2020版高考数学（天津专用）大一轮精准复习课件：8.4　直线、平面垂直的判定与性质 【KS5U 高考】

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2.面面垂直的判定与性质
知识拓展线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的关系: 
考向一    线面垂直的判定与性质的应用
例1    (2017课标Ⅲ文,10,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CD的中 点,则 (　　)A.A1E⊥DC1　    B.A1E⊥BDC.A1E⊥BC1　    D.A1E⊥AC
解析　∵A1B1⊥平面BCC1B1,BC1⊂平面BCC1B1,∴A1B1⊥BC1,又BC1⊥B1 C,且B1C∩A1B1=B1,∴BC1⊥平面A1B1CD,又A1E⊂平面A1B1CD,∴BC1⊥A1 E.故选C.
例2    (2015安徽,5,5分)已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则 下列命题正确的是 (　　)A.若α,β垂直于同一平面,则α与β平行B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行C.若α,β ,则在α内 与β平行的直线D.若m,n ,则m与n 垂直于同一平面
解析　若α,β垂直于同一个平面γ,则α,β可以都过γ的同一条垂线,即α,β可 以相交,故A错;若m,n平行于同一个平面,则m与n可能平行,也可能相交, 还可能异面,故B错;若α,β不平行,则α,β相交,设α∩β=l,在α内存在直线a, 使a∥l,则a∥β,故C错;从原命题的逆否命题进行判断,若m与n垂直于同 一个平面,由线面垂直的性质定理知m∥n,故D正确.
考向二    面面垂直的判定与性质的应用
例3　如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,点E是棱PC的中 点,平面ABE与棱PD交于点F.(1)求证:AB∥EF;(2)若PA=AD,且平面PAD⊥平面ABCD,试证明AF⊥平面PCD;(3)在(2)的条件下,线段PB上是否存在点M,使得EM⊥平面PCD?(直接给 出结论,不需要说明理由) 
解析　(1)证明:因为底面ABCD是正方形,所以AB∥CD.又因为AB⊄平面PCD,CD⊂平面PCD,所以AB∥平面PCD.又因为A,B,E,F四点共面,且平面ABEF∩平面PCD=EF,所以AB∥EF.(2)证明:在正方形ABCD中,CD⊥AD,又因为平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,CD⊂平面ABCD,所以CD⊥平面PAD.又AF⊂平面PAD,所以CD⊥AF.由(1)可知AB∥EF,又因为AB∥CD,所以CD∥EF.因为点E是棱PC的中点,所以点F是棱PD的中点.
在△PAD中,因为PA=AD,所以AF⊥PD.又因为PD∩CD=D,所以AF⊥平面PCD.(3)不存在.
方法1  证明线面垂直的方法1.线面垂直的定义.2.线面垂直的判定定理(a⊥b,a⊥c,b⊂α,c⊂α,b∩c=M⇒a⊥α).3.平行线垂直平面的传递性(a∥b,b⊥α⇒a⊥α).4.面面垂直的性质(α⊥β,α∩β=l,a⊂β,a⊥l⇒a⊥α).5.面面平行的性质(a⊥α,α∥β⇒a⊥β).6.面面垂直的性质(α∩β=l,α⊥γ,β⊥γ⇒l⊥γ).
例1    S是Rt△ABC所在平面外的一点,且SA=SB=SC,D为斜边AC的中点.(1)求证:SD⊥平面ABC;(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.
∴AB⊥平面SDE.又SD⊂平面SDE,∴AB⊥SD.在△SAC中,SA=SC,D为AC的中点,∴SD⊥AC.又AC,AB⊂平面ABC,且AC∩AB=A,∴SD⊥平面ABC.(2)由于AB=BC,所以BD⊥AC,由(1)可知,SD⊥平面ABC,且BD⊂平面ABC,∴SD⊥BD,又SD,AC⊂平面SAC,且SD∩AC=D,∴BD⊥平面SAC.
在Rt△ABC中,D,E分别为AC,AB的中点,∴DE∥BC,∵BC⊥AB,∴DE⊥AB,∵SA=SB,∴SE⊥AB.又DE,SE⊂平面SDE,且SE∩DE=E,
方法2  证明面面垂直的方法1.利用判定定理.在审题时要注意直观判断哪条直线可能是垂线,充分利 用等腰三角形底边上的中线垂直于底边,勾股定理的逆定理等.2.用定义法证明.只需判定两平面所成的二面角为直二面角.3.客观题中也可应用“两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另 一个也垂直于第三个平面”进行证明.
方法3  翻折问题的处理方法平面图形翻折为空间图形问题的解题关键是看翻折前后线线位置关系 的变化,根据翻折的过程找到翻折前后线线位置关系中没有变化的量和 发生变化的量,这些不变的量和变化的量反映了翻折后的空间图形的结 构特征.
例3    (2015陕西文,18,12分)如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD = ,AB=BC= AD=a,E是AD的中点,O是AC与BE的交点.将△ABE沿BE折起到图2中△A1BE的位置,得到四棱锥A1-BCDE.(1)证明:CD⊥平面A1OC;(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时,四棱锥A1-BCDE的体积为36 ,求a的值.
解析　(1)证明:在题图1中,因为AB=BC= AD=a,E是AD的中点,∠BAD= ,所以BE⊥AC.即在题图2中,BE⊥A1O,BE⊥OC,又A1O∩OC=O,从而BE⊥平面A1OC,又BC?DE,所以四边形BCDE为平行四边形,所以CD∥BE,所以CD⊥平面A1OC.(2)因为平面A1BE⊥平面BCDE,且平面A1BE∩平面BCDE=BE,