专题22与圆的有关解答题（共50题）-2020年中考数学真题分项汇编（解析版）【全国通用】

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2020年中考数学真题分项汇编（全国通用）
专题22与圆的有关解答题（共50题）
一．解答题（共50小题）
1．（2020•铜仁市）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD＝8，BECE=12，求CD的长．

【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据余角的性质得到∠A＝∠ECB，求得∠A＝∠BCD，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO，等量代换得到∠ACO＝∠BCD，求得∠DCO＝90°，于是得到结论；
（2）设BC＝k，AC＝2k，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解析】（1）证明：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°，
∴∠A＝∠ECB，
∵∠BCE＝∠BCD，
∴∠A＝∠BCD，
∵OC＝OA，
∴∠A＝∠ACO，
∴∠ACO＝∠BCD，
∴∠ACO+∠BCO＝∠BCO+∠BCD＝90°，
∴∠DCO＝90°，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠A＝∠BCE，
∴tanA=BCAC=tan∠BCE=BECE=12，
设BC＝k，AC＝2k，
∵∠D＝∠D，∠A＝∠BCD，
∴△ACD∽△CBD，
∴BCAC=CDAD=12，
∵AD＝8，
∴CD＝4．

2．（2020•温州）如图，C，D为⊙O上两点，且在直径AB两侧，连结CD交AB于点E，G是AC上一点，∠ADC＝∠G．
（1）求证：∠1＝∠2．
（2）点C关于DG的对称点为F，连结CF．当点F落在直径AB上时，CF＝10，tan∠1=25，求⊙O的半径．

【分析】（1）根据圆周角定理和AB为⊙O的直径，即可证明∠1＝∠2；
（2）连接DF，根据垂径定理可得FD＝FC＝10，再根据对称性可得DC＝DF，进而可得DE的长，再根据锐角三角函数即可求出⊙O的半径．
【解析】（1）∵∠ADC＝∠G，
∴AC=AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴BC=BD，
∴∠1＝∠2；
（2）如图，连接DF，

∵AC=AD，AB是⊙O的直径，
∴AB⊥CD，CE＝DE，
∴FD＝FC＝10，
∵点C，F关于DG对称，
∴DC＝DF＝10，
∴DE＝5，
∵tan∠1=25，
∴EB＝DE•tan∠1＝2，
∵∠1＝∠2，
∴tan∠2=25，
∴AE=DEtan∠2=252，
∴AB＝AE+EB=292，
∴⊙O的半径为294．
3．（2020•衢州）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6，连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．
（1）求证：∠CAD＝∠CBA．
（2）求OE的长．

【分析】（1）利用垂径定理以及圆周角定理解决问题即可．
（2）证明△AEC∽△BCA，推出CEAC=ACAB，求出EC即可解决问题．
【解析】（1）证明：∵AE＝DE，OC是半径，
∴AC=CD，
∴∠CAD＝∠CBA．

（2）解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AE＝DE，
∴OC⊥AD，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠ACB，
∴△AEC∽△BCA，
∴CEAC=ACAB，
∴CE6=610，
∴CE＝3.6，
∵OC=12AB＝5，
∴OE＝OC﹣EC＝5﹣3.6＝1.4．

4．（2020•嘉兴）已知：如图，在△OAB中，OA＝OB，⊙O与AB相切于点C．求证：AC＝BC．小明同学的证明过程如下框：
证明：连结OC，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B，
又∵OC＝OC，
∴△OAC≌△OBC，
∴AC＝BC．
小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的证明过程．

【分析】连结OC，根据切线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解析】证法错误；
证明：连结OC，
∵⊙O与AB相切于点C，
∴OC⊥AB，
∵OA＝OB，
∴AC＝BC．
5．（2020•湖州）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连结BD，BC平分∠ABD．
（1）求证：∠CAD＝∠ABC；
（2）若AD＝6，求CD的长．

【分析】（1）由角平分线的性质和圆周角定理可得∠DBC＝∠ABC＝∠CAD；
（2）由圆周角定理可得CD=AC，由弧长公式可求解．
【解析】（1）∵BC平分∠ABD，
∴∠DBC＝∠ABC，
∵∠CAD＝∠DBC，
∴∠CAD＝∠ABC；
（2）∵∠CAD＝∠ABC，
∴CD=AC，
∵AD是⊙O的直径，AD＝6，
∴CD的长=12×12×π×6=32π．
6．（2020•遵义）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交BC于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．

【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理得出答案；
（2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB的值，进而得出AF和BA的值，然后证明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD2的值，求算术平方根即可得出BD的值．
【解析】（1）连接OD，如图：

∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAE＝∠OAD，
∴∠ADO＝∠DAE，
∴OD∥AE，
∵DE∥BC，
∴∠E＝90°，
∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OF＝1，BF＝2，
∴OB＝3，
∴AF＝4，BA＝6．
∵DF⊥AB，
∴∠DFB＝90°，
∴∠ADB＝∠DFB，
又∵∠DBF＝∠ABD，
∴△DBF∽△ABD，
∴BDBA=BFBD，
∴BD2＝BF•BA＝2×6＝12．
∴BD＝23．
7．（2019•陕西）如图，⊙O的半径OA＝6，过点A作⊙O的切线AP，且AP＝8，连接PO并延长，与⊙O交于点B、D，过点B作BC∥OA，并与⊙O交于点C，连接AC、CD．
（1）求证：DC∥AP；
（2）求AC的长．

【分析】（1）根据切线的性质得到∠OAP＝90°，根据圆周角定理得到∠BCD＝90°，根据平行线的性质和判定定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解析】（1）证明：∵AP是⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∵OA∥CB，
∴∠AOP＝∠DBC，
∴∠BDC＝∠APO，
∴DC∥AP；
（2）解：∵AO∥BC，OD＝OB，
∴延长AO交DC于点E，
则AE⊥DC，OE=12BC，CE=12CD，
在Rt△AOP中，OP=62+82=10，
由（1）知，△AOP∽△CBD，
∴DBOP=BCOA=DCAP，
即1210=BC6=DC8，
∴BC=365，DC=485，
∴OE=185，CE=245，
在Rt△AEC中，AC=AE2+CE2=(6+185)2+(245)2=2455．

8．（2020•聊城）如图，在△ABC中，AB＝BC，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．
（1）试证明DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AC＝610，求此时DE的长．

【分析】（1）连接OD、BD，求出BD⊥AC，瑞成AD＝DC，根据三角形的中位线得出OD∥BC，推出OD⊥DE，根据切线的判定推出即可；
（2）根据题意求得AD，根据勾股定理求得BD，然后证得△CDE∽△ABD，根据相似三角形的性质即可求得DE．
【解析】（1）证明：连接OD、BD，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD⊥AC，
∵AB＝BC，
∴D为AC中点，
∵OA＝OB，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∵OD为半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）由（1）知BD是AC的中线，
∴AD＝CD=12AC=310，
∵O的半径为5，
∴AB＝6，
∴BD=AB2-AD2=102-(310)2=10，
∵AB＝AC，
∴∠A＝∠C，
∵∠ADB＝∠CED＝90°，
∴△CDE∽△ABD，
∴CDAB=DEBD，即31010=DE10，
∴DE＝3．

9．（2020•上海）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D．
（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；
（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；
（3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长．

【分析】（1）连接OA．利用垂径定理以及等腰三角形的性质解决问题即可．
（2）分三种情形：①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD．②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD．③若DB＝DC，则D与A重合，这种情形不存在．分别利用三角形内角和定理构建方程求解即可．
（3）如图3中，作AE∥BC交BD的延长线于E．则AEBC=ADDC=23，推出AOOH=AEBH=43，设OB＝OA＝4a，OH＝3a，根据BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2，构建方程求出a即可解决问题．
【解析】（1）证明：连接OA．
A
∵AB＝AC，
∴AB=AC，
∴OA⊥BC，
∴∠BAO＝∠CAO，
∵OA＝OB，
∴∠ABD＝∠BAO，
∴∠BAC＝2∠BAD．

（2）解：如图2中，延长AO交BC于H．

①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠DBC＝2∠ABD，
∵∠DBC+∠C+∠BDC＝180°，
∴8∠ABD＝180°，
∴∠C＝3∠ABD＝67.5°．
②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD，
∴∠C＝4∠ABD，
∵∠DBC+∠C+∠CDB＝180°，
∴10∠ABD＝180°，
∴∠BCD＝4∠ABD＝72°．
③若DB＝DC，则D与A重合，这种情形不存在．
综上所述，∠C的值为67.5°或72°．

（3）如图3中，作AE∥BC交BD的延长线于E．

则AEBC=ADDC=23，
∴AOOH=AEBH=43，设OB＝OA＝4a，OH＝3a，
∵BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2，
∴25﹣49a2＝16a2﹣9a2，
∴a2=2556，
∴BH=524，
∴BC＝2BH=522．
10．（2020•金华）如图，AB的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°．
（1）求弦AB的长．
（2）求AB的长．

【分析】（1）根据题意和垂径定理，可以求得AC的长，然后即可得到AB的长；
（2）根据∠AOC＝60°，可以得到∠AOB的度数，然后根据弧长公式计算即可．
【解析】（1）∵AB的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°，
∴AC＝OA•sin60°＝2×32=3，
∴AB＝2AC＝23；
（2）∵OC⊥AB，∠AOC＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵OA＝2，
∴AB的长是：120π×2180=4π3．
11．（2020•齐齐哈尔）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，AC=CD=DB，连接AD，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若直径AB＝6，求AD的长．

【分析】（1）连接OD，根据已知条件得到∠BOD=13×180°＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAB＝30°，得到∠EDA＝60°，求得OD⊥DE，于是得到结论；
（2）连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，解直角三角形即可得到结论．
【解析】（1）证明：连接OD，
∵AC=CD=DB，
∴∠BOD=13×180°＝60°，
∵CD=DB，
∴∠EAD＝∠DAB=12∠BOD＝30°，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAB＝30°，
∵DE⊥AC，
∴∠E＝90°，
∴∠EAD+∠EDA＝90°，
∴∠EDA＝60°，
∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠DAB＝30°，AB＝6，
∴BD=12AB＝3，
∴AD=62-32=33．

12．（2020•泸州）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AD的延长线与过点B的切线交于点C，E为线段AD上的点，过点E的弦FG⊥AB于点H．
（1）求证：∠C＝∠AGD；
（2）已知BC＝6．CD＝4，且CE＝2AE，求EF的长．

【分析】（1）连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据切线的性质得到∠ABC＝90°，得到∠C＝∠ABD，根据圆周角定理即可得到结论；
（2）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得到结论．
【解析】（1）证明：连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠DBA＝90°，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠ABC＝90°，
∴∠C+∠CAB＝90°，
∴∠C＝∠ABD，
∵∠AGD＝∠ABD，
∴∠AGD＝∠C；
（2）解：∵∠BDC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴BCAC=CDBC，
∴6AC=46，
∴AC＝9，
∴AB=AC2-BC2=35，
∵CE＝2AE，
∴AE＝3，CE＝6，
∵FH⊥AB，
∴FH∥BC，
∴△AHE∽△ABC，
∴AHAB=EHBC=AEAC，
∴AH35=EH6=39，
∴AH=5，EH＝2，
连接AF，BF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴∠AEH+∠BFH＝∠AFH+∠FAH＝90°，
∴∠FAH＝∠BFH，
∴△AFH∽△FBH，
∴FHAH=BHFH，
∴FH5=25FH，
∴FH=10，
∴EF=10-2．


13．（2020•河南）我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具﹣﹣三分角器．图1是它的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上，且AB的长度与半圆的半径相等；DB与AC垂直于点B，DB足够长．

使用方法如图2所示，若要把∠MEN三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过∠MEN的顶点E，点A落在边EM上，半圆O与另一边EN恰好相切，切点为F，则EB，EO就把∠MEN三等分了．
为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．
已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点B，　AB＝OB，EN切半圆O于F　．
求证：　EB，EO就把∠MEN三等分　．
【分析】根据垂直的定义得到∠ABE＝∠OBE＝90°，根据全等三角形的性质得到∠1＝∠2，根据切线的性质得到∠2＝∠3，于是得到结论．
【解析】已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点B，AB＝OB，EN切半圆O于F．
求证：EB，EO就把∠MEN三等分，
证明：∵EB⊥AC，
∴∠ABE＝∠OBE＝90°，
∵AB＝OB，BE＝BE，
∴△ABE≌△OBE（SAS），
∴∠1＝∠2，
∵BE⊥OB，
∴BE是⊙E的切线，
∵EN切半圆O于F，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2＝∠3，
∴EB，EO就把∠MEN三等分．
故答案为：AB＝OB，EN切半圆O于F；EB，EO就把∠MEN三等分．
14．（2020•安徽）如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．
（1）求证：△CBA≌△DAB；
（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．

【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ACB＝∠ADB＝90°，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠E＝∠BFE，根据切线的性质得到∠ABE＝90°，根据三角形的内角和以及角平分线的定义即可得到结论．
【解析】（1）证明：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
在Rt△CBA与Rt△DAB中，BC=ADBA=AB，
∴Rt△CBA≌Rt△DAB（HL）；
（2）解：∵BE＝BF，由（1）知BC⊥EF，
∴∠E＝∠BFE，
∵BE是半圆O所在圆的切线，
∴∠ABE＝90°，
∴∠E+∠BAE＝90°，
由（1）知∠D＝90°，
∴∠DAF+∠AFD＝90°，
∵∠AFD＝∠BFE，
∴∠AFD＝∠E，
∴∠DAF＝90°﹣∠AFD，∠BAF＝90°﹣∠E，
∴∠DAF＝∠BAF，
∴AC平分∠DAB．
15．（2020•河南）小亮在学习中遇到这样一个问题：
如图，点D是BC上一动点，线段BC＝8cm，点A是线段BC的中点，过点C作CF∥BD，交DA的延长线于点F．当△DCF为等腰三角形时，求线段BD的长度．

小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题．请将下面的探究过程补充完整：
（1）根据点D在BC上的不同位置，画出相应的图形，测量线段BD，CD，FD的长度，得到下表的几组对应值．
BD/cm
0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
CD/cm
8.0
7.7
7.2
6.6
5.9
a
3.9
2.4
0
FD/cm
8.0
7.4
6.9
6.5
6.1
6.0
6.2
6.7
8.0
操作中发现：
①“当点D为BC的中点时，BD＝5.0cm”．则上表中a的值是　5　；
②“线段CF的长度无需测量即可得到”．请简要说明理由．
（2）将线段BD的长度作为自变量x，CD和FD的长度都是x的函数，分别记为yCD和yFD，并在平面直角坐标系xOy中画出了函数yFD的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数yCD的图象；
（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当△DCF为等腰三角形时，线段BD长度的近似值（结果保留一位小数）．


【分析】（1）①由BD=CD可求BD＝CD＝a＝5cm；
②由“AAS”可证△BAD≌△CAF，可得BD＝CF，即可求解；
（2）由题意可画出函数图象；
（3）结合图象可求解．
【解析】（1）∵点D为BC的中点，
∴BD=CD，
∴BD＝CD＝a＝5cm，
故答案为：5；
（2）∵点A是线段BC的中点，
∴AB＝AC，
∵CF∥BD，
∴∠F＝∠BDA，
又∵∠BAD＝∠CAF，
∴△BAD≌△CAF（AAS），
∴BD＝CF，
∴线段CF的长度无需测量即可得到；
（3）由题意可得：

（4）由题意画出函数yCF的图象；

由图象可得：BD＝3.8cm或5cm或6.2cm时，△DCF为等腰三角形．
16．（2020•德州）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D是半圆AB的中点，连接AC，BC，AD，BD．过点D作DH∥AB交CB的延长线于点H．
（1）求证：直线DH是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，BC＝6，求AD，BH的长．

【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理得到∠AOD=12∠AOB＝90°，根据平行线的性质得到∠ODH＝90°，于是得到结论；
（2）连接CD，根据圆周角定理得到∠ADB＝∠ACB＝90°，推出△ABD是等腰直角三角形，得到AB＝10，解直角三角形得到AC=102-62=8，求得∠CAD＝∠DBH，根据平行线的性质得到∠BDH＝∠OBD＝45°，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解析】（1）证明：连接OD，
∵AB为⊙O的直径，点D是半圆AB的中点，
∴∠AOD=12∠AOB＝90°，
∵DH∥AB，
∴∠ODH＝90°，
∴OD⊥DH，
∴直线DH是⊙O的切线；
（2）解：连接CD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
∵点D是半圆AB的中点，
∴AD=DB，
∴AD＝DB，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∵AB＝10，
∴AD＝10sin∠ABD＝10sin45°＝10×22=52，
∵AB＝10，BC＝6，
∴AC=102-62=8，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠CAD+∠CBD＝180°，
∵∠DBH+∠CBD＝180°，
∴∠CAD＝∠DBH，
由（1）知∠AOD＝90°，∠OBD＝45°，
∴∠ACD＝45°，
∵DH∥AB，
∴∠BDH＝∠OBD＝45°，
∴∠ACD＝∠BDH，
∴△ACD∽△BDH，
∴ACBD=ADBH，
∴852=52BH，
解得：BH=254．

17．（2020•长沙）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，AC平分∠DAB．
（1）求证：DC为⊙O的切线．
（2）若AD＝3，DC=3，求⊙O的半径．

【分析】（1）如图，连接OC，根据已知条件可以证明∠OCA＝∠DAC，得AD∥OC，由AD⊥DC，得OC⊥DC，进而可得DC为⊙O的切线；
（2）过点O作OE⊥AC于点E，根据Rt△ADC中，AD＝3，DC=3，可得DAC＝30°，再根据垂径定理可得AE的长，进而可得⊙O的半径．
【解析】（1）如图，连接OC，

∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠OCA＝∠DAC，
∴AD∥OC，
∵AD⊥DC，
∴OC⊥DC，
又OC是⊙O的半径，
∴DC为⊙O的切线；
（2）过点O作OE⊥AC于点E，
在Rt△ADC中，AD＝3，DC=3，
∴tan∠DAC=DCAD=33，
∴∠DAC＝30°，
∴AC＝2DC＝23，
∵OE⊥AC，
根据垂径定理，得
AE＝EC=12AC=3，
∵∠EAO＝∠DAC＝30°，
∴OA=AEcos30°=2，
∴⊙O的半径为2．
18．（2020•襄阳）如图，AB是⊙O的直径，E，C是⊙O上两点，且EC=BC，连接AE，AC．过点C作CD⊥AE交AE的延长线于点D．
（1）判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝4，CD=3，求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）连接OC，根据EC=BC，求得∠CAD＝∠BAC，根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝∠ACO，推出AD∥OC，根据平行线的性质得到OC⊥CD，于是得到CD是⊙O的切线；
（2）连接OE，连接BE交OC于F，根据垂径定理得到OC⊥BE，BF＝EF，由圆周角定理得到∠AEB＝90°，根据矩形的性质得到EF＝CD=3，根据勾股定理得到AE=AB2-BE2=42-(23)2=2，求得∠AOE＝60°，连接CE，推出CE∥AB，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【解析】（1）证明：连接OC，
∵EC=BC，
∴∠CAD＝∠BAC，
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠ACO，
∴∠CAD＝∠ACO，
∴AD∥OC，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接OE，连接BE交OC于F，
∵EC=BC，
∴OC⊥BE，BF＝EF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠FED＝∠D＝∠EFC＝90°，
∴四边形DEFC是矩形，
∴EF＝CD=3，
∴BE＝23，
∴AE=AB2-BE2=42-(23)2=2，
∴AE=12AB，
∴∠ABE＝30°，
∴∠AOE＝60°，
∴∠BOE＝120°，
∵EC=BC，
∴∠COE＝∠BOC＝60°，
连接CE，
∵OE＝OC，
∴△COE是等边三角形，
∴∠ECO＝∠BOC＝60°，
∴CE∥AB，
∴S△ACE＝S△COE，
∵∠OCD＝90°，∠OCE＝60°，
∴∠DCE＝30°，
∴DE=33CD＝1，
∴AD＝3，
∴图中阴影部分的面积＝S△ACD﹣S扇形COE=12×3×3-60⋅π×22360=332-2π3．

19．（2020•衡阳）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F．
（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AD＝8，AE＝10，求BD的长．

【分析】（1）连接OD，根据平行线判定推出OD∥AC，推出OD⊥BC，根据切线的判定推出即可；
（2）连接DE，根据圆周角定理得到∠ADE＝90°，根据相似三角形的性质得到AC=325，根据勾股定理得到CD=AD2-AC2=82+(325)2=8415，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解析】（1）BC与⊙O相切，
理由：连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∵∠C＝90°，
∴∠ODC＝90°，
∴OD⊥BC，
∵OD为半径，
∴BC是⊙O切线；
（2）连接DE，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠ADE＝∠C，
∵∠EAD＝∠DAC，
∴△ADE∽△ACD，
∴AEAD=ADAC，
108=8AC，
∴AC=325，
∴CD=AD2-AC2=82-(325)2=245，
∵OD⊥BC，AC⊥BC，
∴△OBD∽△ABC，
∴ODAC=BDBC，
∴5325=BDBD+245，
∴BD=1207．

20．（2020•淮安）如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一点，OC⊥OA，CO交AB于点P，交⊙O于点D，且CP＝CB．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠A＝30°，OP＝1，求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）根据等边对等角得∠CPB＝∠CBP，根据垂直的定义得∠OBC＝90°，即OB⊥CB，则CB与⊙O相切；
（2）根据三角形的内角和定理得到∠APO＝60°，推出△PBD是等边三角形，得到∠PCB＝∠CBP＝60°，求得BC＝1，根据勾股定理得到OB=OC2-BC2=3，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【解析】（1）CB与⊙O相切，
理由：连接OB，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵CP＝CB，
∴∠CPB＝∠CBP，
在Rt△AOP中，∵∠A+∠APO＝90°，
∴∠OBA+∠CBP＝90°，
即：∠OBC＝90°，
∴OB⊥CB，
又∵OB是半径，
∴CB与⊙O相切；
（2）∵∠A＝30°，∠AOP＝90°，
∴∠APO＝60°，
∴∠BPD＝∠APO＝60°，
∵PC＝CB，
∴△PBD是等边三角形，
∴∠PCB＝∠CBP＝60°，
∴∠OBP＝∠POB＝30°，
∴OP＝PB＝PC＝1，
∴BC＝1，
∴OB=OC2-BC2=3，
∴图中阴影部分的面积＝S△OBC﹣S扇形OBD=12×1×3-30⋅π×(3)2360=32-π4．

21．（2020•南京）如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F．
求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；
（2）AF＝EF．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠BAC＝∠B，根据平行线的性质得出∠ADF＝∠B，求出∠ADF＝∠CFD，根据平行线的判定得出BD∥CF，根据平行四边形的判定得出即可；
（2）求出∠AEF＝∠B，根据圆内接四边形的性质得出∠ECF+∠EAF＝180°，根据平行线的性质得出∠ECF+∠B＝180°，求出∠AEF＝∠EAF，根据等腰三角形的判定得出即可．
【解析】证明：（1）∵AC＝BC，
∴∠BAC＝∠B，
∵DF∥BC，
∴∠ADF＝∠B，
∵∠BAC＝∠CFD，
∴∠ADF＝∠CFD，
∴BD∥CF，
∵DF∥BC，
∴四边形DBCF是平行四边形；


（2）连接AE，
∵∠ADF＝∠B，∠ADF＝∠AEF，
∴∠AEF＝∠B，
∵四边形AECF是⊙O的内接四边形，
∴∠ECF+∠EAF＝180°，
∵BD∥CF，
∴∠ECF+∠B＝180°，
∴∠EAF＝∠B，
∴∠AEF＝∠EAF，
∴AE＝EF．
22．（2020•辽阳）如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．
（1）求证：DE与⊙A相切；
（2）若∠ABC＝60°，AB＝4，求阴影部分的面积．

【分析】（1）证明：连接AE，根据平行四边形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，求得∠DAE＝∠AEB，根据全等三角形的性质得到∠DEA＝∠CAB，得到DE⊥AE，于是得到结论；
（2）根据已知条件得到△ABE是等边三角形，求得AE＝BE，∠EAB＝60°，得到∠CAE＝∠ACB，得到CE＝BE，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【解析】（1）证明：连接AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABC，
∴∠DAE＝∠ABC，
∴△AED≌△BAC（AAS），
∴∠DEA＝∠CAB，
∵∠CAB＝90°，
∴∠DEA＝90°，
∴DE⊥AE，
∵AE是⊙A的半径，
∴DE与⊙A相切；
（2）解：∵∠ABC＝60°，AB＝AE＝4，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝BE，∠EAB＝60°，
∵∠CAB＝90°，
∴∠CAE＝90°﹣∠EAB＝90°﹣60°＝30°，∠ACB＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，
∴∠CAE＝∠ACB，
∴AE＝CE，
∴CE＝BE，
∴S△ABC=12AB•AC=12×4×43=83，
∴S△ACE=12S△ABC=12×83=43，
∵∠CAE＝30°，AE＝4，
∴S扇形AEF=30π×AE2360=30π×42360=4π3，
∴S阴影＝S△ACE﹣S扇形AEF＝43-4π3．

23．（2020•菏泽）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．

【分析】（1）连接AD、OD．先证明∠ADB＝90°，∠EDO＝90°，从而可证明∠EDA＝∠ODB，由OD＝OB可得到∠EDA＝∠OBD，由等腰三角形的性质可知∠CAD＝∠BAD，故此∠EAD+∠EDA＝90°，由三角形的内角和定理可知∠DEA＝90°，于是可得到DE⊥AC．
（2）由等腰三角形的性质求出BD＝CD＝8，由勾股定理求出AD的长，根据三角形的面积得出答案．
【解析】（1）证明：连接AD、OD．

∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∴∠ADO+∠ODB＝90°．
∵DE是圆O的切线，
∴OD⊥DE．
∴∠EDA+∠ADO＝90°．
∴∠EDA＝∠ODB．
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD．
∴∠EDA＝∠OBD．
∵AC＝AB，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAD．
∵∠DBA+∠DAB＝90°，
∴∠EAD+∠EDA＝90°．
∴∠DEA＝90°．
∴DE⊥AC．
（2）解：∵∠ADB＝90°，AB＝AC，
∴BD＝CD，
∵⊙O的半径为5，BC＝16，
∴AC＝10，CD＝8，
∴AD=AC2-CD2=102-82=6，
∵S△ADC=12AD⋅DC=12AC•DE，
∴DE=AD⋅DCAC=6×810=245．
24．（2020•天津）在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，∠ABC＝63°．
（Ⅰ）如图①，若∠APC＝100°，求∠BAD和∠CDB的大小；
（Ⅱ）如图②，若CD⊥AB，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点E，求∠E的大小．
【分析】（1）由三角形的外角性质得出∠C＝37°，由圆周角定理得∠BAD＝∠C＝37°，∠ADC＝∠B＝63°，∠ADB＝90°，即可得出答案；
（2）连接OD，求出∠PCB＝27°，由切线的性质得出∠ODE＝90°，由圆周角定理得出∠BOD＝2∠PCB＝54°，即可得出答案．
【解析】（1）∵∠APC是△PBC的一个外角，
∴∠C＝∠APC﹣∠ABC＝100°﹣63°＝37°，
由圆周角定理得：∠BAD＝∠C＝37°，∠ADC＝∠B＝63°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠CDB＝∠ADB﹣∠ADC＝90°﹣63°＝27°；
（2）连接OD，如图②所示：
∵CD⊥AB，
∴∠CPB＝90°，
∴∠PCB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣63°＝27°，
∵DE是⊙O的切线，
∴DE⊥OD，
∴∠ODE＝90°，
∵∠BOD＝2∠PCB＝54°，
∴∠E＝90°﹣∠BOD＝90°﹣54°＝36°．


25．（2020•凉山州）如图，⊙O的半径为R，其内接锐角三角形ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c．
（1）求证：asin∠A=bsin∠B=csin∠C=2R；
（2）若∠A＝60°，∠C＝45°，BC＝43，利用（1）的结论求AB的长和sin∠B的值．

【分析】（1）证明：作直径BE，连接CE，如图所示：则∠BCE＝90°，∠E＝∠A，根据三角函数的定义得到sinA＝sinE=BCBE=a2R，求得asinA=2R，同理：bsin∠B=2R，csin∠C=2R，于是得到结论；
（2）由（1）得：ABsinC=BCsinA，得到AB=43×2232=42，2R=4332=8，过B作BH⊥AC于H，解直角三角形得到AC＝AH+CH＝2（2+6），根据三角函数的定义即可得到结论．
【解析】（1）证明：作直径BE，连接CE，如图所示：
则∠BCE＝90°，∠E＝∠A，
∴sinA＝sinE=BCBE=a2R，
∴asinA=2R，
同理：bsin∠B=2R，csin∠C=2R，
∴asin∠A=bsin∠B=csin∠C=2R；
（2）解：由（1）得：ABsinC=BCsinA，
即ABsin45°=43sin60°=2R，
∴AB=43×2232=42，2R=4332=8，
过B作BH⊥AC于H，
∵∠AHB＝∠BHC＝90°，
∴AH＝AB•cos60°＝42×12=22，CH=22BC＝26，
∴AC＝AH+CH＝2（2+6），
∴sin∠B=AC2R=2(2+6)8=2+64．

26．（2020•深圳）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E．
（1）求证：AE＝AB；
（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．

【分析】（1）证明：连接AC、OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥CD，则可判断OC∥AD，所以∠OCB＝∠E，然后证明∠B＝∠E，从而得到结论；
（2）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用勾股定理可计算出AC＝8，再根据等腰三角形的性质得到CE＝BC＝6，然后利用面积法求出CD的长．
【解析】（1）证明：连接AC、OC，如图，
∵CD为切线，
∴OC⊥CD，
∴CD⊥AD，
∴OC∥AD，
∴∠OCB＝∠E，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠B，
∴∠B＝∠E，
∴AE＝AB；
（2）解：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC=102-62=8，
∵AB＝AE＝10，AC⊥BE，
∴CE＝BC＝6，
∵12CD•AE=12AC•CE，
∴CD=6×810=245．

27．（2020•陕西）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD．过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．
（1）求证：AD∥EC；
（2）若AB＝12，求线段EC的长．

【分析】（1）连接OC，由切线的性质可得∠OCE＝90°，由圆周角定理可得∠AOC＝90°，可得结论；
（2）过点A作AF⊥EC交EC于F，由锐角三角函数可求AD＝83，可证四边形OAFC是正方形，可得CF＝AF＝43，由锐角三角函数可求EF＝12，即可求解．
【解析】证明：（1）连接OC，

∵CE与⊙O相切于点C，
∴∠OCE＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠AOC＝90°，
∵∠AOC+∠OCE＝180°，
∴∴AD∥EC
（2）如图，过点A作AF⊥EC交EC于F，

∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝60°，
∴∠D＝∠ACB＝60°，
∴sin∠ADB=ABAD=32，
∴AD=12×23=83，
∴OA＝OC＝43，
∵AF⊥EC，∠OCE＝90°，∠AOC＝90°，
∴四边形OAFC是矩形，
又∵OA＝OC，
∴四边形OAFC是正方形，
∴CF＝AF＝43，
∵∠BAD＝90°﹣∠D＝30°，
∴∠EAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∵tan∠EAF=EFAF=3，
∴EF=3AF＝12，
∴CE＝CF+EF＝12+43．
28．（2020•天水）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E、F．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD＝23，AB＝6，求阴影部分的面积（结果保留π）．

【分析】（1）连接OD，求出OD∥AC，求出OD⊥BC，根据切线的判定得出即可；
（2）根据勾股定理求出OD＝2，求出OB＝4，得出∠B＝30°，再分别求出△ODB和扇形DOF的面积即可．
【解析】（1）证明：连接OD，如图：
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴AC∥OD，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
即BC⊥OD，
又∵OD为⊙O的半径，
∴直线BC是⊙O的切线；
（2）解：设OA＝OD＝r，则OB＝6﹣r，
在Rt△ODB中，由勾股定理得：OD2+BD2＝OB2，
∴r2+（23）2＝（6﹣r）2，
解得：r＝2，
∴OB＝4，
∴OD=OB2-BD2=42-(23)2=2，
∴OD=12OB，
∴∠B＝30°，
∴∠DOB＝180°﹣∠B﹣∠ODB＝60°，
∴阴影部分的面积S＝S△ODB﹣S扇形DOF=12×2 3×2-60π×22360=23-2π3．

29．（2020•内江）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）设OE交⊙O于点F，若DF＝2，BC＝43，求线段EF的长；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．

【分析】（1）连接OC，如图，根据垂径定理由OD⊥BC得到CD＝BD，则OE为BC的垂直平分线，所以EB＝EC，证明△OCE≌△OBE（SSS），得出∠OBE＝∠OCE＝90°，根据切线的判定定理得BE与⊙O相切；
（2）设⊙O的半径为x，则OD＝x﹣2，OB＝x，由勾股定理得出（x﹣2）2+（23）2＝x2，解得x＝4，求出OE的长，则可求出EF的长；
（3）由扇形的面积公式可得出答案．
【解析】（1）证明：连接OC，如图，

∵CE为切线，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE＝90°，
∵OD⊥BC，
∴CD＝BD，
即OD垂直平分BC，
∴EC＝EB，
在△OCE和△OBE中
OC=OBOE=OEEC=EB，
∴△OCE≌△OBE（SSS），
∴∠OBE＝∠OCE＝90°，
∴OB⊥BE，
∴BE与⊙O相切；
（2）解：设⊙O的半径为x，则OD＝OF﹣DF＝x﹣2，OB＝x，
在Rt△OBD中，BD=12BC＝23，
∵OD2+BD2＝OB2，
∴（x﹣2）2+（23）2＝x2，解得x＝4，
∴OD＝2，OB＝4，
∴∠OBD＝30°，
∴∠BOD＝60°，
∴OE＝2OB＝8，
∴EF＝OE﹣OF＝8﹣4＝4．
（3）∵∠BOE＝60°，∠OBE＝90°，
∴在Rt△OBE中，BE=3OB＝43，
∴S阴影＝S四边形OBEC﹣S扇形OBC
＝2×12×4×43-120⋅π×42360，
＝163-16π3．
30．（2020•武威）如图，⊙O是△ABC的外接圆，其切线AE与直径BD的延长线相交于点E，且AE＝AB．
（1）求∠ACB的度数；
（2）若DE＝2，求⊙O的半径．

【分析】（1）连接OA，先由切线的性质得∠OAE的度数，再等腰三角形的性质得∠OAB＝∠ABE＝∠E，再由三角形内角和定理求得∠OAB，进而得∠AOB，最后由圆周角定理得∠ACB的度数；
（2）设⊙O的半径为r，再根据含30°解的直角三角形的性质列出r的方程求解便可．
【解析】（1）连接OA，
∵AE是⊙O的切线，
∴∠OAE＝90°，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠OAB，
∴∠OAB＝∠ABE＝∠E，
∵∠OAB+∠ABE+∠E+∠OAE＝180°，
∴∠OAB＝∠ABE＝∠E＝30°，
∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠ABO＝120°，
∴∠ACB=12∠AOB＝60°；


（2）设⊙O的半径为r，则OA＝OD＝r，OE＝r+2，
∵∠OAE＝90°，∠E＝30°，
∴2OA＝OE，即2r＝r+2，
∴r＝2，
故⊙O的半径为2．
31．（2020•福建）如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O于点D，E是BCD上不与B，D重合的点，sinA=12．
（1）求∠BED的大小；
（2）若⊙O的半径为3，点F在AB的延长线上，且BF＝33，求证：DF与⊙O相切．

【分析】（1）连接OB，由切线求出∠ABO的度数，再由三角函数求出∠A，由三角形的外角性质求得∠BOD，最后由圆周解与圆心角的关系求得结果；
（2）连接OF，OB，证明△BOF≌△DOF，得∠ODF＝∠OBF＝90°，便可得结论．
【解析】（1）连接OB，如图1，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠ABO＝90°，
∵sinA=12，
∴∠A＝30°，
∴∠BOD＝∠ABO+∠A＝120°，
∴∠BED=12∠BOD＝60°；


（2）连接OF，OB，如图2，
∵AB是切线，
∴∠OBF＝90°，
∵BF＝33，OB＝3，
∴tan∠BOF=BFOB=3，
∴∠BOF＝60°，
∵∠BOD＝120°，
∴∠BOF＝∠DOF＝60°，
在△BOF和△DOF中，
OB=OD∠BOF=∠DOFOF=OF，
∴△BOF≌△DOF（SAS），
∴∠OBF＝∠ODF＝90°，
∴DF与⊙O相切．

32．（2020•扬州）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，点E在直径CD的延长线上，且AE＝AC．
（1）试判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC＝6，求阴影部分的面积．

【分析】（1）连接OA、AD，可求得∠ACE＝∠AEC＝30°，可证明△AOD为等边三角形，可求得∠EAO＝90°，可证明AE为⊙O的切线；
（2）作OF⊥AC于F，结合（1）可得到OA＝23，AE＝6，再根据圆的面积公式和扇形面积公式即可求解．
【解析】（1）证明：连接OA、AD，如图，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠DAC＝90°，
又∵∠ADC＝∠B＝60°，
∴∠ACD＝30°，
又∵AE＝AC，OA＝OD，
∴△ADO为等边三角形，
∴∠E＝30°，∠ADO＝∠DAO＝60°，
∴∠PAD＝30°，
∴∠EAD+∠DAO＝90°，
∴OA⊥E，
∴AE为⊙O的切线；
（2）解：作OF⊥AC于F，
由（1）可知△AEO为直角三角形，且∠E＝30°，
∴OA＝23，AE＝6，
∴阴影部分的面积为12×6×23-60π×(23)2360=63-2π．
故阴影部分的面积为63-2π．

33．（2020•临沂）已知⊙O1的半径为r1，⊙O2的半径为r2．以O1为圆心，以r1+r2的长为半径画弧，再以线段O1O2的中点P为圆心，以12O1O2的长为半径画弧，两弧交于点A，连接O1A，O2A，O1A交⊙O1于点B，过点B作O2A的平行线BC交O1O2于点C．
（1）求证：BC是⊙O2的切线；
（2）若r1＝2，r2＝1，O1O2＝6，求阴影部分的面积．

【分析】（1）由题意得出O1P＝AP＝O2P=12O1O2，则可得出∠O1AO2＝90°，由平行线的性质可得出∠O1BC＝90°，则可得出结论；
（2）由直角三角形的性质求出∠BO1P＝60°，由勾股定理求出BC长，则可根据S阴影=S△O1BC-S扇形BO1D求出答案．
【解析】（1）证明：连接AP，

∵以线段O1O2的中点P为圆心，以12O1O2的长为半径画弧，
∴O1P＝AP＝O2P=12O1O2，
∴∠O1AO2＝90°，
∵BC∥O2A，
∴∠O1BC＝∠O1AO2＝90°，
∴O1B⊥BC，
∴BC是⊙O2的切线；
（2）解：∵r1＝2，r2＝1，O1O2＝6，
∴O1A=12O1O2，
∴∠BO1P＝60°，
∴O1C＝2O1B＝4，
∴BC=O1C2-O1B2=42-22=23，
∴S阴影=S△O1BC-S扇形BO1D=12O1B⋅BC-60π×r22360=12×2×23-60×π×22360=23-23π．
34．（2020•山西）如图，四边形OABC是平行四边形，以点O为圆心，OC为半径的⊙O与AB相切于点B，与AO相交于点D，AO的延长线交⊙O于点E，连接EB交OC于点F．求∠C和∠E的度数．

【分析】连接OB，如图，根据切线的性质得OB⊥AB，再利用平行四边形的性质得AB∥OC，OA∥BC，则∠BOC＝90°，接着计算出∠C＝∠OBC＝45°，然后利用平行线的性质得到∠AOB＝∠OBC＝45°，从而根据圆周角定理得到∠E的度数．
【解析】连接OB，如图，
∵⊙O与AB相切于点B，
∴OB⊥AB，
∵四边形ABCO为平行四边形，
∴AB∥OC，OA∥BC，
∴OB⊥OC，
∴∠BOC＝90°，
∵OB＝OC，
∴△OCB为等腰直角三角形，
∴∠C＝∠OBC＝45°，
∵AO∥BC，
∴∠AOB＝∠OBC＝45°，
∴∠E=12∠AOB＝22.5°．

35．（2020•广元）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，OA平分∠BAC交BC于点O，以O为圆心，OC长为半径作圆交BC于点D．

（1）如图1，求证：AB为⊙O的切线；
（2）如图2，AB与⊙O相切于点E，连接CE交OA于点F．
①试判断线段OA与CE的关系，并说明理由．
②若OF：FC＝1：2，OC＝3，求tanB的值．
【分析】（1）过点O作OG⊥AB，垂足为G，利用角平分线的性质定理可得OG＝OC，即可证明；
（2）①利用切线长定理，证明OE＝OC，结合OE＝OC，再利用垂直平分线的判定定理可得结论；
②根据OF：FC＝1：2，OC＝3求出OF和CF，再证明△OCF∽△OAC，求出AC，再证明△BEO∽△BCA，得到BEBC=OEAC=BOAB，设BO＝x，BE＝y，可得关于x和y的二元一次方程组，求解可得BO和BE，从而可得结果．
【解析】（1）如图，过点O作OG⊥AB，垂足为G，
∵OA平分∠BAC交BC于点O，
∴OG＝OC，
∴点G在⊙O上，
即AB与⊙O相切；

（2）①OA垂直平分CE，理由是：
连接OE，
∵AB与⊙O相切于点E，AC与⊙O相切于点C，
∴AE＝AC，
∵OE＝OC，
∴OA垂直平分CE；
②∵OF：FC＝1：2，OC＝3，
则FC＝2OF，在△OCF中，OF2+（2OF）2＝32，
解得：OF=355，则CF=655，
由①得：OA⊥CE，
则∠OCF+∠COF＝90°，又∠OCF+∠ACF＝90°，
∴∠COF＝∠ACF，而∠CFO＝∠ACO＝90°，
∴△OCF∽△OAC，
∴OCOA=OFOC=CFAC，即3OA=3553=655AC，
解得：AC＝6，
∵AB与圆O切于点E，
∴∠BEO＝90°，AC＝AE＝6，而∠B＝∠B，
∴△BEO∽△BCA，
∴BEBC=OEAC=BOAB，设BO＝x，BE＝y，
则y3+x=36=xy+6，
可得：6y=9+3x6x=3y+18，
解得：x=5y=4，即BO＝5，BE＝4，
∴tanB=OEBE=34．

36．（2020•湘潭）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E．
（1）求证：△ABD≌△ACD；
（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．

【分析】（1）AB为⊙O的直径得AD⊥BC，结合AB＝AC，用HL证明全等三角形；
（2）由△ABD≌△ACD得BD＝BC，结合AO＝BO得OD为△ABC的中位线，由DE⊥AC得OD⊥DE，可得直线DE为⊙O切线．
【解析】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
在Rt△ADB和Rt△ADC中AD=ADAB=AC，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）；
（2）直线DE与⊙O相切，理由如下：
连接OD，如图所示：

由△ABD≌△ACD知：BD＝DC，
又∵OA＝OB，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD为⊙O的半径，
∴DE与⊙O相切．
37．（2020•武汉）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，AE与过点D的切线互相垂直，垂足为E．
（1）求证：AD平分∠BAE；
（2）若CD＝DE，求sin∠BAC的值．

【分析】（1）连接OD，如图，根据切线的性质得到OD⊥DE，则可判断OD∥AE，从而得到∠1＝∠ODA，然后利用∠2＝∠ODA得到∠1＝∠2；
（2）连接BD，如图，利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，再证明∠2＝∠3，利用三角函数的定义得到sin∠1=DEAD，sin∠3=DCBC，则AD＝BC，设CD＝x，BC＝AD＝y，证明△CDB∽△CBA，利用相似比得到x：y＝y：（x+y），然后求出x、y的关系可得到sin∠BAC的值．
【解析】（1）证明：连接OD，如图，
∵DE为切线，
∴OD⊥DE，
∵DE⊥AE，
∴OD∥AE，
∴∠1＝∠ODA，
∵OA＝OD，
∴∠2＝∠ODA，
∴∠1＝∠2，
∴AD平分∠BAE；
（2）解：连接BD，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠2+∠ABD＝90°，∠3+∠ABD＝90°，
∴∠2＝∠3，
∵sin∠1=DEAD，sin∠3=DCBC，
而DE＝DC，
∴AD＝BC，
设CD＝x，BC＝AD＝y，
∵∠DCB＝∠BCA，∠3＝∠2，
∴△CDB∽△CBA，
∴CD：CB＝CB：CA，即x：y＝y：（x+y），
整理得x2+xy+y2＝0，解得x=-1+52y或x=-1-52y（舍去），
∴sin∠3=DCBC=5-12，
即sin∠BAC的值为5-12．

38．（2020•随州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与BC交于点M，与AB的另一个交点为E，过M作MN⊥AB，垂足为N．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为5，sinB=35，求ED的长．

【分析】（1）连接OM，求出OM∥BD，求出OM⊥MN，根据切线的判定推出即可；
（2）连接DM和CE，求出DM⊥BC，OE⊥BD，解直角三角形求出BC和BE，再求出答案即可．
【解析】（1）证明：连接OM，如图1，
∵OC＝OD，
∴∠OCM＝∠OMC，
在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴CD=12AB＝BD，
∴∠DCB＝∠DBC，
∴∠OMC＝∠DBC，
∴OM∥BD，
∵MN⊥BD，
∴OM⊥MN，
∵OM过O，
∴MN是⊙O的切线；

（2）解：连接DM，CE，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CED＝90°，∠DMC＝90°，
即DM⊥BC，CE⊥AB，
由（1）知：BD＝CD＝5，
∴M为BC的中，
∵sinB=35，
∴cosB=45，
在Rt△BMD中，BM＝BD•cosB＝4，
∴BC＝2BM＝8，
在Rt△CEB中，BE＝BC•cosB=325，
∴ED＝BE﹣BD=325-5=75．
39．（2020•江西）已知∠MPN的两边分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的半径为r．
（1）如图1，点C在点A，B之间的优弧上，∠MPN＝80°，求∠ACB的度数；
（2）如图2，点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形APBC为菱形，∠APB的度数应为多少？请说明理由；
（3）若PC交⊙O于点D，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）．

【分析】（1）连接OA，OB，由切线的性质可求∠PAO＝∠PBO＝90°，由四边形内角和可求解；
（2）当∠APB＝60°时，四边形APBC是菱形，连接OA，OB，由切线长定理可得PA＝PB，∠APC＝∠BPC＝30°，由“SAS”可证△APC≌△BPC，可得∠ACP＝∠BCP＝30°，AC＝BC，可证AP＝AC＝PB＝BC，可得四边形APBC是菱形；
（3）分别求出AP，PD的长，由弧长公式可求AD，即可求解．
【解析】（1）如图1，连接OA，OB，

∵PA，PB为⊙O的切线，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵∠APB+∠PAO+∠PBO+∠AOB＝360°，
∴∠APB+∠AOB＝180°，
∵∠APB＝80°，
∴∠AOB＝100°，
∴∠ACB＝50°；
（2）如图2，当∠APB＝60°时，四边形APBC是菱形，
连接OA，OB，

由（1）可知，∠AOB+∠APB＝180°，
∵∠APB＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠ACB＝60°＝∠APB，
∵点C运动到PC距离最大，
∴PC经过圆心，
∵PA，PB为⊙O的切线，
∴PA＝PB，∠APC＝∠BPC＝30°，
又∵PC＝PC，
∴△APC≌△BPC（SAS），
∴∠ACP＝∠BCP＝30°，AC＝BC，
∴∠APC＝∠ACP＝30°，
∴AP＝AC，
∴AP＝AC＝PB＝BC，
∴四边形APBC是菱形；
（3）∵⊙O的半径为r，
∴OA＝r，OP＝2r，
∴AP=3r，PD＝r，
∵∠AOP＝90°﹣∠APO＝60°，
∴AD=60°π⋅r180°=π3r，
∴阴影部分的周长＝PA+PD+AD=3r+r+π3r＝（3+1+π3）r．
40．（2020•北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB＝1．
给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A'B'（A'，B′分别为点A，B的对应点），线段AA'长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．
（1）如图，平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是　P1P2∥P3P4　；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点　P3　的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”；
（2）若点A，B都在直线y=3x+23上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，求d1的最小值；
（3）若点A的坐标为（2，32），记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围．

【分析】（1）根据平移的性质，以及线段AB到⊙O的“平移距离”的定义判断即可．
（2）如图1中，作等边△OEF，点E在x轴上，OE＝EF＝OF＝1，设直线y=3x+23交x轴于M，交y轴于N．则M（﹣2，0），N（0，23），过点E作EH⊥MN于H，解直角三角形求出EH即可判断．
（3）如图2中，作直线OA交⊙O于M，N过点O作PQ⊥OA交，交⊙O于P，Q．以OA，AB为邻边构造平行四边形ABDO，以OD为边构造等边△ODB′，等边△OB′A′，则AB∥A′B′，AA′的长即为线段AB到⊙O的“平移距离”，Q求出AA′使得最小值和最大值即可解决问题．
【解析】（1）如图，平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是P1P2∥P3P4；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点P3的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”．
故答案为：P1P2∥P3P4，P3．
（2）如图1中，作等边△OEF，点E在x轴上，OE＝EF＝OF＝1，

设直线y=3x+23交x轴于M，交y轴于N．则M（﹣2，0），N（0，23），
过点E作EH⊥MN于H，
∵OM＝2，ON＝23，
∴tan∠NMO=3，
∴∠NMO＝60°，
∴EH＝EM•sin60°=32，
观察图象可知，线段AB到⊙O的“平移距离”为d1的最小值为32．
（3）如图2中，作直线OA交⊙O于M，N过点O作PQ⊥OA交，交⊙O于P，Q．

以OA，AB为邻边构造平行四边形ABDO，以OD为边构造等边△ODB′，等边△OB′A′，则AB∥A′B′，AA′的长即为线段AB到⊙O的“平移距离”，
当点A′与M重合时，AA′的值最小，最小值＝OA﹣OM=52-1=32，
当点A′与P或Q重合时，AA′的值最大最大值=12+(52)2=292，
∴32≤d2≤292．
41．（2020•哈尔滨）已知：⊙O是△ABC的外接圆，AD为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为E，连接BO，延长BO交AC于点F．
（1）如图1，求证：∠BFC＝3∠CAD；
（2）如图2，过点D作DG∥BF交⊙O于点G，点H为DG的中点，连接OH，求证：BE＝OH；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CG，若DG＝DE，△AOF的面积为925，求线段CG的长．
【分析】（1）由垂径定理可得BE＝EC，由线段垂直平分线的性质可得AB＝AC，由等腰三角形的性质可得∠BAD＝∠ABO＝∠CAD，由外角的性质可得结论；
（2）由“AAS”可证△BOE≌△ODH，可得BE＝OH；
（3）过点F作FN⊥AD，交AD于N，设DG＝DE＝2x，由全等三角形的性质可得OE＝DH＝x，OD＝3x＝OA＝OB，勾股定理可求BE＝22x，由锐角三角函数可求AN=2NF，ON=24NF，可得AO＝AN+ON=524NF，由三角形面积公式可求NF的长，可求x＝1，可得BE＝22=OH，AE＝4，DG＝DE＝2，勾股定理可求AC＝26，连接AG，过点A作AM⊥CG，交GC的延长线于M，通过证明△ACM∽△ADG，由相似三角形的性质可求AM，CM的长，由勾股定理可求GM的长，即可求解．
【解析】证明：（1）∵AD为⊙O的直径，AD⊥BC，
∴BE＝EC，
∴AB＝AC，
又∵AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵OA＝OB，
∴∠BAD＝∠ABO，
∴∠BAD＝∠ABO＝∠CAD，
∵∠BFC＝∠BAC+∠ABO，
∴∠BFC＝∠BAD+∠EAD+∠ABO＝3∠CAD；
（2）如图2，连接AG，

∵AD是直径，
∴∠AGD＝90°，
∵点H是DG中点，
∴DH＝HG，
又∵AO＝DO，
∴OH∥AG，AG＝2OH，
∴∠AGD＝∠OHD＝90°，
∵DG∥BF，
∴∠BOE＝∠ODH，
又∵∠OEB＝∠OHD＝90°，BO＝DO，
∴△BOE≌△ODH（AAS），
∴BE＝OH；
（3）如图3，过点F作FN⊥AD，交AD于N，

设DG＝DE＝2x，
∴DH＝HG＝x，
∵△BOE≌△ODH，
∴OE＝DH＝x，
∴OD＝3x＝OA＝OB，
∴BE=OB2-OE2=9x2-x2=22x，
∵∠BAE＝∠CAE，
∴tan∠BAE＝tan∠CAE=BEAE=NFAN，
∴22x4x=NFAN，
∴AN=2NF，
∵∠BOE＝∠NOF，
∴tan∠BOE＝tan∠NOF=BEOE=NFON，
∴22xx=NFON，
∴ON=24NF，
∴AO＝AN+ON=524NF，
∵△AOF的面积为925，
∴12×AO×NF=12×524NF2=925，
∴NF=625，
∴AO=524NF＝3＝3x，
∴x＝1，
∴BE＝22=OH，AE＝4，DG＝DE＝2，
∴AC=AE2+CE2=16+8=26，
如图3，连接AG，过点A作AM⊥CG，交GC的延长线于M，

由（2）可知：AG＝2OH＝42，
∵四边形ADGC是圆内接四边形，
∴∠ACM＝∠ADG，
又∵∠AMC＝∠AGD＝90°，
∴△ACM∽△ADG，
∴ADAC=AGAM=DGCM，
∴626=42AM=2CM，
∴CM=263，AM=833，
∴GM=AG2-AM2=32-643=463，
∴CG＝GM﹣CM=263．
42．（2020•咸宁）定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形．
理解：
（1）若四边形ABCD是对余四边形，则∠A与∠C的度数之和为　90°或270°　；
证明：
（2）如图1，MN是⊙O的直径，点A，B，C在⊙O上，AM，CN相交于点D．
求证：四边形ABCD是对余四边形；
探究：
（3）如图2，在对余四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，探究线段AD，CD和BD之间有有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由．

【分析】（1）对余四边形的定义即可得出结果；
（2）由圆周角定理得出∠BAM+∠BCN＝90°，即∠BAD+∠BCD＝90°，即可得出结论；
（3）对余四边形的定义得出∠ADC＝30°，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接FD，则△BCD≌△BAF，∠FBD＝60°，得出BF＝BD，AF＝CD，∠BDC＝∠BFA，则△BFD是等边三角形，得出BF＝BD＝DF，易证∠BFA+∠ADB＝30°，由∠FBD+∠BFA+∠ADB+∠AFD+∠ADF＝180°，得出∠AFD+∠ADF＝90°，则∠FAD＝90°，由勾股定理即可得出结果．
【解析】（1）解：∵四边形ABCD是对余四边形，
∴∠A+∠C＝90°或∠A+∠C＝360°﹣90°＝270°，
故答案为：90°或270°；
（2）证明：∵MN是⊙O的直径，点A，B，C在⊙O上，
∴∠BAM+∠BCN＝90°，
即∠BAD+∠BCD＝90°，
∴四边形ABCD是对余四边形；
（3）解：线段AD，CD和BD之间数量关系为：AD2+CD2＝BD2，理由如下：
∵对余四边形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝30°，
∵AB＝BC，
∴将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接FD，如图3所示：
∴△BCD≌△BAF，∠FBD＝60°
∴BF＝BD，AF＝CD，∠BDC＝∠BFA，
∴△BFD是等边三角形，
∴BF＝BD＝DF，
∵∠ADC＝30°，
∴∠ADB+∠BDC＝30°，
∴∠BFA+∠ADB＝30°，
∵∠FBD+∠BFA+∠ADB+∠AFD+∠ADF＝180°，
∴60°+30°+∠AFD+∠ADF＝180°，
∴∠AFD+∠ADF＝90°，
∴∠FAD＝90°，
∴AD2+AF2＝DF2，
∴AD2+CD2＝BD2．

43．（2020•陕西）问题提出
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D．过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC．垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是　CF、DE、DF　．
问题探究
（2）如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8．P是AB上一点，且PB=2PA，连接AP，BP．∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长．
问题解决
（3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB．P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D．连接AD，BD．过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，重足分别为E，F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）．
①求y与x之间的函数关系式；
②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理．试求当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积．

【分析】（1）证明四边形CEDF是正方形，即可得出结果；
（2）连接OP，由AB是半圆O的直径，PB=2PA，得出∠APB＝90°，∠AOP＝60°，则∠ABP＝30°，同（1）得四边形PECF是正方形，得PF＝CF，在Rt△APB中，PB＝AB•cos∠ABP＝43，在Rt△CFB中，BF=CFtan∠ABC=3CF，推出PB＝CF+BF，即可得出结果；
（3）①同（1）得四边形DEPF是正方形，得出PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到△A′PF，PA′＝PA，则A′、F、B三点共线，∠APE＝∠A′PF，证∠A′PB＝90°，得出S△PAE+S△PBF＝S△PA′B=12PA′•PB=12x（70﹣x），在Rt△ACB中，AC＝BC＝352，S△ACB=12AC2＝1225，由y＝S△PA′B+S△ACB，即可得出结果；
②当AP＝30时，A′P＝30，PB＝40，在Rt△A′PB中，由勾股定理得A′B=A'P2+PB2=50，由S△A′PB=12A′B•PF=12PB•A′P，求PF，即可得出结果．
【解析】（1）∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴四边形CEDF是矩形，
∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DE＝DF，
∴四边形CEDF是正方形，
∴CE＝CF＝DE＝DF，
故答案为：CF、DE、DF；
（2）连接OP，如图2所示：
∵AB是半圆O的直径，PB=2PA，
∴∠APB＝90°，∠AOP=13×180°＝60°，
∴∠ABP＝30°，
同（1）得：四边形PECF是正方形，
∴PF＝CF，
在Rt△APB中，PB＝AB•cos∠ABP＝8×cos30°＝8×32=43，
在Rt△CFB中，BF=CFtan∠ABC=CFtan30°=CF33=3CF，
∵PB＝PF+BF，
∴PB＝CF+BF，
即：43=CF+3CF，
解得：CF＝6﹣23；
（3）①∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∵CA＝CB，
∴∠ADC＝∠BDC，
同（1）得：四边形DEPF是正方形，
∴PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，
∴将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到△A′PF，PA′＝PA，如图3所示：
则A′、F、B三点共线，∠APE＝∠A′PF，
∴∠A′PF+∠BPF＝90°，即∠A′PB＝90°，
∴S△PAE+S△PBF＝S△PA′B=12PA′•PB=12x（70﹣x），
在Rt△ACB中，AC＝BC=22AB=22×70＝352，
∴S△ACB=12AC2=12×（352）2＝1225，
∴y＝S△PA′B+S△ACB=12x（70﹣x）+1225=-12x2+35x+1225；
②当AP＝30时，A′P＝30，PB＝AB﹣AP＝70﹣30＝40，
在Rt△A′PB中，由勾股定理得：A′B=A'P2+PB2=302+402=50，
∵S△A′PB=12A′B•PF=12PB•A′P，
∴12×50×PF=12×40×30，
解得：PF＝24，
∴S四边形PEDF＝PF2＝242＝576（m2），
∴当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积为576m2．


44．（2020•北京）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F．
（1）求证：∠ADC＝∠AOF；
（2）若sinC=13，BD＝8，求EF的长．

【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据平行线的性质得到∠AOF＝∠B，根据切线的性质得到∠CDO＝90°，等量代换即可得到结论；
（2）根据三角形中位线定理得到OE=12BD=12×8＝4，设OD＝x，OC＝3x，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解析】（1）连接OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BD，
∵OF⊥AD，
∴OF∥BD，
∴∠AOF＝∠B，
∵CD是⊙O的切线，D为切点，
∴∠CDO＝90°，
∴∠CDA+∠ADO＝∠ADO+∠BDO＝90°，
∴∠CDA＝∠BDO，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠B，
∴∠AOF＝∠ADC；
（2）∵OF∥BD，AO＝OB，
∴AE＝DE，
∴OE=12BD=12×8＝4，
∵sinC=ODOC=13，
∴设OD＝x，OC＝3x，
∴OB＝x，
∴CB＝4x，
∵OF∥BD，
∴△COF∽△CBD，
∴OCBC=OFBD，
∴3x4x=OF8，
∴OF＝6，
∴EF＝OF﹣OE＝6﹣4＝2．

45．（2020•凉山州）如图，AB是半圆AOB的直径，C是半圆上的一点，AD平分∠BAC交半圆于点D，过点D作DH⊥AC与AC的延长线交于点H．
（1）求证：DH是半圆的切线；
（2）若DH＝25，sin∠BAC=53，求半圆的直径．

【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠DAO＝∠ADO，根据角平分线的定义得到∠CAD＝∠OAD，等量代换得到∠CAD＝∠ADO，求得AH∥OD，根据平行线的性质得到OD⊥DH，于是得到结论；
（2）连接BC交OD于E，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，推出四边形CEDH是矩形，得到CE＝DH＝25，∠DEC＝90°，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解析】（1）证明：连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠OAD，
∴∠CAD＝∠ADO，
∴AH∥OD，
∵DH⊥AC，
∴OD⊥DH，
∴DH是半圆的切线；
（2）解：连接BC交OD于E，
∵AB是半圆AOB的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴四边形CEDH是矩形，
∴CE＝DH＝25，∠DEC＝90°，
∴OD⊥BC，
∴BC＝2CE＝45，
∵sin∠BAC=BCAB=53，
∴AB＝12，
即半圆的直径为12．

46．（2020•枣庄）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠BAC＝2∠CBF．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为4，CF＝6，求tan∠CBF．

【分析】（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF＝90°，于是得到结论；
（2）过C作CH⊥BF于H，根据勾股定理得到BF=AF2-AB2=102-42=221，根据相似三角形的性质得到CH=125，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解析】（1）证明：连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠1+∠2＝90°．
∵AB＝AC，
∴2∠1＝∠CAB．
∵∠BAC＝2∠CBF，
∴∠1＝∠CBF
∴∠CBF+∠2＝90°
即∠ABF＝90°
∵AB是⊙O的直径，
∴直线BF是⊙O的切线；
（2）解：过C作CH⊥BF于H，
∵AB＝AC，⊙O的直径为4，
∴AC＝4，
∵CF＝6，∠ABF＝90°，
∴BF=AF2-AB2=102-42=221，
∵∠CHF＝∠ABF，∠F＝∠F，
∴△CHF∽△ABF，
∴CHAB=CFAF，
∴CH4=64+6，
∴CH=125，
∴HF=CF2-CH2=62-(125)2=6215，
∴BH＝BF﹣HF＝221-6215=4215，
∴tan∠CBF=CHBH=1254215=217．

47．（2020•苏州）如图，已知∠MON＝90°，OT是∠MON的平分线，A是射线OM上一点，OA＝8cm．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AO水平向左作匀速运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以1cm/s的速度沿ON竖直向上作匀速运动．连接PQ，交OT于点B．经过O、P、Q三点作圆，交OT于点C，连接PC、QC．设运动时间为t（s），其中0＜t＜8．
（1）求OP+OQ的值；
（2）是否存在实数t，使得线段OB的长度最大？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
（3）求四边形OPCQ的面积．

【分析】（1）由题意得出OP＝8﹣t，OQ＝t，则可得出答案；
（2）如图，过点B作BD⊥OP，垂足为D，则BD∥OQ．设线段BD的长为x，则BD＝OD＝x，OB=2BD=2x，PD＝8﹣t﹣x，得出PDOP=BDOQ，则8-t-x8-t=xt，解出x=8t-t28．由二次函数的性质可得出答案；
（3）证明△PCQ是等腰直角三角形．则S△PCQ=12PC•QC=12×22PQ⋅22PQ=14PQ2．在Rt△POQ中，PQ2＝OP2+OQ2＝（8﹣t）2+t2．由四边形OPCQ的面积S＝S△POQ+S△PCQ可得出答案．
【解析】（1）由题意可得，OP＝8﹣t，OQ＝t，
∴OP+OQ＝8﹣t+t＝8（cm）．
（2）当t＝4时，线段OB的长度最大．
如图，过点B作BD⊥OP，垂足为D，则BD∥OQ．

∵OT平分∠MON，
∴∠BOD＝∠OBD＝45°，
∴BD＝OD，OB=2BD．
设线段BD的长为x，则BD＝OD＝x，OB=2BD=2x，PD＝8﹣t﹣x，
∵BD∥OQ，
∴PDOP=BDOQ，
∴8-t-x8-t=xt，
∴x=8t-t28．
∴OB=2⋅8t-t28=-28(t-4)2+22．
当t＝4时，线段OB的长度最大，最大为22cm．
（3）∵∠POQ＝90°，
∴PQ是圆的直径．
∴∠PCQ＝90°．
∵∠PQC＝∠POC＝45°，
∴△PCQ是等腰直角三角形．
∴S△PCQ=12PC•QC=12×22PQ⋅22PQ=14PQ2．
在Rt△POQ中，PQ2＝OP2+OQ2＝（8﹣t）2+t2．
∴四边形OPCQ的面积S＝S△POQ+S△PCQ=12OP⋅OQ+14PQ2，
=12t(8-t)+14[(8-t)2+t2]，
＝4t-12t2+12t2+16﹣4t＝16．
∴四边形OPCQ的面积为16cm2．
48．（2020•乐山）如图1，AB是半圆O的直径，AC是一条弦，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，连结BD交AC于点G，且AF＝FG．
（1）求证：点D平分AC；
（2）如图2所示，延长BA至点H，使AH＝AO，连结DH．若点E是线段AO的中点．求证：DH是⊙O的切线．

【分析】（1）如图1，连接AD、BC，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据直角三角形的性质得到DF＝AF，于是得到∠ABD＝∠DBC，得到AD=DC，于是得到结论；
（2）如图2所示，连接OD、AD，根据直角三角形的性质得到OE=12OA=12OD，推出△OAD是等边三角形，得到AD＝AO＝AH，根据切线的判定定理即可得到结论．
【解析】证明：（1）如图1，连接AD、BC，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE＝∠ABD，
又∵AF＝FG，即点F是Rt△AGD的斜边AG的中点，
∴DF＝AF，
∴∠DAF＝∠ADF＝∠ABD，
又∵∠DAC＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴AD=DC，
∴即点D平分AC；
（2）如图2所示，连接OD、AD，
∵点E是线段OA的中点，
∴OE=12OA=12OD，
∴∠AOD＝60°，
∴△OAD是等边三角形，
∴AD＝AO＝AH，
∴△ODH是直角三角形，且∠HDO＝90°，
∴DH是⊙O的切线．


49．（2020•成都）如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O与边AB相切于点D，AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，tanB=43，求⊙O的半径；
（3）若F是AB的中点，试探究BD+CE与AF的数量关系并说明理由．

【分析】（1）连接OD，由切线的性质可得∠ADO＝90°，由“SSS”可证△ACO≌△ADO，可得∠ADO＝∠ACO＝90°，可得结论；
（2）由锐角三角函数可设AC＝4x，BC＝3x，由勾股定理可求BC＝6，再由勾股定理可求解；
（3）连接OD，DE，由“SAS”可知△COE≌△DOE，可得∠OCE＝∠OED，由三角形内角和定理可得∠DEF＝180°﹣∠OEC﹣∠OED＝180°﹣2∠OCE，∠DFE＝180°﹣∠BCF﹣∠CBF＝180°﹣2∠OCE，可得∠DEF＝∠DFE，可证DE＝DF＝CE，可得结论．
【解析】（1）如图，连接OD，

∵⊙O与边AB相切于点D，
∴OD⊥AB，即∠ADO＝90°，
∵AO＝AO，AC＝AD，OC＝OD，
∴△ACO≌△ADO（SSS），
∴∠ADO＝∠ACO＝90°，
又∵OC是半径，
∴AC是⊙O的切线；
（2）∵tanB=43=ACBC，
∴设AC＝4x，BC＝3x，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴16x2+9x2＝100，
∴x＝2，
∴BC＝6，
∵AC＝AD＝8，AB＝10，
∴BD＝2，
∵OB2＝OD2+BD2，
∴（6﹣OC）2＝OC2+4，
∴OC=83，
故⊙O的半径为83；
（3）连接OD，DE，

由（1）可知：△ACO≌△ADO，
∴∠ACO＝∠ADO＝90°，∠AOC＝∠AOD，
又∵CO＝DO，OE＝OE，
∴△COE≌△DOE（SAS），
∴∠OCE＝∠OED，
∵OC＝OE＝OD，
∴∠OCE＝∠OEC＝∠OED＝∠ODE，
∴∠DEF＝180°﹣∠OEC﹣∠OED＝180°﹣2∠OCE，
∵点F是AB中点，∠ACB＝90°，
∴CF＝BF＝AF，
∴∠FCB＝∠FBC，
∴∠DFE＝180°﹣∠BCF﹣∠CBF＝180°﹣2∠OCE，
∴∠DEF＝∠DFE，
∴DE＝DF＝CE，
∴AF＝BF＝DF+BD＝CE+BD．
50．（2020•甘孜州）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．
（1）求证：∠CAD＝∠CAB；
（2）若ADAB=23，AC＝26，求CD的长．

【分析】（1）连接OC，根据切线的性质，判断出AD∥OC，再应用平行线的性质，即可推得AC平分∠DAB；
（2）如图2，连接BC，设AD＝2x，AB＝3x，根据圆周角定理得到∠ACB＝∠ADC＝90°，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解析】（1）证明：如图1，连接OC，
，
∵CD是切线，
∴OC⊥CD．
∵AD⊥CD，
∴AD∥OC，
∴∠1＝∠4．
∵OA＝OC，
∴∠2＝∠4，
∴∠1＝∠2，
∴AC平分∠DAB；
（2）解：如图2，

连接BC，
∵ADAB=23，
∴设AD＝2x，AB＝3x，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADC＝90°，
∵∠DAC＝∠CAB，
∴△ACD∽△ABC，
∴ADAC=ACAB，
∴2x26=263x，
∴x＝2（负值舍去），
∴AD＝4，
∴CD=AC2-AD2=22．