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专题10反比例函数（共50题）-2020年中考数学真题分项汇编（解析版）【全国通用】
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这是一份专题10反比例函数（共50题）-2020年中考数学真题分项汇编（解析版）【全国通用】，共44页。
2020年中考数学真题分项汇编（全国通用）
专题10反比例函数（共50题）
一．选择题（共18小题）
1．（2020•天津）若点A（x1，﹣5），B（x2，2），C（x3，5）都在反比例函数y=10x的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（ ）
A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x3＜x1 C．x1＜x3＜x2 D．x3＜x1＜x2
【分析】将点A（x1，﹣5），B（x2，2），C（x3，5）分别代入反比例函数y=10x，求得x1，x2，x3的值后，再来比较一下它们的大小．
【解析】∵点A（x1，﹣5），B（x2，2），C（x3，5）都在反比例函数y=10x的图象上，
∴﹣5=10x，即x1＝﹣2，
2=10x，即x2＝5；
5=10x，即x3＝2，
∵﹣2＜2＜5，
∴x1＜x3＜x2；
故选：C．
2．（2020•长沙）2019年10月，《长沙晚报》对外发布长沙高铁西站设计方案．该方案以“三湘四水，杜娟花开”为设计理念，塑造出“杜娟花开”的美丽姿态．该高铁站建设初期需要运送大量土石方．某运输公司承担了运送总量为106m3土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度v（单位：m3/天）与完成运送任务所需时间t（单位：天）之间的函数关系式是（ ）
A．v=106t B．v＝106t C．v=1106t2 D．v＝106t2
【分析】按照运送土石方总量＝平均运送土石方的速度v×完成运送任务所需时间t，列出等式，然后变形得出v关于t 的函数，观察选项可得答案．
【解析】∵运送土石方总量＝平均运送土石方的速度v×完成运送任务所需时间t，
∴106＝vt，
∴v=106t，
故选：A．
3．（2020•武汉）若点A（a﹣1，y1），B（a+1，y2）在反比例函数y=kx（k＜0）的图象上，且y1＞y2，则a的取值范围是（ ）
A．a＜﹣1 B．﹣1＜a＜1 C．a＞1 D．a＜﹣1或a＞1
【分析】根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，①当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的同一支上时，②当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的两支上时．
【解析】∵k＜0，
∴在图象的每一支上，y随x的增大而增大，
①当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的同一支上，
∵y1＞y2，
∴a﹣1＞a+1，
此不等式无解；
②当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的两支上，
∵y1＞y2，
∴a﹣1＜0，a+1＞0，
解得：﹣1＜a＜1，
故选：B．
4．（2020•河南）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y=-6x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．
【解析】∵点A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（3，y3）在反比例函数y=-6x的图象上，
∴y1=-6-1=6，y2=-62=-3，y3=-63=-2，
又∵﹣3＜﹣2＜6，
∴y1＞y3＞y2．
故选：C．
5．（2020•德州）函数y=kx和y＝﹣kx+2（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题目中函数的解析式，利用一次函数和反比例函数图象的特点解答本题．
【解析】在函数y=kx和y＝﹣kx+2（k≠0）中，
当k＞0时，函数y=kx的图象在第一、三象限，函数y＝﹣kx+2的图象在第一、二、四象限，故选项A、B错误，选项D正确，
当k＜0时，函数y=kx的图象在第二、四象限，函数y＝﹣kx+2的图象在第一、二、三象限，故选项C错误，
故选：D．
6．（2020•苏州）如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D（3，2）在对角线OB上，反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象经过C、D两点．已知平行四边形OABC的面积是152，则点B的坐标为（ ）
A．（4，83） B．（92，3） C．（5，103） D．（245，165）
【分析】求出反比例函数y=6x，设OB的解析式为y＝mx+b，由OB经过点O（0，0）、D（3，2），得出OB的解析式为y=23x，设C（a，6a），且a＞0，由平行四边形的性质得BC∥OA，S平行四边形OABC＝2S△OBC，则B（9a，6a），BC=9a-a，代入面积公式即可得出结果．
【解析】∵反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象经过点D（3，2），
∴2=k3，
∴k＝6，
∴反比例函数y=6x，
设OB的解析式为y＝mx+b，
∵OB经过点O（0，0）、D（3，2），
∴0=b2=3m+b，
解得：m=23b=0，
∴OB的解析式为y=23x，
∵反比例函数y=6x经过点C，
∴设C（a，6a），且a＞0，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC∥OA，S平行四边形OABC＝2S△OBC，
∴点B的纵坐标为6a，
∵OB的解析式为y=23x，
∴B（9a，6a），
∴BC=9a-a，
∴S△OBC=12×6a×（9a-a），
∴2×12×6a×（9a-a）=152，
解得：a＝2，
∴B（92，3），
故选：B．
7．（2020•重庆）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE．若AD平分∠OAE，反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象经过AE上的两点A，F，且AF＝EF，△ABE的面积为18，则k的值为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
【分析】如图，连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M．证明BD∥AE，推出S△ABE＝S△AOE＝18，推出S△EOF=12S△AOE＝9，可得S△FME=13S△EOF＝3，由此即可解决问题．
【解析】如图，连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M．
∵AN∥FM，AF＝FE，
∴MN＝ME，
∴FM=12AN，
∵A，F在反比例函数的图象上，
∴S△AON＝S△FOM=k2，
∴12•ON•AN=12•OM•FM，
∴ON=12OM，
∴ON＝MN＝EM，
∴ME=13OE，
∴S△FME=13S△FOE，
∵AD平分∠OAE，
∴∠OAD＝∠EAD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝∠DAE，
∴AE∥BD，
∴S△ABE＝S△AOE，
∴S△AOE＝18，
∵AF＝EF，
∴S△EOF=12S△AOE＝9，
∴S△FME=13S△EOF＝3，
∴S△FOM＝S△FOE﹣S△FME＝9﹣3＝6=k2，
∴k＝12．
故选：B．
8．（2020•乐山）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x与双曲线y=kx交于A、B两点，P是以点C（2，2）为圆心，半径长1的圆上一动点，连结AP，Q为AP的中点．若线段OQ长度的最大值为2，则k的值为（ ）
A．-12 B．-32 C．﹣2 D．-14
【分析】确定OQ是△ABP的中位线，OQ的最大值为2，故BP的最大值为4，则BC＝BP﹣PC＝4﹣1＝3，则（m﹣2）2+（﹣m﹣2）2＝32，即可求解．
【解析】点O是AB的中点，则OQ是△ABP的中位线，
当B、C、P三点共线时，PB最大，则OQ=12BP最大，
而OQ的最大值为2，故BP的最大值为4，
则BC＝BP﹣PC＝4﹣1＝3，
设点B（m，﹣m），则（m﹣2）2+（﹣m﹣2）2＝32，
解得：m2=12，
∴k＝m（﹣m）=-12，
故选：A．
9．（2020•滨州）如图，点A在双曲线y=4x上，点B在双曲线y=12x上，且AB∥x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积S的关系S＝|k|即可判断．
【解析】过A点作AE⊥y轴，垂足为E，
∵点A在双曲线y=4x上，
∴四边形AEOD的面积为4，
∵点B在双曲线线y=12x上，且AB∥x轴，
∴四边形BEOC的面积为12，
∴矩形ABCD的面积为12﹣4＝8．
故选：C．
10．（2020•黑龙江）如图，正方形ABCD的两个顶点B，D在反比例函数y=kx的图象上，对角线AC，BD的交点恰好是坐标原点O，已知B（﹣1，1），则k的值是（ ）
A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣1
【分析】把B（﹣1，1）代入y=kx即可得到结论．
【解析】∵点B在反比例函数y=kx的图象上，B（﹣1，1），
∴1=k-1，
∴k＝﹣1，
故选：D．
11．（2020•内江）如图，点A是反比例函数y=kx图象上的一点，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，D为AC的中点，若△AOD的面积为1，则k的值为（ ）
A．43 B．83 C．3 D．4
【分析】根据题意可知△AOC的面积为2，然后根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值．
【解析】∵AC⊥x轴，垂足为点C，D为AC的中点，若△AOD的面积为1，
∴△AOC的面积为2，
∵S△AOC=12|k|＝2，且反比例函数y=kx图象在第一象限，
∴k＝4，
故选：D．
12．（2020•青岛）已知在同一直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx和反比例函数y=cx的图象如图所示，则一次函数y=cax﹣b的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据反比例函数图象和二次函数图象经过的象限，即可得出a＜0、b＞0、c＞0，由此即可得出ca＜0，﹣b＜0，即可得出一次函数y=cax﹣b的图象经过二三四象限，再对照四个选项中的图象即可得出结论．
【解析】观察函数图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，
∴ca＜0，﹣b＜0，
∴一次函数y=cax﹣b的图象经过二三四象限．
故选：B．
13．（2020•无锡）反比例函数y=kx与一次函数y=815x+1615的图形有一个交点B（12，m），则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．23 D．43
【分析】将点B坐标代入一次函数解析式可求点B坐标，再代入反比例函数解析式，可求解．
【解析】∵一次函数y=815x+1615的图象过点B（12，m），
∴m=815×12+1615=43，
∴点B（12，43），
∵反比例函数y=kx过点B，
∴k=12×43=23，
故选：C．
14．（2020•重庆）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D（﹣2，3），AD＝5，若反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（ ）
A．163 B．8 C．10 D．323
【分析】过D作DE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴，BH⊥y轴，得到∠BHC＝90°，根据勾股定理得到AE=AD2-DE2=4，根据矩形的性质得到AD＝BC，根据全等三角形的性质得到BH＝AE＝4，求得AF＝2，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解析】过D作DE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴，BH⊥y轴，
∴∠BHC＝90°，
∵点D（﹣2，3），AD＝5，
∴DE＝3，
∴AE=AD2-DE2=4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，
∴∠BCD＝∠ADC＝90°，
∴∠DCP+∠BCH＝∠BCH+∠CBH＝90°，
∴∠CBH＝∠DCH，
∵∠DCG+∠CPD＝∠APO+∠DAE＝90°，
∠CPD＝∠APO，
∴∠DCP＝∠DAE，
∴∠CBH＝∠DAE，
∵∠AED＝∠BHC＝90°，
∴△ADE≌△BCH（AAS），
∴BH＝AE＝4，
∵OE＝2，
∴OA＝2，
∴AF＝2，
∵∠APO+∠PAO＝∠BAF+∠PAO＝90°，
∴∠APO＝∠BAF，
∴△APO∽△BAF，
∴OPAF=OABF，
∴12×32=2BF，
∴BF=83，
∴B（4，83），
∴k=323，
故选：D．
15．（2020•上海）已知反比例函数的图象经过点（2，﹣4），那么这个反比例函数的解析式是（ ）
A．y=2x B．y=-2x C．y=8x D．y=-8x
【分析】已知函数图象上一点的坐标求反比例函数解析式，可先设出解析式y=kx，再将点的坐标代入求出待定系数k的值，从而得出答案．
【解析】设反比例函数解析式为y=kx，
将（2，﹣4）代入，得：﹣4=k2，
解得k＝﹣8，
所以这个反比例函数解析式为y=-8x，
故选：D．
16．（2020•黔东南州）如图，点A是反比例函数y=6x（x＞0）上的一点，过点A作AC⊥y轴，垂足为点C，AC交反比例函数y=2x的图象于点B，点P是x轴上的动点，则△PAB的面积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】连接OA、OB、PC．由于AC⊥y轴，根据三角形的面积公式以及反比例函数比例系数k的几何意义得到S△APC＝S△AOC＝3，S△BPC＝S△BOC＝1，然后利用S△PAB＝S△APC﹣S△APB进行计算．
【解析】如图，连接OA、OB、PC．
∵AC⊥y轴，
∴S△APC＝S△AOC=12×|6|＝3，S△BPC＝S△BOC=12×|2|＝1，
∴S△PAB＝S△APC﹣S△BPC＝2．
故选：A．
17．（2020•金华）已知点（﹣2，a）（2，b）（3，c）在函数y=kx（k＞0）的图象上，则下列判断正确的是（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a
【分析】根据反比例函数的性质得到函数y=kx（k＞0）的图象分布在第一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小，则b＞c＞0，a＜0．
【解析】∵k＞0，
∴函数y=kx（k＞0）的图象分布在第一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小，
∵﹣2＜0＜2＜3，
∴b＞c＞0，a＜0，
∴a＜c＜b．
故选：C．
18．（2020•黔西南州）如图，在菱形ABOC中，AB＝2，∠A＝60°，菱形的一个顶点C在反比例函数y═kx（k≠0）的图象上，则反比例函数的解析式为（ ）
A．y=-33x B．y=-3x C．y=-3x D．y=3x
【分析】根据菱形的性质和平面直角坐标系的特点可以求得点C的坐标，从而可以求得k的值，进而求得反比例函数的解析式．
【解析】∵在菱形ABOC中，∠A＝60°，菱形边长为2，
∴OC＝2，∠COB＝60°，
∴点C的坐标为（﹣1，3），
∵顶点C在反比例函数y═kx的图象上，
∴3=k-1，得k=-3，
即y=-3x，
故选：B．
二．填空题（共16小题）
19．（2020•辽阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，点A在反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象上，点B，C在x轴上，OC=15OB，延长AC交y轴于点D，连接BD，若△BCD的面积等于1，则k的值为 3 ．
【分析】作AE⊥BC于E，连接OA，根据等腰三角形的性质得出OC=12CE，根据相似三角形的性质求得S△CEA＝1，进而根据题意求得S△AOE=32，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值．
【解析】作AE⊥BC于E，连接OA，
∵AB＝AC，
∴CE＝BE，
∵OC=15OB，
∴OC=12CE，
∵AE∥OD，
∴△COD∽△CEA，
∴S△CEAS△COD=（CEOC）2＝4，
∵△BCD的面积等于1，OC=15OB，
∴S△COD=14S△BCD=14，
∴S△CEA＝4×14=1，
∵OC=12CE，
∴S△AOC=12S△CEA=12，
∴S△AOE=12+1=32，
∵S△AOE=12k（k＞0），
∴k＝3，
故答案为3．
20．（2020•陕西）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1），B（3，2），C（﹣6，m）分别在三个不同的象限．若反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过其中两点，则m的值为 ﹣1 ．
【分析】根据已知条件得到点A（﹣2，1）在第三象限，求得点C（﹣6，m）一定在第三象限，由于反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过其中两点，于是得到反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过B（3，2），C（﹣6，m），于是得到结论．
【解析】∵点A（﹣2，1），B（3，2），C（﹣6，m）分别在三个不同的象限，点A（﹣2，1）在第三象限，
∴点C（﹣6，m）一定在第三象限，
∵B（3，2）在第一象限，反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过其中两点，
∴反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过B（3，2），C（﹣6，m），
∴3×2＝﹣6m，
∴m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
21．（2020•北京）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与双曲线y=mx交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为y1，y2，则y1+y2的值为 0 ．
【分析】联立方程组，可求y1，y2的值，即可求解．
【解析】∵直线y＝x与双曲线y=mx交于A，B两点，
∴联立方程组得：y=xy=mx，
解得：x1=my1=m，x2=-my2=-m，
∴y1+y2＝0，
故答案为：0．
22．（2020•凉山州）如图，矩形OABC的面积为1003，对角线OB与双曲线y=kx（k＞0，x＞0）相交于点D，且OB：OD＝5：3，则k的值为 12 ．
【分析】设D的坐标是（3m，3n），则B的坐标是（5m，5n），根据矩形OABC的面积即可求得mn的值，把D的坐标代入函数解析式y=kx即可求得k的值．
【解析】设D的坐标是（3m，3n），则B的坐标是（5m，5n）．
∵矩形OABC的面积为1003，
∴5m•5n=1003，
∴mn=43．
把D的坐标代入函数解析式得：3n=k3m，
∴k＝9mn＝9×43=12．
故答案为12．
23．（2020•达州）如图，点A、B在反比函数y=12x的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，连接OA、OB，则△OAB的面积是 9 ．
【分析】根据图象上点的坐标特征求得A、B的坐标，将三角形AOB的面积转化为梯形ABED的面积，根据坐标可求出梯形的面积即可，
【解析】∵点A、B在反比函数y=12x的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，
∴A（4，3），B（2，6），
作AD⊥y轴于D，BE⊥y轴于E，
∴S△AOD＝S△BOE=12×12＝6，
∵S△OAB＝S△AOD+S梯形ABED﹣S△BOE＝S梯形ABED，
∴S△AOB=12（4+2）×（6﹣3）＝9，
故答案为9．
24．（2020•菏泽）从﹣1，2，﹣3，4这四个数中任取两个不同的数分别作为a，b的值，得到反比例函数y=abx，则这些反比例函数中，其图象在二、四象限的概率是 23 ．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【解析】画树状图得：
则共有12种等可能的结果，
∵反比例函数y=abx中，图象在二、四象限，
∴ab＜0，
∴有8种符合条件的结果，
∴P（图象在二、四象限）=812=23，
故答案为：23．
25．（2020•齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB在y轴上，点C坐标为（2，﹣2），并且AO：BO＝1：2，点D在函数y=kx（x＞0）的图象上，则k的值为 2 ．
【分析】先根据C的坐标求得矩形OBCE的面积，再利用AO：BO＝1：2，即可求得矩形AOED的面积，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k．
【解析】如图，∵点C坐标为（2，﹣2），
∴矩形OBCE的面积＝2×2＝4，
∵AO：BO＝1：2，
∴矩形AOED的面积＝2，
∵点D在函数y=kx（x＞0）的图象上，
∴k＝2，
故答案为2．
26．（2020•安顺）如图，点A是反比例函数y=3x图象上任意一点，过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足为B，C，则四边形OBAC的面积为 3 ．
【分析】根据反比例函数y=3x的图象上点的坐标性得出|xy|＝3，进而得出四边形OQMP的面积．
【解析】∵过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足为B，C，
∴AB×AC＝|k|＝3，
则四边形OBAC的面积为：3．
故答案为：3．
27．（2020•泰州）如图，点P在反比例函数y=3x的图象上，且横坐标为1，过点P作两条坐标轴的平行线，与反比例函数y=kx（k＜0）的图象相交于点A、B，则直线AB与x轴所夹锐角的正切值为 3 ．
【分析】点P在反比例函数y=3x的图象上，且横坐标为1，则点P（1，3），则点A、B的坐标分别为（1，k），（13k，3），即可求解．
【解析】点P在反比例函数y=3x的图象上，且横坐标为1，则点P（1，3），
则点A、B的坐标分别为（1，k），（13k，3），
设直线AB的表达式为：y＝mx+t，将点A、B的坐标代入上式得k=m+t3=-13km+t，解得m＝﹣3，
故直线AB与x轴所夹锐角的正切值为3，
故答案为3．
28．（2020•哈尔滨）已知反比例函数y=kx的图象经过点（﹣3，4），则k的值为 ﹣12 ．
【分析】把（﹣3，4）代入函数解析式y=kx即可求k的值．
【解析】∵反比例函数y=kx的图象经过点（﹣3，4），
∴k＝﹣3×4＝﹣12，
故答案为：﹣12．
29．（2020•安徽）如图，一次函数y＝x+k（k＞0）的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B．与反比例函数y=kx的图象在第一象限内交于点C，CD⊥x轴，CE⊥y轴．垂足分别为点D，E．当矩形ODCE与△OAB的面积相等时，k的值为 2 ．
【分析】分别求出矩形ODCE与△OAB的面积，即可求解．
【解析】一次函数y＝x+k（k＞0）的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，令x＝0，则y＝k，令y＝0，则x＝﹣k，
故点A、B的坐标分别为（﹣k，0）、（0，k），
则△OAB的面积=12OA•OB=12k2，而矩形ODCE的面积为k，
则12k2＝k，解得：k＝0（舍去）或2，
故答案为2．
30．（2020•自贡）如图，直线y=-3x+b与y轴交于点A，与双曲线y=kx在第三象限交于B、C两点，且AB•AC＝16．下列等边三角形△OD1E1，△E1D2E2，△E2D3E3，…的边OE1，E1E2，E2E3，…在x轴上，顶点D1，D2，D3，…在该双曲线第一象限的分支上，则k＝ 43 ，前25个等边三角形的周长之和为 60 ．
【分析】设直线y=-3x+b与x轴交于点D，作BE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F．首先证明∠ADO＝60°，可得AB＝2BE，AC＝2CF，由直线y=-3x+b与双曲线y=kx在第一象限交于点B、C两点，可得-3x+b=kx，整理得，-3x2+bx﹣k＝0，由韦达定理得：x1x2=33k，即EB•FC=33k，由此构建方程求出k即可，第二个问题分别求出第一个，第二个，第三个，第四个三角形的周长，探究规律后解决问题．
【解析】设直线y=-3x+b与x轴交于点D，作BE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F．
∵y=-3x+b，
∴当y＝0时，x=33b，即点D的坐标为（33b，0），
当x＝0时，y＝b，即A点坐标为（0，b），
∴OA＝﹣b，OD=-33b．
∵在Rt△AOD中，tan∠ADO=OAOD=3，
∴∠ADO＝60°．
∵直线y=-3x+b与双曲线y=kx在第三象限交于B、C两点，
∴-3x+b=kx，
整理得，-3x2+bx﹣k＝0，
由韦达定理得：x1x2=33k，即EB•FC=33k，
∵EBAB=cos60°=12，
∴AB＝2EB，
同理可得：AC＝2FC，
∴AB•AC＝（2EB）（2FC）＝4EB•FC=433k＝16，
解得：k＝43．
由题意可以假设D1（m，m3），
∴m2•3=43，
∴m＝2
∴OE1＝4，即第一个三角形的周长为12，
设D2（4+n，3n），
∵（4+n）•3n＝43，
解得n＝22-2，
∴E1E2＝42-4，即第二个三角形的周长为122-12，
设D3（42+a，3a），
由题意（42+a）•3a＝43，
解得a＝23-22，即第三个三角形的周长为123-122，
…，
∴第四个三角形的周长为124-123，
∴前25个等边三角形的周长之和12+122-12+123-122+124-123+⋯+1225-1224=1225=60，
故答案为43，60．
31．（2020•甘孜州）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数y=2x的图象交于A，B两点，若点P是第一象限内反比例函数图象上一点，且△ABP的面积是△AOB的面积的2倍，则点P的横坐标为 2或-3+172 ．
【分析】分点P在AB下方、点P在AB上方两种情况，分别求解即可．
【解析】①当点P在AB下方时
作AB的平行线l，使点O到直线AB和到直线l的距离相等，则△ABP的面积是△AOB的面积的2倍，
直线AB与x轴交点的坐标为（﹣1，0），则直线l与x轴交点的坐标C（1，0），
设直线l的表达式为：y＝x+b，将点C的坐标代入上式并解得：b＝﹣1，
故直线l的表达式为y＝x﹣1①，而反比例函数的表达式为：y=2x②，
联立①②并解得：x＝2或﹣1（舍去）；
②当点P在AB上方时，
同理可得，直线l的函数表达式为：y＝x+3③，
联立①③并解得：x=-3±172（舍去负值）；
故答案为：2或-3+172．
32．（2020•常德）如图，若反比例函数y=kx（x＜0）的图象经过点A，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积为6，则k＝ ﹣12 ．
【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义即可解决问题．
【解析】∵AB⊥OB，
∴S△AOB=|k|2=6，
∴k＝±12，
∵反比例函数的图象在二四象限，
∴k＜0，
∴k＝﹣12，
故答案为﹣12．
33．（2020•宁波）如图，经过原点O的直线与反比例函数y=ax（a＞0）的图象交于A，D两点（点A在第一象限），点B，C，E在反比例函数y=bx（b＜0）的图象上，AB∥y轴，AE∥CD∥x轴，五边形ABCDE的面积为56，四边形ABCD的面积为32，则a﹣b的值为 24 ，ba的值为 -13 ．
【分析】如图，连接AC，OE，OC，OB，延长AB交DC的延长线于T，设AB交x轴于K．求出证明四边形ACDE是平行四边形，推出S△ADE＝S△ADC＝S五边形ABCDE﹣S四边形ABCD＝56﹣32＝24，推出S△AOE＝S△DEO＝12，可得12a-12b＝12，推出a﹣b＝24．再证明BC∥AD，证明AD＝3BC，推出AT＝3BT，再证明AK＝3BK即可解决问题．
【解析】如图，连接AC，OE，OC，OB，延长AB交DC的延长线于T，设AB交x轴于K．
由题意A，D关于原点对称，
∴A，D的纵坐标的绝对值相等，
∵AE∥CD，
∴E，C的纵坐标的绝对值相等，
∵E，C在反比例函数y=bx的图象上，
∴E，C关于原点对称，
∴E，O，C共线，
∵OE＝OC，OA＝OD，∴四边形ACDE是平行四边形，
∴S△ADE＝S△ADC＝S五边形ABCDE﹣S四边形ABCD＝56﹣32＝24，
∴S△AOE＝S△DEO＝12，
∴12a-12b＝12，
∴a﹣b＝24，
∵S△AOC＝S△AOB＝12，
∴BC∥AD，
∴BCAD=TBTA，
∵S△ACB＝32﹣24＝8，
∴S△ADC：S△ABC＝24：8＝3：1，
∴BC：AD＝1：3，
∴TB：TA＝1：3，设BT＝a，则AT＝3a，AK＝TK＝1.5a，BK＝0.5a，
∴AK：BK＝3：1，
∴S△AOKS△BKO=12a-12b=3，
∴ab=-3，即ba=-13，
故答案为24，-13．
34．（2020•衢州）如图，将一把矩形直尺ABCD和一块含30°角的三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，三角板的直角边EF交BC于点M，反比例函数y=kx（x＞0）的图象恰好经过点F，M．若直尺的宽CD＝3，三角板的斜边FG＝83，则k＝ 403 ．
【分析】通过作辅助线，构造直角三角形，求出MN，FN，进而求出AN、MB，表示出点F、点M的坐标，利用反比例函数k的意义，确定点F的坐标，进而确定k的值即可．
【解析】过点M作MN⊥AD，垂足为N，则MN＝CD＝3，
在Rt△FMN中，∠MFN＝30°，
∴FN=3MN＝33，
∴AN＝MB＝83-33=53，
设OA＝x，则OB＝x+3，
∴F（x，83），M（x+3，53），
∴83x＝（x+3）×53，
解得，x＝5，
∴F（5，83），
∴k＝5×83=403．
故答案为：403．
三．解答题（共16小题）
35．（2020•甘孜州）如图，一次函数y=12x+1的图象与反比例函数y=kx的图象相交于A（2，m）和B两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点B的坐标．
【分析】（1）将点A坐标代入一次函数解析式可求m的值，再将点A坐标代入反比例函数解析式，可求解；
（2）联立方程组可求解．
【解析】（1）∵一次函数y=12x+1的图象过点A（2，m），
∴m=12×2+1＝2，
∴点A（2，2），
∵反比例函数y=kx的图象经过点A（2，2），
∴k＝2×2＝4，
∴反比例函数的解析式为：y=4x；
（2）联立方程组可得：y=12x+1y=4x，
解得：x1=-4y1=-1或x2=2y2=2，
∴点B（﹣4，﹣1）．
36．（2020•襄阳）如图，反比例函数y1=mx（x＞0）和一次函数y2＝kx+b的图象都经过点A（1，4）和点B（n，2）．
（1）m＝ 4 ，n＝ 2 ；
（2）求一次函数的解析式，并直接写出y1＜y2时x的取值范围；
（3）若点P是反比例函数y1=mx（x＞0）的图象上一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，则△POM的面积为 2 ．
【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式求出m，得出反比例函数的解析式，把B的坐标代入反比例函数的解析式，能求出n，即可得出B的坐标；
（2）分别把A、B的坐标代入一次函数的解析式得出方程组，求出方程组的解，即可得出一次函数的解析式；根据图象求得y1＜y2时x的取值范围；
（3）根据反比例函数系数k的几何意义即可求得．
【解析】（1）∵把A（1，4）代入y1=mx（x＞0）得：m＝1×4＝4，
∴y=4x，
∵把B（n，2）代入y=4x得：2=4n，
解得n＝2；
故答案为4，2；
（2）把A（1，4）、B（2，2）代入y2＝kx+b得：k+b=42k+b=2，
解得：k＝﹣2，b＝6，
即一次函数的解析式是y＝﹣2x+6．
由图象可知：y1＜y2时x的取值范围是1＜x＜2；
（3）∵点P是反比例函数y1=mx（x＞0）的图象上一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，
∴S△POM=12|m|=12×4=2，
故答案为2．
37．（2020•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=mx（x＞0）的图象经过点A（4，32），点B在y轴的负半轴上，AB交x轴于点C，C为线段AB的中点．
（1）m＝ 6 ，点C的坐标为 （2，0） ；
（2）若点D为线段AB上的一个动点，过点D作DE∥y轴，交反比例函数图象于点E，求△ODE面积的最大值．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得m的值，根据A点的坐标即可求得C的坐标；
（2）根据待定系数法求得直线AB的解析式，设出D、E的坐标，然后根据三角形面积公式得到S△ODE=-38（x﹣1）2+278，由二次函数的性质即可求得结论．
【解析】（1）∵反比例函数y=mx（x＞0）的图象经过点A（4，32），
∴m=4×32=6，
∵AB交x轴于点C，C为线段AB的中点．
∴C（2，0）；
故答案为6，（2，0）；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A（4，32），C（2，0）代入得4k+b=322k+b=0，解得k=34b=-32，
∴直线AB的解析式为y=34x-32；
∵点D为线段AB上的一个动点，
∴设D（x，34x-32）（0＜x≤4），
∵DE∥y轴，
∴E（x，6x），
∴S△ODE=12x•（6x-34x+32）=-38x2+34x+3=-38（x﹣1）2+278，
∴当x＝1时，△ODE的面积的最大值为278．
38．（2020•济宁）在△ABC中，BC边的长为x，BC边上的高为y，△ABC的面积为2．
（1）y关于x的函数关系式是 y=4x ，x的取值范围是 x＞0 ；
（2）在平面直角坐标系中画出该函数图象；
（3）将直线y＝﹣x+3向上平移a（a＞0）个单位长度后与上述函数图象有且只有一个交点，请求出此时a的值．
【分析】（1）根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）根据题意在平面直角坐标系中画出该函数图象即可；
（3）将直线y＝﹣x+3向上平移a（a＞0）个单位长度后解析式为y＝﹣x+3+a，根据一元二次方程根的判别式即可得到结论．
【解析】（1）∵在△ABC中，BC边的长为x，BC边上的高为y，△ABC的面积为2，
∴12xy＝2，
∴xy＝4，
∴y关于x的函数关系式是y=4x，
x的取值范围为x＞0，
故答案为：y=4x，x＞0；
（2）在平面直角坐标系中画出该函数图象如图所示；
（3）将直线y＝﹣x+3向上平移a（a＞0）个单位长度后解析式为y＝﹣x+3+a，
解y=-x+3+ay=4x，整理得，x2﹣（3+a）x+4＝0，
∵平移后的直线与上述函数图象有且只有一个交点，
∴△＝（3+a）2﹣16＝0，
解得a＝1，a＝﹣7（不合题意舍去），
故此时a的值为1．
39．（2020•成都）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=mx（x＞0）的图象经过点A（3，4），过点A的直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于B，C两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若△AOB的面积为△BOC的面积的2倍，求此直线的函数表达式．
【分析】（1）把A（3，4）代入y=mx（x＞0）即可得到结论；
（2）根据题意得到B（-bk，0），C（0，b），根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．
【解析】（1）∵反比例函数y=mx（x＞0）的图象经过点A（3，4），
∴k＝3×4＝12，
∴反比例函数的表达式为y=12x；
（2）∵直线y＝kx+b过点A，
∴3k+b＝4，
∵过点A的直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于B，C两点，
∴B（-bk，0），C（0，b），
∵△AOB的面积为△BOC的面积的2倍，
∴12×4×|-bk|＝2×12×|-bk|×|b|，
∴b＝±2，
当b＝2时，k=23，
当b＝﹣2时，k＝2，
∴直线的函数表达式为：y=23x+2，y＝2x﹣2．
40．（2020•遂宁）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），连结AB，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线BD交双曲线y═kx（k≠0）于D、E两点，连结CE，交x轴于点F．
（1）求双曲线y=kx（k≠0）和直线DE的解析式．
（2）求△DEC的面积．
【分析】（1）作DM⊥y轴于M，通过证得△AOB≌△DMA（AAS），求得D的坐标，然后根据待定系数法即可求得双曲线y=kx（k≠0）和直线DE的解析式．
（2）解析式联立求得E的坐标，然后根据勾股定理求得DE和DB，进而求得CN的长，即可根据三角形面积公式求得△DEC的面积．
【解析】∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），
∴OA＝2，OB＝1，
作DM⊥y轴于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∴∠OAB+∠DAM＝90°，
∵∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠DAM＝∠ABO，
在△AOB和△DMA中
∠ABO=∠DAM∠AOB=∠DMA=90°AB=DA，
∴△AOB≌△DMA（AAS），
∴AM＝OB＝1，DM＝OA＝2，
∴D（2，3），
∵双曲线y═kx（k≠0）经过D点，
∴k＝2×3＝6，
∴双曲线为y=6x，
设直线DE的解析式为y＝mx+n，
把B（1，0），D（2，3）代入得m+n=02m+n=3，解得m=3n=-3，
∴直线DE的解析式为y＝3x﹣3；
（2）连接AC，交BD于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD垂直平分AC，AC＝BD，
解y=3x-3y=6x得x=2y=3或x=-1y=-6，
∴E（﹣1，﹣6），
∵B（1，0），D（2，3），
∴DE=(2+1)2+(3+6)2=310，DB=(2-1)2+32=10，
∴CN=12BD=102，
∴S△DEC=12DE•CN=12×310×102=152．
41．（2020•江西）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，顶点A，B都在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，直线AC⊥x轴，垂足为D，连结OA，OC，并延长OC交AB于点E，当AB＝2OA时，点E恰为AB的中点，若∠AOD＝45°，OA＝22．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求∠EOD的度数．
【分析】（1）根据题意求得A（2，2），然后代入y=kx（x＞0），求得k的值，即可求得反比例函数的解析式；
（2）根据AB＝2OA时，点E恰为AB的中点，得出OA＝AE＝BE，根据直角三角形斜边中线的性质得出CE＝AE＝BE，根据等腰三角形的性质越久三角形外角的性质即可得出∠AOE＝2∠EOD，从而求得∠EOD＝15°．
【解析】（1）∵直线AC⊥x轴，垂足为D，∠AOD＝45°，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∵OA＝22，
∴OD＝AD＝2，
∴A（2，2），
∵顶点A在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，
∴k＝2×2＝4，
∴反比例函数的解析式为y=4x；
（2）∵AB＝2OA，点E恰为AB的中点，
∴OA＝AE，
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴CE＝AE＝BE，
∴∠AOE＝∠AEO，∠ECB＝∠EBC，
∵∠AEO＝∠ECB+∠EBC＝2∠EBC，
∵BC∥x轴，
∴∠EOD＝∠ECB，
∴∠AOE＝2∠EOD，
∵∠AOE＝45°，
∴∠EOD＝15°．
42．（2020•菏泽）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象相交于A（1，2），B（n，﹣1）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直线AB交x轴于点C，点P是x轴上的点，若△ACP的面积是4，求点P的坐标．
【分析】（1）先根据点A坐标求出反比例函数解析式，再求出点B的坐标，继而根据点A、B坐标可得直线解析式；
（2）先根据直线解析式求出点C的坐标，再设P（m，0），知PC＝|﹣1﹣m|，根据S△ACP=12•PC•yA＝4求出m的值即可得出答案．
【解析】（1）将点A（1，2）代入y=mx，得：m＝2，
∴y=2x，
当y＝﹣1时，x＝﹣2，
∴B（﹣2，﹣1），
将A（1，2）、B（﹣2，﹣1）代入y＝kx+b，
得：k+b=2-2k+b=-1，
解得k=1b=1，
∴y＝x+1；
∴一次函数解析式为y＝x+1，反比例函数解析式为y=2x；
（2）在y＝x+1中，当y＝0时，x+1＝0，
解得x＝﹣1，
∴C（﹣1，0），
设P（m，0），
则PC＝|﹣1﹣m|，
∵S△ACP=12•PC•yA＝4，
∴12×|﹣1﹣m|×2＝4，
解得m＝3或m＝﹣5，
∴点P的坐标为（3，0）或（﹣5，0）．
43．（2020•南京）已知反比例函数y=kx的图象经过点（﹣2，﹣1）．
（1）求k的值．
（2）完成下面的解答．
解不等式组2-x＞1，①kx＞1．②
解：解不等式①，得 x＜1 ．
根据函数y=kx的图象，得不等式②的解集 0＜x＜2 ．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．
从图中可以找出两个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集 0＜x＜1 ．
【分析】（1）把点（﹣2，﹣1）代入y=kx即可得到结论；
（2）解不等式组即可得到结论．
【解析】（1）∵反比例函数y=kx的图象经过点（﹣2，﹣1），
∴k＝（﹣2）×（﹣1）＝2；
（2）解不等式组2-x＞1，①kx＞1．②
解：解不等式①，得x＜1．
根据函数y=kx的图象，得不等式②的解集0＜x＜2．
把不等式①和②的解集在数轴上表示为：
∴不等式组的解集为0＜x＜1，
故答案为：x＜1，0＜x＜2，0＜x＜1．
44．（2020•广元）如图所示，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于A（3，4），B（n，﹣1）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在x轴上存在一点C，使△AOC为等腰三角形，求此时点C的坐标；
（3）根据图象直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
【分析】（1）先把A点坐标代入反比例函数解析式求得反比例函数的解析，再把B点坐标代入所求得的反比例函数的解析式，求得B点坐标，最后用待定系数法求出一次函数的解析式便可；
（2）分三种情况：OA＝OC，AO＝AC，CA＝CO，分别求解即可；
（3）根据图象得出一次函数图象在反比例函数图象上方时x的取值范围即可．
【解析】（1）把A（3，4）代入y=mx，
∴m＝12，
∴反比例函数是y=12x；
把B（n，﹣1）代入y=12x得n＝﹣12．
把A（3，4）、B（﹣12，﹣1）分别代入y＝kx+b中，
得3k+b=4-12k+b=-1，
解得k=13b=3，
∴一次函数的解析式为y=13x+3；
（2）∵A（3，4），
∴OA=32+42=5，
∵△AOC为等腰三角形，
分三种情况：
①当OA＝OC时，OC＝5，
此时点C的坐标为（5，0），（﹣5，0）；
②当AO＝AC时，∵A（3，4），点C和点O关于过A点且垂直于x轴的直线对称，
此时点C的坐标为（6，0）；
③当CA＝CO时，点C在线段OA的垂直平分线上，
过A作AD⊥x轴，垂足为D，
由题意可得：OD＝3，AD＝4，AO＝5，设OC＝x，则AC＝x，
在△ACD中，42+（x﹣3）2＝x2，
解得：x=256，
此时点C的坐标为(256，0)；
综上：点C的坐标为：（6，0），（5，0），(256，0)，（﹣5，0）；
（3）由图得：
当一次函数图象在反比例函数图象上方时，
﹣12＜x＜0或x＞3，
即使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围是：﹣12＜x＜0或x＞3．
45．（2020•泰安）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于点A（3，a），点B（14﹣2a，2）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若一次函数图象与y轴交于点C，点D为点C关于原点O的对称点，求△ACD的面积．
【分析】（1）点A（3，a），点B（14﹣2a，2）在反比例函数上，则3×a＝（14﹣2a）×2，即可求解；
（2）a＝4，故点A、B的坐标分别为（3，4）、（6，2），求出一次函数的表达式为：y=-23x+6，则点C（0，6），故OC＝6，进而求解．
【解析】（1）∵点A（3，a），点B（14﹣2a，2）在反比例函数上，
∴3×a＝（14﹣2a）×2，解得：a＝4，则m＝3×4＝12，
故反比例函数的表达式为：y=12x；
（2）∵a＝4，故点A、B的坐标分别为（3，4）、（6，2），
设直线AB的表达式为：y＝kx+b，则4=3k+b2=6k+6，解得k=-23b=6，
故一次函数的表达式为：y=-23x+6；
当x＝0时，y＝6，故点C（0，6），故OC＝6，
而点D为点C关于原点O的对称点，则CD＝2OC＝12，
△ACD的面积=12×CD•xA=12×12×3＝18．
46．（2020•枣庄）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=12x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数y=kx的图象经过点A．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数y=12x+5的图象与反比例函数y=kx的图象的另一个交点为B，连接OB，求△ABO的面积．
【分析】（1）联立y=12x+5①和y＝﹣2x并解得：x=-2y=4，故点A（﹣2.4），进而求解；
（2）S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC=12×OC•AM-12OC•BN，即可求解．
【解析】（1）联立y=12x+5①和y＝﹣2x并解得：x=-2y=4，故点A（﹣2.4），
将点A的坐标代入反比例函数表达式得：4=k-2，解得：k＝﹣8，
故反比例函数表达式为：y=-8x②；
（2）联立①②并解得：x＝﹣2或﹣8，
当x＝﹣8时，y=12x+5＝1，故点B（﹣8，1），
设y=12x+5交x轴于点C（﹣10，0），过点A、B分别作x轴的垂线交于点M、N，
则S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC=12×OC•AM-12OC•BN=12×4×10-12×10×1=15．
47．（2020•凉山州）如图，已知直线l：y＝﹣x+5．
（1）当反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象与直线l在第一象限内至少有一个交点时，求k的取值范围．
（2）若反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象与直线l在第一象限内相交于点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x2﹣x1＝3时，求k的值，并根据图象写出此时关于x的不等式﹣x+5＜kx的解集．
【分析】（1）由题意得：△＝25﹣4k≥0，即可求解；
（2）设点A（m，﹣m+5），而x2﹣x1＝3，则点B（m+3，﹣m+2），点A、B都在反比例函数上，故m（﹣m+5）＝（m+3）（﹣m+2），即可求解．
【解析】（1）将直线l的表达式与反比例函数表达式联立并整理得：x2﹣5x+k＝0，
由题意得：△＝25﹣4k≥0，解得：k≤254，
故k的取值范围0＜k≤254；
（2）设点A（m，﹣m+5），而x2﹣x1＝3，则点B（m+3，﹣m+2），
点A、B都在反比例函数上，故m（﹣m+5）＝（m+3）（﹣m+2），解得：m＝1，
故点A、B的坐标分别为（1，4）、（4，1）；
将点A的坐标代入反比例函数表达式并解得：k＝4×1＝4，
观察函数图象知，当﹣x+5＜kx时，0＜x＜1或x＞4．
48．（2020•安顺）如图，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数y=kx的图象相交，其中一个交点的横坐标是2．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将一次函数y＝x+1的图象向下平移2个单位，求平移后的图象与反比例函数y=kx图象的交点坐标；
（3）直接写出一个一次函数，使其过点（0，5），且与反比例函数y=kx的图象没有公共点．
【分析】（1）将x＝2代入y＝x+1＝3，故其中交点的坐标为（2，3），将（2，3）代入反比例函数表达式，即可求解；
（2）一次函数y＝x+1的图象向下平移2个单位得到y＝x﹣1②，联立①②即可求解；
（3）设一次函数的表达式为：y＝kx+5③，联立①③并整理得：kx2+5x﹣6﹣0，则△＝25+24k＜0，解得：k＜-2524，即可求解．
【解析】（1）将x＝2代入y＝x+1＝3，故其中交点的坐标为（2，3），
将（2，3）代入反比例函数表达式并解得：k＝2×3＝6，
故反比例函数表达式为：y=6x①；
（2）一次函数y＝x+1的图象向下平移2个单位得到y＝x﹣1②，
联立①②并解得：x=-2y=-3或x=3y=2，
故交点坐标为（﹣2，﹣3）或（3，2）；
（3）设一次函数的表达式为：y＝kx+5③，
联立①③并整理得：kx2+5x﹣6﹣0，
∵两个函数没有公共点，故△＝25+24k＜0，解得：k＜-2524，
故可以取k＝﹣2（答案不唯一），
故一次函数表达式为：y＝﹣2x+5（答案不唯一）．
49．（2020•广东）如图，点B是反比例函数y=8x（x＞0）图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A，C．反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过OB的中点M，与AB，BC分别相交于点D，E．连接DE并延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接BF，BG．
（1）填空：k＝ 2 ；
（2）求△BDF的面积；
（3）求证：四边形BDFG为平行四边形．
【分析】（1）设点B（s，t），st＝8，则点M（12s，12t），则k=12s•12t=14st＝2；
（2）△BDF的面积＝△OBD的面积＝S△BOA﹣S△OAD，即可求解；
（3）确定直线DE的表达式为：y=-12m2x+52m，令y＝0，则x＝5m，故点F（5m，0），即可求解．
【解析】（1）设点B（s，t），st＝8，则点M（12s，12t），
则k=12s•12t=14st＝2，
故答案为2；
（2）△BDF的面积＝△OBD的面积＝S△BOA﹣S△OAD=12×8-12×2＝3；
（3）设点D（m，2m），则点B（4m，2m），
∵点G与点O关于点C对称，故点G（8m，0），
则点E（4m，12m），
设直线DE的表达式为：y＝sx+n，将点D、E的坐标代入上式得2m=ms+n12m=4ms+n，解得k=-12m2b=52m，
故直线DE的表达式为：y=-12m2x+52m，令y＝0，则x＝5m，故点F（5m，0），
故FG＝8m﹣5m＝3m，而BD＝4m﹣m＝3m＝FG，
则FG∥BD，故四边形BDFG为平行四边形．
50．（2020•绥化）如图，在矩形OABC中，AB＝2，BC＝4，点D是边AB的中点，反比例函数y1=kx（x＞0）的图象经过点D，交BC边于点E，直线DE的解析式为y2＝mx+n（m≠0）．
（1）求反比例函数y1=kx（x＞0）的解析式和直线DE的解析式；
（2）在y轴上找一点P，使△PDE的周长最小，求出此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，△PDE的周长最小值是 5+13 ．
【分析】（1）根据线段中点的定义和矩形的性质得到D（1，4），解方程和方程组即可得到结论；
（2）作点D关于y轴的对称点D′，连接D′E交y轴于P，连接PD，此时，△PDE的周长最小，求得直线D′E的解析式为y=-23x+103，于是得到结论；
（3）根据勾股定理即可得到结论．
【解析】（1）∵点D是边AB的中点，AB＝2，
∴AD＝1，
∵四边形OABC是矩形，BC＝4，
∴D（1，4），
∵反比例函数y1=kx（x＞0）的图象经过点D，
∴k＝4，
∴反比例函数的解析式为y=4x（x＞0），
当x＝2时，y＝2，
∴E（2，2），
把D（1，4）和E（2，2）代入y2＝mx+n（m≠0）得，2m+n=2m+n=4，
∴m=-2n=6，
∴直线DE的解析式为y＝﹣2x+6；
（2）作点D关于y轴的对称点D′，连接D′E交y轴于P，连接PD，
此时，△PDE的周长最小，
∵D点的坐标为（1，4），
∴D′的坐标为（﹣1，4），
设直线D′E的解析式为y＝ax+b，
∴4=-a+b2=2a+b，解得：a=-23b=103，
∴直线D′E的解析式为y=-23x+103，
令x＝0，得y=103，
∴点P的坐标为（0，103）；
（3）∵D（1，4），E（2，2），
∴BE＝2，BD＝1，
∴DE=12+22=5，
由（2）知，D′的坐标为（﹣1，4），
∴BD′＝3，
∴D′E=22+32=13，
∴△PDE的周长最小值＝DE+D′E=5+13，
故答案为：5+13．
2020年中考数学真题分项汇编（全国通用）
专题10反比例函数（共50题）
一．选择题（共18小题）
1．（2020•天津）若点A（x1，﹣5），B（x2，2），C（x3，5）都在反比例函数y=10x的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（ ）
A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x3＜x1 C．x1＜x3＜x2 D．x3＜x1＜x2
【分析】将点A（x1，﹣5），B（x2，2），C（x3，5）分别代入反比例函数y=10x，求得x1，x2，x3的值后，再来比较一下它们的大小．
【解析】∵点A（x1，﹣5），B（x2，2），C（x3，5）都在反比例函数y=10x的图象上，
∴﹣5=10x，即x1＝﹣2，
2=10x，即x2＝5；
5=10x，即x3＝2，
∵﹣2＜2＜5，
∴x1＜x3＜x2；
故选：C．
2．（2020•长沙）2019年10月，《长沙晚报》对外发布长沙高铁西站设计方案．该方案以“三湘四水，杜娟花开”为设计理念，塑造出“杜娟花开”的美丽姿态．该高铁站建设初期需要运送大量土石方．某运输公司承担了运送总量为106m3土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度v（单位：m3/天）与完成运送任务所需时间t（单位：天）之间的函数关系式是（ ）
A．v=106t B．v＝106t C．v=1106t2 D．v＝106t2
【分析】按照运送土石方总量＝平均运送土石方的速度v×完成运送任务所需时间t，列出等式，然后变形得出v关于t 的函数，观察选项可得答案．
【解析】∵运送土石方总量＝平均运送土石方的速度v×完成运送任务所需时间t，
∴106＝vt，
∴v=106t，
故选：A．
3．（2020•武汉）若点A（a﹣1，y1），B（a+1，y2）在反比例函数y=kx（k＜0）的图象上，且y1＞y2，则a的取值范围是（ ）
A．a＜﹣1 B．﹣1＜a＜1 C．a＞1 D．a＜﹣1或a＞1
【分析】根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，①当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的同一支上时，②当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的两支上时．
【解析】∵k＜0，
∴在图象的每一支上，y随x的增大而增大，
①当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的同一支上，
∵y1＞y2，
∴a﹣1＞a+1，
此不等式无解；
②当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的两支上，
∵y1＞y2，
∴a﹣1＜0，a+1＞0，
解得：﹣1＜a＜1，
故选：B．
4．（2020•河南）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y=-6x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．
【解析】∵点A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（3，y3）在反比例函数y=-6x的图象上，
∴y1=-6-1=6，y2=-62=-3，y3=-63=-2，
又∵﹣3＜﹣2＜6，
∴y1＞y3＞y2．
故选：C．
5．（2020•德州）函数y=kx和y＝﹣kx+2（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题目中函数的解析式，利用一次函数和反比例函数图象的特点解答本题．
【解析】在函数y=kx和y＝﹣kx+2（k≠0）中，
当k＞0时，函数y=kx的图象在第一、三象限，函数y＝﹣kx+2的图象在第一、二、四象限，故选项A、B错误，选项D正确，
当k＜0时，函数y=kx的图象在第二、四象限，函数y＝﹣kx+2的图象在第一、二、三象限，故选项C错误，
故选：D．
6．（2020•苏州）如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D（3，2）在对角线OB上，反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象经过C、D两点．已知平行四边形OABC的面积是152，则点B的坐标为（ ）
A．（4，83） B．（92，3） C．（5，103） D．（245，165）
【分析】求出反比例函数y=6x，设OB的解析式为y＝mx+b，由OB经过点O（0，0）、D（3，2），得出OB的解析式为y=23x，设C（a，6a），且a＞0，由平行四边形的性质得BC∥OA，S平行四边形OABC＝2S△OBC，则B（9a，6a），BC=9a-a，代入面积公式即可得出结果．
【解析】∵反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象经过点D（3，2），
∴2=k3，
∴k＝6，
∴反比例函数y=6x，
设OB的解析式为y＝mx+b，
∵OB经过点O（0，0）、D（3，2），
∴0=b2=3m+b，
解得：m=23b=0，
∴OB的解析式为y=23x，
∵反比例函数y=6x经过点C，
∴设C（a，6a），且a＞0，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC∥OA，S平行四边形OABC＝2S△OBC，
∴点B的纵坐标为6a，
∵OB的解析式为y=23x，
∴B（9a，6a），
∴BC=9a-a，
∴S△OBC=12×6a×（9a-a），
∴2×12×6a×（9a-a）=152，
解得：a＝2，
∴B（92，3），
故选：B．
7．（2020•重庆）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE．若AD平分∠OAE，反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象经过AE上的两点A，F，且AF＝EF，△ABE的面积为18，则k的值为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
【分析】如图，连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M．证明BD∥AE，推出S△ABE＝S△AOE＝18，推出S△EOF=12S△AOE＝9，可得S△FME=13S△EOF＝3，由此即可解决问题．
【解析】如图，连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M．
∵AN∥FM，AF＝FE，
∴MN＝ME，
∴FM=12AN，
∵A，F在反比例函数的图象上，
∴S△AON＝S△FOM=k2，
∴12•ON•AN=12•OM•FM，
∴ON=12OM，
∴ON＝MN＝EM，
∴ME=13OE，
∴S△FME=13S△FOE，
∵AD平分∠OAE，
∴∠OAD＝∠EAD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝∠DAE，
∴AE∥BD，
∴S△ABE＝S△AOE，
∴S△AOE＝18，
∵AF＝EF，
∴S△EOF=12S△AOE＝9，
∴S△FME=13S△EOF＝3，
∴S△FOM＝S△FOE﹣S△FME＝9﹣3＝6=k2，
∴k＝12．
故选：B．
8．（2020•乐山）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x与双曲线y=kx交于A、B两点，P是以点C（2，2）为圆心，半径长1的圆上一动点，连结AP，Q为AP的中点．若线段OQ长度的最大值为2，则k的值为（ ）
A．-12 B．-32 C．﹣2 D．-14
【分析】确定OQ是△ABP的中位线，OQ的最大值为2，故BP的最大值为4，则BC＝BP﹣PC＝4﹣1＝3，则（m﹣2）2+（﹣m﹣2）2＝32，即可求解．
【解析】点O是AB的中点，则OQ是△ABP的中位线，
当B、C、P三点共线时，PB最大，则OQ=12BP最大，
而OQ的最大值为2，故BP的最大值为4，
则BC＝BP﹣PC＝4﹣1＝3，
设点B（m，﹣m），则（m﹣2）2+（﹣m﹣2）2＝32，
解得：m2=12，
∴k＝m（﹣m）=-12，
故选：A．
9．（2020•滨州）如图，点A在双曲线y=4x上，点B在双曲线y=12x上，且AB∥x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积S的关系S＝|k|即可判断．
【解析】过A点作AE⊥y轴，垂足为E，
∵点A在双曲线y=4x上，
∴四边形AEOD的面积为4，
∵点B在双曲线线y=12x上，且AB∥x轴，
∴四边形BEOC的面积为12，
∴矩形ABCD的面积为12﹣4＝8．
故选：C．
10．（2020•黑龙江）如图，正方形ABCD的两个顶点B，D在反比例函数y=kx的图象上，对角线AC，BD的交点恰好是坐标原点O，已知B（﹣1，1），则k的值是（ ）
A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣1
【分析】把B（﹣1，1）代入y=kx即可得到结论．
【解析】∵点B在反比例函数y=kx的图象上，B（﹣1，1），
∴1=k-1，
∴k＝﹣1，
故选：D．
11．（2020•内江）如图，点A是反比例函数y=kx图象上的一点，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，D为AC的中点，若△AOD的面积为1，则k的值为（ ）
A．43 B．83 C．3 D．4
【分析】根据题意可知△AOC的面积为2，然后根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值．
【解析】∵AC⊥x轴，垂足为点C，D为AC的中点，若△AOD的面积为1，
∴△AOC的面积为2，
∵S△AOC=12|k|＝2，且反比例函数y=kx图象在第一象限，
∴k＝4，
故选：D．
12．（2020•青岛）已知在同一直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx和反比例函数y=cx的图象如图所示，则一次函数y=cax﹣b的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据反比例函数图象和二次函数图象经过的象限，即可得出a＜0、b＞0、c＞0，由此即可得出ca＜0，﹣b＜0，即可得出一次函数y=cax﹣b的图象经过二三四象限，再对照四个选项中的图象即可得出结论．
【解析】观察函数图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，
∴ca＜0，﹣b＜0，
∴一次函数y=cax﹣b的图象经过二三四象限．
故选：B．
13．（2020•无锡）反比例函数y=kx与一次函数y=815x+1615的图形有一个交点B（12，m），则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．23 D．43
【分析】将点B坐标代入一次函数解析式可求点B坐标，再代入反比例函数解析式，可求解．
【解析】∵一次函数y=815x+1615的图象过点B（12，m），
∴m=815×12+1615=43，
∴点B（12，43），
∵反比例函数y=kx过点B，
∴k=12×43=23，
故选：C．
14．（2020•重庆）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D（﹣2，3），AD＝5，若反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（ ）
A．163 B．8 C．10 D．323
【分析】过D作DE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴，BH⊥y轴，得到∠BHC＝90°，根据勾股定理得到AE=AD2-DE2=4，根据矩形的性质得到AD＝BC，根据全等三角形的性质得到BH＝AE＝4，求得AF＝2，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解析】过D作DE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴，BH⊥y轴，
∴∠BHC＝90°，
∵点D（﹣2，3），AD＝5，
∴DE＝3，
∴AE=AD2-DE2=4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，
∴∠BCD＝∠ADC＝90°，
∴∠DCP+∠BCH＝∠BCH+∠CBH＝90°，
∴∠CBH＝∠DCH，
∵∠DCG+∠CPD＝∠APO+∠DAE＝90°，
∠CPD＝∠APO，
∴∠DCP＝∠DAE，
∴∠CBH＝∠DAE，
∵∠AED＝∠BHC＝90°，
∴△ADE≌△BCH（AAS），
∴BH＝AE＝4，
∵OE＝2，
∴OA＝2，
∴AF＝2，
∵∠APO+∠PAO＝∠BAF+∠PAO＝90°，
∴∠APO＝∠BAF，
∴△APO∽△BAF，
∴OPAF=OABF，
∴12×32=2BF，
∴BF=83，
∴B（4，83），
∴k=323，
故选：D．
15．（2020•上海）已知反比例函数的图象经过点（2，﹣4），那么这个反比例函数的解析式是（ ）
A．y=2x B．y=-2x C．y=8x D．y=-8x
【分析】已知函数图象上一点的坐标求反比例函数解析式，可先设出解析式y=kx，再将点的坐标代入求出待定系数k的值，从而得出答案．
【解析】设反比例函数解析式为y=kx，
将（2，﹣4）代入，得：﹣4=k2，
解得k＝﹣8，
所以这个反比例函数解析式为y=-8x，
故选：D．
16．（2020•黔东南州）如图，点A是反比例函数y=6x（x＞0）上的一点，过点A作AC⊥y轴，垂足为点C，AC交反比例函数y=2x的图象于点B，点P是x轴上的动点，则△PAB的面积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】连接OA、OB、PC．由于AC⊥y轴，根据三角形的面积公式以及反比例函数比例系数k的几何意义得到S△APC＝S△AOC＝3，S△BPC＝S△BOC＝1，然后利用S△PAB＝S△APC﹣S△APB进行计算．
【解析】如图，连接OA、OB、PC．
∵AC⊥y轴，
∴S△APC＝S△AOC=12×|6|＝3，S△BPC＝S△BOC=12×|2|＝1，
∴S△PAB＝S△APC﹣S△BPC＝2．
故选：A．
17．（2020•金华）已知点（﹣2，a）（2，b）（3，c）在函数y=kx（k＞0）的图象上，则下列判断正确的是（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a
【分析】根据反比例函数的性质得到函数y=kx（k＞0）的图象分布在第一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小，则b＞c＞0，a＜0．
【解析】∵k＞0，
∴函数y=kx（k＞0）的图象分布在第一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小，
∵﹣2＜0＜2＜3，
∴b＞c＞0，a＜0，
∴a＜c＜b．
故选：C．
18．（2020•黔西南州）如图，在菱形ABOC中，AB＝2，∠A＝60°，菱形的一个顶点C在反比例函数y═kx（k≠0）的图象上，则反比例函数的解析式为（ ）
A．y=-33x B．y=-3x C．y=-3x D．y=3x
【分析】根据菱形的性质和平面直角坐标系的特点可以求得点C的坐标，从而可以求得k的值，进而求得反比例函数的解析式．
【解析】∵在菱形ABOC中，∠A＝60°，菱形边长为2，
∴OC＝2，∠COB＝60°，
∴点C的坐标为（﹣1，3），
∵顶点C在反比例函数y═kx的图象上，
∴3=k-1，得k=-3，
即y=-3x，
故选：B．
二．填空题（共16小题）
19．（2020•辽阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，点A在反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象上，点B，C在x轴上，OC=15OB，延长AC交y轴于点D，连接BD，若△BCD的面积等于1，则k的值为 3 ．
【分析】作AE⊥BC于E，连接OA，根据等腰三角形的性质得出OC=12CE，根据相似三角形的性质求得S△CEA＝1，进而根据题意求得S△AOE=32，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值．
【解析】作AE⊥BC于E，连接OA，
∵AB＝AC，
∴CE＝BE，
∵OC=15OB，
∴OC=12CE，
∵AE∥OD，
∴△COD∽△CEA，
∴S△CEAS△COD=（CEOC）2＝4，
∵△BCD的面积等于1，OC=15OB，
∴S△COD=14S△BCD=14，
∴S△CEA＝4×14=1，
∵OC=12CE，
∴S△AOC=12S△CEA=12，
∴S△AOE=12+1=32，
∵S△AOE=12k（k＞0），
∴k＝3，
故答案为3．
20．（2020•陕西）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1），B（3，2），C（﹣6，m）分别在三个不同的象限．若反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过其中两点，则m的值为 ﹣1 ．
【分析】根据已知条件得到点A（﹣2，1）在第三象限，求得点C（﹣6，m）一定在第三象限，由于反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过其中两点，于是得到反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过B（3，2），C（﹣6，m），于是得到结论．
【解析】∵点A（﹣2，1），B（3，2），C（﹣6，m）分别在三个不同的象限，点A（﹣2，1）在第三象限，
∴点C（﹣6，m）一定在第三象限，
∵B（3，2）在第一象限，反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过其中两点，
∴反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过B（3，2），C（﹣6，m），
∴3×2＝﹣6m，
∴m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
21．（2020•北京）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与双曲线y=mx交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为y1，y2，则y1+y2的值为 0 ．
【分析】联立方程组，可求y1，y2的值，即可求解．
【解析】∵直线y＝x与双曲线y=mx交于A，B两点，
∴联立方程组得：y=xy=mx，
解得：x1=my1=m，x2=-my2=-m，
∴y1+y2＝0，
故答案为：0．
22．（2020•凉山州）如图，矩形OABC的面积为1003，对角线OB与双曲线y=kx（k＞0，x＞0）相交于点D，且OB：OD＝5：3，则k的值为 12 ．
【分析】设D的坐标是（3m，3n），则B的坐标是（5m，5n），根据矩形OABC的面积即可求得mn的值，把D的坐标代入函数解析式y=kx即可求得k的值．
【解析】设D的坐标是（3m，3n），则B的坐标是（5m，5n）．
∵矩形OABC的面积为1003，
∴5m•5n=1003，
∴mn=43．
把D的坐标代入函数解析式得：3n=k3m，
∴k＝9mn＝9×43=12．
故答案为12．
23．（2020•达州）如图，点A、B在反比函数y=12x的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，连接OA、OB，则△OAB的面积是 9 ．
【分析】根据图象上点的坐标特征求得A、B的坐标，将三角形AOB的面积转化为梯形ABED的面积，根据坐标可求出梯形的面积即可，
【解析】∵点A、B在反比函数y=12x的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，
∴A（4，3），B（2，6），
作AD⊥y轴于D，BE⊥y轴于E，
∴S△AOD＝S△BOE=12×12＝6，
∵S△OAB＝S△AOD+S梯形ABED﹣S△BOE＝S梯形ABED，
∴S△AOB=12（4+2）×（6﹣3）＝9，
故答案为9．
24．（2020•菏泽）从﹣1，2，﹣3，4这四个数中任取两个不同的数分别作为a，b的值，得到反比例函数y=abx，则这些反比例函数中，其图象在二、四象限的概率是 23 ．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【解析】画树状图得：
则共有12种等可能的结果，
∵反比例函数y=abx中，图象在二、四象限，
∴ab＜0，
∴有8种符合条件的结果，
∴P（图象在二、四象限）=812=23，
故答案为：23．
25．（2020•齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB在y轴上，点C坐标为（2，﹣2），并且AO：BO＝1：2，点D在函数y=kx（x＞0）的图象上，则k的值为 2 ．
【分析】先根据C的坐标求得矩形OBCE的面积，再利用AO：BO＝1：2，即可求得矩形AOED的面积，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k．
【解析】如图，∵点C坐标为（2，﹣2），
∴矩形OBCE的面积＝2×2＝4，
∵AO：BO＝1：2，
∴矩形AOED的面积＝2，
∵点D在函数y=kx（x＞0）的图象上，
∴k＝2，
故答案为2．
26．（2020•安顺）如图，点A是反比例函数y=3x图象上任意一点，过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足为B，C，则四边形OBAC的面积为 3 ．
【分析】根据反比例函数y=3x的图象上点的坐标性得出|xy|＝3，进而得出四边形OQMP的面积．
【解析】∵过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足为B，C，
∴AB×AC＝|k|＝3，
则四边形OBAC的面积为：3．
故答案为：3．
27．（2020•泰州）如图，点P在反比例函数y=3x的图象上，且横坐标为1，过点P作两条坐标轴的平行线，与反比例函数y=kx（k＜0）的图象相交于点A、B，则直线AB与x轴所夹锐角的正切值为 3 ．
【分析】点P在反比例函数y=3x的图象上，且横坐标为1，则点P（1，3），则点A、B的坐标分别为（1，k），（13k，3），即可求解．
【解析】点P在反比例函数y=3x的图象上，且横坐标为1，则点P（1，3），
则点A、B的坐标分别为（1，k），（13k，3），
设直线AB的表达式为：y＝mx+t，将点A、B的坐标代入上式得k=m+t3=-13km+t，解得m＝﹣3，
故直线AB与x轴所夹锐角的正切值为3，
故答案为3．
28．（2020•哈尔滨）已知反比例函数y=kx的图象经过点（﹣3，4），则k的值为 ﹣12 ．
【分析】把（﹣3，4）代入函数解析式y=kx即可求k的值．
【解析】∵反比例函数y=kx的图象经过点（﹣3，4），
∴k＝﹣3×4＝﹣12，
故答案为：﹣12．
29．（2020•安徽）如图，一次函数y＝x+k（k＞0）的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B．与反比例函数y=kx的图象在第一象限内交于点C，CD⊥x轴，CE⊥y轴．垂足分别为点D，E．当矩形ODCE与△OAB的面积相等时，k的值为 2 ．
【分析】分别求出矩形ODCE与△OAB的面积，即可求解．
【解析】一次函数y＝x+k（k＞0）的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，令x＝0，则y＝k，令y＝0，则x＝﹣k，
故点A、B的坐标分别为（﹣k，0）、（0，k），
则△OAB的面积=12OA•OB=12k2，而矩形ODCE的面积为k，
则12k2＝k，解得：k＝0（舍去）或2，
故答案为2．
30．（2020•自贡）如图，直线y=-3x+b与y轴交于点A，与双曲线y=kx在第三象限交于B、C两点，且AB•AC＝16．下列等边三角形△OD1E1，△E1D2E2，△E2D3E3，…的边OE1，E1E2，E2E3，…在x轴上，顶点D1，D2，D3，…在该双曲线第一象限的分支上，则k＝ 43 ，前25个等边三角形的周长之和为 60 ．
【分析】设直线y=-3x+b与x轴交于点D，作BE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F．首先证明∠ADO＝60°，可得AB＝2BE，AC＝2CF，由直线y=-3x+b与双曲线y=kx在第一象限交于点B、C两点，可得-3x+b=kx，整理得，-3x2+bx﹣k＝0，由韦达定理得：x1x2=33k，即EB•FC=33k，由此构建方程求出k即可，第二个问题分别求出第一个，第二个，第三个，第四个三角形的周长，探究规律后解决问题．
【解析】设直线y=-3x+b与x轴交于点D，作BE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F．
∵y=-3x+b，
∴当y＝0时，x=33b，即点D的坐标为（33b，0），
当x＝0时，y＝b，即A点坐标为（0，b），
∴OA＝﹣b，OD=-33b．
∵在Rt△AOD中，tan∠ADO=OAOD=3，
∴∠ADO＝60°．
∵直线y=-3x+b与双曲线y=kx在第三象限交于B、C两点，
∴-3x+b=kx，
整理得，-3x2+bx﹣k＝0，
由韦达定理得：x1x2=33k，即EB•FC=33k，
∵EBAB=cos60°=12，
∴AB＝2EB，
同理可得：AC＝2FC，
∴AB•AC＝（2EB）（2FC）＝4EB•FC=433k＝16，
解得：k＝43．
由题意可以假设D1（m，m3），
∴m2•3=43，
∴m＝2
∴OE1＝4，即第一个三角形的周长为12，
设D2（4+n，3n），
∵（4+n）•3n＝43，
解得n＝22-2，
∴E1E2＝42-4，即第二个三角形的周长为122-12，
设D3（42+a，3a），
由题意（42+a）•3a＝43，
解得a＝23-22，即第三个三角形的周长为123-122，
…，
∴第四个三角形的周长为124-123，
∴前25个等边三角形的周长之和12+122-12+123-122+124-123+⋯+1225-1224=1225=60，
故答案为43，60．
31．（2020•甘孜州）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数y=2x的图象交于A，B两点，若点P是第一象限内反比例函数图象上一点，且△ABP的面积是△AOB的面积的2倍，则点P的横坐标为 2或-3+172 ．
【分析】分点P在AB下方、点P在AB上方两种情况，分别求解即可．
【解析】①当点P在AB下方时
作AB的平行线l，使点O到直线AB和到直线l的距离相等，则△ABP的面积是△AOB的面积的2倍，
直线AB与x轴交点的坐标为（﹣1，0），则直线l与x轴交点的坐标C（1，0），
设直线l的表达式为：y＝x+b，将点C的坐标代入上式并解得：b＝﹣1，
故直线l的表达式为y＝x﹣1①，而反比例函数的表达式为：y=2x②，
联立①②并解得：x＝2或﹣1（舍去）；
②当点P在AB上方时，
同理可得，直线l的函数表达式为：y＝x+3③，
联立①③并解得：x=-3±172（舍去负值）；
故答案为：2或-3+172．
32．（2020•常德）如图，若反比例函数y=kx（x＜0）的图象经过点A，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积为6，则k＝ ﹣12 ．
【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义即可解决问题．
【解析】∵AB⊥OB，
∴S△AOB=|k|2=6，
∴k＝±12，
∵反比例函数的图象在二四象限，
∴k＜0，
∴k＝﹣12，
故答案为﹣12．
33．（2020•宁波）如图，经过原点O的直线与反比例函数y=ax（a＞0）的图象交于A，D两点（点A在第一象限），点B，C，E在反比例函数y=bx（b＜0）的图象上，AB∥y轴，AE∥CD∥x轴，五边形ABCDE的面积为56，四边形ABCD的面积为32，则a﹣b的值为 24 ，ba的值为 -13 ．
【分析】如图，连接AC，OE，OC，OB，延长AB交DC的延长线于T，设AB交x轴于K．求出证明四边形ACDE是平行四边形，推出S△ADE＝S△ADC＝S五边形ABCDE﹣S四边形ABCD＝56﹣32＝24，推出S△AOE＝S△DEO＝12，可得12a-12b＝12，推出a﹣b＝24．再证明BC∥AD，证明AD＝3BC，推出AT＝3BT，再证明AK＝3BK即可解决问题．
【解析】如图，连接AC，OE，OC，OB，延长AB交DC的延长线于T，设AB交x轴于K．
由题意A，D关于原点对称，
∴A，D的纵坐标的绝对值相等，
∵AE∥CD，
∴E，C的纵坐标的绝对值相等，
∵E，C在反比例函数y=bx的图象上，
∴E，C关于原点对称，
∴E，O，C共线，
∵OE＝OC，OA＝OD，∴四边形ACDE是平行四边形，
∴S△ADE＝S△ADC＝S五边形ABCDE﹣S四边形ABCD＝56﹣32＝24，
∴S△AOE＝S△DEO＝12，
∴12a-12b＝12，
∴a﹣b＝24，
∵S△AOC＝S△AOB＝12，
∴BC∥AD，
∴BCAD=TBTA，
∵S△ACB＝32﹣24＝8，
∴S△ADC：S△ABC＝24：8＝3：1，
∴BC：AD＝1：3，
∴TB：TA＝1：3，设BT＝a，则AT＝3a，AK＝TK＝1.5a，BK＝0.5a，
∴AK：BK＝3：1，
∴S△AOKS△BKO=12a-12b=3，
∴ab=-3，即ba=-13，
故答案为24，-13．
34．（2020•衢州）如图，将一把矩形直尺ABCD和一块含30°角的三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，三角板的直角边EF交BC于点M，反比例函数y=kx（x＞0）的图象恰好经过点F，M．若直尺的宽CD＝3，三角板的斜边FG＝83，则k＝ 403 ．
【分析】通过作辅助线，构造直角三角形，求出MN，FN，进而求出AN、MB，表示出点F、点M的坐标，利用反比例函数k的意义，确定点F的坐标，进而确定k的值即可．
【解析】过点M作MN⊥AD，垂足为N，则MN＝CD＝3，
在Rt△FMN中，∠MFN＝30°，
∴FN=3MN＝33，
∴AN＝MB＝83-33=53，
设OA＝x，则OB＝x+3，
∴F（x，83），M（x+3，53），
∴83x＝（x+3）×53，
解得，x＝5，
∴F（5，83），
∴k＝5×83=403．
故答案为：403．
三．解答题（共16小题）
35．（2020•甘孜州）如图，一次函数y=12x+1的图象与反比例函数y=kx的图象相交于A（2，m）和B两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点B的坐标．
【分析】（1）将点A坐标代入一次函数解析式可求m的值，再将点A坐标代入反比例函数解析式，可求解；
（2）联立方程组可求解．
【解析】（1）∵一次函数y=12x+1的图象过点A（2，m），
∴m=12×2+1＝2，
∴点A（2，2），
∵反比例函数y=kx的图象经过点A（2，2），
∴k＝2×2＝4，
∴反比例函数的解析式为：y=4x；
（2）联立方程组可得：y=12x+1y=4x，
解得：x1=-4y1=-1或x2=2y2=2，
∴点B（﹣4，﹣1）．
36．（2020•襄阳）如图，反比例函数y1=mx（x＞0）和一次函数y2＝kx+b的图象都经过点A（1，4）和点B（n，2）．
（1）m＝ 4 ，n＝ 2 ；
（2）求一次函数的解析式，并直接写出y1＜y2时x的取值范围；
（3）若点P是反比例函数y1=mx（x＞0）的图象上一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，则△POM的面积为 2 ．
【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式求出m，得出反比例函数的解析式，把B的坐标代入反比例函数的解析式，能求出n，即可得出B的坐标；
（2）分别把A、B的坐标代入一次函数的解析式得出方程组，求出方程组的解，即可得出一次函数的解析式；根据图象求得y1＜y2时x的取值范围；
（3）根据反比例函数系数k的几何意义即可求得．
【解析】（1）∵把A（1，4）代入y1=mx（x＞0）得：m＝1×4＝4，
∴y=4x，
∵把B（n，2）代入y=4x得：2=4n，
解得n＝2；
故答案为4，2；
（2）把A（1，4）、B（2，2）代入y2＝kx+b得：k+b=42k+b=2，
解得：k＝﹣2，b＝6，
即一次函数的解析式是y＝﹣2x+6．
由图象可知：y1＜y2时x的取值范围是1＜x＜2；
（3）∵点P是反比例函数y1=mx（x＞0）的图象上一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，
∴S△POM=12|m|=12×4=2，
故答案为2．
37．（2020•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=mx（x＞0）的图象经过点A（4，32），点B在y轴的负半轴上，AB交x轴于点C，C为线段AB的中点．
（1）m＝ 6 ，点C的坐标为 （2，0） ；
（2）若点D为线段AB上的一个动点，过点D作DE∥y轴，交反比例函数图象于点E，求△ODE面积的最大值．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得m的值，根据A点的坐标即可求得C的坐标；
（2）根据待定系数法求得直线AB的解析式，设出D、E的坐标，然后根据三角形面积公式得到S△ODE=-38（x﹣1）2+278，由二次函数的性质即可求得结论．
【解析】（1）∵反比例函数y=mx（x＞0）的图象经过点A（4，32），
∴m=4×32=6，
∵AB交x轴于点C，C为线段AB的中点．
∴C（2，0）；
故答案为6，（2，0）；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A（4，32），C（2，0）代入得4k+b=322k+b=0，解得k=34b=-32，
∴直线AB的解析式为y=34x-32；
∵点D为线段AB上的一个动点，
∴设D（x，34x-32）（0＜x≤4），
∵DE∥y轴，
∴E（x，6x），
∴S△ODE=12x•（6x-34x+32）=-38x2+34x+3=-38（x﹣1）2+278，
∴当x＝1时，△ODE的面积的最大值为278．
38．（2020•济宁）在△ABC中，BC边的长为x，BC边上的高为y，△ABC的面积为2．
（1）y关于x的函数关系式是 y=4x ，x的取值范围是 x＞0 ；
（2）在平面直角坐标系中画出该函数图象；
（3）将直线y＝﹣x+3向上平移a（a＞0）个单位长度后与上述函数图象有且只有一个交点，请求出此时a的值．
【分析】（1）根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）根据题意在平面直角坐标系中画出该函数图象即可；
（3）将直线y＝﹣x+3向上平移a（a＞0）个单位长度后解析式为y＝﹣x+3+a，根据一元二次方程根的判别式即可得到结论．
【解析】（1）∵在△ABC中，BC边的长为x，BC边上的高为y，△ABC的面积为2，
∴12xy＝2，
∴xy＝4，
∴y关于x的函数关系式是y=4x，
x的取值范围为x＞0，
故答案为：y=4x，x＞0；
（2）在平面直角坐标系中画出该函数图象如图所示；
（3）将直线y＝﹣x+3向上平移a（a＞0）个单位长度后解析式为y＝﹣x+3+a，
解y=-x+3+ay=4x，整理得，x2﹣（3+a）x+4＝0，
∵平移后的直线与上述函数图象有且只有一个交点，
∴△＝（3+a）2﹣16＝0，
解得a＝1，a＝﹣7（不合题意舍去），
故此时a的值为1．
39．（2020•成都）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=mx（x＞0）的图象经过点A（3，4），过点A的直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于B，C两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若△AOB的面积为△BOC的面积的2倍，求此直线的函数表达式．
【分析】（1）把A（3，4）代入y=mx（x＞0）即可得到结论；
（2）根据题意得到B（-bk，0），C（0，b），根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．
【解析】（1）∵反比例函数y=mx（x＞0）的图象经过点A（3，4），
∴k＝3×4＝12，
∴反比例函数的表达式为y=12x；
（2）∵直线y＝kx+b过点A，
∴3k+b＝4，
∵过点A的直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于B，C两点，
∴B（-bk，0），C（0，b），
∵△AOB的面积为△BOC的面积的2倍，
∴12×4×|-bk|＝2×12×|-bk|×|b|，
∴b＝±2，
当b＝2时，k=23，
当b＝﹣2时，k＝2，
∴直线的函数表达式为：y=23x+2，y＝2x﹣2．
40．（2020•遂宁）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），连结AB，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线BD交双曲线y═kx（k≠0）于D、E两点，连结CE，交x轴于点F．
（1）求双曲线y=kx（k≠0）和直线DE的解析式．
（2）求△DEC的面积．
【分析】（1）作DM⊥y轴于M，通过证得△AOB≌△DMA（AAS），求得D的坐标，然后根据待定系数法即可求得双曲线y=kx（k≠0）和直线DE的解析式．
（2）解析式联立求得E的坐标，然后根据勾股定理求得DE和DB，进而求得CN的长，即可根据三角形面积公式求得△DEC的面积．
【解析】∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），
∴OA＝2，OB＝1，
作DM⊥y轴于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∴∠OAB+∠DAM＝90°，
∵∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠DAM＝∠ABO，
在△AOB和△DMA中
∠ABO=∠DAM∠AOB=∠DMA=90°AB=DA，
∴△AOB≌△DMA（AAS），
∴AM＝OB＝1，DM＝OA＝2，
∴D（2，3），
∵双曲线y═kx（k≠0）经过D点，
∴k＝2×3＝6，
∴双曲线为y=6x，
设直线DE的解析式为y＝mx+n，
把B（1，0），D（2，3）代入得m+n=02m+n=3，解得m=3n=-3，
∴直线DE的解析式为y＝3x﹣3；
（2）连接AC，交BD于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD垂直平分AC，AC＝BD，
解y=3x-3y=6x得x=2y=3或x=-1y=-6，
∴E（﹣1，﹣6），
∵B（1，0），D（2，3），
∴DE=(2+1)2+(3+6)2=310，DB=(2-1)2+32=10，
∴CN=12BD=102，
∴S△DEC=12DE•CN=12×310×102=152．
41．（2020•江西）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，顶点A，B都在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，直线AC⊥x轴，垂足为D，连结OA，OC，并延长OC交AB于点E，当AB＝2OA时，点E恰为AB的中点，若∠AOD＝45°，OA＝22．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求∠EOD的度数．
【分析】（1）根据题意求得A（2，2），然后代入y=kx（x＞0），求得k的值，即可求得反比例函数的解析式；
（2）根据AB＝2OA时，点E恰为AB的中点，得出OA＝AE＝BE，根据直角三角形斜边中线的性质得出CE＝AE＝BE，根据等腰三角形的性质越久三角形外角的性质即可得出∠AOE＝2∠EOD，从而求得∠EOD＝15°．
【解析】（1）∵直线AC⊥x轴，垂足为D，∠AOD＝45°，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∵OA＝22，
∴OD＝AD＝2，
∴A（2，2），
∵顶点A在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，
∴k＝2×2＝4，
∴反比例函数的解析式为y=4x；
（2）∵AB＝2OA，点E恰为AB的中点，
∴OA＝AE，
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴CE＝AE＝BE，
∴∠AOE＝∠AEO，∠ECB＝∠EBC，
∵∠AEO＝∠ECB+∠EBC＝2∠EBC，
∵BC∥x轴，
∴∠EOD＝∠ECB，
∴∠AOE＝2∠EOD，
∵∠AOE＝45°，
∴∠EOD＝15°．
42．（2020•菏泽）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象相交于A（1，2），B（n，﹣1）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直线AB交x轴于点C，点P是x轴上的点，若△ACP的面积是4，求点P的坐标．
【分析】（1）先根据点A坐标求出反比例函数解析式，再求出点B的坐标，继而根据点A、B坐标可得直线解析式；
（2）先根据直线解析式求出点C的坐标，再设P（m，0），知PC＝|﹣1﹣m|，根据S△ACP=12•PC•yA＝4求出m的值即可得出答案．
【解析】（1）将点A（1，2）代入y=mx，得：m＝2，
∴y=2x，
当y＝﹣1时，x＝﹣2，
∴B（﹣2，﹣1），
将A（1，2）、B（﹣2，﹣1）代入y＝kx+b，
得：k+b=2-2k+b=-1，
解得k=1b=1，
∴y＝x+1；
∴一次函数解析式为y＝x+1，反比例函数解析式为y=2x；
（2）在y＝x+1中，当y＝0时，x+1＝0，
解得x＝﹣1，
∴C（﹣1，0），
设P（m，0），
则PC＝|﹣1﹣m|，
∵S△ACP=12•PC•yA＝4，
∴12×|﹣1﹣m|×2＝4，
解得m＝3或m＝﹣5，
∴点P的坐标为（3，0）或（﹣5，0）．
43．（2020•南京）已知反比例函数y=kx的图象经过点（﹣2，﹣1）．
（1）求k的值．
（2）完成下面的解答．
解不等式组2-x＞1，①kx＞1．②
解：解不等式①，得 x＜1 ．
根据函数y=kx的图象，得不等式②的解集 0＜x＜2 ．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．
从图中可以找出两个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集 0＜x＜1 ．
【分析】（1）把点（﹣2，﹣1）代入y=kx即可得到结论；
（2）解不等式组即可得到结论．
【解析】（1）∵反比例函数y=kx的图象经过点（﹣2，﹣1），
∴k＝（﹣2）×（﹣1）＝2；
（2）解不等式组2-x＞1，①kx＞1．②
解：解不等式①，得x＜1．
根据函数y=kx的图象，得不等式②的解集0＜x＜2．
把不等式①和②的解集在数轴上表示为：
∴不等式组的解集为0＜x＜1，
故答案为：x＜1，0＜x＜2，0＜x＜1．
44．（2020•广元）如图所示，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于A（3，4），B（n，﹣1）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在x轴上存在一点C，使△AOC为等腰三角形，求此时点C的坐标；
（3）根据图象直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
【分析】（1）先把A点坐标代入反比例函数解析式求得反比例函数的解析，再把B点坐标代入所求得的反比例函数的解析式，求得B点坐标，最后用待定系数法求出一次函数的解析式便可；
（2）分三种情况：OA＝OC，AO＝AC，CA＝CO，分别求解即可；
（3）根据图象得出一次函数图象在反比例函数图象上方时x的取值范围即可．
【解析】（1）把A（3，4）代入y=mx，
∴m＝12，
∴反比例函数是y=12x；
把B（n，﹣1）代入y=12x得n＝﹣12．
把A（3，4）、B（﹣12，﹣1）分别代入y＝kx+b中，
得3k+b=4-12k+b=-1，
解得k=13b=3，
∴一次函数的解析式为y=13x+3；
（2）∵A（3，4），
∴OA=32+42=5，
∵△AOC为等腰三角形，
分三种情况：
①当OA＝OC时，OC＝5，
此时点C的坐标为（5，0），（﹣5，0）；
②当AO＝AC时，∵A（3，4），点C和点O关于过A点且垂直于x轴的直线对称，
此时点C的坐标为（6，0）；
③当CA＝CO时，点C在线段OA的垂直平分线上，
过A作AD⊥x轴，垂足为D，
由题意可得：OD＝3，AD＝4，AO＝5，设OC＝x，则AC＝x，
在△ACD中，42+（x﹣3）2＝x2，
解得：x=256，
此时点C的坐标为(256，0)；
综上：点C的坐标为：（6，0），（5，0），(256，0)，（﹣5，0）；
（3）由图得：
当一次函数图象在反比例函数图象上方时，
﹣12＜x＜0或x＞3，
即使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围是：﹣12＜x＜0或x＞3．
45．（2020•泰安）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于点A（3，a），点B（14﹣2a，2）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若一次函数图象与y轴交于点C，点D为点C关于原点O的对称点，求△ACD的面积．
【分析】（1）点A（3，a），点B（14﹣2a，2）在反比例函数上，则3×a＝（14﹣2a）×2，即可求解；
（2）a＝4，故点A、B的坐标分别为（3，4）、（6，2），求出一次函数的表达式为：y=-23x+6，则点C（0，6），故OC＝6，进而求解．
【解析】（1）∵点A（3，a），点B（14﹣2a，2）在反比例函数上，
∴3×a＝（14﹣2a）×2，解得：a＝4，则m＝3×4＝12，
故反比例函数的表达式为：y=12x；
（2）∵a＝4，故点A、B的坐标分别为（3，4）、（6，2），
设直线AB的表达式为：y＝kx+b，则4=3k+b2=6k+6，解得k=-23b=6，
故一次函数的表达式为：y=-23x+6；
当x＝0时，y＝6，故点C（0，6），故OC＝6，
而点D为点C关于原点O的对称点，则CD＝2OC＝12，
△ACD的面积=12×CD•xA=12×12×3＝18．
46．（2020•枣庄）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=12x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数y=kx的图象经过点A．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数y=12x+5的图象与反比例函数y=kx的图象的另一个交点为B，连接OB，求△ABO的面积．
【分析】（1）联立y=12x+5①和y＝﹣2x并解得：x=-2y=4，故点A（﹣2.4），进而求解；
（2）S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC=12×OC•AM-12OC•BN，即可求解．
【解析】（1）联立y=12x+5①和y＝﹣2x并解得：x=-2y=4，故点A（﹣2.4），
将点A的坐标代入反比例函数表达式得：4=k-2，解得：k＝﹣8，
故反比例函数表达式为：y=-8x②；
（2）联立①②并解得：x＝﹣2或﹣8，
当x＝﹣8时，y=12x+5＝1，故点B（﹣8，1），
设y=12x+5交x轴于点C（﹣10，0），过点A、B分别作x轴的垂线交于点M、N，
则S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC=12×OC•AM-12OC•BN=12×4×10-12×10×1=15．
47．（2020•凉山州）如图，已知直线l：y＝﹣x+5．
（1）当反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象与直线l在第一象限内至少有一个交点时，求k的取值范围．
（2）若反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象与直线l在第一象限内相交于点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x2﹣x1＝3时，求k的值，并根据图象写出此时关于x的不等式﹣x+5＜kx的解集．
【分析】（1）由题意得：△＝25﹣4k≥0，即可求解；
（2）设点A（m，﹣m+5），而x2﹣x1＝3，则点B（m+3，﹣m+2），点A、B都在反比例函数上，故m（﹣m+5）＝（m+3）（﹣m+2），即可求解．
【解析】（1）将直线l的表达式与反比例函数表达式联立并整理得：x2﹣5x+k＝0，
由题意得：△＝25﹣4k≥0，解得：k≤254，
故k的取值范围0＜k≤254；
（2）设点A（m，﹣m+5），而x2﹣x1＝3，则点B（m+3，﹣m+2），
点A、B都在反比例函数上，故m（﹣m+5）＝（m+3）（﹣m+2），解得：m＝1，
故点A、B的坐标分别为（1，4）、（4，1）；
将点A的坐标代入反比例函数表达式并解得：k＝4×1＝4，
观察函数图象知，当﹣x+5＜kx时，0＜x＜1或x＞4．
48．（2020•安顺）如图，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数y=kx的图象相交，其中一个交点的横坐标是2．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将一次函数y＝x+1的图象向下平移2个单位，求平移后的图象与反比例函数y=kx图象的交点坐标；
（3）直接写出一个一次函数，使其过点（0，5），且与反比例函数y=kx的图象没有公共点．
【分析】（1）将x＝2代入y＝x+1＝3，故其中交点的坐标为（2，3），将（2，3）代入反比例函数表达式，即可求解；
（2）一次函数y＝x+1的图象向下平移2个单位得到y＝x﹣1②，联立①②即可求解；
（3）设一次函数的表达式为：y＝kx+5③，联立①③并整理得：kx2+5x﹣6﹣0，则△＝25+24k＜0，解得：k＜-2524，即可求解．
【解析】（1）将x＝2代入y＝x+1＝3，故其中交点的坐标为（2，3），
将（2，3）代入反比例函数表达式并解得：k＝2×3＝6，
故反比例函数表达式为：y=6x①；
（2）一次函数y＝x+1的图象向下平移2个单位得到y＝x﹣1②，
联立①②并解得：x=-2y=-3或x=3y=2，
故交点坐标为（﹣2，﹣3）或（3，2）；
（3）设一次函数的表达式为：y＝kx+5③，
联立①③并整理得：kx2+5x﹣6﹣0，
∵两个函数没有公共点，故△＝25+24k＜0，解得：k＜-2524，
故可以取k＝﹣2（答案不唯一），
故一次函数表达式为：y＝﹣2x+5（答案不唯一）．
49．（2020•广东）如图，点B是反比例函数y=8x（x＞0）图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A，C．反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过OB的中点M，与AB，BC分别相交于点D，E．连接DE并延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接BF，BG．
（1）填空：k＝ 2 ；
（2）求△BDF的面积；
（3）求证：四边形BDFG为平行四边形．
【分析】（1）设点B（s，t），st＝8，则点M（12s，12t），则k=12s•12t=14st＝2；
（2）△BDF的面积＝△OBD的面积＝S△BOA﹣S△OAD，即可求解；
（3）确定直线DE的表达式为：y=-12m2x+52m，令y＝0，则x＝5m，故点F（5m，0），即可求解．
【解析】（1）设点B（s，t），st＝8，则点M（12s，12t），
则k=12s•12t=14st＝2，
故答案为2；
（2）△BDF的面积＝△OBD的面积＝S△BOA﹣S△OAD=12×8-12×2＝3；
（3）设点D（m，2m），则点B（4m，2m），
∵点G与点O关于点C对称，故点G（8m，0），
则点E（4m，12m），
设直线DE的表达式为：y＝sx+n，将点D、E的坐标代入上式得2m=ms+n12m=4ms+n，解得k=-12m2b=52m，
故直线DE的表达式为：y=-12m2x+52m，令y＝0，则x＝5m，故点F（5m，0），
故FG＝8m﹣5m＝3m，而BD＝4m﹣m＝3m＝FG，
则FG∥BD，故四边形BDFG为平行四边形．
50．（2020•绥化）如图，在矩形OABC中，AB＝2，BC＝4，点D是边AB的中点，反比例函数y1=kx（x＞0）的图象经过点D，交BC边于点E，直线DE的解析式为y2＝mx+n（m≠0）．
（1）求反比例函数y1=kx（x＞0）的解析式和直线DE的解析式；
（2）在y轴上找一点P，使△PDE的周长最小，求出此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，△PDE的周长最小值是 5+13 ．
【分析】（1）根据线段中点的定义和矩形的性质得到D（1，4），解方程和方程组即可得到结论；
（2）作点D关于y轴的对称点D′，连接D′E交y轴于P，连接PD，此时，△PDE的周长最小，求得直线D′E的解析式为y=-23x+103，于是得到结论；
（3）根据勾股定理即可得到结论．
【解析】（1）∵点D是边AB的中点，AB＝2，
∴AD＝1，
∵四边形OABC是矩形，BC＝4，
∴D（1，4），
∵反比例函数y1=kx（x＞0）的图象经过点D，
∴k＝4，
∴反比例函数的解析式为y=4x（x＞0），
当x＝2时，y＝2，
∴E（2，2），
把D（1，4）和E（2，2）代入y2＝mx+n（m≠0）得，2m+n=2m+n=4，
∴m=-2n=6，
∴直线DE的解析式为y＝﹣2x+6；
（2）作点D关于y轴的对称点D′，连接D′E交y轴于P，连接PD，
此时，△PDE的周长最小，
∵D点的坐标为（1，4），
∴D′的坐标为（﹣1，4），
设直线D′E的解析式为y＝ax+b，
∴4=-a+b2=2a+b，解得：a=-23b=103，
∴直线D′E的解析式为y=-23x+103，
令x＝0，得y=103，
∴点P的坐标为（0，103）；
（3）∵D（1，4），E（2，2），
∴BE＝2，BD＝1，
∴DE=12+22=5，
由（2）知，D′的坐标为（﹣1，4），
∴BD′＝3，
∴D′E=22+32=13，
∴△PDE的周长最小值＝DE+D′E=5+13，
故答案为：5+13．
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