2020版高考数学（天津专用）大一轮精准复习课件：4.4　解三角形 【KS5U 高考】

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【温馨提示】    (1)利用余弦定理求边长,实质是解一元二次方程,解出后可根据已知条 件对方程的根进行取舍.(2)在△ABC中,已知a,b和A,利用正弦定理解三角形时,会出现解不确定 的情况,一般可根据三角形中“大边对大角”和“三角形内角和定理” 来取舍.在△ABC中,已知a,b和A时,具体解的情况如下表:
上表中,若A为锐角,则当a考向一    利用正、余弦定理解决三角形中的边角问题
例1    (2015北京,12,5分)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则 =　　　    .
思路分析    先由余弦定理求cs A,再将sin 2A展开,根据正弦定理将角转 化为边,然后求得结论.
考向二    三角形形状的判断
例2　设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcs C+ccs B=asin A,则△ABC的形状为 (　　)A.锐角三角形　    B.直角三角形C.钝角三角形　    D.不确定
考点二  解三角形的综合应用
考向基础1.三角形中常用的结论在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,常见的结论有:(1)A+B+C=π;(2)在△ABC中,大角对大边,大边对大角,如:a>b⇔A>B⇔sin A>sin B;(3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边;(4)在锐角三角形ABC中,sin A>cs B⇔A+B> ;(5)在斜△ABC中,tan A+tan B+tan C=tan A·tan B·tan C;(6)有关三角形内角的常用三角恒等式:sin(A+B)=sin C;cs(A+B)=-cs C; tan(A+B)=-tan C ;sin =cs ;cs =sin .
2.三角形的面积公式(1)已知三角形一边及该边上的高,利用S= ah(h表示边a上的高);(2)已知三角形的两边及其夹角,利用S= absin C S= acsin B,S= bcsin A ;(3)已知三角形的三边,利用S=  ;(4)已知三角形的三边及内切圆半径,利用S= (a+b+c)r(r为三角形的内切圆半径).
问题转化为数学问题.实际问题中用正弦定理和余弦定理解三角形的常 见题型:测量高度问题、距离问题、角度问题.注意正确理解实际问题 中的常用数学用语:仰角、俯角、方向角、方位角、坡角以及坡比(坡 度)等.
3.解三角形的实际应用解决关于解三角形的实际应用问题的关键是建立三角函数模型,将实际
考向    正、余弦定理与面积的综合问题
例　如图,在四边形ABCD中,∠ABD=45°,∠ADB=30°,BC=1,DC=2,cs∠ BCD= ,则BD=　　　    ;三角形ABD的面积为　　　    . 
解析　在△BCD中,由余弦定理得BD2=BC2+DC2-2BC·DC·cs∠BCD=1+ 4-2×1×2× =4,∴BD=2.在△ABD中,由正弦定理得 = ,∴AB= = = - ,∴S△ABD= AB·BD·sin∠ABD= ×( - )×2× = -1.
方法1  三角形形状的判断要判断三角形的形状,应围绕三角形的边角关系进行思考.依据已知条 件中的边角关系判断时,主要有以下两种途径:(1)化角为边:利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系,通 过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.(2)化边为角:利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角 函数间的关系,通过三角恒等变换得出内角的关系,从而判断出三角形 的形状,此时要注意应用“△ABC中,A+B+C=π”这个结论.
例1　在△ABC中,a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边,如果(a2+ b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),判断三角形的形状.解题导引     
解析　解法一:已知等式可化为a2[sin(A-B)-sin(A+B)]=b2[-sin(A+B)-sin(A-B)],∴2a2cs Asin B=2b2cs Bsin A.由正弦定理可知上式可化为sin2Acs Asin B=sin2Bcs Bsin A,∴sin Asin B(sin Acs A-sin Bcs B)=0,∴sin 2A=sin 2B,由0<2A<2π,0<2B<2π,得2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A= -B,∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.解法二:同解法一可得2a2cs Asin B=2b2sin Acs B.
由正、余弦定理,可得a2b· =b2a· ,∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,∴a=b或a2+b2=c2,∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.
方法2  解三角形的常见题型及求解方法1.已知两角A、B与一边a,由A+B+C=π及 = = ,可先求出角C,再求出b、c.2.已知两边b、c及其夹角A,由a2=b2+c2-2bccs A,先求出a,再由正弦定理 求出角B、C.3.已知三边a、b、c,由余弦定理可求出角A、B、C.4.已知两边a、b及其中一边a的对角A,由正弦定理 = 可求出另一边b的对角B,由C=π-(A+B)可求出C,再由 = 可求出c,而通过 = 
求B时,可能有一解,两解或无解的情况,其判断方法如下表: