2020版高考数学（天津专用）大一轮精准复习课件：9.6　直线与圆锥曲线的位置关系 【KS5U 高考】

这是一份2020版高考数学（天津专用）大一轮精准复习课件：9.6　直线与圆锥曲线的位置关系 【KS5U 高考】，共12页。

可以写成关于y的形式,弦长公式为|AB|=②     |y1-y2|(k≠0)    .2.中点弦问题(1)已知AB是椭圆 + =1(a>b>0)的一条弦,其中点M的坐标为(x0,y0).运用点差法求直线AB的斜率,设A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,∵点A,B都在椭圆上, ∴ 两式相减得 + =0,∴ + =0,
∴ =- =- ,故kAB=- .(2)已知AB是双曲线 - =1(a>0,b>0)的一条弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,弦中点M(x0,y0),则kAB= .(3)已知AB是抛物线y2=2px(p>0)的一条弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,弦中 点M(x0,y0),则 两式相减得 - =2p(x1-x2),∴(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2),∴ = = ,即kAB= .
1.直线与圆锥曲线相交所得弦的中点问题是解析几何中的主要内容之 一,也是高考的一个热点问题,常利用一元二次方程根与系数的关系(韦 达定理)直接得到两交点的坐标之和与坐标之积,也可用平方差找到两 交点的坐标之和,直接与中点坐标建立联系.一般有以下三类问题:(1)求 中点弦所在直线方程;(2)求弦中点的轨迹方程问题;(3)弦长为定值时,求 弦中点的坐标.2.解答曲线关于直线对称的问题时,只需注意两点关于一条直线对称的 条件:(1)两点连线与该直线垂直(两直线都有斜率时,斜率互为负倒数); (2)两点所连线段的中点在此直线上(中点坐标适合直线方程).
方法1  圆锥曲线中弦长的求法关于直线与圆锥曲线相交求弦长,通用方法是将直线y=kx+b代入曲线方 程,化为关于x的一元二次方程,设出交点坐标A(x1,y1),B(x2,y2),利用根与系 数的关系及弦长公式 求出弦长,这种整体代换、设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的,然而对 于求解过焦点的圆锥曲线弦长问题,这种方法比较烦琐,此时可利用圆 锥曲线的定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式简化运算.
例1    (2018北京文,20,14分)已知椭圆M: + =1(a>b>0)的离心率为 ,焦距为2 .斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A,B.(1)求椭圆M的方程;(2)若k=1,求|AB|的最大值;(3)设P(-2,0),直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一 个交点为D.若C,D和点Q 共线,求k.
解析　(1)由题意得 解得a= ,b=1.所以椭圆M的方程为 +y2=1.(2)设直线l的方程为y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2).由 得4x2+6mx+3m2-3=0.所以x1+x2=- ,x1x2= .|AB|= = 
= = .当m=0,即直线l过原点时,|AB|最大,最大值为 .(3)设A(x1,y1),B(x2,y2).由题意得 +3 =3, +3 =3.直线PA的方程为y= (x+2).由 得[(x1+2)2+3 ]x2+12 x+12 -3(x1+2)2=0.设C(xC,yC).所以xC+x1= = .
所以xC= -x1= .所以yC= (xC+2)= .设D(xD,yD).同理得xD= ,yD= .记直线CQ,DQ的斜率分别为kCQ,kDQ,则kCQ-kDQ= - =4(y1-y2-x1+x2).因为C,D,Q三点共线,所以kCQ-kDQ=0.故y1-y2=x1-x2.所以直线l的斜率k= =1.
方法2  圆锥曲线中弦中点问题的求法1.点差法:设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,式 子中含有x1+x2,y1+y2, 三个未知量,这样就直接联系了中点和直线的斜率,借用中点公式即可求得斜率.2.根与系数的关系:联立直线与圆锥曲线的方程,将其转化为一元二次方 程后由根与系数的关系求解.
例2　已知P(1,1)为椭圆 + =1内一定点,经过P引一条弦,使此弦被P点平分,且弦与椭圆交于A、B两点,则此弦所在直线的方程为　　　    .
解析　解法一:易知此弦所在直线的斜率存在,∴设直线方程为y-1=k(x- 1),A(x1,y1),B(x2,y2).联立方程 消去y得,(2k2+1)x2-4k(k-1)x+2(k2-2k-1)=0,∴x1+x2= ,又∵x1+x2=2,∴ =2,解得k=- .故此弦所在直线的方程为y-1=- (x-1),即x+2y-3=0.解法二:易知此弦所在直线的斜率存在,∴设直线的斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2),