华师大版九年级上册第24章 解直角三角形综合与测试教案

课  题：小结与复习（二）

＆.教学目标：

1、通过对锐角三角函数及解直角三角形的综合应用，让学生进一步掌握本章的知识体系。

2、通过应用所学知识解决问题，发展学生的合情推理的能力，进一步培养学生的逻辑推理能力，规范推理的书写格式。

＆.教学重点、难点：

重点：锐角三角函数的定义和利用边角关系解直角三角形。

难点：当遇到斜三角形时需添加辅助线构造直角三角形，遇到应用问题要转化为数学问题解决。

＆.教学过程：

一、情境创设，回顾迁移

1、三角函数的定义：

；；；.

2、锐角三角函数的关系：

（1）互为余角的三角函数间的关系：

；；；.

（2）同角三角函数关系：

①平方关系：.

②倒数关系：.

③商数关系：；.

3、当时，各锐角三角函数都为正，且在之间、随着角度的增大而增大，减小而减小（角大，值大）；、随着角度的增大而减小，减小而增大（角大，值小）.

4、特殊角（、、）的三角函数值

二、精典例题讲解

题型五：解直角三角形的应用

＆.仰角、俯角问题：

§.例1、如图，在观测点测得小山上铁塔顶部的仰角为，铁塔底部的仰角为.已知塔高，观测点到地面的距离为，求小山的高。（精确到，）

解析：过作于，则，只需求出的大小即可求出小山的高.在中，，故.在中，，则可得.再根据可求得的长。

解：过作于，则

在中，

∴，.

在中，

∴

∴，.

设，则，

∵

∴

∴

答：小山的高度约为.

＆.方位角问题：

§.例2、一位祖籍扬州的台商，应市政府的邀请，回乡考察投资环境，谁知家乡的变化竟让他迷了路，他驱车在一条东西走向的公路上由西向东缓缓地前行着.车载（全球卫星定位系统）显示（如图），市政府所在地（点）在其（点）南偏东的方向上，相距.他继续前行到达点的位置，发现市政府所在地在其南偏西的方向上。

（1）试求台商由西向东行进的路程是多少千米（结果保留根号）；

（2）在台商行驶的公路南测有两条与之平行，且距离这条公路分别约是的向阳大道和的兴宝大道，请估算市政府所在地靠近哪条大道。

解析：（1）过作于，在中，，，得，在中，，，可求得，从而知的距离；（2）向阳大道和兴宝大道都与平行，故只要用的长与和作差就可以比较市政府靠近哪条大道。

解：（1）过作于，由题意知，，.

在中，，

∴，

在中，，

∴

∴

即台商由西向东行进了.

（2）∵，

∴

故市政府靠近兴宝大道.

＆.倾斜角、坡角、坡度问题：

§.例3、小明发现在教学楼走廊上有一拖把以的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全.他自觉地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为，如果拖把的总长为米.求小明拓宽了行路通道多少米？（结果保留三个有效数字）

参考数据：，.

答案：.

题型六：综合与创新

§.例4、如图，已知中，是边上的高，为边长的中点，，，，求：（1）线段的长；（2）的值。

解：（1）在中，

∵

∴

∴

∴

（2）∵为边长的中点

∴，

∴

§.例5、如图，某校教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，，斜坡长，坡角，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡。

（1）求改造前坡顶与地面的距离的长（精确到）；

（2）为确保安全，学校计划改造时保持坡脚不动，坡顶沿削进到点处，问至少是多少米？（精确到）

解：（1）在中，

∴

（2）∵

∴

过作于，连结，则，

在中，

∵

∴

∴

即点应沿至少削进才能确保安全.

§.例6、如图（），一段路基的横断面是直角梯形，已知原来坡面的坡角的正弦值为，现不改变土石方量，全部利用原有土石方进行坡面改造，使坡度减小达到如图（）的技术要求.试求出改造后坡面的坡度是多少？

解析：欲求改造后坡面的坡度，需求的长，本题隐含的条件是梯形的面积等于梯形的面积。

解：由图（）可知：，，

在中，

∴

∵

根据题意，得：改造过程中土石方量不变.

故梯形的面积等于梯形的面积。

∴

解得：

∴改造后坡面的坡度为.

题型七：中考新题型

§.例7、如图6（1），一架长的梯子斜靠在与地面垂直的墙上，梯子与地面的倾斜角为.

（1）求与的长；

（2）若梯子的顶端沿下滑到点，同时底端沿向右滑行。

①如图6（2），设点下滑到点，点向右滑行到点，并且，试求梯子顶端沿下滑多少米；

②如图6（3），当点下滑到点，点向右滑行到点时，梯子的中点也随之运动到点，若，试求的长。

解析：（1）由得，故，；（2）①设，，则，，根据勾股定理，可求得的值，从而知梯子顶端沿下滑的距离；②根据直角三角形斜边中线的性质，为等边三角形，，同理，由，可求得，故是等腰直角三角形，，则利用可求。

解：（1）在中，，

∴

又∵

∴，

（2）①由，可设，，则，

∵

∴，解得：

∴

即梯子顶端沿下滑米.

②∵和分别是和的中点

∴，

∴，

∴

∵

∴

∴

∴

三、课堂小结

通过本节课的学习，要求同学们通过例题进一步掌握解直角三角形的知识，并能熟练地加以应用。

四、课外作业

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