2021学年第一章 特殊平行四边形2 矩形的性质与判定学案

北师大版九年级数学上册第一章　1.2.2矩形的判定 导学案

预习目标

能运用矩形定义、判定定理，解决简单的证明题和计算题，进一步培养分析能力．

预习知识

阅读教材P14～16，完成下列问题：

(一)知识探究

1．对角线________的平行四边形是矩形．

2．有三个角是________的四边形是矩形．

(二)自学反馈

1．能够判断一个四边形是矩形的条件是(　　)

  A．对角线相等  　　             B．对角线垂直

  C．对角线互相平分且相等  　　   D．对角线垂直且相等

2．矩形的一组邻边分别长3 cm和4 cm，则它的对角线长________cm.

3．如图，直线EF∥MN，PQ交EF、MN于A、C两点，AB、CB、CD、AD分别是∠EAC、∠MCA、∠NCA、∠FAC的平分线．

(1)判断AB和CD、BC和AD的位置关系？

(2)∠ABC、∠BCD、∠CDA、∠DAB各等于多少度？

(3)四边形ABCD是(　　)

  A．菱形  　　         B．平行四边形

  C．矩形  　　         D．不能确定

(4)AC和BD有怎样的大小关系？为什么？

例题讲解

活动1　小组讨论

例1　如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB＝4.求▱ABCD的面积．

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，OB＝OD.

∵△ABO是等边三角形，

∴OA＝OB＝AB＝4，∠BAC＝60°.

∴OA＝OC＝OB＝OD＝4.

∴AC＝BD＝2OA＝8.

∴四边形ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)．

∴∠ABC＝90°(矩形的四个角都是直角)．

∴由勾股定理得：BC＝＝4.

∴▱ABCD的面积是BC×AB＝4×4＝16.

提示：　先通过对角线相等证明此平行四边形为矩形，再通过矩形的面积公式求．

活动2　跟踪训练

1．下列说法错误的是(　　)

  A．有一个内角是直角的平行四边形是矩形

  B．矩形的四个角都是直角，并且对角线相等

  C．对角线相等的平行四边形是矩形

  D．有两个角是直角的四边形是矩形

2．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是(　　)

  A．AB＝CD               B．AD＝BC

  C．AB＝BC               D．AC＝BD

3．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝DC.在不添加任何辅助线的前提下，要想使该四边形成为矩形，只需再加上一个条件是________．(填上你认为正确的一个答案即可)

4．如图，直角∠AOB内的任意一点P到这个角的两边的距离之和为6，则图中四边形的周长为________．

5．如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F.

求证：(1)△ADE≌△CBF；

(2)四边形BFDE为矩形．

活动3　课堂小结

矩形的判定方法：

1．有一个角是直角的平行四边形是矩形．

2．对角线相等的平行四边形是矩形．

3．有三个角是直角的四边形是矩形．

参考答案

【预习导学】

(一)知识探究

1．相等　2.直角

(二)自学反馈

1．C　2.5　3.(1)AB∥CD，BC∥AD.(2)90°.(3)C　(4)相等．因为矩形的对角线相等．

【合作探究】

活动2　跟踪训练

1．D　2.D　3.答案不唯一，如：∠A＝90°　4.12

5．证明：(1)∵DE⊥AB，BF⊥CD，∴∠AED＝∠CFB＝90°.∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC，∠A＝∠C.在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF(AAS)．(2)∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB.∴∠CDE＋∠DEB＝180°.∵∠DEB＝90°，∴∠CDE＝90°.∴∠CDE＝∠DEB＝∠BFD＝90°.∴四边形BFDE为矩形．