高中数学湘教版必修23.2任意角的三角函数教案

这是一份高中数学湘教版必修23.2任意角的三角函数教案，共5页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程，板书设计等内容，欢迎下载使用。
【教学目标】
1．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；
2．理解任意角的三角函数不同的定义方法；
3．了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；
4．掌握并能初步运用公式一；
5．树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数．
【教学重难点】
重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）．
难点:任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解．
y
P（a，b）
r
SKIPIF 1 < 0
O M
【教学过程】
一、创设情境
提问：锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示？
借助右图直角三角形，复习回顾．
引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。
你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?
a的终边
P(x,y)
O
x
y
如图,设锐角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限．在的终边上任取一点,它与原点的距离．过作轴的垂线,垂足为,则线段的长度为,线段的长度为．则;
; ．
思考：对于确定的角，这三个比值是否会随点在的终边上的位置的改变而改变呢？
显然，我们可以将点取在使线段的长的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：
; ; ．
思考：上述锐角的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示．那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数．
二、探究新知
1．探究:结合上述锐角的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?
显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了．所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点为圆心,以单位长度为半径的圆．
2．思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?
如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:
（1）叫做的正弦(sine),记做,即；
（2）叫做的余弦(cssine),记做,即；
（3）叫做的正切(tangent),记做,即．
注意:当α是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边，斜边所在）；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点，从而就必然能够最终算出三角函数值．
3．思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?
前面我们已经知道,三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关．我们只需计算点到原点的距离,那么,,
．所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数．
4．探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中：
5．思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系?
终边相同的角的同一三角函数值相等．即有公式一:
(其中)
6．三角函数线
设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点，过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点．
（Ⅱ）
（Ⅰ）
（Ⅳ）
（Ⅲ）
由四个图看出：
当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有

我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。
我们把这三条与单位圆有关的有向线段,分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线．
7．例题讲解
例1．已知角α的终边经过点，求α的三个函数制值。
解：

变式训练1：
已知角的终边过点，求角的正弦、余弦和正切值．
解：,,．
例2．求下列各角的三个三角函数值：
（1）； （2）； （3）．
解：（1）sin0=0 cs0=1 tan0=0
（2）
（3）
变式训练2：求的正弦、余弦和正切值．
例3．已知角α的终边过点，求α的三个三角函数值．
解析：计算点到原点的距离时应该讨论a的正负．
变式训练3： 求函数的值域．
解析：分四个象限讨论．
答案：{2，-2，0}
例4．利用三角函数线比较下列各组数的大小：
1．与 2．tan与tan
三、学习小结
1．本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同?
2．你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗?
3．请写出各三角函数的定义域；
4．终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟练应用公式一吗?
5．三角函数线的做法．
【板书设计】
三角函数
定义域
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
角度制
弧度制
任意角三角函数的定义
一、复习引入
二、概念形成
1．三角函数定义
2．三角函数线
例题讲解
三、小结