专题13 斜边上的中线问题（原卷版）-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

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直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线等于斜边的一半”
【典例分析】
例1．（2021·上海九年级专题练习）一副三角板如图摆放，点是角三角板的斜边的中点，.当角三角的直角顶点绕着点旋转时，直角边分别与相交于点则的面积为____________．
【答案】
【分析】
连结证明，根据即可求解．
【详解】
解:连结如图，
点是角三角板的斜边的中点，
平分，
在和中，
，
．
【点睛】
此题考查的知识点有等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识点，综合性强，难度较大，是一道难题．
例2．（2020·湖北恩施土家族苗族自治州·九年级期中）如图，在等腰直角三角形中，，，点为边上任意一点，点为的中点，过点作交于点．求证：为定值．
【答案】证明见解析
【分析】
连接CD，证明△CDE≌△BDF，得CE=BF，进一步证明CE+CF=BC=，从而得到结论．
【详解】
证明：连接CD，如图，
∵△ABC是等腰直角三角形，且D为AB的中点，
∴CD⊥AB，CD平分∠ACB，AD=BD=CD
∴∠DCA=∠DCB=∠DBC=45°
又DE⊥DF
∴∠EDC+∠FDC=90°
而∠FDC+∠FDB=90°
∴∠EDC=∠FDB
在△CDE和△BDF中，

∴△CDE≌△BDF
∴CE=BF
∵BC=AC=a
∴CE+CF=BE+CF=BC=AC=a，
故：为定值．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，证明CE=BF是解答此题的关键．
【真题演练】
一、填空题
1．（2020·哈尔滨市萧红中学八年级月考）如图，在中，∠B=60°，CD 为AB 边上的高，E 为AC 边的中点，点 F 在BC 边上，∠EDF=60°，若 BF=3，CF=5，则AC边的长为 ．
二、解答题
2．（2020·庆云县第二中学八年级期中）已知：在中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．
（1）直线BF垂直于CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；
（2）直线AH垂直于CE，垂足为H，交CD的延长线于点M（如图2），求证：．
3．（2020·张家港市梁丰初级中学八年级期中）已知，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD为边AB上的中线，若E是线段CA上任意一点，DF⊥DE，交直线BC于F点．G为EF的中点，连接CG并延长交直线AB于点H．
（1）试说明：①AE=CF； ②CG=GD；
（2）若AE=6，CH=10，求边AC的长．
4．（2019·陇东学院附属中学八年级期末）如图在中，，，为的中点．
（1）写出点到的三个顶点、、的距离的大小关系．
（2）如果点、分别在线段、上移动，移动中保持，请判断的形状，并证明你的结论．
（3）当点、分别在、上运动时，四边形的面积是否发生变化？说明理由．
5．（2020·乌兰察布市·内蒙古凉城县宏远中学八年级月考）已知：三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC边的中点，
（1）如图①，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，求证：△DEF为等腰直角三角形．
（2）如图②，若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．
6．（2019·全国九年级专题练习）如图所示，，分别是正方形的边，上的两个动点，且，交于点，，连.求线段长度的最小值.