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浙教版第1章 三角形的初步知识1.2 定义与命题课时训练
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这是一份浙教版第1章 三角形的初步知识1.2 定义与命题课时训练，共8页。
A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
C．三角形的角平分线是一条线段 D．同角的余角相等
2．（2021•嘉兴）能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题的反例是（ ）
A．x＝﹣1B．x＝+1C．x＝3D．x＝﹣
3．（2021•瓯海区模拟）下列选项中，可以用来证明命题“若a＞b，则＜”是假命题的反例是（ ）
A．a＝2，b＝1B．a＝2，b＝﹣1C．a＝﹣2，b＝1D．a＝﹣2，b＝﹣1
4．（2021春•西湖区校级期中）下列命题中正确的是（ ）
A．同位角相等
B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等
D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
5．（2021春•鼓楼区校级期中）有下列命题，其中假命题有（ ）
①内错角相等．
②在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行．
③相等的角是对顶角．
④经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
A．①②B．①③C．②④D．③④
6．（2020秋•通川区期末）下列四个命题中，真命题有（ ）
①两条直线被第三条直线所截，内错角相等．②如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2．
③三角形的一个外角大于任何一个内角． ④如果x2＞0，那么x＞0．
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．（2021春•江北区期中）下列命题中，真命题是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
D．同旁内角互补
二．填空题
8．（2021•拱墅区模拟）将命题“对顶角相等”改为“如果…那么…”的形式为： ．
9．（2021春•阳新县月考）命题“等角的补角相等”写成“如果…，那么…” ．
10．（2021春•南京期中）命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果 ，那么 ．
11．（2020秋•海曙区期中）“两个无理数的和为无理数”是 命题，举反例： ．
三．解答题
12．（2018秋•西湖区校级月考）指出下列命题的条件和结论，并改写成”如果……那么……”的形式．
（1）绝对值相等的两个数相等．
（2）直角三角形的两个锐角互余．
13．（2019秋•拱墅区校级期中）判断下列命题的真假，并给出证明
（1）两个锐角的和是钝角；
（2）若a＞b，则a2＞b2；
14．（2020秋•鄞州区期中）概念学习．已知△ABC，点P为其内部一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC、△PAC中，如果存在一个三角形，其内角与△ABC的三个内角分别相等，那么就称点P为△ABC的等角点．
理解应用
（1）判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应横线内写“真命题”；反之，则写“假命题”．
①内角分别为30°、60°、90°的三角形存在等角点； ；
②任意的三角形都存在等角点； ；
（2）如图①，点P是锐角△ABC的等角点，若∠BAC＝∠PBC，探究图①中，∠BPC、∠ABC、∠ACP之间的数量关系，并说明理由．
解决问题
如图②，在△ABC中，∠BAC＜∠ABC＜∠ACB，若△ABC的三个内角的角平分线的交点P是该三角形的等角点，求△ABC三角形三个内角的度数．
参考答案
一．选择题
1．（2020秋•慈溪市期中）下列语句中，是定义的是（ ）
A．两点确定一条直线B．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
C．三角形的角平分线是一条线段 D．同角的余角相等
【解析】解：A、两点确定一条直线，是公理，不是定义，不符合题意；
B、在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，是平行线的定义，符合题意；
C、三角形的角平分线是一条线段，不是定义，不符合题意；
D、同角的余角相等，是性质，不是定义，不符合题意；
故选：B．
2．（2021•嘉兴）能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题的反例是（ ）
A．x＝﹣1B．x＝+1C．x＝3D．x＝﹣
【解析】解：（﹣1）2＝3﹣2，是无理数，不符合题意；
（+1）2＝3+2，是无理数，不符合题意；
（3）2＝18，是有理数，符合题意；
（﹣）2＝5﹣2，是无理数，不符合题意；
故选：C．
3．（2021•瓯海区模拟）下列选项中，可以用来证明命题“若a＞b，则＜”是假命题的反例是（ ）
A．a＝2，b＝1B．a＝2，b＝﹣1C．a＝﹣2，b＝1D．a＝﹣2，b＝﹣1
【解析】解：用来证明命题“若a＞b，则＜”是假命题的反例可为a＝2，b＝1．
故选：A．
4．（2021春•西湖区校级期中）下列命题中正确的是（ ）
A．同位角相等
B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等
D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
【解析】解：A、同位角相等，是假命题，本选项不符合题意．
B、过一点有且只有一条直线与已知直线平行，是假命题，这个点，不能在直线上．本选项不符合题意．
C、如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等，假命题，也可能互补，本选项不符合题意．
D、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，是真命题，本选项符合题意．
故选：D．
5．（2021春•鼓楼区校级期中）有下列命题，其中假命题有（ ）
①内错角相等．②在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行．
③相等的角是对顶角．④经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
A．①②B．①③C．②④D．③④
【解析】解：①两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，符合题意．
②在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，正确，是真命题，不符合题意．
③相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，符合题意．
④经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，正确，是真命题，不符合题意．
故选：B．
6．（2020秋•通川区期末）下列四个命题中，真命题有（ ）
①两条直线被第三条直线所截，内错角相等．②如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2．
③三角形的一个外角大于任何一个内角．④如果x2＞0，那么x＞0．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解析】解：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，所以①错误；
如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2，所以②正确；
三角形的一个外角大于任何一个不相邻的一个内角，所以③错误；
如果x2＞0，那么x≠0，所以④错误．
故选：A．
7．（2021春•江北区期中）下列命题中，真命题是（ ）
A．相等的角是对顶角B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行D．同旁内角互补
【解析】解：A、错误，对顶角相等但相等的角不一定是对顶角；
B、错误，当被截的直线平行时形成的同位角才相等；
C、正确，必须强调在同一平面内；
D、错误，两直线平行同旁内角才互补．
故选：C．
二．填空题
8．（2021•拱墅区模拟）将命题“对顶角相等”改为“如果…那么…”的形式为： 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 ．
【解析】解：原命题的条件是：“两个角是对顶角”，结论是：“这两个角相等”，
命题“对顶角相等”写成“如果…，那么…”的形式为：“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”．
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
9．（2021春•阳新县月考）命题“等角的补角相等”写成“如果…，那么…” 如果两个角相等，那么它们的补角相等 ．
【解析】解：命题“等角的补角相等”写成“如果…，那么…”是：如果两个角相等，那么它们的补角相等，
故答案为：如果两个角相等，那么它们的补角相等．
10．（2021春•南京期中）命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果 两条直线垂直于同一条直线 ，那么 这两条直线互相平行 ．
【解析】解：命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行，
故答案为：两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线相互平行．
11．（2020秋•海曙区期中）“两个无理数的和为无理数”是 假 命题，举反例： ，﹣ ．
【解析】解：两个无理数的和为无理数是假命题，如，﹣，
故答案为：假；，﹣．
三．解答题
12．（2018秋•西湖区校级月考）指出下列命题的条件和结论，并改写成”如果……那么……”的形式．
（1）绝对值相等的两个数相等．
（2）直角三角形的两个锐角互余．
【解析】解：（1）条件：绝对值相等的两个数，结论：两个数相等；
改写成：”如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等”；
（2）条件：直角三角形，结论：两个锐角互余；
改写成：”如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余”．
13．（2019秋•拱墅区校级期中）判断下列命题的真假，并给出证明
（1）两个锐角的和是钝角；
（2）若a＞b，则a2＞b2；
【解析】解：（1）两个锐角的和是钝角，是假命题，
例如，一个角是30°，另一个是40°，
则这两个角的和是70°，70°不是钝角，
∴两个锐角的和是钝角，是假命题；
（2）若a＞b，则a2＞b2，是假命题，
例如：a＝﹣1，b＝﹣2，
a2＝1，b2＝4，
则a2＜b2，
∴a＞b，则a2＞b2，是假命题．
14．（2020秋•鄞州区期中）概念学习．已知△ABC，点P为其内部一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC、△PAC中，如果存在一个三角形，其内角与△ABC的三个内角分别相等，那么就称点P为△ABC的等角点．
理解应用
（1）判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应横线内写“真命题”；反之，则写“假命题”．
①内角分别为30°、60°、90°的三角形存在等角点； 真命题 ；
②任意的三角形都存在等角点； 假命题 ；
（2）如图①，点P是锐角△ABC的等角点，若∠BAC＝∠PBC，探究图①中，∠BPC、∠ABC、∠ACP之间的数量关系，并说明理由．
解决问题
如图②，在△ABC中，∠BAC＜∠ABC＜∠ACB，若△ABC的三个内角的角平分线的交点P是该三角形的等角点，求△ABC三角形三个内角的度数．
【解析】解：理解应用
（1）①内角分别为30°、60°、90°的三角形存在等角点是真命题；
②任意的三角形都存在等角点是假命题，如等边三角形不存在等角点；
故答案为：真命题，假命题；
（2）如图①，∵在△ABC中，∠BPC＝∠ABP+∠BAC+∠ACP，∠BAC＝∠PBC，
∴∠BPC＝∠ABP+∠PBC+∠ACP＝∠ABC+∠ACP；
解决问题
如图②，连接PB，PC
∵P为△ABC的角平分线的交点，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
∵P为△ABC的等角点，
∴∠PBC＝∠BAC，∠BCP＝∠ABC＝2∠PBC＝2∠BAC，∠ACB＝∠BPC＝4∠BAC，
又∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠BAC+2∠BAC+4∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝，
∴该三角形三个内角的度数分别为，，
A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
C．三角形的角平分线是一条线段 D．同角的余角相等
2．（2021•嘉兴）能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题的反例是（ ）
A．x＝﹣1B．x＝+1C．x＝3D．x＝﹣
3．（2021•瓯海区模拟）下列选项中，可以用来证明命题“若a＞b，则＜”是假命题的反例是（ ）
A．a＝2，b＝1B．a＝2，b＝﹣1C．a＝﹣2，b＝1D．a＝﹣2，b＝﹣1
4．（2021春•西湖区校级期中）下列命题中正确的是（ ）
A．同位角相等
B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等
D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
5．（2021春•鼓楼区校级期中）有下列命题，其中假命题有（ ）
①内错角相等．
②在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行．
③相等的角是对顶角．
④经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
A．①②B．①③C．②④D．③④
6．（2020秋•通川区期末）下列四个命题中，真命题有（ ）
①两条直线被第三条直线所截，内错角相等．②如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2．
③三角形的一个外角大于任何一个内角． ④如果x2＞0，那么x＞0．
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．（2021春•江北区期中）下列命题中，真命题是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
D．同旁内角互补
二．填空题
8．（2021•拱墅区模拟）将命题“对顶角相等”改为“如果…那么…”的形式为： ．
9．（2021春•阳新县月考）命题“等角的补角相等”写成“如果…，那么…” ．
10．（2021春•南京期中）命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果 ，那么 ．
11．（2020秋•海曙区期中）“两个无理数的和为无理数”是 命题，举反例： ．
三．解答题
12．（2018秋•西湖区校级月考）指出下列命题的条件和结论，并改写成”如果……那么……”的形式．
（1）绝对值相等的两个数相等．
（2）直角三角形的两个锐角互余．
13．（2019秋•拱墅区校级期中）判断下列命题的真假，并给出证明
（1）两个锐角的和是钝角；
（2）若a＞b，则a2＞b2；
14．（2020秋•鄞州区期中）概念学习．已知△ABC，点P为其内部一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC、△PAC中，如果存在一个三角形，其内角与△ABC的三个内角分别相等，那么就称点P为△ABC的等角点．
理解应用
（1）判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应横线内写“真命题”；反之，则写“假命题”．
①内角分别为30°、60°、90°的三角形存在等角点； ；
②任意的三角形都存在等角点； ；
（2）如图①，点P是锐角△ABC的等角点，若∠BAC＝∠PBC，探究图①中，∠BPC、∠ABC、∠ACP之间的数量关系，并说明理由．
解决问题
如图②，在△ABC中，∠BAC＜∠ABC＜∠ACB，若△ABC的三个内角的角平分线的交点P是该三角形的等角点，求△ABC三角形三个内角的度数．
参考答案
一．选择题
1．（2020秋•慈溪市期中）下列语句中，是定义的是（ ）
A．两点确定一条直线B．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
C．三角形的角平分线是一条线段 D．同角的余角相等
【解析】解：A、两点确定一条直线，是公理，不是定义，不符合题意；
B、在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，是平行线的定义，符合题意；
C、三角形的角平分线是一条线段，不是定义，不符合题意；
D、同角的余角相等，是性质，不是定义，不符合题意；
故选：B．
2．（2021•嘉兴）能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题的反例是（ ）
A．x＝﹣1B．x＝+1C．x＝3D．x＝﹣
【解析】解：（﹣1）2＝3﹣2，是无理数，不符合题意；
（+1）2＝3+2，是无理数，不符合题意；
（3）2＝18，是有理数，符合题意；
（﹣）2＝5﹣2，是无理数，不符合题意；
故选：C．
3．（2021•瓯海区模拟）下列选项中，可以用来证明命题“若a＞b，则＜”是假命题的反例是（ ）
A．a＝2，b＝1B．a＝2，b＝﹣1C．a＝﹣2，b＝1D．a＝﹣2，b＝﹣1
【解析】解：用来证明命题“若a＞b，则＜”是假命题的反例可为a＝2，b＝1．
故选：A．
4．（2021春•西湖区校级期中）下列命题中正确的是（ ）
A．同位角相等
B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等
D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
【解析】解：A、同位角相等，是假命题，本选项不符合题意．
B、过一点有且只有一条直线与已知直线平行，是假命题，这个点，不能在直线上．本选项不符合题意．
C、如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等，假命题，也可能互补，本选项不符合题意．
D、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，是真命题，本选项符合题意．
故选：D．
5．（2021春•鼓楼区校级期中）有下列命题，其中假命题有（ ）
①内错角相等．②在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行．
③相等的角是对顶角．④经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
A．①②B．①③C．②④D．③④
【解析】解：①两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，符合题意．
②在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，正确，是真命题，不符合题意．
③相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，符合题意．
④经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，正确，是真命题，不符合题意．
故选：B．
6．（2020秋•通川区期末）下列四个命题中，真命题有（ ）
①两条直线被第三条直线所截，内错角相等．②如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2．
③三角形的一个外角大于任何一个内角．④如果x2＞0，那么x＞0．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解析】解：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，所以①错误；
如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2，所以②正确；
三角形的一个外角大于任何一个不相邻的一个内角，所以③错误；
如果x2＞0，那么x≠0，所以④错误．
故选：A．
7．（2021春•江北区期中）下列命题中，真命题是（ ）
A．相等的角是对顶角B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行D．同旁内角互补
【解析】解：A、错误，对顶角相等但相等的角不一定是对顶角；
B、错误，当被截的直线平行时形成的同位角才相等；
C、正确，必须强调在同一平面内；
D、错误，两直线平行同旁内角才互补．
故选：C．
二．填空题
8．（2021•拱墅区模拟）将命题“对顶角相等”改为“如果…那么…”的形式为： 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 ．
【解析】解：原命题的条件是：“两个角是对顶角”，结论是：“这两个角相等”，
命题“对顶角相等”写成“如果…，那么…”的形式为：“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”．
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
9．（2021春•阳新县月考）命题“等角的补角相等”写成“如果…，那么…” 如果两个角相等，那么它们的补角相等 ．
【解析】解：命题“等角的补角相等”写成“如果…，那么…”是：如果两个角相等，那么它们的补角相等，
故答案为：如果两个角相等，那么它们的补角相等．
10．（2021春•南京期中）命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果 两条直线垂直于同一条直线 ，那么 这两条直线互相平行 ．
【解析】解：命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行，
故答案为：两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线相互平行．
11．（2020秋•海曙区期中）“两个无理数的和为无理数”是 假 命题，举反例： ，﹣ ．
【解析】解：两个无理数的和为无理数是假命题，如，﹣，
故答案为：假；，﹣．
三．解答题
12．（2018秋•西湖区校级月考）指出下列命题的条件和结论，并改写成”如果……那么……”的形式．
（1）绝对值相等的两个数相等．
（2）直角三角形的两个锐角互余．
【解析】解：（1）条件：绝对值相等的两个数，结论：两个数相等；
改写成：”如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等”；
（2）条件：直角三角形，结论：两个锐角互余；
改写成：”如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余”．
13．（2019秋•拱墅区校级期中）判断下列命题的真假，并给出证明
（1）两个锐角的和是钝角；
（2）若a＞b，则a2＞b2；
【解析】解：（1）两个锐角的和是钝角，是假命题，
例如，一个角是30°，另一个是40°，
则这两个角的和是70°，70°不是钝角，
∴两个锐角的和是钝角，是假命题；
（2）若a＞b，则a2＞b2，是假命题，
例如：a＝﹣1，b＝﹣2，
a2＝1，b2＝4，
则a2＜b2，
∴a＞b，则a2＞b2，是假命题．
14．（2020秋•鄞州区期中）概念学习．已知△ABC，点P为其内部一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC、△PAC中，如果存在一个三角形，其内角与△ABC的三个内角分别相等，那么就称点P为△ABC的等角点．
理解应用
（1）判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应横线内写“真命题”；反之，则写“假命题”．
①内角分别为30°、60°、90°的三角形存在等角点； 真命题 ；
②任意的三角形都存在等角点； 假命题 ；
（2）如图①，点P是锐角△ABC的等角点，若∠BAC＝∠PBC，探究图①中，∠BPC、∠ABC、∠ACP之间的数量关系，并说明理由．
解决问题
如图②，在△ABC中，∠BAC＜∠ABC＜∠ACB，若△ABC的三个内角的角平分线的交点P是该三角形的等角点，求△ABC三角形三个内角的度数．
【解析】解：理解应用
（1）①内角分别为30°、60°、90°的三角形存在等角点是真命题；
②任意的三角形都存在等角点是假命题，如等边三角形不存在等角点；
故答案为：真命题，假命题；
（2）如图①，∵在△ABC中，∠BPC＝∠ABP+∠BAC+∠ACP，∠BAC＝∠PBC，
∴∠BPC＝∠ABP+∠PBC+∠ACP＝∠ABC+∠ACP；
解决问题
如图②，连接PB，PC
∵P为△ABC的角平分线的交点，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
∵P为△ABC的等角点，
∴∠PBC＝∠BAC，∠BCP＝∠ABC＝2∠PBC＝2∠BAC，∠ACB＝∠BPC＝4∠BAC，
又∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠BAC+2∠BAC+4∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝，
∴该三角形三个内角的度数分别为，，
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