数学九年级下册第6章 图形的相似综合与测试测试题

这是一份数学九年级下册第6章 图形的相似综合与测试测试题，共37页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若=，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
2．已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a=9cm，b=4cm，则线段c长（ ）
A．18cmB．5cmC．6cmD．±6cm
3．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB=4，那么AP的长是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ABP=∠CB．∠APB=∠ABCC． =D． =
5．如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是（ ）
A．1：16B．1：4C．1：6D．1：2
6．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE：EA=3：4，EF=3，则CD的长为（ ）
A．4B．7C．3D．12
7．如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD．若B（1，0），则点C的坐标为（ ）
A．（1，2）B．（1，1）C．（，）D．（2，1）
8．如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB=9，BD=3，则CF等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于（ ）
A．4.5米B．6米C．7.2米D．8米
10．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（ ）
A．2B．2.5或3.5C．3.5或4.5D．2或3.5或4.5

二、填空题：（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．如果在比例尺为1：1 000 000的地图上，A、B两地的图上距离是3.4厘米，那么A、B两地的实际距离是 千米．
12．如图，已知：l1∥l2∥l3，AB=6，DE=5，EF=7.5，则AC= ．
13．如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ．
14．如图，点G是△ABC的重心，GH⊥BC，垂足为点H，若GH=3，则点A到BC的距离为 ．
15．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，则树高AB= m．
16．如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为 时，△ADP和△ABC相似．
17．如图，双曲线y=经过Rt△BOC斜边上的点A，且满足=，与BC交于点D，S△BOD=21，求k= ．
18．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：
①∠EBG=45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG=S△FGH；④AG+DF=FG．
其中正确的是 ．（把所有正确结论的序号都选上）

三、解答题：（本大题共10大题，共76分）
19．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，M是BC的中点，DE⊥AM于点E．
（1）求证：△ADE∽△MAB；
（2）求DE的长．
20．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，若S△ADE=4cm2，S△EFC=9cm2，求S△ABC．
21．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=．
（1）求证：△ACD∽△CBD；
（2）求∠ACB的大小．
22．已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，﹣3）、B（3，﹣2）、C（2，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．
（1）画出△ABC向上平移6个单位得到的△A1B1C1；
（2）以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1，并直接写出点A2的坐标．
23．如图，一位同学想利用树影测量树高（AB），他在某一时刻测得高为1m的竹竿影长为0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上（CD），他先测得留在墙上的影高（CD）为1.2m，又测得地面部分的影长（BC）为2.7m，他测得的树高应为多少米？
24．如图，把△ABC沿边BA平移到△DEF的位置，它们重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC面积的，若AB=2，求△ABC移动的距离BE的长．
25．如图，点A（1，4）、B（2，a）在函数y=（x＞0）的图象上，直线AB与x轴相交于点C，AD⊥x轴于点D．
（1）m= ；
（2）求点C的坐标；
（3）在x轴上是否存在点E，使以A、B、E为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由．
26．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．
（1）求BD的长；
（2）若△DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积．
27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D为边CB上的一个动点（点D不与点B重合），过D作DO⊥AB，垂足为O，点B′在边AB上，且与点B关于直线DO对称，连接DB′，AD．
（1）求证：△DOB∽△ACB；
（2）若AD平分∠CAB，求线段BD的长；
（3）当△AB′D为等腰三角形时，求线段BD的长．
28．已知：如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点0．点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△AOP是等腰三角形？
（2）设五边形OECQF的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形S五边形OECQF：S△ACD=9：16？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分∠COP？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

《第6章 图形的相似》
参考答案与试题解析

一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．若=，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
【考点】比例的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据合分比性质求解．
【解答】解：∵ =，
∴==．
故选D．
【点评】考查了比例性质：常见比例的性质有内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．

2．已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a=9cm，b=4cm，则线段c长（ ）
A．18cmB．5cmC．6cmD．±6cm
【考点】比例线段．
【分析】由c是a、b的比例中项，根据比例中项的定义，列出比例式即可得出线段c的长，注意线段不能为负．
【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．
所以c2=4×9，解得c=±6（线段是正数，负值舍去），
故选C．
【点评】此题考查了比例线段；理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数．

3．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB=4，那么AP的长是（ ）
A．B．C．D．
【考点】黄金分割．
【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP=AB，代入数据即可得出AP的长．
【解答】解：由于P为线段AB=4的黄金分割点，
且AP是较长线段；
则AP=4×=2﹣2．
故选A．
【点评】本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．熟记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的，较长的线段=原线段的是解题的关键．

4．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ABP=∠CB．∠APB=∠ABCC． =D． =
【考点】相似三角形的判定．
【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．
【解答】解：A、当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
B、当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
C、当=时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．

5．如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是（ ）
A．1：16B．1：4C．1：6D．1：2
【考点】相似三角形的性质．
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是1：4，
∴两个相似三角形的相似比是1：2，
∴两个相似三角形的周长比是1：2，
故选：D．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．

6．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE：EA=3：4，EF=3，则CD的长为（ ）
A．4B．7C．3D．12
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【分析】由EF∥AB，根据平行线分线段成比例定理，即可求得，则可求得AB的长，又由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对边相等，即可求得CD的长．
【解答】解：∵DE：EA=3：4，
∴DE：DA=3：7
∵EF∥AB，
∴，
∵EF=3，
∴，
解得：AB=7，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=7．
故选B．
【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理与平行四边形的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．

7．如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD．若B（1，0），则点C的坐标为（ ）
A．（1，2）B．（1，1）C．（，）D．（2，1）
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【分析】首先利用等腰直角三角形的性质得出A点坐标，再利用位似是特殊的相似，若两个图形△ABC和△A′B′C′以原点为位似中心，相似比是k，△ABC上一点的坐标是（x，y），则在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，ky），进而求出即可．
【解答】解：∵∠OAB=∠OCD=90°，AO=AB，CO=CD，等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，点B的坐标为（1，0），
∴BO=1，则AO=AB=，
∴A（，），
∵等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，O为位似中心，相似比为1：2，
∴点C的坐标为：（1，1）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．

8．如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB=9，BD=3，则CF等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【专题】几何图形问题．
【分析】利用两对相似三角形，线段成比例：AB：BD=AE：EF，CD：CF=AE：EF，可得CF=2．
【解答】解：如图，∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴∠B=∠BAC=60°，∠E=∠EAD=60°，
∴∠B=∠E，∠BAD=∠EAF，
∴△ABD∽△AEF，
∴AB：BD=AE：EF．
同理：△CDF∽△EAF，
∴CD：CF=AE：EF，
∴AB：BD=CD：CF，
即9：3=（9﹣3）：CF，
∴CF=2．
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质和等边三角形的性质．此题利用了“两角法”证得两个三角形相似．

9．如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于（ ）
A．4.5米B．6米C．7.2米D．8米
【考点】相似三角形的应用．
【专题】压轴题；转化思想．
【分析】由于人和地面是垂直的，即和路灯到地面的垂线平行，构成两组相似．根据对应边成比例，列方程解答即可．
【解答】解：如图，GC⊥BC，AB⊥BC，
∴GC∥AB，
∴△GCD∽△ABD（两个角对应相等的两个三角形相似），
∴，
设BC=x，则，
同理，得，
∴，
∴x=3，
∴，
∴AB=6．
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形性质的应用．在解答相似三角形的有关问题时，遇到有公共边的两对相似三角形，往往会用到中介比，它是解题的桥梁，如该题中的“”．

10．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（ ）
A．2B．2.5或3.5C．3.5或4.5D．2或3.5或4.5
【考点】相似三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．
【专题】压轴题；动点型．
【分析】由Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，可求得AB的长，由D为BC的中点，可求得BD的长，然后分别从若∠DEB=90°与若∠EDB=90°时，去分析求解即可求得答案．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，
∴AB=2BC=4（cm），
∵BC=2cm，D为BC的中点，动点E以1cm/s的速度从A点出发，
∴BD=BC=1（cm），BE=AB﹣AE=4﹣t（cm），
若∠BED=90°，
当A→B时，∵∠ABC=60°，
∴∠BDE=30°，
∴BE=BD=（cm），
∴t=3.5，
当B→A时，t=4+0.5=4.5．
若∠BDE=90°时，
当A→B时，∵∠ABC=60°，
∴∠BED=30°，
∴BE=2BD=2（cm），
∴t=4﹣2=2，
当B→A时，t=4+2=6（舍去）．
综上可得：t的值为2或3.5或4.5．
故选D．
【点评】此题考查了含30°角的直角三角形的性质．此题属于动点问题，难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用．

二、填空题：（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．如果在比例尺为1：1 000 000的地图上，A、B两地的图上距离是3.4厘米，那么A、B两地的实际距离是 34 千米．
【考点】比例线段．
【专题】计算题．
【分析】实际距离=图上距离：比例尺，根据题意代入数据可直接得出实际距离．
【解答】解：根据题意，3.4÷=3400000厘米=34千米．
即实际距离是34千米．
故答案为：34．
【点评】本题考查了比例线段的知识，注意掌握比例线段的定义及比例尺，并能够灵活运用，同时要注意单位的转换．

12．如图，已知：l1∥l2∥l3，AB=6，DE=5，EF=7.5，则AC= 15 ．
【考点】平行线分线段成比例．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出BC的值，即可得出答案．
【解答】解：∵：l1∥l2∥l3，
∴=，
∵AB=6，DE=5，EF=7.5，
∴BC=9，
∴AC=AB+BC=15，
故答案为：15．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能根据定理得出正确饿比例式是解此题的关键．

13．如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 （9，0） ．
【考点】位似变换．
【专题】网格型．
【分析】位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线．
【解答】解：直线AA′与直线BB′的交点坐标为（9，0），所以位似中心的坐标为（9，0）．
【点评】本题考查位似中心的找法，各对应点所在直线的交点即为位似中心．

14．如图，点G是△ABC的重心，GH⊥BC，垂足为点H，若GH=3，则点A到BC的距离为 9 ．
【考点】平行线分线段成比例；三角形的重心．
【专题】数形结合．
【分析】根据题意作图，利用重心的性质AD：GD=3：1，同时还可以求出△ADE∽△GDH，从而得出AD：GD=AE：GH=3：1，根据GH=3即可得出答案．
【解答】解：设BC的中线是AD，BC的高是AE，
由重心性质可知：
AD：GD=3：1，
∵GH⊥BC，
∴△ADE∽△GDH，
∴AD：GD=AE：GH=3：1，
∴AE=3GH=3×3=9，
故答案为9．
【点评】本题主要考查了作辅助线，重心的特点，全等三角形的性质，难度适中．

15．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，则树高AB= 5.5 m．
【考点】相似三角形的应用．
【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB．
【解答】解：∵∠DEF=∠BCD=90°∠D=∠D
∴△DEF∽△DCB
∴=
∵DE=40cm=0.4m，EF=20cm=0.2m，AC=1.5m，CD=8m，
∴=
∴BC=4米，
∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5米，
故答案为：5.5．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．

16．如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为 4或9 时，△ADP和△ABC相似．
【考点】相似三角形的判定．
【分析】分别根据当△ADP∽△ACB时，当△ADP∽△ABC时，求出AP的长即可．
【解答】解：当△ADP∽△ACB时，
∴=，
∴=，
解得：AP=9，
当△ADP∽△ABC时，
∴=，
∴=，
解得：AP=4，
∴当AP的长度为4或9时，△ADP和△ABC相似．
故答案为：4或9．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用倒推法以及分类讨论得出是解题关键．

17．如图，双曲线y=经过Rt△BOC斜边上的点A，且满足=，与BC交于点D，S△BOD=21，求k= 8 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定与性质．
【分析】过A作AE⊥x轴于点E，根据反比例函数的比例系数k的几何意义可得S四边形AECB=S△BOD，根据△OAE∽△OBC，相似三角形面积的比等于相似比的平方，据此即可求得△OAE的面积，从而求得k的值．
【解答】解：过A作AE⊥x轴于点E．
∵S△OAE=S△OCD，
∴S四边形AECB=S△BOD=21，
∵AE∥BC，
∴△OAE∽△OBC，
∴==（）2=，
∴S△OAE=4，
则k=8．
故答案是：8．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．

18．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：
①∠EBG=45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG=S△FGH；④AG+DF=FG．
其中正确的是 ①③④ ．（把所有正确结论的序号都选上）
【考点】相似形综合题．
【专题】综合题．
【分析】由折叠性质得∠1=∠2，CE=FE，BF=BC=10，则在Rt△ABF中利用勾股定理可计算出AF=8，所以DF=AD﹣AF=2，设EF=x，则CE=x，DE=CD﹣CE=6﹣x，在Rt△DEF中利用勾股定理得（6﹣x）2+22=x2，解得x=，即ED=；再利用折叠性质得∠3=∠4，BH=BA=6，AG=HG，易得∠2+∠3=45°，于是可对①进行判断；设AG=y，则GH=y，GF=8﹣y，在Rt△HGF中利用勾股定理得到y2+42=（8﹣y）2，解得y=3，则AG=GH=3，GF=5，由于∠A=∠D和≠，可判断△ABG与△DEF不相似，则可对②进行判断；根据三角形面积公式可对③进行判断；利用AG=3，GF=5，DF=2可对④进行判断．
【解答】解：∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处，
∴∠1=∠2，CE=FE，BF=BC=10，
在Rt△ABF中，∵AB=6，BF=10，
∴AF==8，
∴DF=AD﹣AF=10﹣8=2，
设EF=x，则CE=x，DE=CD﹣CE=6﹣x，
在Rt△DEF中，∵DE2+DF2=EF2，
∴（6﹣x）2+22=x2，解得x=，
∴ED=，
∵△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，
∴∠3=∠4，BH=BA=6，AG=HG，
∴∠2+∠3=∠ABC=45°，所以①正确；
HF=BF﹣BH=10﹣6=4，
设AG=y，则GH=y，GF=8﹣y，
在Rt△HGF中，∵GH2+HF2=GF2，
∴y2+42=（8﹣y）2，解得y=3，
∴AG=GH=3，GF=5，
∵∠A=∠D， ==， =，
∴≠，
∴△ABG与△DEF不相似，所以②错误；
∵S△ABG=•6•3=9，S△FGH=•GH•HF=×3×4=6，
∴S△ABG=S△FGH，所以③正确；
∵AG+DF=3+2=5，而GF=5，
∴AG+DF=GF，所以④正确．
故答案为①③④．
【点评】本题考查了相似形综合题：熟练掌握折叠和矩形的性质、相似三角形的判定方法；会运用勾股定理计算线段的长．

三、解答题：（本大题共10大题，共76分）
19．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，M是BC的中点，DE⊥AM于点E．
（1）求证：△ADE∽△MAB；
（2）求DE的长．
【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．
【分析】（1）先根据矩形的性质，得到AD∥BC，则∠DAE=∠AMB，又由∠DEA=∠B，根据有两角对应相等的两三角形相似，即可证明出△DAE∽△AMB；
（2）由△DAE∽△AMB，根据相似三角形的对应边成比例，即可求出DE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠AMB，
又∵∠DEA=∠B=90°，
∴△DAE∽△AMB；
（2）由（1）知△DAE∽△AMB，
∴DE：AD=AB：AM，
∵M是边BC的中点，BC=6，
∴BM=3，
又∵AB=4，∠B=90°，
∴AM=5，
∴DE：6=4：5，
∴DE=．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质．（1）中根据矩形的对边平行进而得出∠DAE=∠AMB是解题的关键．

20．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，若S△ADE=4cm2，S△EFC=9cm2，求S△ABC．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】首先求出△ADE∽△ECF，得出S△ADE：S△ECF=（AE：EC）2，进而得出AE：EC=2：3，在得出S△ABC：S△ADE=（5：2）2，求出答案即可．
【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴∠A=∠FEC，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ECF；
∴S△ADE：S△ECF=（AE：EC）2，
∵S△ADE=4cm2，S△EFC=9cm2，
∴（AE：EC）2=4：9，
∴AE：EC=2：3，
即EC：AE=3：2，
∴（EC+AE）：AE=5：2，
即AC：AE=5：2．
∵DE∥BC，
∴∠C=∠AED，
又∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADE，
∴S△ABC：S△ADE=（AC：AE）2，
∴S△ABC：4=（5：2）2，
∴S△ABC=25cm2．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出S△ABC：S△ADE=（AC：AE）2进而求出是解题关键．

21．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=．
（1）求证：△ACD∽△CBD；
（2）求∠ACB的大小．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△ACD∽△CBD；
（2）由（1）知△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应角相等可得：∠A=∠BCD，然后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．
【解答】（1）证明：∵CD是边AB上的高，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∵=．
∴△ACD∽△CBD；
（2）解：∵△ACD∽△CBD，
∴∠A=∠BCD，
在△ACD中，∠ADC=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠BCD+∠ACD=90°，
即∠ACB=90°．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：熟记相似三角形的判定定理与性质定理．

22．已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，﹣3）、B（3，﹣2）、C（2，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．
（1）画出△ABC向上平移6个单位得到的△A1B1C1；
（2）以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1，并直接写出点A2的坐标．
【考点】作图-位似变换；作图-平移变换．
【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，A2坐标（﹣2，﹣2）．
【点评】此题主要考查了位似变换和平移变换，根据题意正确得出对应点位置是解题关键．

23．如图，一位同学想利用树影测量树高（AB），他在某一时刻测得高为1m的竹竿影长为0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上（CD），他先测得留在墙上的影高（CD）为1.2m，又测得地面部分的影长（BC）为2.7m，他测得的树高应为多少米？
【考点】相似三角形的应用．
【分析】先求出墙上的影高CD落在地面上时的长度，再设树高为h，根据同一时刻物高与影长成正比列出关系式求出h的值即可．
【解答】解：过D作DE∥BC交AB于点E，
设墙上的影高CD落在地面上时的长度为xm，树高为hm，
∵某一时刻测得长为1m的竹竿影长为0.9m，墙上的影高CD为1.2m，
∴=，解得x=1.08（m），
∴树的影长为：1.08+2.7=3.78（m），
∴=，解得h=4.2（m）．
答：测得的树高为4.2米．
【点评】本题考查的是相似三角形的应用，解答此题的关键是正确求出树的影长，这是此题的易错点．

24．如图，把△ABC沿边BA平移到△DEF的位置，它们重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC面积的，若AB=2，求△ABC移动的距离BE的长．
【考点】平移的性质．
【分析】根据平移的性质得到EF∥AC，证得△BEG∽△BAC，由相似三角形的性质得到==，即可得到结论．
【解答】解：∵把△ABC沿边BA平移到△DEF的位置，
∴EF∥AC，
∴△BEG∽△BAC，
∴==，
∵AB=2，
∴BE=．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质、平移的性质，关键在于求证△ABC与阴影部分为相似三角形．

25．如图，点A（1，4）、B（2，a）在函数y=（x＞0）的图象上，直线AB与x轴相交于点C，AD⊥x轴于点D．
（1）m= 4 ；
（2）求点C的坐标；
（3）在x轴上是否存在点E，使以A、B、E为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由．
【考点】反比例函数综合题．
【分析】（1）有点A的坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征，即可得出m的值；
（2）由反比例函数的解析式结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出点B的坐标，利用待定系数法即可求出直线AB的解析式，再领y=0求出x值即可得出点C的坐标；
（3）假设存在，设点E的坐标为（n，0），分∠ABE=90°、∠BAE=90°以及∠AEB=90°三种情况考虑：①当∠ABE=90°时，根据等腰三角形的性质，利用勾股定理即可找出关于n的一元二次方程，解方程即可得出结论；②当∠BAE=90°时，根据∠ABE＞∠ACD可得出两三角形不可能相似；③当∠AEB=90°时，根据A、B的坐标可得出AB的长度，以AB为直径作圆可知圆与x轴无交点，故该情况不存在．综上即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点A（1，4）在反比例函数y=（x＞0）的图象上，
∴m=1×4=4，
故答案为：4．
（2）∵点B（2，a）在反比例函数y=的图象上，
∴a==2，
∴B（2，2）．
设过点A、B的直线的解析式为y=kx+b，
∴，解得：，
∴过点A、B的直线的解析式为y=﹣2x+6．
当y=0时，有﹣2x+6=0，
解得：x=3，
∴点C的坐标为（3，0）．
（3）假设存在，设点E的坐标为（n，0）．
①当∠ABE=90°时（如图1所示），∵A（1，4），B（2，2），C（3，0），
∴B是AC的中点，
∴EB垂直平分AC，EA=EC=n+3．
由勾股定理得：AD2+DE2=AE2，即42+（x+1）2=（x+3）2，
解得：x=﹣2，
此时点E的坐标为（﹣2，0）；
②当∠BAE=90°时，∠ABE＞∠ACD，
故△EBA与△ACD不可能相似；
③当∠AEB=90°时，∵A（1，4），B（2，2），
∴AB=，2＞，
∴以AB为直径作圆与x轴无交点（如图3），
∴不存在∠AEB=90°．
综上可知：在x轴上存在点E，使以A、B、E为顶点的三角形与△ACD相似，点E的坐标为（﹣2，0）．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征求出m值；（2）根据待定系数法求出直线AB的解析式；（3）分∠ABE=90°、∠BAE=90°以及∠AEB=90°三种情况考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．

26．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．
（1）求BD的长；
（2）若△DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】几何综合题．
【分析】（1）由四边形ABCD为平行四边形，得到对边平行且相等，且对角线互相平分，根据两直线平行内错角相等得到两对角相等，进而确定出三角形MND与三角形CNB相似，由相似得比例，得到DN：BN=1：2，设OB=OD=x，表示出BN与DN，求出x的值，即可确定出BD的长；
（2）由相似三角形相似比为1：2，得到CN=2MN，BN=2DN．已知△DCN的面积，则由线段之比，得到△MND与△CNB的面积，从而得到S△ABD=S△BCD=S△BCN+S△CND，最后由S四边形ABNM=S△ABD﹣S△MND求解．
【解答】解：（1）∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，AD=BC，OB=OD，
∴∠DMN=∠BCN，∠MDN=∠NBC，
∴△MND∽△CNB，
∴=，
∵M为AD中点，
∴MD=AD=BC，即=，
∴=，即BN=2DN，
设OB=OD=x，则有BD=2x，BN=OB+ON=x+1，DN=x﹣1，
∴x+1=2（x﹣1），
解得：x=3，
∴BD=2x=6；
（2）∵△MND∽△CNB，且相似比为1：2，
∴MN：CN=DN：BN=1：2，
∴S△MND=S△CND=1，S△BNC=2S△CND=4．
∴S△ABD=S△BCD=S△BCN+S△CND=4+2=6
∴S四边形ABNM=S△ABD﹣S△MND=6﹣1=5．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．

27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D为边CB上的一个动点（点D不与点B重合），过D作DO⊥AB，垂足为O，点B′在边AB上，且与点B关于直线DO对称，连接DB′，AD．
（1）求证：△DOB∽△ACB；
（2）若AD平分∠CAB，求线段BD的长；
（3）当△AB′D为等腰三角形时，求线段BD的长．
【考点】相似形综合题．
【分析】（1）由∠DOB=∠ACB=90°，∠B=∠B，容易证明△DOB∽△ACB；
（2）先由勾股定理求出AB，由角平分线的性质得出DC=DO，再由HL证明Rt△ACD≌Rt△AOD，得出AC=AO，设BD=x，则DC=DO=8﹣x，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（3）根据题意得出当△AB′D为等腰三角形时，AB′=DB′，由△DOB∽△ACB，得出=，设BD=5x，则AB′=DB′=5x，BO=B′O=4x，由AB′+B′O+BO=AB，得出方程，解方程求出x，即可得出BD．
【解答】（1）证明：∵DO⊥AB，
∴∠DOB=∠DOA=90°，
∴∠DOB=∠ACB=90°，
又∵∠B=∠B，
∴△DOB∽△ACB；
（2）解：∵∠ACB=90°，
∴AB===10，
∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DO⊥AB，
∴DC=DO，
在Rt△ACD和Rt△AOD中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AOD（HL），
∴AC=AO=6，
设BD=x，则DC=DO=8﹣x，OB=AB﹣AO=4，
在Rt△BOD中，根据勾股定理得：DO2+OB2=BD2，
即（8﹣x）2+42=x2，
解得：x=5，
∴BD的长为5；
（3）解：∵点B′与点B关于直线DO对称，
∴∠B=∠OB′D，BO=B′O，BD=B′D，
∵∠B为锐角，
∴∠OB′D也为锐角，
∴∠AB′D为钝角，
∴当△AB′D为等腰三角形时，AB′=DB′，
∵△DOB∽△ACB，
∴==，
设BD=5x，
则AB′=DB′=5x，BO=B′O=4x，
∵AB′+B′O+BO=AB，
∴5x+4x+4x=10，
解得：x=，
∴BD=．
【点评】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要根据题意列出方程，解方程才能得出结果．

28．（2016•青岛）已知：如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点0．点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△AOP是等腰三角形？
（2）设五边形OECQF的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形S五边形OECQF：S△ACD=9：16？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分∠COP？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）根据矩形的性质和勾股定理得到AC=10，①当AP=PO=t，如图1，过P作PM⊥AO，根据相似三角形的性质得到AP=t=，②当AP=AO=t=5，于是得到结论；
（2）过点O作OH⊥BC交BC于点H，已知BE=PD，则可求△BOE的面积；可证得△DFQ∽△DOC，由相似三角形的面积比可求得△DFQ的面积，从而可求五边形OECQF的面积．
（3）根据题意列方程得到t=，t=0，（不合题意，舍去），于是得到结论；
（4）由角平分线的性质得到DM=DN=，根据勾股定理得到ON=OM==，由三角形的面积公式得到OP=5﹣t，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，
∴AC=10，
①当AP=PO=t，如图1，
过P作PM⊥AO，
∴AM=AO=，
∵∠PMA=∠ADC=90°，∠PAM=∠CAD，
∴△APM∽△ADC，
∴，
∴AP=t=，
②当AP=AO=t=5，
∴当t为或5时，△AOP是等腰三角形；
（2）过点O作OH⊥BC交BC于点H，则OH=CD=AB=3cm．
由矩形的性质可知∠PDO=∠EBO，DO=BO，又得∠DOP=∠BOE，
∴△DOP≌BOE，
∴BE=PD=8﹣t，
则S△BOE=BE•OH=×3（8﹣t）=12﹣t．
∵FQ∥AC，
∴△DFQ∽△DOC，相似比为=，
∴=
∵S△DOC=S矩形ABCD=×6×8=12cm2，
∴S△DFQ=12×=
∴S五边形OECQF=S△DBC﹣S△BOE﹣S△DFQ=×6×8﹣（12﹣t）﹣=﹣t2+t+12；
∴S与t的函数关系式为S=﹣t2+t+12；
（3）存在，
∵S△ACD=×6×8=24，
∴S五边形OECQF：S△ACD=（﹣t2+t+12）：24=9：16，
解得t=3，或t=，
∴t=3或时，S五边形S五边形OECQF：S△ACD=9：16；
（4）如图3，过D作DM⊥PE于M，DN⊥AC于N，
∵∠POD=∠COD，
∴DM=DN=，
∴ON=OM==，
∵OP•DM=3PD，
∴OP=5﹣t，
∴PM=﹣t，
∵PD2=PM2+DM2，
∴（8﹣t）2=（﹣t）2+（）2，
解得：t≈15（不合题意，舍去），t=，
∴当t=时，OD平分∠COP．
【点评】本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，图形面积的计算，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．