2020版高考数学（天津专用）大一轮精准复习精练：4.2　三角恒等变换 Word版含解析【KS5U 高考】

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4.2　三角恒等变换挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点三角恒等变换1.两角和与差的三角函数公式会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式;能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式;能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式,推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,并了解它们的内在联系2.简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式,但这三组公式不要求记忆)2015天津,15两角差的余弦公式函数在闭区间上的最值★★★分析解读　　两角和与差的三角函数公式及二倍角公式一直是高考命题的热点,全面考查两角和与差及二倍角公式的综合应用.1.以两角和与差的三角函数公式为基础,求三角函数的值或化简三角函数式;2.二倍角公式是热点和难点,要理解“倍角”的含义,注意“倍角”的相对性,并能灵活应用;3.解决与两角和与差的三角函数公式及二倍角公式有关的综合问题时,一般先把三角函数式化成y=Asin(ωx+φ)+b的形式,再讨论三角函数的性质.本节内容常以解答题的形式出现,与解三角形问题结合在一起考查,属于中档题.破考点【考点集训】考点　三角恒等变换1.“sin α+cos α=0”是“cos 2α=0”的(　　)A.充分而不必要条件　　　B.必要而不充分条件　　　C.充分必要条件　　　D.既不充分也不必要条件答案　A　2.(2015课标Ⅰ,2,5分)sin 20°cos 10°-cos 160°·sin 10°=(　　)A.-　　　　B.　　　　C.-　　　　D.答案　D　3.若tan α=2tan ,则=(　　)A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4答案　C　4.(2018课标Ⅱ,15,5分)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)=　　　　. 答案　-炼技法【方法集训】方法1　三角函数的化简与求值问题1.(2013课标Ⅱ,6,5分)已知sin 2α=,则cos2=(　　)A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.答案　A　2.已知tan α=2.(1)求tan的值;(2)求的值.解析　(1)因为tan α=2,所以tan===-3.(2)因为tan α=2,所以=====1.方法2　利用辅助角公式解决问题的方法3.已知2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=　　　　,b=　　　　. 答案　;14.已知函数f(x)=(1+tan x)sin 2x.(1)求f(x)的定义域;(2)若α∈(0,π),且f(α)=2,求α的值.解析　(1)因为函数y=tan x的定义域是x∈Rx≠kπ+,k∈Z,所以f(x)的定义域为x∈Rx≠kπ+,k∈Z.(2)f(x)=(1+tan x)sin 2x=·sin 2x=sin 2x+2sin2x=sin 2x-cos 2x+1=sin+1.由f(α)=2,得sin=.因为0<α<π,所以-<2α-<,所以2α-=或2α-=,解得α=或α=(舍去).所以α=. 过专题【五年高考】A组　自主命题·天津卷题组1.(2015天津,15,13分)已知函数f(x)=sin2x-sin2,x∈R.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.解析　(1)由已知,有f(x)=-=-cos 2x=sin 2x-cos 2x=sin.所以, f(x)的最小正周期T==π.(2)因为f(x)在区间上是减函数,在区间上是增函数, f =-, f =-, f=,所以f(x)在区间上的最大值为,最小值为-.2.(2014天津,15,13分)已知函数f(x)=cos x·sin-cos2x+,x∈R.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值.解析　(1)由已知,有f(x)=cos x·-cos2x+=sin x·cos x-cos2x+=sin 2x-(1+cos 2x)+=sin 2x-cos 2x=sin.所以f(x)的最小正周期T==π.(2)因为f(x)在区间上是减函数,在区间上是增函数,f=-, f=-, f=,所以函数f(x)在闭区间上的最大值为,最小值为-.B组　统一命题、省(区、市)卷题组1.(2018课标Ⅲ,4,5分)若sin α=,则cos 2α=(　　)A.　　　　B.　　　　C.-　　　　D.-答案　B　2.(2018课标Ⅱ,15,5分)已知tan=,则tan α=　　　　. 答案　3.(2017江苏,5,5分)若tan=,则tan α=　　　　. 答案　4.(2017课标Ⅰ,15,5分)已知α∈,tan α=2,则cos=　　　　. 答案　5.(2016课标Ⅱ,13,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b=　　　　. 答案　6.(2015四川,12,5分)sin 15°+sin 75°的值是　　　　. 答案　7.(2018江苏,16,14分)已知α,β为锐角,tan α=,cos(α+β)=-.(1)求cos 2α的值;(2)求tan(α-β)的值.解析　(1)因为tan α=,tan α=,所以sin α=cos α.因为sin2α+cos2α=1,所以cos2α=,所以cos 2α=2cos2α-1=-.(2)因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π).又因为cos(α+β)=-,所以sin(α+β)==,因此tan(α+β)=-2.因为tan α=,所以tan 2α==-.因此tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]==-.C组　教师专用题组1.(2017山东,4,5分)已知cos x=,则cos 2x=(　　)A.-　　　　B.　　　　C.-　　　　D.答案　D　2.(2016课标Ⅱ,9,5分)若cos=,则sin 2α=(　　)A.　　　　B.　　　　C.-　　　　D.-答案　D　3.(2014课标Ⅱ,14,5分)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最大值为　　　　. 答案　14.(2014江苏,5,5分)已知函数y=cos x与y=sin(2x+φ)(0≤φ<π),它们的图象有一个横坐标为的交点,则φ的值是　　　　. 答案　5.(2014广东,16,12分)已知函数f(x)=Asin,x∈R,且f=.(1)求A的值;(2)若f(θ)+f(-θ)=,θ∈,求f.解析　(1)f=Asin=,∴A·=,解得A=.(2)f(θ)+f(-θ)=sin+sin=,∴=,∴cos θ=,∴cos θ=,又 θ∈,∴sin θ==,∴f=sin(π-θ)=sin θ=.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共15分)1.(2018天津河东二模,6)已知函数f(x)=cos2-,在下列区间中f(x)单调递增的为(　　)A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.答案　D　2.(2019届天津耀华中学第一次月考,6)已知函数f(x)=2sin ωxcos2-sin ωx(ω>0)的最小值在区间上至少出现两次,则ω的最小值等于(　　)A.6　　　　B.　　　　C.　　　　D.3答案　D　3.(2018天津六校联考期中,4)若点P(cos α,sin α)在直线y=-2x上,则sin2α+cos=(　　)A.0　　　　B.　　　　C.　　　　D.答案　D　二、填空题(每小题5分,共15分)4.(2019届天津新华中学第一次月考,12)已知α,β∈,sin(α+β)=-,sin=,则cos=　　　　. 答案　-5.(2019届天津武清杨村三中第一次月考,13)函数f(x)=cos x-sin x的单调递增区间为　　　　　　　　　. 答案　(k∈Z)6.(2018天津南开三模,13)若函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω≠0)对任意实数x都有f=f,则f的值等于　　　　. 答案　-1三、解答题(共75分)7.(2018天津河西三模,15)已知函数f(x)=2cos2x-cos-1.(1)求函数f(x)的最小正周期和对称轴方程;(2)讨论函数f(x)在上的单调性.解析　(1)f(x)=2cos2x-cos-1=cos 2x-cos 2x+sin 2x=sin,∵ω=2,∴函数f(x)的最小正周期T==π.令2x+=kπ+,k∈Z,解得x=+,k∈Z,∴f(x)的对称轴方程为x=+,k∈Z.(2)令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,设A=,B=,可得A∩B=,∴当x∈时, f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.8.(2017天津红桥二模,15)已知函数f(x)=-sin+6sin xcos x-2cos2x+1,x∈R.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.解析　(1)由已知,有f(x)=-sin+6sin xcos x-2cos2x+1=-sin 2x-cos 2x+3sin 2x-(1+cos 2x)+1=2sin 2x-2cos 2x=2sin,∴f(x)的最小正周期T==π.(2)易知f(x)在区间上为增函数,在区间上为减函数, f(0)=-×2=-2, f=×2=2, f=2,∴f(x)在区间上的最大值为2,最小值为-2.9.(2019届天津一中月考,15)设函数f(x)=cos+sin2x.(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值;(2)求函数f(x)的单调递减区间;(3)设A,B,C为△ABC的三个内角,若cos B=, f=-,且C为锐角,求sin A.解析　(1)由已知,有f(x)=cos 2xcos-sin 2xsin+=cos 2x-sin 2x+-cos 2x=-sin 2x,所以f(x)的最小正周期T==π.当2x=-+2kπ(k∈Z),即x=-+kπ(k∈Z)时,f(x)取得最大值, 最大值为.(2)由-+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z).(3)由f=-,即-sin C=-,解得sin C=,又C为锐角,所以C=.由cos B=,得sin B=.因此sin A=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=×+×=.10.(2018天津部分区县二模,15)已知函数f(x)=cos2ωx+·sin 2ωx-(ω>0)的图象上相邻的两最高点间的距离是π.(1)求函数f(x)的解析式;(2)在锐角△ABC中,内角A,B,C满足sin Asin C-sin2C=sin2A-sin2B,求f(A)的取值范围.解析　(1)函数f(x)=cos2ωx+sin 2ωx-=(1+cos 2ωx)+sin 2ωx-=sin 2ωx+cos 2ωx=sin.∵函数f(x)图象上相邻的两最高点间的距离是π,∴T=π,由T==π,且ω>0,解得ω=1,∴f(x)=sin.(2)由sin Asin C-sin2C=sin2A-sin2B得ac-c2=a2-b2,即a2+c2-b2=ac,∴cos B===,又∵B∈,∴B=,在锐角三角形ABC中,A∈,∴<2A+<,∴-<sin<1,∴f(A)∈.11.(2017天津新华中学模拟,15)已知函数f(x)=2sin·sin-2sin xcos(π-x).(1)求f(x)的单调递增区间;(2)将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度,再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在上的值域.解析　(1)函数f(x)=2sinsin-2sin x·cos(π-x)=cos 2x+sin 2x=2sin.由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).(2)由(1)可知f(x)=2sin,将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度,得到y=2sin=2sin的图象,再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)=2sin的图象,当x∈时,x+∈,故g(x)∈[-1,2].12.(2017天津和平四模,15)已知函数f(x)=(tan x+1)cos2x.(1)若α∈,且cos α=-,求f(α)的值;(2)讨论函数f(x)在内的单调性.解析　(1)∵α∈,且cos α=-,∴sin α==,∴tan α==-2,∴f(α)=(-2+1)×=.(2)易知函数f(x)的定义域为xx∈R,且x≠+kπ,k∈Z.f(x)=(tan x+1)cos2x=sin xcos x+cos2x=sin 2x+=sin+,当x∈时,2x+∈,此时函数f(x)单调递减;x∈时,2x+∈,此时函数f(x)在上单调递减,在上单调递增.综上,函数f(x)在区间和区间上单调递减,在区间上单调递增.