2020-2021学年第13章 全等三角形综合与测试教案设计

课  题：小结与复习（二）

＆.教学目标：

1、灵活地利用三角形全等的判定定理计算或证明相关问题。

2、利用尺规作图能作一些简单的图形。

3、能将生活实际问题抽象成数学模型加以解决，培养学生的逻辑思维能力和推理能力。

＆.教学重点、难点：

重点：利用三角形全等的判定定理解决实际问题。

难点：数学推理能力及说理。

＆.教学过程：

一、情境创设，回顾迁移

1、全等三角形的性质有哪些？判定三角形全等有哪些方法？

2、五种基本的尺规作图是指哪些？

二、精典例题讲解

（Ⅰ）全等三角形的判定（一）----（）：

1、下列五种说法：①有一腰相等的两个等腰三角形全等；②有一边相等的两个等边三角形全等；③有两边对应相等的两个三角形全等；④有底边对应相等的两个等腰三角形全等；⑤有腰和底边对应相等的两个等腰三角形全等。其中正确的说法有         .

、个             、个             、个           、个

2、如图1所示，已知，要使，只需增加的条件是         .

方法小结:在运用“”证明全等时要注意：边必须是对应边，有时会利用这两个三角形的公共边。

（Ⅱ）全等三角形的判定（二）----（）：

1、如图2，点、在线段上，且，，若要使，则还须补充一个条件                。

2、如图3，已知、、、在同一直线上，，，，试说明。

方法小结：如果知道的是两个三角形的两边及其一边的对角则不能证明两个三角形全等，即“”证明全等不成立。

（Ⅲ）全等三角形的判定（三）----（或）：

1、如图4，已知，，，、相交于点，则图中的全等三角形为            .

2、如图5，已知，，为的中点，过点的直线分别交、的延长线于、.求证：.

方法小结：“”和“”判定定理是三角形全等判定的重要方法，即在两个三角形中如果有两角及一边对应相等即可证明两个三角形全等。

（Ⅳ）全等三角形的判定（四）----（）：

1、下列说法①两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；②有一个锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；③两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；④有一个锐角和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；⑤有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等.其中说法正确的有哪些？

2、如图6，已知，，.求证：.

方法小结：对于“”定理要把握住必须在两直角三角形中使用，而其他几种证明全等的方法同样适用。

（Ⅴ）运用全等三角形的判定方法证明图形中的两个三角形全等：

1、如图7，，，，是的中点，的延长线交于.求证：.

2、如图8，分别以的、的边向外作正三角形、，求证：.

归纳:很多运用全等三角形判定定理的题目，需要先分析题目中的条件，找出要证明的两个三角形，然后分析所欠缺条件及要选择的证明方法，注意证明的步骤。

（Ⅵ）选择不同条件证明三角形全等：

1、如图9，从下列四个条件：①，②，③，④中任取三个为题设，余下的一个作结论，则最多可以构成正确命题的个数是多少？

2、如图10，，，，给出下列结论：①，②，③，④：其中正确的有          .（填序号）

（Ⅶ）辅助线在全等三角形中的作用：

1、如图11，中，，，是的平分线。

试证明.

2、如图12，为正方形的边上任一点，交的平分线于。

求证：.

归纳：很多证明两个三角形全等的题目，需要适当添加辅助线。①截取法：当求证某一线段长等于两两条线段之和时，往往采用这一办法；②作平行线：通过平行线使题目中出现全等三角形；③构造全等三角形，使之出现与题目中三角形全等的三角形；④构造特殊的三角形，以利用它的性质。

（Ⅷ）全等三角形知识在几何中的综合应用：

1、如图13，四边形是正方形，是延长线上的一点，是上一点，且，求证：.

2、如图14，为□中边的延长线上一点，且，连结分别交、于点、.（1）求证：；（2）若，求的长。

归纳：三角形是几何知识的重要基础，全等三角形与其他知识的联系更密切。①与矩形、正方形之间的联系；②与相似三角形之间的联系.这些几何问题都能用到全等三角形的判定和性质，与其他知识相结合，在这些题目中，我们应正确分析图形，在复杂的图形中寻找三角形全等的条件。

（Ⅸ）尺规作图的应用：

1、如图15，已知线段和锐角，求作，使，，（保留作图痕迹，不写作法）。

2、如图16，已知，其中.

（1）作的垂直平分线，交于点，交于点，连结；（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）基础上，若，的周长为，求。

归纳：尺规作图是中考中重点内容，基本的作图为画线段、画角、画垂线、画垂直平分线和画角的平分线。运用这几种尺规作图可以作三角形、四边形及其它图形，另外对于一些实际问题的解决也可以起到一些帮助。

（Ⅹ）全等三角形与日常生活的密切联系：

1、如图17，某同学把一块三角形的玻璃大碎成三块，要到玻璃店去配一块大小、形状完全相同的玻璃，那么他可以带哪块去？

2、如图18，要测量池宽，可以从点出发，在地面上画一条线段，使，再从点观测，在的延长线上测得一点，使，这时量得的的长度就是的长度。请按图写出“已知”、“求证”，并加以证明。

（Ⅺ）全等三角形知识的探究分析：

1、（方案设计题）同学们知道，只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等，你如何处理和安排这三个条件，使这两个三角形全等呢？请你按照方案（1）讨论分析出至少三种方案。

解：设有两边和一个角对应相等的三角形。

方案1：若这个角是两边的夹角，则这两个三角形全等。

2、如图19，已知矩形中是边中点。

（1）按下列要求，补画完整图形，连结，并延长与的延长线交于点；

（2）猜想与的关系，并加以说明；

（3）探索的面积与矩形的面积之间的关系，并证明结论。

三、课堂小结

通过本节课的学习，要求同学们

1、灵活地掌握全等三角形的性质定理及判定定理；

2、熟练地利用全等三角形的有关知识解决问题。

四、课外作业

1、教材  复习题组、组

2、补充作业