高中数学湘教版必修11.2函数的概念和性质教学设计

这是一份高中数学湘教版必修11.2函数的概念和性质教学设计，共5页。教案主要包含了教学目标，教学重点，教学难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。

【教学目标】
1．能说出函数的上界、下界的含义，知道什么是有界函数，什么是无界函数；
2．能说出函数的最大值与最小值的定义，知道什么是函数的最大值点和最小值点；
3．能记住函数单调性的定义，知道什么是严格单调和严格单调区间；
4．知道什么是差分，能运用差分检验函数的增减性。
【教学重点】
函数单调性的定义，运用差分检验函数的增减性；
【教学难点】
用差分检验函数的增减性；最值与上、下界之间的关系。
【教学过程】
1．函数的上界和下界
（1）上界和下界：设D是函数f(x)的定义域，如果有实数B使得f(x)≤B对于一切x∈D成立，称B是函数f的一个上界，如果有实数A使得f(x)≥A对于一切x∈D成立，称A是函数f的一个下界。
（2）有上界又有下界的函数叫有界函数，否则叫无界函数。
上界或下界一定是函数的某一个函数值吗？
提示：不一定。函数的上界或下界可能是该函数的一个函数值，也可以不是函数的函数值。例如：函数y＝x²的下界是0，且0是该函数的一个函数值；而函数y＝的下界也是0，但0不是该函数的某个函数值。
2．函数的最大值与最小值
（1）函数的最大值定义：设D是函数f(x)的定义域，如果有a∈D，使得不等式f(x)≤f（A）对一切x∈D成立，就说f(x)在x＝a处取到最大值M＝f（A），称M为f(x)的最大值，a为f(x)的最大值点。
（2）函数的最小值定义：设D是函数f(x)的定义域，如果有b∈D，使得不等式f(x)≥f（B）对一切x∈D成立，就说f(x)在x＝b处取到最小值f（B），称f（B）为f(x)的最小值，b为f(x)的最小值点。
数的最大值或最小值一定是函数其中的一个函数值吗？
提示：一定是。即最大值点或最小值点一定是函数定义域中的某个值。
数的最大值(或最小值)唯一吗？最大值点(或最小值点)唯一吗？
提示：最大值(或最小值)是唯一的，但最大值点(或最小值点)不一定是唯一的。
大值和上界是一回事吗？
提示：不是。函数的最大值一定是上界，但上界不一定是函数的最大值；同理，函数的最小值一定是下界，但下界不一定是最小值。
3．函数的单调性
（1）函数的单调性定义：设I是f(x)定义域D的一个非空子集，如果对于I上任意两个值x1，x²，当x1＜x²时都有f(x1)＜f(x²)，那么就说f(x)是区间I上的递增函数；如果对于I上任意两个值x1，x²，当x1＜x²时都有f(x1)＞f(x²)，那么就说f(x)是区间I上的递减函数。
（2）如果函数y＝f(x)是区间I上的递增函数或递减函数，就说f(x)在I上严格单调，区间I叫作f(x)的严格单调区间。
（3）对于函数f(x)，设h＞0，差式f(x＋h)－f(x)叫作函数在区间I上的差分。差分为正的函数就是递增函数，差分为负的函数就是递减函数。
数的单调性是函数在其整个定义域上的性质吗？
提示：不是。单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性。
增函数与减函数的定义中，能否把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”？
提示：不能。如图所示，虽然f(－1)＜f（2），但原函数在[－1，2]上不是递增函数。
一、判断或证明函数的单调性
证明函数f(x)＝x＋在(1，＋∞)上是递增函数。
思路分析：利用差分检验法，计算函数在(1，＋∞)上的差分f(x＋h)－f(x)，然后判断差分的正负即得结论。
证明：f(x＋h)＝x＋h＋，
∴f(x＋h)－f(x)＝x＋h＋－x－
＝h＋－＝h－＝。
∵h＞0，x＞1，∴hx²＋h2x－h＞0，x(x＋h)＞0.
∴＞0.
即差分f(x＋h)－f(x)＞0，
∴f(x)＝x＋在(1，＋∞)上是递增函数。
1．设(a，b)，(c，d)都是函数f(x)的递增区间，且x1∈(a，b)，x²∈(c，d)，x1＜x²，则f(x1)与f(x²)的大小关系是()。
A．f(x1)＜f(x²) B．f(x1)＞f(x²)
C．f(x1)＝f(x²) D．不能确定
答案：D
解析：因为在函数的定义中特别强调了x1， x²两个值必须属于同一个单调区间，不是同一单调区间时不能比较函数值的大小，因此，f(x1)与f(x²)的大小关系无法确定，故选D．
2．证明函数f(x)＝在(0，＋∞)上为单调递减函数。
证明：f(x＋h)－f(x)＝－＝。
∵x＞0，h＞0，∴＜0.
即差分f(x＋h)－f(x)＜0，故f(x)＝在(0，＋∞)上为单调递减函数。
证明函数单调性的步骤是：（1）作差分f(x＋h)－f(x)；（2）变形整理；（3）判断差分的符号；（4）下结论。
二、求函数的单调区间
作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，并写出其单调区间。
思路分析：首先要将函数的解析式中的绝对值符号去掉，分两段分别画出图象，然后结合图象的上升与下降写出单调区间。
时，f(x)=2x－1；
当x＜时，f(x)=－2x+1，
所以f(x)的图象是两条射线(如图)。
故f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是。
作出函数y＝x|x|＋1的图象并写出其单调区间。
解：由题可知y＝作出函数的图象如图所示，所以原函数在(－∞，＋∞)上为单调递增函数。
利用函数的图象确定函数的单调区间，具体的做法是，先化简函数的解析式，然后再画出它的草图，最后根据函数定义域与草图的位置，状态，确定函数的单调区间。书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格的规定，习惯上，若函数在区间端点处有定义，则写成闭区间，若函数在区间端点处无定义，则必须写成开区间。
三、函数单调性的应用
已知函数f(x)是定义在[－1，1]上的递增函数，且f(x－2)＜f(1－x)，求x的取值范围。
思路分析：充分利用原函数的单调性及其定义域，建立关于x的不等关系求解x的取值范围。
解：因为f(x)是定义在[－1，1]上的递增函数，且f(x－2)＜f(1－x)，
所以有解得即x的取值范围是1≤x＜。
1．若函数f(x)＝－在(0，＋∞)上为单调递减函数，则m的取值范围是__________。
答案：m＜0
解析：f(x＋h)－f(x)＝－－＝，
∵h＞0，x＞0，
又f(x)在(0，＋∞)上单调递减。
∴＜0，∴m＜0.
2．若函数y＝x²－2ax＋2在[1，＋∞)上为递增函数，求实数a的取值范围。
解：由题可知原函数为y＝(x－a)²＋2－a2，其开口向上，且对称轴为x＝a，若使得原函数在[1，＋∞)为递增函数，则只需对称轴x＝a在直线x＝1的左侧或与其重合，即满足a≤1即可，所以实数a的取值范围是a≤1．
单调性的应用主要体现在求解参数的取值范围、解不等式以及求解最值等题型上，解题时往往注意采用数形结合的方法求解。已知函数在某个区间上的单调性求解x的取值范围时，要求自变量首先应在定义域内，这是一个及其容易出现错误的地方，然后在此基础上利用函数的单调性，将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系求解。
求函数y＝在区间[2，6]上的最大值和最小值。
思路分析：先研究函数在区间[2，6]上的单调性，然后根据单调性求最值。
解：因为f(x＋h)－f(x)＝－
＝。∵x∈[2，6]，h＞0，
∴x＋h－1＞0，x－1＞0.
∴(x＋h－1)(x－1)＞0.
故函数y＝在区间[2，6]上是递减函数，
因此函数y＝在区间[2，6]的两个端点处取得最大值与最小值，即在x＝2时取得最大值2，在x＝6时取得最小值。
求函数f(x)＝在[2，4]上的最值。
解：∵f(x＋h)－f(x)＝－＝＝，
又∵h＞0，x＞2，∴＞0.
故f(x)在[2，4]上单调递增。
于是f(x)在[2，4]上的最大值是f（4）＝，最小值是f（2）＝0.
利用函数的单调性求最值时，首先要证明或判断函数的单调性，若f(x)在[a，b]上单调递增。则f(x)在[a，b]上的最小值为f（A），最大值为f（B）；若f(x)在[a，b]上单调递减，则最小值为f（B），最大值为f（A）。
1．函数y＝－x²的单调递增区间为( )。
A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(－∞，＋∞)
答案：A
解析：由图象可知，y＝－x²的单调递增区间是(－∞，0]，选A．
2．设一次函数f(x)＝(2a－1)x＋b是R上的递减函数，则有( )。
A．a＞ B．a＜
C．a≥ D．a≤
答案：B
解析：f(x＋h)－f(x)＝[(2a－1)(x＋h)＋b]－[(2a－1)x＋b]＝(2a－1)h，
依题意(2a－1)h＜0，而h＞0，
∴2a－1＜0，即a＜，选B．
3．若函数f(x)在区间I上是单调递增函数，则对任意的x1，x²∈I(x1≠x²)，必有( )。
A．(x1－x²)[f(x1)－f(x²)]＜0
B．(x1－x²)[f(x1)－f(x²)]＞0
C．(x1－x²)[f(x1)－f(x²)]≤0
D．(x1－x²)[f(x1)－f(x²)]≥0
答案：B
解析：由于f(x)在I上单调递增，所以当x1＜x²时有f(x1)＜f(x²)；当x1＞x²时有f(x1)＞f(x²)，因此必有(x1－x²)[f(x1)－f(x²)]＞0，选B．
4．若f(x)是R上的单调递减函数，且f(x1)＞f(x²)，则x1与x²的大小关系是__________。
答案：x1＜x²
解析：由定义知当f(x1)＞f(x²)时一定有x1＜x²．
5．证明：f(x)＝－2x＋5在R上是单调递减函数。
证明：f(x＋h)－f(x)＝[－2(x＋h)＋5]－(－2x＋5)＝－2h＜0，
即f(x＋h)－f(x)＜0.
故f(x)在R上是单调递减函数。