人教版九年级上册24.4 弧长及扇形的面积同步训练题

人教版数学新初三同步训练试题精选

第二十四章 24.4弧长及扇形的面积

一、单选题（共5题；共15分）

1.如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（   ） 

A. 175πcm2                         B. 350πcm2                         C.  πcm2                         D. 150πcm2

2.如图，PA，PB与⊙O相切，切点分别为A，B，PA＝3，∠BPA＝60°，若BC为⊙O的直径，则图中阴影部分的面积为（   ） 

A. 3π                                         B. π                                         C. 2π                                         D. 

3.如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，则半径为4的“等边扇形”的面积为（   ）           

A. 4π                                          B. 8                                          C. 8π                                          D. 4

4.如图，扇形AOB中，OA=2，C为上的一点，连接AC，BC，如果四边形AOBC为菱形，则图中阴影部分的面积为（　　）

A.                             B.                             C.                             D. 

5.如图，AB为⊙O的切线，切点为B，连接AO，AO与⊙O交于点C，BD为⊙O的直径，连接CD．若∠A=30°，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为（　　）

A.                               B.                               C.                               D. 

二、填空题（共10题；共20分）

6.已知一面积为6πcm2的扇形的弧长为πcm，则该扇形的半径=________．   

7.如图，扇形AOB的圆心角是为90°，四边形OCDE是边长为1的正方形，点C，E，D 分别在OA，OB， 上，过A作AF⊥ED交ED的延长线于点F，那么图中阴影部分的面积为________．  

8.如图，圆心角为120°，半径为4的弧，则这条弧的长度为是________． 

9.如图，扇形OAB中，∠AOB=60°，扇形半径为3，点C在AB上，CD⊥OA，垂足为点D，当△OCD的面积最大时，图中阴影部分的面积为________． 

10.如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=6，扇形BEF的半径为6，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是________． 

11.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平面直角线坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴正半轴上的A′处，则图中阴影部分面积为________． 

12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=  ，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为 ，则图中阴影部分的面积是________。 

13.如图，点A，B，C都在⊙O上，若OB＝3，∠ABC＝30°，则劣弧AC的长为________. 

14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2.分别以AC，BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为________．(结果保留π)

15.如果圆锥的母线为4cm，底面半径为3cm，那么这个圆锥的侧面积为________．   

三、解答题（共3题；共26分）

16.如图，⊙O是△ACD的外接圆，AB是直径，过点D作直线DE∥AB，过点B作直线BE∥AD，两直线交于点E，如果∠ACD=45°，⊙O的半径是4cm．

（1）请判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求图中阴影部分的面积（结果用π表示）．

17.如图，半圆O的直径AB＝6，弦CD＝3， 的长为 π，求  的长.

18.如图是某工件的三视图，求此工件的全面积和体积．

四、综合题（共3题；共39分）

19.如图，BD为⊙O的直径，点A是劣弧BC的中点，AD交BC于点E，连结AB.

（1）求证：AB2=AE·AD；   

（2）若AE=2，ED=4，求图中阴影的面积．   

20.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AB′C′． 

（1）在正方形网格中，画出△AB′C′；   

（2）计算线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积．   

21.如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E

（1）求证：DE=AB；

（2）以A为圆心，AB长为半径作圆弧交AF于点G，若BF=FC=1，求扇形ABG的面积．（结果保留π）

答案解析部分

一、单选题

1.【答案】 B  

【解析】【解答】解：∵AB=25，BD=15， 

∴AD=10，

∴S贴纸=2×（ ﹣ ）

=2×175π

=350πcm2  ，

故选B．

2.【答案】 B  

【解析】【解答】∵PA、PB与⊙O相切，

∴PA＝PB，∠PAO＝∠PBO＝90°

∵∠P＝60°，

∴△PAB为等边三角形，∠AOB＝120°，

∴AB＝PA＝3，∠OCA＝60°，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠BAC＝90°.

∴BC＝2 .

∵OB＝OC，

∴S△AOB＝S△OAC  ，

∴S阴影＝S扇形OAB＝ ＝π，

故答案为：B.

3.【答案】 B  

【解析】【解答】解：由题意得：

故答案为：B

4.【答案】 D  

【解析】【解答】解：连接OC，过点A作AD⊥CD于点D，

∵四边形AOBC是菱形，

∴OA=AC=2．

∵OA=OC，

∴△AOC是等边三角形，

∴∠AOC=∠BOC=60°

∴△ACO与△BOC为边长相等的两个等边三角形．

∵AO=2，

∴AD=OA•sin60°=2×= ．

∴S阴影=S扇形AOB﹣2S△AOC=﹣2××2×=

故选D．

5.【答案】 A  

【解析】【解答】过O点作OE⊥CD于E，

∵AB为⊙O的切线，

∴∠ABO=90°，

∵∠A=30°，

∴∠AOB=60°，

∴∠COD=120°，∠OCD=∠ODC=30°，

∵⊙O的半径为2，

∴OE=1，CE=DE=  ，

∴CD=2  ，

∴图中阴影部分的面积为：﹣×2×1= ．

故选：A．

​

二、填空题

6.【答案】 12  

【解析】【解答】解：设扇形的半径为rcm， 

由扇形的面积公式得： ×π•r=6π，

解得：r=12．

故答案为12．

【分析】设出扇形的半径，直接运用扇形的面积公式列出关于r的方程，求出r即可解决问题．

7.【答案】 -1  

【解析】【解答】连接OD，

则OD=OA= ，

根据题意可知，阴影部分的面积=长方形ACDF的面积．

∴S阴影=SACDF=AC•CD=（OA-OC）CD= -1．

故答案为： -1．

8.【答案】   

【解析】【解答】解：根据弧长的公式 ，

得到： ．

故答案为： ．

 
【分析】利用弧长公式代入计算即可。

9.【答案】   

【解析】【解答】解：∵OC=3，点C在 上，CD⊥OA， 

∴DC= =

∴S△OCD= OD•

∴S△OCD2= OD2•（9﹣OD2）=﹣ OD4+ OD2=﹣ （OD2﹣ ）2+

∴当OD2= ，即OD= 时△OCD的面积最大，

∴DC= = = ，

∴∠COA=45°，

∴阴影部分的面积=扇形AOC的面积﹣△OCD的面积= ﹣ × × = ，

故答案为： ．

10.【答案】 6π﹣9   

【解析】【解答】解：连接BD， 

∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，

∴∠ADC=120°，

∴∠1=∠2=60°，

∴△DAB是等边三角形，

∵AB=6，

∴△ABD的高为3  ，

∵扇形BEF的半径为6，圆心角为60°，

∴∠4+∠5=60°，∠3+∠5=60°，

∴∠3=∠4，

设AD、BE相交于点G，设BF、DC相交于点H，

在△ABG和△DBH中， ，

∴△ABG≌△DBH（ASA），

∴四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，

∴图中阴影部分的面积是：S扇形EBF﹣S△ABD=  ﹣ ×6×3  =6π﹣9  ．

故答案为：6π﹣9  ．

11.【答案】   

【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴AB＝2OA＝2OB＝ AC＝2 ，

∵△ABC绕点B顺时针旋转点A在A′处，

∴BA′＝AB，

∴BA′＝2OB，

∴∠OA′B＝30°，

∴∠A′BA＝60°，

即旋转角为60°，

S阴影＝S扇形ABA′+S△A′BC′﹣S△ABC﹣S扇形CBC′

＝S扇形ABA′﹣S扇形CBC′

＝

＝

＝ ．

故答案为 ．

 
【分析】 将△ABC绕点B顺时针旋转得△A′BC′，即△ABC全等于△A′BC′。由已知条件可求出AB，以及旋转角。求阴影部分的面积，写出面积表达式，带入求解即可。

12.【答案】   

【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，AC=BC=
∴AB==
∴S扇形ABD=  ，
根据旋转的性质可知，直角三角形ADE≌直角三角形ACB
∴阴影部分面积=S△ADE+S扇形ABD-S三角形ABC=S扇形ABD=。

13.【答案】 π  

【解析】【解答】连接OA，OC，

∵∠AOC＝2∠ABC＝60°，

∴ ，

故答案为：π.

14.【答案】   

【解析】【解答】解：设各个部分的面积为：S1、S2、S3、S4、S5  ， 如图所示，

∵两个半圆的面积和是：S1+S5+S4+S2+S3+S4  ， △ABC的面积是S3+S4+S5  ， 阴影部分的面积是：S1+S2+S4  ，

∴图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积．

即阴影部分的面积= π×4+ π×1-4×2÷2= π-4．

15.【答案】 12πcm2  

【解析】【解答】这个圆锥的侧面积= •2π•3•4=12π（cm2）．

故答案为：12πcm2 ．

【分析】圆锥的侧面积=RL，将R、L的值代入公式计算即可求解。

三、解答题

16.【答案】 解：（1）DE与⊙O相切．理由如下：
连结OD，BD，则∠ABD=∠ACD=45°，

∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴△ADB为等腰直角三角形，
∵点O为AB的中点，
∴OD⊥AB，
∵DE∥AB，
∴OD⊥DE，
∵OD是半径，
∴DE为⊙O的切线；
（2）∵BE∥AD，DE∥AB，
∴四边形ABED为平行四边形，
∴DE=AB=8cm，
∴S阴影部分=S梯形BODE-S扇形OBD= （cm）2 ．

【解析】【分析】（1）连结OD，根据圆周角定理得∠ABD=∠ACD=45°，∠ADB=90°，可判断△ADB为等腰直角三角形，所以OD⊥AB，而DE∥AB，则有OD⊥DE，然后根据切线的判定定理得到DE为⊙O的切线；
（2）先由BE∥AD，DE∥AB得到四边形ABED为平行四边形，则DE=AB=8cm，然后根据梯形的面积公式和扇形的面积公式利用S阴影部分=S梯形BODE-S扇形OBD进行计算即可．

17.【答案】 解：连接OD、OC，

∵CD＝OC＝OD＝3，

∴△CDO是等边三角形，

∴∠COD＝60°，

∴ 的长＝ ，

又∵半圆弧的长度为： ，

∴  ＝ .

【解析】【分析】 连接OD、OC， 利用三边相等可证△CDO是等边三角形，可得∠COD＝60°，利用弧长公式求出  的长及半圆弧的长度，由的长=半圆弧的长度-  的长-  的长即可求出结论.

18.【答案】 解：如图示，此工件的实物是一底面直径为 ，高为 的圆锥。此圆锥的底面积为 圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的半径为 扇形的弧长为 所以其侧面积为 故此圆锥的全面积为 此圆锥的体积为 所以此工件的全面积为 ，体积为   

【解析】【分析】根据三视图可知  ：此工件的实物是一底面直径为  d = 20 c m  ，高为  h = 30 c m  的圆锥。根据勾股定理算出圆锥的侧面展开图扇形的半径为  r 1  ， 根据圆的面积公式，弧长公式，扇形的面积公式算出此圆锥的底面积为  S 1  ， 侧面展开的扇形的弧长为  l，侧面展开扇形的面积为  S2  ， 故,由圆锥的全面积为  S  =  S 1  +  S 2 ，圆锥的体积为  V  = S 1  h得出答案。

四、综合题

19.【答案】 （1）证明：∵点A是劣弧BC的中点， 

∴ =

∴∠ABC=∠ADB．

又∵∠BAD=∠EAB，∴△ABE∽△ADB．

∴

∴AB2=AE•AD

（2）解：连结OA 

∵AE=2，ED=4，

由(1)可知

∴AB2=AE•AD，

∴AB2=AE•AD=AE(AE+ED)=2×6=12．

∴AB= (舍负)．

∵BD为⊙O的直径，

∴∠BAD=90°．

在Rt△ABD中，BD=

∴OB= ．

∴OA=OB=AB=

∴△AOB为等边三角形

∴∠AOB=60°．

S阴影=S扇形AOB-S△AOB=

【解析】【分析】（1）由弧的中点可知，     =     ， 由圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等可得 ∠ABC=∠ADB．又 ∠BAD与∠EAB是同一个角，故根据两组角对应相等的两个三角形相似即可得证；
（2）由（1）中结论可求出AB，根据勾股定理可求出BD，由等边三角形可判断出∠AOB=60°，利用弓形面积=扇形面积-三角形面积即可。

20.【答案】 （1）解：如图所示：△AB′C′即为所求 

（2）解：∵AB= =5， 

∴线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积为： = π

【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得出对应点旋转后位置进而得出答案；（2）利用勾股定理得出AB=5，再利用扇形面积公式求出即可．

21.【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=90°，AD=BC，AD∥BC，

∴∠DAE=∠AFB，

∵DE⊥AF，

∴∠AED=90°=∠B，

在△ABF和△DEA中

，

∴△ABF≌△DEA（AAS），

∴DE=AB；

（2）解：∵BC=AD，AD=AF，

∴BC=AF，

∵BF=1，∠ABF=90°，

∴由勾股定理得：AB= = ，

∴∠BAF=30°，

∵△ABF≌△DEA，

∴∠GDE=∠BAF=30°，DE=AB=DG= ，

∴扇形ABG的面积= = π．