，求的度数。

（2）如图7，是的边的垂直平分线，分别交、于、，平分，若，求的度数。

§.例3、如图8，在中，，的垂直平分线交于，交的延长线于，.

（1）求的度数。

（2）若将的度数改为，其余条件不变，再求的度数。

（3）你发现了什么规律，试证明。

（4）将题中的改为钝角，（3）中的规律还成立吗？若不成立，应怎样加以修改？

解析：放在中，只有变化了，才变。

解：（1）

∴

（2）若，，即

（3）的垂直平分线与相交于，则.

（4）不成立，上述规律的完整叙述是：等腰三角形一腰的垂直平分线与底边或底边的延长线相交，所成锐角等于顶角的一半。

同步练习：如图9，，的平分线交的垂直平分线于点，自作于，于.求证：.

§.例4、如图10，国道和国道在某市相交于点，在的内部有工厂和，现要修建一个货站，使到、的距离相等，且使，用尺规作图作出货站的位置。（不写作法，保留作图痕迹）

四、巩固练习

教材  练习 

五、课堂小结

通过本节课的学习，要求同学们

1、通过利用逻辑推理进一步理解线段垂直平分线的性质定理与判定定理。

2、灵活地利用线段垂直平分线的性质定理及判定定理解决相关问题。

六、课外作业

1、教材  习题