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2021年全国中考数学真题分类汇编--三角形：特殊三角形（答案版 ）
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这是一份2021年全国中考数学真题分类汇编--三角形：特殊三角形（答案版 ），共28页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021全国中考真题分类汇编（三角形）
----特殊三角形
一、选择题
1. （2021•江苏省扬州）如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰．
【详解】解：如图：分情况讨论：
①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个；
②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个．
故共有3个点，
故选：B．
2. （2021•山东省临沂市）如图，点A，B都在格点上，若BC＝，则AC的长为（ ）
A． B． C．2 D．3
【分析】根据勾股定理可以得到AB的长，然后由图可知AC＝AB﹣BC，然后代入数据计算即可．
【解答】解：由图可得，
AB＝＝＝＝2，
∵BC＝，
∴AC＝AB﹣BC＝2﹣＝，
故选：B．
3. （2021•山西）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理.这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”.实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的 许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（C ）
A.统计思想 B.分类思想 C.数形结合思想 D.函数思想
4. （2021•浙江省杭州）已知线段AB，按如下步骤作图：①作射线AC，使AC⊥AB；②作∠BAC的平分线AD，③以点A为圆心，AB长为半径作弧,交AD于E；④过点E作EP⊥AB于点P，则AP：AB＝（ ）
A．1： B．1：2 C．1： D．1：
【分析】直接利用基本作图方法得出AP＝PE,再结合等腰直角三角形的性质表示出AE,AP的长，即可得出答案．
【解答】解：∵AC⊥AB，
∴∠CAB＝90°,
∵AD平分∠BAC,
∴∠EAB＝×90°＝45°,
∵EP⊥AB,
∴∠APE＝90°,
∴∠EAP＝∠AEP＝45°,
∴AP＝PE,
∴设AP＝PE＝x,
故AE＝AB＝x,
∴AP：AB＝x:x＝1:．
故选：D．
5. （2021•四川省乐山市）如图，已知点是菱形的对角线延长线上一点，过点分别作、延长线的垂线，垂足分别为点、．若，，则的值为（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据菱形的基性质，得到∠PAE=30°，,利用勾股理求出AC=，则AP= +PC，PE=AP=+PC ，由∠PCF=∠DCA=30°，得到PF=PC ，最后算出结果．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形且∠ABC=120°，AB=2，
∴AB=BC=CD=DA=2，∠BAD=60°，AC⊥BD，
∴∠CAE=30︒，
∵AC⊥BD，∠CAE=30°，AD=2，
∴AC=，
∴AP=+PC，
在直角△AEP中，
∵∠PAE=30°，AP=+PC，
∴PE=AP=+PC，
在直角△PFC中，
∵∠PCF=30°，
∴PF=PC，
∴=+PC-PC=，
故选：B．
6. (2021•四川省自贡市)如图，，，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据题意得出OA=8，OC=2，再根据勾股定理计算即可
【详解】解：由题意可知：AC=AB
∵，
∴OA=8，OC=2
∴AC=AB=10
在Rt△OAB中，
∴B(0，6)
故选：D
7. （2021•浙江省绍兴市）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，点P从点B出发，沿折线BC﹣CD方向移动，移动到点D停止．在△ABP形状的变化过程中（ ）
A．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形
B．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形
C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
D．等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
【分析】把点P从点B出发，沿折线BC﹣CD方向移动的整个过程，逐次考虑确定三角形的形状即可。
【解答】解：∵∠B＝60°，故菱形由两个等边三角形组合而成，
当AP⊥BC时，此时△ABP为等腰三角形；
当点P到达点C处时，此时△ABP为等边三角形；
当点P在CD上且位于AB的中垂线时，则△ABP为等腰三角形；
当点P与点D重合时，此时△ABP为等腰三角形，
故选：C．
8. （2021•新疆）如图，在Rt中，，，，于点D，E是AB的中点，则DE的长为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3D. 4
【答案】A
9. （2021•浙江省宁波市）如图，在中，于点D，．若E，F分别为，中点，则的长为（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件可知△ABD为等腰直角三角形，则BD=AD，△ADC是30°、60°的直角三角形，可求出AC长，再根据中位线定理可知EF=。
【详解】解：因为AD垂直BC，
则△ABD和△ACD都是直角三角形，
又因为
所以AD=，
因为sin∠C=，
所以AC=2，
因为EF为△ABC的中位线，
所以EF==1，
故选：C．
10. （2021•甘肃省定西市）如图1，在△ABC中，AB＝BC，BD⊥AC于点D（AD＞BD）．动点M从A点出发，沿折线AB→BC方向运动，运动到点C停止．设点M的运动路程为x，△AMD的面积为y，y与x的函数图象如图2，则AC的长为（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
【分析】先根据AB＝BC结合图2得出AB＝，进而利用勾股定理得，AD²+BD²＝13，再由运动结合△ADM的面积的变化，得出点M和点B重合时，△ADM的面积最大，其值为3，即AD•BD＝3，进而建立二元二次方程组求解，即可得出结论．
【解答】解：由图2知，AB+BC＝2，
∵AB＝BC，
∴AB＝，
∵AB＝BC，BD⊥BC，
∴AC＝2AD，∠ADB＝90°，
在Rt△ABD中，AD²+BD²＝AB²＝13①，
设点M到AC的距离为h，
∴S△ADM＝AD•h，
∵动点M从A点出发，沿折线AB→BC方向运动，
∴当点M运动到点B时，△ADM的面积最大，即h＝BD，
由图2知，△ADM的面积最大为3，
∴AD•BC＝3，
∴AD•BD＝6②，
①+2×②得，AD²+BD²+2AD•BD＝13+2×6＝25，
∴(AD+BD)²＝25，
∴AD+BD＝5（负值舍去），
∴BD＝5﹣AD③，
将③代入②得，AD(5﹣AD)＝6，
∴AD＝3或AD＝2，
∵AD＞BD，
∴AD＝3，
∴AC＝2AD＝6，
故选：B．
11. （2021•广西玉林市）图（1），在中，，点从点出发，沿三角形边以/秒的速度逆时针运动一周，图（2）是点运动时，线段的长度（）随运动时间（秒）变化的关系图象，则图（2）中点的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
12. （2021•江苏省无锡市）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点P是△ABC所在平面内一点，则PA2+PB2+PC2取得最小值时，下列结论正确的是（ ）
A．点P是△ABC三边垂直平分线的交点
B．点P是△ABC三条内角平分线的交点
C．点P是△ABC三条高的交点
D．点P是△ABC三条中线的交点
【分析】过P作PD⊥AC于D，过P作PE⊥AB于E，延长CP交AB于M，延长BP交AC于N，设AD＝PE＝x，AE＝DP＝y，则AP2+CP2+BP2＝3（x﹣2）2+3（y﹣）2+，当x＝2，y＝时，AP2+CP2+BP2的值最大，此时AD＝PE＝2，AE＝PD＝，由＝，得AM＝4，M是AB的中点，同理可得AN＝AC，N为AC中点，即P是△ABC三条中线的交点．
【解答】解：过P作PD⊥AC于D，过P作PE⊥AB于E，延长CP交AB于M，延长BP交AC于N，如图：
∵∠A＝90°，PD⊥AC，PE⊥AB，
∴四边形AEPD是矩形，
设AD＝PE＝x，AE＝DP＝y，
Rt△AEP中，AP2＝x2+y2，
Rt△CDP中，CP2＝（6﹣x）2+y2，
Rt△BEP中，BP2＝x2+（8﹣y）2，
∴AP2+CP2+BP2＝x2+y2+（6﹣x）2+y2+x2+（8﹣y）2
＝3x2﹣12x+3y2﹣16y+100
＝3（x﹣2）2+3（y﹣）2+，
∴x＝2，y＝时，AP2+CP2+BP2的值最大，
此时AD＝PE＝2，AE＝PD＝，
∵∠A＝90°，PD⊥AC，
∴PD∥AB，
∴＝，即＝，
∴AM＝4，
∴AM＝AB，即M是AB的中点，
同理可得AN＝AC，N为AC中点，
∴P是△ABC三条中线的交点，
故选：D．
13. （2021•贵州省铜仁市）如图，在中，，，，按下列步骤作图：步骤1：以点为圆心，小于的长为半径作弧分别交、于点、．步骤2：分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点．步骤3：作射线交于点．则的长为（ ）
A. 6 B. C. D.
【答案】B
14. （2021•襄阳市）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiǎ）生其中，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．间水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈尺，）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度是多少？则水深为（ ）
A. 10尺 B. 11尺 C. 12尺 D. 13尺
【答案】C
15. （2021•吉林省长春市）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB≠AC．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据等腰三角形的定义一一判断即可．
【解答】解：A、由作图可知AD是△ABC的角平分线，推不出△ADC是等腰三角形，本选项符合题意．
B、由作图可知CA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．
C、由作图可知DA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．
D、由作图可知BD＝CD，推出AD＝DC＝BD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．
故选：A．
16. （2021•湖北省黄石市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA、BC于M、N两点；②分别以M、N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线BP，交边AC于D点．若AB=10，BC=6，则线段CD的长为（ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由尺规作图痕迹可知，BD是∠ABC的角平分线，过D点作DH⊥AB于H点，设DC=DH=x则AD=AC-DC=8-x，BC=BH=6，AH=AB-BH=4，在Rt△ADH中，由勾股定理得到 ，由此即可求出x的值．
【详解】解：由尺规作图痕迹可知，BD是∠ABC的角平分线，
过D点作DH⊥AB于H点，
∵∠C=∠DHB=90°，
∴DC=DH，
，
设DC=DH=x，则AD=AC-DC=8-x，BC=BH=6，AH=AB-BH=4，
在Rt△ADH中，由勾股定理：，
代入数据：，解得，故，
故选：A．
17.（2021•绥化市）已知在中，，．点为边上的动点，点为边上的动点，则线段的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作点F关于直线AB的对称点F’，如下图所示，此时EF+EB= EF’+EB，再由点到直线的距离垂线段长度最短求解即可．
【详解】解：作点F关于直线AB的对称点F’，连接AF’，如下图所示：
由对称性可知，EF=EF’，
此时EF+EB= EF’+EB，
由“点到直线的距离垂线段长度最小”可知，
当BF’⊥AF’时，EF+EB有最小值BF0，此时E位于上图中的E0位置，
由对称性知，∠CAF0=∠BAC=90°-75°=15°，
∴∠BAF0=30°，
由直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半可知，
BF0=AB=，
故选：B．
18. （2021•辽宁省本溪市）如图，在中，，由图中的尺规作图痕迹得到的射线与交于点E，点F为的中点，连接，若，则的周长为（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据作图可知平分，，由三线合一，解，即可求得．
【详解】平分,,
,
点F为的中点
的周长为:
故选C．
二．填空题
1. （2021•湖北省黄冈市）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，适当长为半径画弧，分别交AC，F；再分别以点E，F为圆心EF的长为半径画弧，两弧交于点P,作射线AD交BC于点D，则BD与CD的数量关系为： BD＝2CD ．
【分析】证明AD＝DB＝2CD,可得结论．
【解答】解：∵∠C＝90°,∠B＝30°，
∴∠CAB＝90°﹣30°＝60°，
由作图可知AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠BAD＝30°，
∴AD＝2CD，
∵∠BAD＝∠B＝30°，
∴AD＝DB，
∴BD＝2CD，
故答案为：BD＝2CD．
2. （2021•江苏省苏州市）如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°.AF = EF.若∠CFE = 72°.则∠B = ▲ °．
【分析】根据等边对等角可得∠A＝∠AEF，再根据∠A+∠AEF＝∠CFE＝72°，求出∠A的度数，最后根据在Rt△ABC中，∠C＝90°，即可求出∠B的度数．
【解答】解：∵AF＝EF，
∴∠A＝∠AEF，
∵∠A+∠AEF＝∠CFE＝72°，
∴∠A＝×72°＝36°，
在Rt△ABC中，∠A＝36°，
∴∠B＝90°﹣36°＝54°．
故答案为：54．
3. （2021•江苏省扬州） 如图，在中，，点D是的中点，过点D作，垂足为点E，连接，若，，则________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据直角三角形的性质得到AB=10，利用勾股定理求出AC，再说明DE∥AC，得到，即可求出DE．
【详解】解：∵∠ACB=90°，点D为AB中点，
∴AB=2CD=10，
∵BC=8，
∴AC==6，
∵DE⊥BC，AC⊥BC，
∴DE∥AC，
∴，即，
∴DE=3，
故答案为：3．
4. （2021•湖南省娄底市）如图，中，是上任意一点，于点于点F，若，则________．
【答案】1
【解析】
【分析】将的面积拆成两个三角形面积之和，即可间接求出的值．
【详解】解：连接，如下图：
于点于点，
，
，
，
故答案是：1．
5. （2021•四川省成都市）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为 100 ．
【分析】三个正方形的边长正好构成直角三角形的三边，根据勾股定理得到字母A所代表的正方形的面积A＝36+64＝100．
【解答】解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方＝36，一直角边的平方＝64，
则斜边的平方＝36+64＝100．
故答案为100．
6. （2021•四川省眉山市）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN，交AD于点E，则DE的长为 ．
【分析】直接利用基本作图方法结合线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理分别得出DC,AD的长，即可得出DE的长．
【解答】解：如图所示：连接EC,
由作图方法可得：MN垂直平分AC,
则AE＝EC,
∵AB＝AC＝5，BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，
∴BD＝DC＝3,AD⊥BC,
在Rt△ABD中，AD＝＝＝4,
设DE＝x,则AE＝EC＝4﹣x,
在Rt△EDC中，
DE2+DC2＝EC2,
即x2+32＝(4﹣x)2,
解得：x＝,
故DE的长为．
故答案为：．
7. （2021•浙江省杭州）如图，在直角坐标系中，以点A（3，1），AC，AD（1，1），点C（1，3），点D（4，4）（5，2），则∠BAC = ∠DAE（填“＞”、“＝”、“＜”中的一个）．
【分析】在直角坐标系中构造直角三角形，根据三角形边之间的关系推出角之间的关系．
【解答】解：连接DE，
由上图可知AB═2，BC═2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC═45°，
又∵AE═==，
同理可得DE==，
AD==，
则在△ADE中，有AE2+DE2═AD7，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴∠DAE=45°，
∴∠BAC=∠DAE，
故答案为：=
8. （2021•浙江省绍兴市））如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝70°，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连结AP，则∠BAP的度数是 15°或75° ．
【分析】根据等腰三角形的性质可以得到△ABC各内角的关系，然后根据题意，画出图形，利用分类讨论的方法求出∠BAP的度数即可．
【解答】解：如右图所示，
当点P在点B的左侧时，
∵AB＝AC，∠ABC＝70°，
∴∠ACB＝ABC＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∵CA＝CP1，
∴∠CAP1＝∠CP6A＝＝＝55°，
∴∠BAP1＝∠CAP1﹣∠CAB＝55°﹣40°＝15°；
当点P在点C的右侧时，
∵AB＝AC，∠ABC＝70°，
∴∠ACB＝ABC＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∵CA＝CP4，
∴∠CAP2＝∠CP1A＝＝＝35°，
∴∠BAP2＝∠CAP2﹣∠CAB＝35°+40°＝75°；
由上可得，∠BAP的度数是15°或75°，
故答案为：15°或75°．
9. （2021•江苏省盐城市）如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，若CD＝2，则AB＝ 4 ．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出CD＝AB，代入求出答案即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD为△ABC斜边AB上的中线，
∴CD＝AB，
∵CD＝2，
∴AB＝2CD＝4，
故答案为：4．
10. （2021•齐齐哈尔市）若直角三角形其中两条边的长分别为3，4，则该直角三角形斜边上的高的长为________．
【答案】2.4或
【解析】
【分析】分两种情况：直角三角形的两直角边为3、4或直角三角形一条直角边为3，斜边为4，首先根据勾股定理即可求第三边的长度，再根据三角形的面积即可解题．
【详解】若直角三角形的两直角边为3、4，则斜边长为，
设直角三角形斜边上的高为h，
，
∴．
若直角三角形一条直角边为3，斜边为4，则另一条直角边为
设直角三角形斜边上的高为h，
，
∴．
故答案为：2.4或．
11. （2021•贵州省铜仁市）如图，将边长为1的正方形ABCD绕点顺时针旋转到的位置，则阴影部分的面积是______________；
【答案】
12. （2021•深圳）如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点F，作，则周长为________．
【解答】（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）
∴
∵，是角平分线
∴
∵
∴，
∴
13. （2021•江苏省南京市） 如图，在四边形中，．设，则______（用含的代数式表示）．
【答案】
【解析】
【分析】由等腰的性质可得：∠ADB=，∠BDC=，两角相加即可得到结论．
【详解】解：在△ABD中，AB=BD
∴∠A=∠ADB=
在△BCD中，BC=BD
∴∠C=∠BDC=
∵
∴
=
=
=
=
故答案为：．
14. （2021•广西贺州市）如图，一次函数与坐标轴分别交于，两点，点，分别是线段，上的点，且，，则点的标为________．
【答案】
【解析】
【分析】过P作PD⊥OC于D，先求出A，B 的坐标，得∠ABO=∠OAB=45°，再证明△PCB≌△OPA，从而求出BD＝2，OD＝4−2，进而即可求解．
【详解】如图所示，过P作PD⊥OC于D，
∵一次函数与坐标轴分别交于A，两点，
∴A(-4，0)，B(0，4)，即：OA=OB，
∴∠ABO=∠OAB=45°，
∴△BDP是等腰直角三角形，
∵∠PBC＝∠CPO＝∠OAP＝45°，
∴∠PCB＋∠BPC＝135°＝∠OPA＋∠BPC，
∴∠PCB＝∠OPA，
又∵PC＝OP，
∴△PCB≌△OPA（AAS），
∴AO＝BP＝4，
∴Rt△BDP中，BD＝PD＝BP÷＝2，
∴OD＝OB−BD＝4−2，
∴P（-2，4−2）．
故答案是：P（-2，4−2）．
三、解答题
1. （2021•江西省）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠ABC＝80°，BE平分∠ABC交AC于点E，ED⊥AB于点D，求证：AD＝BD．
证明：∵BE平分∠ABC交AC于点E，
∴∠ABE＝∠ABC＝×80°＝40°，
∵∠A＝40°，
∴∠A＝∠ABE，
∴△ABE为等腰三角形，
∵ED⊥AB，
∴AD＝BD．
2. （2021•浙江省杭州）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，∠C＝45°．
（1）求证：AB＝BD；
（2）若AE＝3，求△ABC的面积．
【分析】（1）计算出∠ADB和∠BAC，利用等角对等边即可证明；
（2）利用锐角三角函数求出BC即可计算△ABC的面积．
【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∠ABC＝60°，
∴∠DBC＝∠ABC＝30°，
∵∠ADB＝∠DBC+∠C＝75°，
∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝75°，
∴∠BAC＝∠ADB，
∴AB＝BD；
（2）解：由题意得，BE＝＝＝3，
∴BC＝3+，
∴S△ABC＝BC×AE＝．
3. （2021•长沙市）如图，在中，，垂足，，延长至，使得，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的周长和面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）周长为，面积为22．
【分析】
（1）先根据垂直的定义可得，再根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；
（2）先根据全等三角形的性质可得，从而可得，再利用勾股定理可得，从而可得，然后利用勾股定理可得，最后利用三角形的周长公式和面积公式即可得．
【详解】
（1）证明：，
，
在和中，，
，
；
（2），，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
则的周长为，
的面积为．
2021全国中考真题分类汇编（三角形）
----特殊三角形
一、选择题
1. （2021•江苏省扬州）如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰．
【详解】解：如图：分情况讨论：
①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个；
②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个．
故共有3个点，
故选：B．
2. （2021•山东省临沂市）如图，点A，B都在格点上，若BC＝，则AC的长为（ ）
A． B． C．2 D．3
【分析】根据勾股定理可以得到AB的长，然后由图可知AC＝AB﹣BC，然后代入数据计算即可．
【解答】解：由图可得，
AB＝＝＝＝2，
∵BC＝，
∴AC＝AB﹣BC＝2﹣＝，
故选：B．
3. （2021•山西）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理.这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”.实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的 许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（C ）
A.统计思想 B.分类思想 C.数形结合思想 D.函数思想
4. （2021•浙江省杭州）已知线段AB，按如下步骤作图：①作射线AC，使AC⊥AB；②作∠BAC的平分线AD，③以点A为圆心，AB长为半径作弧,交AD于E；④过点E作EP⊥AB于点P，则AP：AB＝（ ）
A．1： B．1：2 C．1： D．1：
【分析】直接利用基本作图方法得出AP＝PE,再结合等腰直角三角形的性质表示出AE,AP的长，即可得出答案．
【解答】解：∵AC⊥AB，
∴∠CAB＝90°,
∵AD平分∠BAC,
∴∠EAB＝×90°＝45°,
∵EP⊥AB,
∴∠APE＝90°,
∴∠EAP＝∠AEP＝45°,
∴AP＝PE,
∴设AP＝PE＝x,
故AE＝AB＝x,
∴AP：AB＝x:x＝1:．
故选：D．
5. （2021•四川省乐山市）如图，已知点是菱形的对角线延长线上一点，过点分别作、延长线的垂线，垂足分别为点、．若，，则的值为（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据菱形的基性质，得到∠PAE=30°，,利用勾股理求出AC=，则AP= +PC，PE=AP=+PC ，由∠PCF=∠DCA=30°，得到PF=PC ，最后算出结果．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形且∠ABC=120°，AB=2，
∴AB=BC=CD=DA=2，∠BAD=60°，AC⊥BD，
∴∠CAE=30︒，
∵AC⊥BD，∠CAE=30°，AD=2，
∴AC=，
∴AP=+PC，
在直角△AEP中，
∵∠PAE=30°，AP=+PC，
∴PE=AP=+PC，
在直角△PFC中，
∵∠PCF=30°，
∴PF=PC，
∴=+PC-PC=，
故选：B．
6. (2021•四川省自贡市)如图，，，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据题意得出OA=8，OC=2，再根据勾股定理计算即可
【详解】解：由题意可知：AC=AB
∵，
∴OA=8，OC=2
∴AC=AB=10
在Rt△OAB中，
∴B(0，6)
故选：D
7. （2021•浙江省绍兴市）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，点P从点B出发，沿折线BC﹣CD方向移动，移动到点D停止．在△ABP形状的变化过程中（ ）
A．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形
B．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形
C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
D．等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
【分析】把点P从点B出发，沿折线BC﹣CD方向移动的整个过程，逐次考虑确定三角形的形状即可。
【解答】解：∵∠B＝60°，故菱形由两个等边三角形组合而成，
当AP⊥BC时，此时△ABP为等腰三角形；
当点P到达点C处时，此时△ABP为等边三角形；
当点P在CD上且位于AB的中垂线时，则△ABP为等腰三角形；
当点P与点D重合时，此时△ABP为等腰三角形，
故选：C．
8. （2021•新疆）如图，在Rt中，，，，于点D，E是AB的中点，则DE的长为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3D. 4
【答案】A
9. （2021•浙江省宁波市）如图，在中，于点D，．若E，F分别为，中点，则的长为（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件可知△ABD为等腰直角三角形，则BD=AD，△ADC是30°、60°的直角三角形，可求出AC长，再根据中位线定理可知EF=。
【详解】解：因为AD垂直BC，
则△ABD和△ACD都是直角三角形，
又因为
所以AD=，
因为sin∠C=，
所以AC=2，
因为EF为△ABC的中位线，
所以EF==1，
故选：C．
10. （2021•甘肃省定西市）如图1，在△ABC中，AB＝BC，BD⊥AC于点D（AD＞BD）．动点M从A点出发，沿折线AB→BC方向运动，运动到点C停止．设点M的运动路程为x，△AMD的面积为y，y与x的函数图象如图2，则AC的长为（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
【分析】先根据AB＝BC结合图2得出AB＝，进而利用勾股定理得，AD²+BD²＝13，再由运动结合△ADM的面积的变化，得出点M和点B重合时，△ADM的面积最大，其值为3，即AD•BD＝3，进而建立二元二次方程组求解，即可得出结论．
【解答】解：由图2知，AB+BC＝2，
∵AB＝BC，
∴AB＝，
∵AB＝BC，BD⊥BC，
∴AC＝2AD，∠ADB＝90°，
在Rt△ABD中，AD²+BD²＝AB²＝13①，
设点M到AC的距离为h，
∴S△ADM＝AD•h，
∵动点M从A点出发，沿折线AB→BC方向运动，
∴当点M运动到点B时，△ADM的面积最大，即h＝BD，
由图2知，△ADM的面积最大为3，
∴AD•BC＝3，
∴AD•BD＝6②，
①+2×②得，AD²+BD²+2AD•BD＝13+2×6＝25，
∴(AD+BD)²＝25，
∴AD+BD＝5（负值舍去），
∴BD＝5﹣AD③，
将③代入②得，AD(5﹣AD)＝6，
∴AD＝3或AD＝2，
∵AD＞BD，
∴AD＝3，
∴AC＝2AD＝6，
故选：B．
11. （2021•广西玉林市）图（1），在中，，点从点出发，沿三角形边以/秒的速度逆时针运动一周，图（2）是点运动时，线段的长度（）随运动时间（秒）变化的关系图象，则图（2）中点的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
12. （2021•江苏省无锡市）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点P是△ABC所在平面内一点，则PA2+PB2+PC2取得最小值时，下列结论正确的是（ ）
A．点P是△ABC三边垂直平分线的交点
B．点P是△ABC三条内角平分线的交点
C．点P是△ABC三条高的交点
D．点P是△ABC三条中线的交点
【分析】过P作PD⊥AC于D，过P作PE⊥AB于E，延长CP交AB于M，延长BP交AC于N，设AD＝PE＝x，AE＝DP＝y，则AP2+CP2+BP2＝3（x﹣2）2+3（y﹣）2+，当x＝2，y＝时，AP2+CP2+BP2的值最大，此时AD＝PE＝2，AE＝PD＝，由＝，得AM＝4，M是AB的中点，同理可得AN＝AC，N为AC中点，即P是△ABC三条中线的交点．
【解答】解：过P作PD⊥AC于D，过P作PE⊥AB于E，延长CP交AB于M，延长BP交AC于N，如图：
∵∠A＝90°，PD⊥AC，PE⊥AB，
∴四边形AEPD是矩形，
设AD＝PE＝x，AE＝DP＝y，
Rt△AEP中，AP2＝x2+y2，
Rt△CDP中，CP2＝（6﹣x）2+y2，
Rt△BEP中，BP2＝x2+（8﹣y）2，
∴AP2+CP2+BP2＝x2+y2+（6﹣x）2+y2+x2+（8﹣y）2
＝3x2﹣12x+3y2﹣16y+100
＝3（x﹣2）2+3（y﹣）2+，
∴x＝2，y＝时，AP2+CP2+BP2的值最大，
此时AD＝PE＝2，AE＝PD＝，
∵∠A＝90°，PD⊥AC，
∴PD∥AB，
∴＝，即＝，
∴AM＝4，
∴AM＝AB，即M是AB的中点，
同理可得AN＝AC，N为AC中点，
∴P是△ABC三条中线的交点，
故选：D．
13. （2021•贵州省铜仁市）如图，在中，，，，按下列步骤作图：步骤1：以点为圆心，小于的长为半径作弧分别交、于点、．步骤2：分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点．步骤3：作射线交于点．则的长为（ ）
A. 6 B. C. D.
【答案】B
14. （2021•襄阳市）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiǎ）生其中，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．间水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈尺，）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度是多少？则水深为（ ）
A. 10尺 B. 11尺 C. 12尺 D. 13尺
【答案】C
15. （2021•吉林省长春市）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB≠AC．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据等腰三角形的定义一一判断即可．
【解答】解：A、由作图可知AD是△ABC的角平分线，推不出△ADC是等腰三角形，本选项符合题意．
B、由作图可知CA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．
C、由作图可知DA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．
D、由作图可知BD＝CD，推出AD＝DC＝BD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．
故选：A．
16. （2021•湖北省黄石市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA、BC于M、N两点；②分别以M、N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线BP，交边AC于D点．若AB=10，BC=6，则线段CD的长为（ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由尺规作图痕迹可知，BD是∠ABC的角平分线，过D点作DH⊥AB于H点，设DC=DH=x则AD=AC-DC=8-x，BC=BH=6，AH=AB-BH=4，在Rt△ADH中，由勾股定理得到 ，由此即可求出x的值．
【详解】解：由尺规作图痕迹可知，BD是∠ABC的角平分线，
过D点作DH⊥AB于H点，
∵∠C=∠DHB=90°，
∴DC=DH，
，
设DC=DH=x，则AD=AC-DC=8-x，BC=BH=6，AH=AB-BH=4，
在Rt△ADH中，由勾股定理：，
代入数据：，解得，故，
故选：A．
17.（2021•绥化市）已知在中，，．点为边上的动点，点为边上的动点，则线段的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作点F关于直线AB的对称点F’，如下图所示，此时EF+EB= EF’+EB，再由点到直线的距离垂线段长度最短求解即可．
【详解】解：作点F关于直线AB的对称点F’，连接AF’，如下图所示：
由对称性可知，EF=EF’，
此时EF+EB= EF’+EB，
由“点到直线的距离垂线段长度最小”可知，
当BF’⊥AF’时，EF+EB有最小值BF0，此时E位于上图中的E0位置，
由对称性知，∠CAF0=∠BAC=90°-75°=15°，
∴∠BAF0=30°，
由直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半可知，
BF0=AB=，
故选：B．
18. （2021•辽宁省本溪市）如图，在中，，由图中的尺规作图痕迹得到的射线与交于点E，点F为的中点，连接，若，则的周长为（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据作图可知平分，，由三线合一，解，即可求得．
【详解】平分,,
,
点F为的中点
的周长为:
故选C．
二．填空题
1. （2021•湖北省黄冈市）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，适当长为半径画弧，分别交AC，F；再分别以点E，F为圆心EF的长为半径画弧，两弧交于点P,作射线AD交BC于点D，则BD与CD的数量关系为： BD＝2CD ．
【分析】证明AD＝DB＝2CD,可得结论．
【解答】解：∵∠C＝90°,∠B＝30°，
∴∠CAB＝90°﹣30°＝60°，
由作图可知AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠BAD＝30°，
∴AD＝2CD，
∵∠BAD＝∠B＝30°，
∴AD＝DB，
∴BD＝2CD，
故答案为：BD＝2CD．
2. （2021•江苏省苏州市）如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°.AF = EF.若∠CFE = 72°.则∠B = ▲ °．
【分析】根据等边对等角可得∠A＝∠AEF，再根据∠A+∠AEF＝∠CFE＝72°，求出∠A的度数，最后根据在Rt△ABC中，∠C＝90°，即可求出∠B的度数．
【解答】解：∵AF＝EF，
∴∠A＝∠AEF，
∵∠A+∠AEF＝∠CFE＝72°，
∴∠A＝×72°＝36°，
在Rt△ABC中，∠A＝36°，
∴∠B＝90°﹣36°＝54°．
故答案为：54．
3. （2021•江苏省扬州） 如图，在中，，点D是的中点，过点D作，垂足为点E，连接，若，，则________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据直角三角形的性质得到AB=10，利用勾股定理求出AC，再说明DE∥AC，得到，即可求出DE．
【详解】解：∵∠ACB=90°，点D为AB中点，
∴AB=2CD=10，
∵BC=8，
∴AC==6，
∵DE⊥BC，AC⊥BC，
∴DE∥AC，
∴，即，
∴DE=3，
故答案为：3．
4. （2021•湖南省娄底市）如图，中，是上任意一点，于点于点F，若，则________．
【答案】1
【解析】
【分析】将的面积拆成两个三角形面积之和，即可间接求出的值．
【详解】解：连接，如下图：
于点于点，
，
，
，
故答案是：1．
5. （2021•四川省成都市）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为 100 ．
【分析】三个正方形的边长正好构成直角三角形的三边，根据勾股定理得到字母A所代表的正方形的面积A＝36+64＝100．
【解答】解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方＝36，一直角边的平方＝64，
则斜边的平方＝36+64＝100．
故答案为100．
6. （2021•四川省眉山市）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN，交AD于点E，则DE的长为 ．
【分析】直接利用基本作图方法结合线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理分别得出DC,AD的长，即可得出DE的长．
【解答】解：如图所示：连接EC,
由作图方法可得：MN垂直平分AC,
则AE＝EC,
∵AB＝AC＝5，BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，
∴BD＝DC＝3,AD⊥BC,
在Rt△ABD中，AD＝＝＝4,
设DE＝x,则AE＝EC＝4﹣x,
在Rt△EDC中，
DE2+DC2＝EC2,
即x2+32＝(4﹣x)2,
解得：x＝,
故DE的长为．
故答案为：．
7. （2021•浙江省杭州）如图，在直角坐标系中，以点A（3，1），AC，AD（1，1），点C（1，3），点D（4，4）（5，2），则∠BAC = ∠DAE（填“＞”、“＝”、“＜”中的一个）．
【分析】在直角坐标系中构造直角三角形，根据三角形边之间的关系推出角之间的关系．
【解答】解：连接DE，
由上图可知AB═2，BC═2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC═45°，
又∵AE═==，
同理可得DE==，
AD==，
则在△ADE中，有AE2+DE2═AD7，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴∠DAE=45°，
∴∠BAC=∠DAE，
故答案为：=
8. （2021•浙江省绍兴市））如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝70°，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连结AP，则∠BAP的度数是 15°或75° ．
【分析】根据等腰三角形的性质可以得到△ABC各内角的关系，然后根据题意，画出图形，利用分类讨论的方法求出∠BAP的度数即可．
【解答】解：如右图所示，
当点P在点B的左侧时，
∵AB＝AC，∠ABC＝70°，
∴∠ACB＝ABC＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∵CA＝CP1，
∴∠CAP1＝∠CP6A＝＝＝55°，
∴∠BAP1＝∠CAP1﹣∠CAB＝55°﹣40°＝15°；
当点P在点C的右侧时，
∵AB＝AC，∠ABC＝70°，
∴∠ACB＝ABC＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∵CA＝CP4，
∴∠CAP2＝∠CP1A＝＝＝35°，
∴∠BAP2＝∠CAP2﹣∠CAB＝35°+40°＝75°；
由上可得，∠BAP的度数是15°或75°，
故答案为：15°或75°．
9. （2021•江苏省盐城市）如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，若CD＝2，则AB＝ 4 ．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出CD＝AB，代入求出答案即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD为△ABC斜边AB上的中线，
∴CD＝AB，
∵CD＝2，
∴AB＝2CD＝4，
故答案为：4．
10. （2021•齐齐哈尔市）若直角三角形其中两条边的长分别为3，4，则该直角三角形斜边上的高的长为________．
【答案】2.4或
【解析】
【分析】分两种情况：直角三角形的两直角边为3、4或直角三角形一条直角边为3，斜边为4，首先根据勾股定理即可求第三边的长度，再根据三角形的面积即可解题．
【详解】若直角三角形的两直角边为3、4，则斜边长为，
设直角三角形斜边上的高为h，
，
∴．
若直角三角形一条直角边为3，斜边为4，则另一条直角边为
设直角三角形斜边上的高为h，
，
∴．
故答案为：2.4或．
11. （2021•贵州省铜仁市）如图，将边长为1的正方形ABCD绕点顺时针旋转到的位置，则阴影部分的面积是______________；
【答案】
12. （2021•深圳）如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点F，作，则周长为________．
【解答】（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）
∴
∵，是角平分线
∴
∵
∴，
∴
13. （2021•江苏省南京市） 如图，在四边形中，．设，则______（用含的代数式表示）．
【答案】
【解析】
【分析】由等腰的性质可得：∠ADB=，∠BDC=，两角相加即可得到结论．
【详解】解：在△ABD中，AB=BD
∴∠A=∠ADB=
在△BCD中，BC=BD
∴∠C=∠BDC=
∵
∴
=
=
=
=
故答案为：．
14. （2021•广西贺州市）如图，一次函数与坐标轴分别交于，两点，点，分别是线段，上的点，且，，则点的标为________．
【答案】
【解析】
【分析】过P作PD⊥OC于D，先求出A，B 的坐标，得∠ABO=∠OAB=45°，再证明△PCB≌△OPA，从而求出BD＝2，OD＝4−2，进而即可求解．
【详解】如图所示，过P作PD⊥OC于D，
∵一次函数与坐标轴分别交于A，两点，
∴A(-4，0)，B(0，4)，即：OA=OB，
∴∠ABO=∠OAB=45°，
∴△BDP是等腰直角三角形，
∵∠PBC＝∠CPO＝∠OAP＝45°，
∴∠PCB＋∠BPC＝135°＝∠OPA＋∠BPC，
∴∠PCB＝∠OPA，
又∵PC＝OP，
∴△PCB≌△OPA（AAS），
∴AO＝BP＝4，
∴Rt△BDP中，BD＝PD＝BP÷＝2，
∴OD＝OB−BD＝4−2，
∴P（-2，4−2）．
故答案是：P（-2，4−2）．
三、解答题
1. （2021•江西省）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠ABC＝80°，BE平分∠ABC交AC于点E，ED⊥AB于点D，求证：AD＝BD．
证明：∵BE平分∠ABC交AC于点E，
∴∠ABE＝∠ABC＝×80°＝40°，
∵∠A＝40°，
∴∠A＝∠ABE，
∴△ABE为等腰三角形，
∵ED⊥AB，
∴AD＝BD．
2. （2021•浙江省杭州）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，∠C＝45°．
（1）求证：AB＝BD；
（2）若AE＝3，求△ABC的面积．
【分析】（1）计算出∠ADB和∠BAC，利用等角对等边即可证明；
（2）利用锐角三角函数求出BC即可计算△ABC的面积．
【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∠ABC＝60°，
∴∠DBC＝∠ABC＝30°，
∵∠ADB＝∠DBC+∠C＝75°，
∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝75°，
∴∠BAC＝∠ADB，
∴AB＝BD；
（2）解：由题意得，BE＝＝＝3，
∴BC＝3+，
∴S△ABC＝BC×AE＝．
3. （2021•长沙市）如图，在中，，垂足，，延长至，使得，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的周长和面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）周长为，面积为22．
【分析】
（1）先根据垂直的定义可得，再根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；
（2）先根据全等三角形的性质可得，从而可得，再利用勾股定理可得，从而可得，然后利用勾股定理可得，最后利用三角形的周长公式和面积公式即可得．
【详解】
（1）证明：，
，
在和中，，
，
；
（2），，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
则的周长为，
的面积为．
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