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初中数学苏科版八年级上册第三章 勾股定理综合与测试习题
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这是一份初中数学苏科版八年级上册第三章 勾股定理综合与测试习题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．有六根细木棒，它们的长度分别是2，4，6，8，10，12 (单位：cm)．若从中取出三根，首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这三根木棒的长度分别为 ( )
A．2，4，8 B．4，8，10 C．6，8，10 D．8，10，12
2．将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形 ( )
A．可能是锐角三角形 B．不可能是直角三角形
C．仍然是直角三角形 D．可能是钝角三角形
3．在△ABC中，已知AB=17，AC=10．若BC边上的高AD=8，则边BC的长为 ( )
A．21 B．15 C．6或9 D．9或21
4．一个直角三角形的斜边长比其中一条直角边的长大2，若另一条直角边的长为6，则斜边长为 ( )
A．4 B．8 C．10 D．12
5．如图，一架云梯长25 m，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7 m．如果梯子的顶端下滑4 m，那么梯子的底部在水平方向上滑动了 ( )
A．4 m B．6 m C．8 m D．10 m
6．如图，∠BAC=∠DAF=90°，AB=AC，AD=AF，点D，E为BC边上的两点，且∠DAE=45°，连接EF，BF，下列结论不正确的是 ( )
A．△AED≌△AEF B．BE＋DC=DE
C．BE＋DC>DE D．BE2+DC2=DE2
7．如图，用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌成正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4．若分别用x，y表示直角三角形的两条直角边(x>y)，给出下列四个结论：①x2＋y2=49；②x－y=2；③2xy＋4=49；④x＋y=9．其中正确的结论是 ( )
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
8．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E为BC上一动点，把△ABE沿AE折叠．当点B的对应点B'落在∠ADC的角平分线上时，则点B'到BC的距离为 ( )
A．1或2 B．2或3 C．3或4 D．4或5
9．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S1、S2、S3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S4、S5、S6．其中S1=16，S2=45，S5=11，S6=14，则S3+S4=（ ）
A．86B．64C．54D．48
二、填空题 (每题2分，共20分)
11．一个三角形的两边长分别是3和5，若要使这个三角形成为直角三角形，则第三边边长的平方是 ．
12．若等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则这个等腰三角形底边长的平方为 ．
13．如果△ABC的三边长a，b，c满足关系式 (a＋2b－60)2＋＋=0，那么△ABC的形状是 ．
14．所谓的勾股数就是使等式a2＋b2=c2成立的任何三个正整数．我国清代数学家罗士林钻研出一种求勾股数的方法，对于任意正整数m，n (m>n)，取a=m2－n2，b=2mn，c=m2＋n2，则a，b，c就是一组勾股数．请你结合这种方法，写出85 (三个数中最大)，84和 组成一组勾股数．
15．如图，在四边形ABCD 中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°，则∠A ＋∠C= °．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6 cm．，BC=8 cm，如果按图中所示的方法将△ACD沿AD折叠，使点C落在AB边上的C'点，那么△BDC'的面积是 ．
17．如图，每个小方格都是边长为1的正方形，点A，B是方格纸的两个格点 (即正方形的顶点)．在这个6×6的方格纸中，找出格点C，使△ABC的面积为1个平方单位的直角三角形的个数是 .
18．如图，已知AB=12，AB⊥BC，AB⊥AD，垂足分别为点B，A，AD=5，BC=10．若点E是CD的中点，则AE的长是 ．
19．如图，有一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20，3，2，A和B是这个台阶的两个相对的端点．若A点有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是 ．
20．如图，长为12 cm的弹性皮筋拉直放置在一轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升8 cm至D点，则弹性皮筋被拉长了 cm．
三、解答题 (共60分)
21．(本题6分) 如图，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AC=20，BC=15，DB=9．
(1) 求CD的长；
(2) 求AB的长．
22．(本题6分) 如图，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在格点上．
(1) 判断△ABC是什么形状，并说明理由．
(2) 求△ABC的面积．
23．(本题6分) 印度数学家什迦逻 (1141年—1225年) 曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅?”请用学过的数学知识回答这个问题．
24．(本题8分) 如图，∠AOB=90°，OA=9 cm，OB=3 cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A 出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B 出发，沿BC方向匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少?
25．(本题6分) 如图，在直角三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，折叠△ABC的一角，使点B与点A重合，展开得折痕DE，求BD的长．
26．(本题8分) 如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=CD=10，AB=21，AD=9，求AC的长．
27．(本题10分) 如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．
(1) 观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；
(2) 若PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．
28．(本题10分) 在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长的边．当a2＋b2=c2时，△ABC是直角三角形；当a2＋b2≠c2时，利用代数式a2＋b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状 (按角分类)．
(1) 当△ABC的三边长分别为6，8，9时，△ABC为 三角形；当△ABC的三边长分别为6，8，11时，△ABC为 三角形．
(2) 猜想：当a2＋b2 c2时，△ABC为锐角三角形；当a2＋b2 c2时，△ABC为钝角三角形．
(3) 当a=2，b=4时，判断△ABC的形状，并求出对应的c2的取值范围．
参考答案
一、1．C 2．C 3．D 4．C 5．C 6．B 7．B 8．A [提示：过点B'作B'M⊥AD，垂足为点M，∵ 点B'在∠ADC的角平分线上，∴ ∠ADB'=45°，∴ B'M=DM．设B'M=DM=x，∵ B'M 2+AM 2=AB' 2，∴ x2+(7－x)2=25，解得x = 3或x = 4，即B'M = 3或4 ，∴ 点B'到BC的距离为1或2]
9．D 10．A
二、11．16或34 12．10或90 13．直角三角形 14．13 15．180 16．6 cm2 17．6 18． 19．25 20．8 (提示：∵AC=CB= 6cm，DC= 8cm，DC⊥AB，∴DB = DA = 10 cm，∴拉长的长度为DA＋DB－AB = 10cm＋10cm－12cm = 8cm)
三、21．(1) ∵ CD⊥AB，∴ CD2＋BD2=BC2，∴ CD2=BC2－BD2=152－92=122，∴ CD=12 (2) ∵ CD⊥AB，∴ CD2＋AD2=AC2，∴ AD2=AC2－CD2=202－122=l62，∴ AD=16，∴ AB=AD＋DB=16＋9=25
22．(1) △ABC是直角三角形．理由如下：∵ AC2=12＋82=65，AB2=22＋32=13，BC2=42＋62=52，∴ AC2=AB2＋BC2．∴ △ABC是直角三角形，且∠ABC=90° (2) S=×AB×BC=××2=13
23．设湖水的深为x尺，则红莲总长为 (x＋0．5) 尺，根据勾股定理得x2＋22=(x＋0．5)2，解得x=3．75，即湖水深3．75尺
24．∵ 小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，∴ BC=CA．设AC为x，则OC=9－x，由勾股定理得OB2＋OC2=BC2．又∵ OA=9，OB=3，∴ 32＋(9－x)2=x2，解得x=5，∴ 机器人行走的路程BC是5 cm
25．由题意知AD=BD，设BD=x，则AD=x，CD=8－x，在Rt△ACD中，由AC2＋CD2－AD2，得62＋(8－x)2=x2，解得x=．即BD的长为
26．在AB 上截取AE=AD，连接EC．∵ AC平分∠BAD，∴ ∠DAC=∠BAC，∴ △ADC≌△AEC，∴ AE=AD=9，CE=CD=10=BC．作CF⊥AB，垂足为点F，∴ EF=FB=BE=(AB－AE)=6．在Rt△BFC (或Rt△EFC) 中，由勾股定理得CF=8，在Rt△AFC中，由勾股定理得AC=17，∴ AC的长为17
27．(1) 猜想：AP=CQ．证明：∵ ∠ABP＋∠PBC=60°，∠QBC＋∠PBC=60°，∴ ∠ABP=∠QBC．又∵ AB=BC，BP=BQ，∴ △ABP≌△CBQ，∴ AP=CQ (2) 由PA：PB：PC=3：4：5，可设PA=3a，PB=4a，PC=5a．连接PQ，在△PBQ中，PB=BQ=4a，且∠PBQ=60°，∴ △PBQ为正三角形，∴ PQ=4a．在△PQC中，∵ PQ2＋QC2=16a2＋9a2=25a2=PC2，∴ △PQC是直角三角形
28．(1) 锐角 钝角 (2) ＞ ＜ (3) ∵ c为最长的边，2＋4=6，∴ 4≤c＜6，
a2＋b2=22＋42=20．①a2＋b2＞c2，即c2＜20，∴ 当l6≤c2＜20时，这个三角形是锐角三角形；②a2＋b2=c2，即c2=20，∴ 当c2=20时，这个三角形是直角三角形；③a2+ b2＜c2，即c2 ＞20，∴ 当20＜c2＜36时，这个三角形是钝角三角形
1．有六根细木棒，它们的长度分别是2，4，6，8，10，12 (单位：cm)．若从中取出三根，首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这三根木棒的长度分别为 ( )
A．2，4，8 B．4，8，10 C．6，8，10 D．8，10，12
2．将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形 ( )
A．可能是锐角三角形 B．不可能是直角三角形
C．仍然是直角三角形 D．可能是钝角三角形
3．在△ABC中，已知AB=17，AC=10．若BC边上的高AD=8，则边BC的长为 ( )
A．21 B．15 C．6或9 D．9或21
4．一个直角三角形的斜边长比其中一条直角边的长大2，若另一条直角边的长为6，则斜边长为 ( )
A．4 B．8 C．10 D．12
5．如图，一架云梯长25 m，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7 m．如果梯子的顶端下滑4 m，那么梯子的底部在水平方向上滑动了 ( )
A．4 m B．6 m C．8 m D．10 m
6．如图，∠BAC=∠DAF=90°，AB=AC，AD=AF，点D，E为BC边上的两点，且∠DAE=45°，连接EF，BF，下列结论不正确的是 ( )
A．△AED≌△AEF B．BE＋DC=DE
C．BE＋DC>DE D．BE2+DC2=DE2
7．如图，用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌成正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4．若分别用x，y表示直角三角形的两条直角边(x>y)，给出下列四个结论：①x2＋y2=49；②x－y=2；③2xy＋4=49；④x＋y=9．其中正确的结论是 ( )
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
8．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E为BC上一动点，把△ABE沿AE折叠．当点B的对应点B'落在∠ADC的角平分线上时，则点B'到BC的距离为 ( )
A．1或2 B．2或3 C．3或4 D．4或5
9．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S1、S2、S3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S4、S5、S6．其中S1=16，S2=45，S5=11，S6=14，则S3+S4=（ ）
A．86B．64C．54D．48
二、填空题 (每题2分，共20分)
11．一个三角形的两边长分别是3和5，若要使这个三角形成为直角三角形，则第三边边长的平方是 ．
12．若等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则这个等腰三角形底边长的平方为 ．
13．如果△ABC的三边长a，b，c满足关系式 (a＋2b－60)2＋＋=0，那么△ABC的形状是 ．
14．所谓的勾股数就是使等式a2＋b2=c2成立的任何三个正整数．我国清代数学家罗士林钻研出一种求勾股数的方法，对于任意正整数m，n (m>n)，取a=m2－n2，b=2mn，c=m2＋n2，则a，b，c就是一组勾股数．请你结合这种方法，写出85 (三个数中最大)，84和 组成一组勾股数．
15．如图，在四边形ABCD 中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°，则∠A ＋∠C= °．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6 cm．，BC=8 cm，如果按图中所示的方法将△ACD沿AD折叠，使点C落在AB边上的C'点，那么△BDC'的面积是 ．
17．如图，每个小方格都是边长为1的正方形，点A，B是方格纸的两个格点 (即正方形的顶点)．在这个6×6的方格纸中，找出格点C，使△ABC的面积为1个平方单位的直角三角形的个数是 .
18．如图，已知AB=12，AB⊥BC，AB⊥AD，垂足分别为点B，A，AD=5，BC=10．若点E是CD的中点，则AE的长是 ．
19．如图，有一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20，3，2，A和B是这个台阶的两个相对的端点．若A点有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是 ．
20．如图，长为12 cm的弹性皮筋拉直放置在一轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升8 cm至D点，则弹性皮筋被拉长了 cm．
三、解答题 (共60分)
21．(本题6分) 如图，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AC=20，BC=15，DB=9．
(1) 求CD的长；
(2) 求AB的长．
22．(本题6分) 如图，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在格点上．
(1) 判断△ABC是什么形状，并说明理由．
(2) 求△ABC的面积．
23．(本题6分) 印度数学家什迦逻 (1141年—1225年) 曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅?”请用学过的数学知识回答这个问题．
24．(本题8分) 如图，∠AOB=90°，OA=9 cm，OB=3 cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A 出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B 出发，沿BC方向匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少?
25．(本题6分) 如图，在直角三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，折叠△ABC的一角，使点B与点A重合，展开得折痕DE，求BD的长．
26．(本题8分) 如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=CD=10，AB=21，AD=9，求AC的长．
27．(本题10分) 如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．
(1) 观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；
(2) 若PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．
28．(本题10分) 在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长的边．当a2＋b2=c2时，△ABC是直角三角形；当a2＋b2≠c2时，利用代数式a2＋b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状 (按角分类)．
(1) 当△ABC的三边长分别为6，8，9时，△ABC为 三角形；当△ABC的三边长分别为6，8，11时，△ABC为 三角形．
(2) 猜想：当a2＋b2 c2时，△ABC为锐角三角形；当a2＋b2 c2时，△ABC为钝角三角形．
(3) 当a=2，b=4时，判断△ABC的形状，并求出对应的c2的取值范围．
参考答案
一、1．C 2．C 3．D 4．C 5．C 6．B 7．B 8．A [提示：过点B'作B'M⊥AD，垂足为点M，∵ 点B'在∠ADC的角平分线上，∴ ∠ADB'=45°，∴ B'M=DM．设B'M=DM=x，∵ B'M 2+AM 2=AB' 2，∴ x2+(7－x)2=25，解得x = 3或x = 4，即B'M = 3或4 ，∴ 点B'到BC的距离为1或2]
9．D 10．A
二、11．16或34 12．10或90 13．直角三角形 14．13 15．180 16．6 cm2 17．6 18． 19．25 20．8 (提示：∵AC=CB= 6cm，DC= 8cm，DC⊥AB，∴DB = DA = 10 cm，∴拉长的长度为DA＋DB－AB = 10cm＋10cm－12cm = 8cm)
三、21．(1) ∵ CD⊥AB，∴ CD2＋BD2=BC2，∴ CD2=BC2－BD2=152－92=122，∴ CD=12 (2) ∵ CD⊥AB，∴ CD2＋AD2=AC2，∴ AD2=AC2－CD2=202－122=l62，∴ AD=16，∴ AB=AD＋DB=16＋9=25
22．(1) △ABC是直角三角形．理由如下：∵ AC2=12＋82=65，AB2=22＋32=13，BC2=42＋62=52，∴ AC2=AB2＋BC2．∴ △ABC是直角三角形，且∠ABC=90° (2) S=×AB×BC=××2=13
23．设湖水的深为x尺，则红莲总长为 (x＋0．5) 尺，根据勾股定理得x2＋22=(x＋0．5)2，解得x=3．75，即湖水深3．75尺
24．∵ 小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，∴ BC=CA．设AC为x，则OC=9－x，由勾股定理得OB2＋OC2=BC2．又∵ OA=9，OB=3，∴ 32＋(9－x)2=x2，解得x=5，∴ 机器人行走的路程BC是5 cm
25．由题意知AD=BD，设BD=x，则AD=x，CD=8－x，在Rt△ACD中，由AC2＋CD2－AD2，得62＋(8－x)2=x2，解得x=．即BD的长为
26．在AB 上截取AE=AD，连接EC．∵ AC平分∠BAD，∴ ∠DAC=∠BAC，∴ △ADC≌△AEC，∴ AE=AD=9，CE=CD=10=BC．作CF⊥AB，垂足为点F，∴ EF=FB=BE=(AB－AE)=6．在Rt△BFC (或Rt△EFC) 中，由勾股定理得CF=8，在Rt△AFC中，由勾股定理得AC=17，∴ AC的长为17
27．(1) 猜想：AP=CQ．证明：∵ ∠ABP＋∠PBC=60°，∠QBC＋∠PBC=60°，∴ ∠ABP=∠QBC．又∵ AB=BC，BP=BQ，∴ △ABP≌△CBQ，∴ AP=CQ (2) 由PA：PB：PC=3：4：5，可设PA=3a，PB=4a，PC=5a．连接PQ，在△PBQ中，PB=BQ=4a，且∠PBQ=60°，∴ △PBQ为正三角形，∴ PQ=4a．在△PQC中，∵ PQ2＋QC2=16a2＋9a2=25a2=PC2，∴ △PQC是直角三角形
28．(1) 锐角 钝角 (2) ＞ ＜ (3) ∵ c为最长的边，2＋4=6，∴ 4≤c＜6，
a2＋b2=22＋42=20．①a2＋b2＞c2，即c2＜20，∴ 当l6≤c2＜20时，这个三角形是锐角三角形；②a2＋b2=c2，即c2=20，∴ 当c2=20时，这个三角形是直角三角形；③a2+ b2＜c2，即c2 ＞20，∴ 当20＜c2＜36时，这个三角形是钝角三角形
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